初三几何模型应用之线段和的最小值

几何模型----之”线段和”的最小值求法姓名_____求线段和的最小值有代数法模型——构造函数（二次函数）模型求最值方法；也有几何模型：“将军饮马”模型；“胡不归模型”; “阿氏圆”;费马点等理论基础：三角形两边之和大于第三边，垂线段最短，两点之间线段最短，圆内（或外）一点与圆上一动点的最短（或长）的连线段必过圆心，“折”大于“直”，“斜”大于“直”等思想方法。

一、“将军饮马”模型“将军饮马”：把河岸看作直线L，先取A（或B）关于直线L的对称点A′（或B′），连接A′B （或B′A），并与直线交于一点P，则点P就是将军饮马的地点，即PA+PB即为最短路线。

1、在直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴与y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。

2、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=302．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB的值为（）A．6 B．8 C．10 D．123、如图，在矩形ABCD中，5AB=，3AD=.动点P满足13PAB ABCDS S∆=矩形.则点P到A，B两点距离之和PA PB+的最小值为（）A′P′河岸A 29B 342414、如图8，已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且OA =15，OC =9，在边AB 上选取一点D ，将△AOD 沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上，记为点E .（1）求DE 所在直线的解析式；（2）设点P 在x 轴上，以点O 、E 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，问这样的点P 有几个，并求出所有满足条件的点P 的坐标；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使四边形MNED 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.xy MNEB DC O图8Axy M NEB DC O(备用图)A4、如图，直线y ＝kx ＋b （k 、b 为常数）分别与x 轴、y 轴交于点A (－4，0)、B (0，3)，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与y 轴交于点C ． （1）求直线y ＝kx ＋b 的解析式； （2）若点P (x ，y )是抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1上的任意一点，设点P 到直线AB 的距离为d ，求d 关于x 的函数解析式，并求d 取最小值时点P 的坐标； （3）若点E 在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，求CE ＋EF 的最小值．5、如图，抛物线21242y x x =-++交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA=2，过点A 作直线MN AB ⊥交抛物线于M ，N 两点， （1）求直线AB 的解析式；（2）连接BM ，BN ，P 为抛物线BN 段上的一动点，是否存在这一点，使得四边形MBPN 的面积最大，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使得以A 、N 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？如果存在，请求出点QABC Oy=kx+b y ＝－ x 2+2 x +1 · P ( x ， y )的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）将线段AB 沿y 轴负方向平移t 个单位长度，得到线段A 1B 1，求MA 1+MB 1取最小值时实数t 的值。

（逆向思维，点M 竖直向上运动）二、“胡不归”模型【问题提出】如图①，已知海岛A 到海岸公路BD 的距离为AB ，C 为公路BD 上的酒店，从海岛A 到酒店C ，先乘船到登陆点D ，船速为a ，再乘汽车，车速为船速的n 倍，点D 选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若n ＝2，则时间t ＝AD a ＋CD2a ，当a 为定值时，问题转化为：在BC 上确定一点D ，使得AD＋CD2的值最小．如图②，过点C 做射线CM ，使得∠BCM ＝30°． （1）过点D 作DE ⊥CM ，垂足为E ，试说明：DE ＝CD2 ；（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D ′，并说明理由． 【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）． 【模型运用】（4）如图③，海面上一标志A 到海岸BC 的距离AB ＝300m ，BC ＝300m ．救生员在C 点处发现标志A 处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是6m/s ，在海中游泳的速度都是2m/s ，求救生员从C 点出发到达A 处的最短时间．【套路归纳】①将所求线段和改写为“PA ＋n m PB ”的形式（nm ＜1）； ②在PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得sin α＝nm ； ③过A 作第②步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值． 【套路练习】1．如图，△ABC 中，BC=2,∠ABC=300，则2AC+AB 的最小值为____2.如图，一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A ，距离公路5千米的地方有一居民点B ，A 、B 的直线距离是13千米．一天，居民点B 着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过 小时可到达居民点B ．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）2．如图，在△ACE 中，CA ＝CE ，∠CAE ＝30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上． （1）试说明CE 是⊙O 的切线；（2）若△ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示⊙O 的直径AB ；（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当12CD ＋OD 的最小值为6时，求⊙O 的直径AB 的长．3.已知在平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为)24,0(），点C 的坐标为（-1,0），若P 为线段OA 上一动点，则APCP 31最小值是 ．3．如图1，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B (4，0)、C (0，3)，点A 为x 轴负半轴上一点，AM ⊥BC 于点M 交y 轴于点N ，满足4CN ＝5ON ．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A 、B 、C ．（1）求抛物线的函数关系式；（2）连接AC ，点D 在线段BC 上方的抛物线上，连接DC 、DB ，若△BCD 和△ABC 面积满足S △BCD ＝35S△ABC ，求点D 的坐标；（3）如图2，E 为OB 中点，设F 为线段BC 上一点（不含端点），连接EF ．一动点P 从E 出发，沿段EF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿着线段FC 以每秒53个单位的速度运动到C 后停止．若点P 在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F 的坐标．4．如图，抛物线y ＝12x 2＋mx ＋n 与直线y ＝－12x ＋3交于A ，B 两点，交x 轴于D ，C 两点，连接AC ，BC已知A (0，3)，C (3，0)．（1）求抛物线的解析式和tan ∠BAC 的值；（2）在（1）条件下，设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒2个单位的速度运动到A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （-1，0），B （0，-3）、C （2，0），其中对称轴与x 轴交于点D 。

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则PD PB 21的最小值为________。

（3）M （s ，t ）为抛物线对称轴上的一个动点。

① 若平面内存在点N ，使得A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有个； ② 连接MA 、MB ，若∠AMB 不小于60°，求t 的取值范围。

图1 图26、已知抛物线y =a （x +3）（x ﹣1）（a ≠0），与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线y =﹣x +b 与抛物线的另一个交点为D ． （1）若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；※（2）若在第三象限内的点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E 是线段AD 上的一点（不含端点），连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？7、如图13，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，COD ∆关于CD 的对称图形为CED ∆．（1）求证：四边形OCED 是菱形； （2）连接AE ，若6cm AB =，5BC cm =．①求sin EAD ∠的值；②若点P 为线段AE 上一动点（不与点A 重合），连接OP ，一动点Q 从点O 出发，以1/cm s 的速度沿线段OP 匀速运动到点P ，再以1.5cm /s 的速度沿线段PA 匀速运动到点A ，到达点A 后停止运动．当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，求AP 的长和点Q 走完全程所需的时间．阿氏圆（阿波罗尼斯圆）：已知平面上两点A 、B ，则所有满足PA/PB=k 且不等于1的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。

在初中的题目中往往利用逆向思维构造“斜A ”型相似+两点间线段最短解决线段之和的最值问题。

问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求AP ＋12BP 的最小值．尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1则有CD CP ＝CP CB ＝12，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP ＝12，∴PD ＝12BP ，∴AP ＋12BP ＝AP ＋PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP ＋12BP 的最小值为 ．自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， 13AP ＋BP 的最小值为 ．拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90º，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是 ⌒CD上一点， 求2P A ＋PB 的最小值.如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为上一动点，求PC +PD 的最小值．2、如图，点A 、B 在⊙O 上，且OA=OB=12，OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上，OD=10，动点P 在⊙O 上，则PC+12PD 的最小值为？C BPD图3PB DOCA图2 图1 CBP3、如图，点A （4，0），B （4，4），点P 在半径为2的⊙O 上运动，则21AP+BP 的最小值为____4、如图，点C （2，5），A （7，0），点B 是以点C 为圆心半径为10的圆上一动点，则OB+AB 55的最小值为_______3、如图1，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3(a ≠0)与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E (m ，0)（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设△PMN 的周长为C 1，△AEN 的周长为C 2，若C 1C 2＝65，求m 的值； （3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连 E ′A 、E ′B ，求E ′A ＋23E ′B 的最小值．图1 图2B CADPB C ADPGFB CA DPGF费马点：是指位于三角形（或四边形等）内且到三角形（或四边形等）三个顶点距离之和最短的点 例：在等腰直角三角形ABC 中，腰长为2，点P 是三角形ABC 内一点，则PA+PB+PC 的最小值为_____ 1、已知在正方形ABCD 内有一点P ，若PA+PB+PC 的最小值为62 ，求正方形的边长？2、如图，在Rt △AOC 中，∠A=30°，点O （0，0），C （1，0），点A 在y 轴正半轴上，以AC 为一边做等腰直角△ACP ，使得点P 在第一象限。