求线段和的最小值

求线段和的最小值
三门九年制学校 温晓艳
一、复习回顾
一牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A、B处距河岸的距离分别是 AC=500m，BD=700m，且C、D两地间距离也为500m，天黑前牧童 从A点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．牧童 应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来．并求出最短路程。
O
P M A’

5、在二次函数图象中求线段和的最小值
（7）、抛物线 y
1 2 x x 2 顶点为A，与Y轴交点为 4
B。点P是x轴上的一个动点,则PA+PB的最小值是多少？
解：易得A(2,1),B(0,2), 作点B关于x轴的对称点B’（0，-2） 连接AB’交x轴于点P,此时PA+PB最小为 AB’= 13
y B O B’ P
A x
检测：
1、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD ＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最 小时，PB的长为______． 2、如图，菱形ABCD中，AB、AD的中点E、F，P为BD上任一点， 当P在何处时，PE+PF最小，最小值是多少？ 3、如图，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2， N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为 ．
A E 2 M 6
法二：过点E作EF ⊥AD，垂足为F。
A E 2 F M B 6
B
F D
C
D
C
由 AEF ~ ABD, 可得 EF=1,AF=
3
在Rt△BEF中，∠ B=60°，BE=4.可得
EF= 2 3 ,BF=2. 在Rt △EFC中，FC=4，因此CE=
,FD= 2 3 .
由 MEF ~ MCD
A’ 500m D
P
C A E
700m
B
500m
（易知Rt △ABC ,A’E=1200m,BE=500m, 可得A’B=1300m。）
模型：
①一条直线l； ②线同侧有两个不同点A、B， 要求：在线l上找一点，满足 PA+PB 最短。
A’ P A B
l
方法：选择合适的一点A， 作其关于直线l的对称点 A’，连接A’B，交直线 l于点P，此时PA+PB最短。
析：△PBQ周长=PB+PQ+BQ=PB+PQ+1， 要求△PBQ周长的最小值即求PB+PQ的 最小值。 由图知，B关于AC的对称点为D， 连接DQ交AC于点P，此时PB+PQ值最小 为DQ。
A D
P B Q C
解：在Rt △DQC中，DC=2，QC=1， 可得DQ= 5 ，则△PBQ的周长最小值 为（ 5+1 ）cm。
D
析：由图知，B关于AC的对称点 为D，连接DE交AC于点P，此时 PE+PB值最小为DE。
2 A E B
P
C
解： ∵ ∠BAD=60 °，菱形ABCD ∴ △ ADB为等边三角形， ∵ E为AB中点 ∴ DE ⊥ AB， 在Rt △DEA中，DA=2,∴DE= 3
（4）、如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的 中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长 的最小值为 ___cm．（结果不取近似值）．
1 S OM AM 1， OM AM 2 k OAM 解： ①、 2 2 y x B(1, 2),
y B
A x
②、
1 y x x 2 2 A(2,1) 2 y 1 y x 作点A关于x轴的对称点A '(2， 1), 连接A ' B交x轴于点P, 即为所求。 5 可得l A ' B : y=-3x+5 P( , 0). 3
二、教学过程 1、在三角形中求线段和的最小值
（1）如图，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AB边上一点.若AE=2,EM+BM的最小值 为 .
A
E
M
析：由图知，B关于AD的 对称点为C，连接EC交AD于点 M，此时EM+BM最小为EC.
C
B
D
法一： 过点E作EF ⊥BC，垂足为F。
y M N A
E
B
O P
F
B
O
x
3、在圆中求线段和的最小值 （5）、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上， ∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点， 则PA＋PB的最小值为( )
析：作点A关于MN的对称点A’， 连接A’B交MN于点P，此时 PA+PB最小为A’B. 解：连接OB、OA’， ∵ ∠AMN＝30° ∴ ∠AON＝60°= ∠A ’ON, ∵B为弧AN中点,∴ ∠BON=30 °， ∴ ∠BOA’=90 °. △OBA’为等腰直角三角形，因此 A’B= 2 .
2 7
3 3 3 可得FM= ，MD = 2 . 2
在
RtMFE和RtMDC 中，
,MC=
3 7 2
7 可得EM= 2
.
因此CE=
2 7
.
2、在四边形中求线段和的最小值
（2）、如图，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1， ∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则 PA+PB的最小值为 ．
A E P B C D
析：由图知，B关于EF的对称点 为C，连接AC交EF于点P，此时 PA+PB值最小为AC。 解，由题得∠D= ∠ DAB=120 °， ∵DA=DC, ∴ ∠ DAC=∠DCA=30 °, ∴ ∠BAC=90 °. 在Rt △ABC中，AC= 3
F
（3）、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB 的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值 为 ___．
M 30 ° A B
O
P
N
A’
4、在反比例函数图象中求线段和的最小值
1 k y= （6）、如图，正比例函数 2 x 的图象与反比例函数 y= （k≠0） x
在第一象限的图象交于A点，过A点作X轴的垂线，垂足为M，已知三 角形OAM的面积为1. ①求反比例函数的解析式； ②如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合）， 且B点的横坐标为1，在X轴上求一点P，使PA+PB最小.
A A P B C E B A F P C B D D N C M
4、如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8， CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上 的任意一点，则PA+PC的最小值为（ ）。 5、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 (1， )△AOB的面积是 . ①求点B的坐标；②求过点A、O、B的抛物线的解析式； ③在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的 周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明 理由；A