线段和的最小值 万能方法
线段和最小值问题整理
线段和最小值问题是一类数学问题，通常涉及到在给定的线段上找到使某个函数取得最小值的点。
这类问题在数学建模、优化问题和几何学中都有应用。
下面是对线段和最小值问题的整理：
1. 定义线段：线段是由两个端点确定的一段连续的直线部分。
2. 定义函数：线段和最小值问题通常需要定义一个函数，该函数将线段上的点映射到一个实数上。
3. 最小值问题：线段和最小值问题的目标是找到线段上使函数取得最小值的点。
4. 解决方法：解决线段和最小值问题的方法通常包括数学分析和优化算法。
a. 数学分析：通过分析函数的性质、导数和极值点等，可以找到函数取得最小值的点。
b. 优化算法：如果函数较为复杂或者无法通过数学分析得到解析解，可以使用优化算法，如梯度下降法、遗传算法等，来搜索最小值点。
5. 约束条件：线段和最小值问题中，通常会存在一些约束条件，如线段的端点范围、函数的可行域等。
这些约束条件需要考虑在解决问题时。
线段和最小值问题的具体形式和解决方法会因具体情况而异，可以根据具体问题的特点来选择合适的方法进行求解。
例谈线段和的最小值问题的解法
例谈线段和的最小值问题的解法作者：曾晖来源：《新校园·中旬刊》2015年第06期在初三中考总复习中，我们常见到这样的题型：1.如图1，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？2.如图2，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？这就是我们所说的几条线段和的最小值问题。
今天，我们将结合几个典型的例题，用三个不同的模型，从三个方面谈一谈线段和的最小值问题的基本解题思想，总结切实可行的解题方法，以期帮助初三学生提高复习的效率。
模型一：两定一动型。
解题原理：两点之间，线段最短。
说明：在一条直线的同侧有两个定点，在直线上找一个动点P，使点P到另两点的距离之和最短。
例1：如图3，在直角坐标系中，点A的坐标是（2，4），点B的坐标是（6，2），在y 轴和x轴上找两点P、Q，使得A，B，P，Q四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，并求出P、Q两点的坐标。
思路分析：分别作点A关于Y轴的对称点A′，点B关于X轴的对称点B′，连接A′B′，分别交Y轴于P′，交X轴于点Q′，点P′、Q′即为所求。
模型二：一定两动型。
解题原理：直线外一点到直线的所有距离中，垂线段最短。
说明：在一条直线的同侧有一个定点，一个动点，在直线上找一个动点P，使点P到另两点的距离之和最短。
例2：如图4，在锐角三角形ABC中，AB=4，∠CAB=45°，AD平分∠CAB，M、N分别是AD、AB上的动点，试求MN+MB的最小值。
思路分析：在AC上截取AE=AN，连接BE.∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN.∴BM+MN=BM+ME≥BE.∵BM+MN有最小值.当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=4，∠BAC=45°。
初中线段最值问题的常用解法
初中线段最值问题的常用解法初中线段最值问题是数学中的一个常见问题，也是初步引导学生运用数学知识解决实际问题的一种典型例题。
下面将介绍几种常用的解法。
1.分情况讨论法分情况讨论是解决初中线段最值问题的一个常用方法。
以找线段上的最大值为例，我们可以将线段分为两个部分，一部分是线段的左半部分，一部分是线段的右半部分。
然后分别在左半部分和右半部分找到最大值，最后比较这两个最大值，取较大者即为线段上的最大值。
同理，要找线段上的最小值，也可以采用相似的方法。
2.数轴法数轴法是线段最值问题中常用的一种解法。
以线段的最大值为例，我们可以将数轴上线段的两个端点列出，然后根据所给条件（如线段的起点和终点的坐标等）确定线段的位置。
然后，我们可以逐个将线段上的点都标在数轴上，然后找到其中的最大值。
同样地，我们也可以用数轴法来找线段上的最小值。
3.函数法函数法是解决线段最值问题的常用方法之一。
我们可以根据线段的起点和终点的坐标，建立一个函数来描述线段上的点。
然后，对这个函数进行求导，求出其导数为零的点，这些点即为函数的极值点。
然后，我们可以将这些极值点与线段的端点进行比较，找出线段上的最大值或最小值。
4.图像法图像法是解决线段最值问题的另一种有效方法。
我们可以根据线段的起点和终点的坐标，在坐标平面上画出对应的线段图像。
然后，通过观察图像，我们可以直观地找到线段上的最大值或最小值。
5.代数法代数法是解决线段最值问题的另一种常用方法。
我们可以先将线段上的点表示为变量的形式，然后根据线段的端点的坐标，列出相应的方程组。
然后，我们可以通过求解方程组，得到线段上的最大值或最小值。
总结起来，初中线段最值问题一般可以通过分情况讨论法、数轴法、函数法、图像法和代数法等解决。
根据实际情况和题目要求，可以选择合适的方法来解决问题。
需要注意的是，在解题过程中，我们不仅要运用数学知识，还要灵活运用判断和推理能力，善于观察和分析问题，才能高效地解决线段最值问题。
求线段之和的最小值问题的常用方法
求线段之和的最小值问题的常用方法嘿，咱今儿个就来唠唠求线段之和的最小值问题的那些常用法子！这可是数学里挺有意思的一块儿呢！你想想啊，就好像咱要在一个迷宫里找最短的路一样。
比如说，有两个固定的点 A 和 B，然后还有一条线，咱得找到从 A 到这条线再到B 的最短路径，这就是求线段之和最小值的一种常见情况。
先来说说对称法吧。
这就好比是给线段照镜子，通过找到某个点关于某条线的对称点，然后把问题转化一下，一下子就变得简单明了啦！就好像你本来要绕一大圈才能到的地方，突然发现有条捷径就在眼前。
再讲讲三角形三边关系法。
这就像是三根小棍儿，两边之和肯定得大于第三边呀，那咱就利用这个道理来找最小值。
就好比你知道走哪几条路组合起来最短，嘿，就是这么神奇！还有一种呢，就是利用一些特殊的几何图形的性质。
就像正方形、圆形之类的，它们都有自己独特的地方。
比如说在正方形里，对角线就是个很关键的线索，能帮咱找到那些最短的线段组合。
咱举个例子哈，想象有只小蚂蚁要从一个角落爬到另一个角落，但是中间有好多障碍，那咱就得开动脑筋，想想怎么让这小蚂蚁走最短的路呀！这时候这些方法就派上用场啦。
有时候啊，做这种题就跟玩游戏一样，一点点去探索，去发现其中的奥秘。
你得仔细观察题目中的条件，看看能不能找到那个关键的点或者线，然后运用合适的方法去求解。
哎呀，数学的世界就是这么奇妙！这些求线段之和最小值的方法就像是一把把钥匙，能打开各种难题的大门。
咱可得把这些宝贝方法好好记住，以后遇到问题就不怕啦！你说是不是？总之呢，求线段之和的最小值问题虽然有时候会让人觉得有点头疼，但只要咱掌握了这些常用方法，再加上一点点耐心和细心，那都不是事儿！相信自己，咱都能在数学的海洋里畅游，找到那些隐藏的宝藏！所以啊，别害怕这些问题，大胆去尝试，去探索，你会发现其中的乐趣无穷呢！。
中考几何中“线段和的最小值与定值”问题
中考几何中“线段和的最小值与定值”问题近年来，中考数学的一个热门考点就是“线段和的最值与定值”问题，也是难点之一。
学生常常找不到解题的突破口，此类试题往往同根而异形，利用两个“典型题例”进行“发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径。
所谓“典型题例”，就是某些题例虽然不是几何公理或定理，却可以举一反三地运用于其他相关的系列问题的解答。
下面就“线段和的最值与定值”问题，运用两个“典型题例”的源命题进行探讨。
一、关于线段和的最小值源命题（北师大版七年级下册P228 第七章习题7.3“问题解决”第2 题）：如图1 所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短？本题的解答是：作出点B 的轴对称点B1，连接AB1 交直线l于点P，则点P为所求的奶站位置。
利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例：【关联题1】（2008 年湖北荆门市中考题）如图2，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________．析解：利用菱形的对称性，在AD 上找出点M 关于AC 的对称点M＇（即AD 的中点），连结M＇N交AC 于P，则PM+PN 的最小值为线段M＇N 的长，而M＇、N 分别为边AD、BC的中点，故M＇N 的长等于菱形的边长5。
【关联题2】（2007 年乐山市中考题）如图3，MN 是⊙O的直径，MN=2，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧AN 的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（）析解：连结OA，由∠AMN=30°得∠AON=60°，取点B 关于MN 的对称点B＇，连结OB＇、AB＇，AB＇交MN 于点P，则AB＇的长为PA+PB 的最小值，且易知∠AOB＇=90°，即△AOB＇为等腰Rt△，故。
初中线段最值问题的常用解法
初中线段最值问题的常用解法初中线段最值问题可以通过几种常用解法来解决，其中包括暴力法、排序法、差分法、前缀和法和优先队列法等。
下面将逐一介绍这些常用解法。
一、暴力法：暴力法是最简单直接的解法，通过计算所有可能的情况，找到线段的最大最小值。
具体步骤如下：1.遍历线段的所有可能点对，计算它们之间的长度，并根据需求记录最大值或最小值。
2.对于含有n个点的线段，总共有C(n, 2) = n(n-1)/2个点对，因此时间复杂度为O(n^2)。
二、排序法：排序法首先将线段的所有点按照坐标大小进行排序，然后在有序的序列中找到最大最小值。
具体步骤如下：1.将线段的所有点按照坐标大小进行排序，可使用快速排序或归并排序等算法。
2.排序后的序列中，最小值为第一个点的坐标，最大值为最后一个点的坐标。
3.时间复杂度主要花在排序过程上，一般为O(nlogn)。
三、差分法：差分法是一种巧妙的解法，通过对坐标进行映射，将求最大最小值的问题转化为求差分数组的最大最小值。
具体步骤如下：1.首先对坐标进行离散化处理，将所有的线段点映射到一个连续段上，每个点的映射值对应它在离散化后的序列中的位置。
2.创建一个差分数组，将映射后的位置上的数值标记为1，其他位置上的值为0。
3.对差分数组进行前缀和处理，得到一个前缀和数组。
4.判断差分数组的最小值和最大值所对应的位置，即为原线段的最小值和最大值在映射后的序列中的位置。
5.根据离散化的映射关系，可将得到的位置映射回原线段上。
6.时间复杂度为O(n)。
四、前缀和法：前缀和法是一种相对简单高效的解法，通过对坐标进行前缀和处理，快速计算出每个位置的前缀和值，从而得到最值。
具体步骤如下：1.先计算出原始线段上每个点的前缀和，得到一个前缀和数组。
2.通过计算前缀和数组的差分，得到一个差分数组。
3.对差分数组求前缀和，得到一个二次前缀和数组。
4.遍历二次前缀和数组，记录最大最小值所对应的位置。
5.时间复杂度为O(n)。
用轴对称知识求线段和的最小值讲解
浅析用轴对称知识求线段和的最小值求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。
我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：一、性质推导例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1, 在直线L上任意定一点M，连接B B1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M，所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。
在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。
要使AM+ B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，也就是说，必须使点M，与A B1连线和L的交点N重合，所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。
B1证明：M为L上的任意点因为BM＝B1M所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，所以，结论成立二、应用1：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。
求这个最小值。
解：作出A1B（作法如上图）过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为42千米，即PA+PB的最小值为42千米。
A1 Array2、如图（1），在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=__________________。
解：如图（2），只要画出点Q关于x轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交x轴于点M，则M点即为所求。
点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。
中考数学最值问题3-线段和的最小值(将军饮马型)学生用
最值问题3 线段和的最小值线段和的最小值在直线l上求一点+PB 值最小。
A、B在直线异侧“将军饮马”）作图在直线l上求一点PA+PB 值最小．平移型将军饮马作图在直线l上求两点M、N（M在左），使MN a，并使AM+MN+NB 的值最小.向右平单＇的对称点，点左个单位称两点之间线段最短．AM最小值为A造桥选址”作图原理直线m ∥ n ，在m 、分别求点M、NMN⊥m，且AM+MN+BN值最小。
在直线l1、l2 上分别求点、N，使△PMN 的周长最小．作图在直线l1、l2上分别求点M 、N ，使四边形PQMN周长最小。
作图A 为l1上一定点，B上；A 为l1上一定点，上一定点，在l2上求点在l1上求点N ，AM+MN+NB 的值最小．作图l1上求点A，在lB，使PA+AB值最小．1. (1)已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=10cm，P为AH上一动点，D为AB 的中点，则PD+PB的最小值为______cm.(2)如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N 分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．(3)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=62，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．(4)如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为．（5）如图正方形ABCD的边长为6，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF=22，连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为．2. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标及最小值．3. 如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、点B，交y轴于点C．（1）求直线BC的函数表达式；（2）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，在x轴上是否存在一点M，使△CPM的周长最小，若存在求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．y轴相交于点C，顶点为D（1）求出点A，B，D的坐标；（2）若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O′，B′．首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′′B′DC，请求出四边形O′B′DC的周长最小值．5．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；y轴交于点C，已知点D（0，﹣）．（1）求直线AC的解析式；（2）如图1，P为直线AC上方抛物线上的一动点，当△PBD面积最大时，过P作PQ⊥x 轴于点Q，M为抛物线对称轴上的一动点，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接PM，NQ，求PM+MN+NQ的最小值．7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK 的最小值．8．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=﹣x2﹣x+交x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为﹣5．（1）求直线BD的解析式；（2）点E是线段BD上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当折线EF+BE最大时，在对称轴上找一点P，在y轴上找一点Q，连接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3，分别交x轴于A、B两点，交y轴交于C点，顶点为D．（1）如图1，连接AD，R是抛物线对称轴上的一点，当AR⊥AD时，求点R的坐标；（2）在（1）的条件下．在直线AR上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P作PQ⊥x 轴，交直线AR于点Q，点M是线段PQ的中点，过点M作MN∥AR交抛物线对称轴于点N，当平行四边形MNRQ周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y轴上找一点F，使得PE+EF+FA最小，并求此时点E、F的坐标．10. 抛物线y=﹣x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）如图1，求直线BC的表达式；（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当△PCB 面积最大时，一动点Q从点P从出发，沿适当路径运动到y轴上的某个点G 再沿适当路径运动到x轴上的某个点H处，最后到达线段BC的中点F处停止．求当△PCB面积最大时，点P的坐标及点Q在整个运动过程中经过的最短路径的长．。
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M1 A1
A2
N1
提高
例2：如图，已知AB是⊙OB中AC的 30直0 径，
，点D是线段AC上的任意一点1 C（DO不D 含端点），
连接OD，当
的最小2值为6时，求AB的
长。
在RtOO1F中
O1 D1 C
O1OF 600
DE
OO1 4 3
A
FB
AB 8 3
O
线段和的最小值
方法策略
初中数学经常遇到求PA+PB最小值问题，或 者是求△ABC的周长最小值。 1.题型：①两定一动
②一定两动 2.万能方法： ①作一定点关于动点所在直线的对称点
定点作了对称点后不用，对称点即为定点
②如果是两个定点则利用“两点之间，线段最 短”
如果是一个定点则利用“垂线段最短”
常见的数学模
存在一点P，使得△ABP的周长最
小A．B请 求BP出点APP的坐标． y 分析：因为AB的
长是确定的，故 △ABP的周长最 小时AP与BP的和
AO
x
P
为最小，所以可作 出右图所示的图
B
B
’
例3、已知：如图，AB是⊙O的直 径，AB=4，点C是半圆的三等份点， 点D是弧BC的中点，AB上有一动点 P，连接PC，PD，则PC+PD的最小 值是多2 2少？并画出点P的位置C .
型1、（浙教版数学课本八上，P50 例2）l 如
图，直线 表示草原上的一条河流。一骑
马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后
返回位于B地的家中。他沿怎样的路线行走， 能使路程最短？作出这条最B 短路P线'A P'B
直线l A为A'
线
的中垂
A
l
P
P’
A’
常见的数学模
型
4.如图，点A是∠MON内的一点，在分
AD AD' 4
Q'
在RtAD'P'中
D'P' 2 2
D'
作定点关于动点所在直线的 作对对称称点点的垂线
例2、(2010东营)如图，已知二次函数 y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（1， 0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析y 式 x；2 4x 5
（2）已知该函数图象的对称轴上
D
A
O PP B
’D
’
例 1
AM1 A1M1 AN1 A2N1
A1 BAM1 A2 EAN1
在A1AA2中BAE 1200 A1 A2 600 AM1N 2A1 AN1M 2A2 AM1N AN1M 1200
AM MN AN
别在射线OM，ON上作点P，Q。使
AP+PQ最小。
A1 M
POQA来自N总结1.万能方法： ①作一定点关于动点所在直线的对称点
定点作了对称点后不用，对称点即为定点
②如果是两个定点则利用“两点之间，线段最 短”
如果是一个定点则利用“垂线段最短” 2.本质就是想方设法换含定点的已知线段
典型例题
例 1
P'