求线段和最小值试题解法探析
例谈线段和的最小值问题的解法
例谈线段和的最小值问题的解法作者：曾晖来源：《新校园·中旬刊》2015年第06期在初三中考总复习中，我们常见到这样的题型：1.如图1，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？2.如图2，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？这就是我们所说的几条线段和的最小值问题。
今天，我们将结合几个典型的例题，用三个不同的模型，从三个方面谈一谈线段和的最小值问题的基本解题思想，总结切实可行的解题方法，以期帮助初三学生提高复习的效率。
模型一：两定一动型。
解题原理：两点之间，线段最短。
说明：在一条直线的同侧有两个定点，在直线上找一个动点P，使点P到另两点的距离之和最短。
例1：如图3，在直角坐标系中，点A的坐标是（2，4），点B的坐标是（6，2），在y 轴和x轴上找两点P、Q，使得A，B，P，Q四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，并求出P、Q两点的坐标。
思路分析：分别作点A关于Y轴的对称点A′，点B关于X轴的对称点B′，连接A′B′，分别交Y轴于P′，交X轴于点Q′，点P′、Q′即为所求。
模型二：一定两动型。
解题原理：直线外一点到直线的所有距离中，垂线段最短。
说明：在一条直线的同侧有一个定点，一个动点，在直线上找一个动点P，使点P到另两点的距离之和最短。
例2：如图4，在锐角三角形ABC中，AB=4，∠CAB=45°，AD平分∠CAB，M、N分别是AD、AB上的动点，试求MN+MB的最小值。
思路分析：在AC上截取AE=AN，连接BE.∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN.∴BM+MN=BM+ME≥BE.∵BM+MN有最小值.当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，又AB=4，∠BAC=45°。
初中数学几何线段及线段和、差的最值问题探析
初中数学几何线段及线段和、差的最值问题探析一、一般处理方法常用定理两点之间，线段最短垂线段最短三角形三边关系PA+PB最小，需转化，使点在线异侧|PA-PB|最大，需转化，使点在线同侧具体例题分析类型一利用两点之间线段最短1.立体图形平面展开图求最短路径例1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。
试题分析：此题为常规题型，碰到立体图形中的最短路径问题把它展开成平面图形再利用两点之间线段求解即可。
解：AB =，BC为底面周长的一半即BC =πAC = ==答：蚂蚁爬行的最短距离为cm。
2.通过作轴对称求距离之和的最小值例2：如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10.在OA上有一点Q，OB上有一点R.若△PQR周长最小，则最小周长是试题分析：此题出现一个定点两条定直线，所以我们是通过这个定点分别关于这两条直线作对称点，再根据三角形三边关系，最终转为两点之间线段最短来处理。
解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM.作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN.连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形. 联盟∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF.∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10.故选A.3.利用平移求线段和的最小值例3：荆州护城河在CC’处直角转弯，河宽相等，从A 处到达B处，需经过两座桥DD’、EE’，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？试题分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD’E’EB通过轴对称直接转化为线段，需要构造平行四边形将AD、BE平移至D’F、E’G，即可得到桥所在位置解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E’、D’，作DD’、EE’即为桥证明：由做法可知，AF∥DD’，AF=DD’，则四边形AFDD’为平行四边形于是AD=FD’同理，BE=GE’由两点之间线段最短可知，GF最小即当桥建于如图所示位置时，ADD’E’EB最短二、利用垂线段最短求最值1.通过转移点，转化为一个定点到一条定直线的距离的最小值例1：如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是C. D.试题分析：此题，两条线段涉及到三个点，其中B为定点，另外两个点均为动点，但通过角平分线这个条件可以把BM转化成关于线段AD对称的线段EM. 从而把两条线段之和的最值转化为点E到直线AB的最短距离。
求两线段长度之和的最小值问题全解析
“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD 上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC 中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP ＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG⊥BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD 是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC 上的一个动点，则DN+MN的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．分析：在这里△PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ==，所以△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年）如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为()(A)2(B) (C)1(D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD ＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB 的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B 的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C.如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时△AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以,所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年XX）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以△的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∥EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E 的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。
求线段和最小值试题(周长)解法探析
求线段和(周长）最小值试题解法近年来很多省市的中考数学试卷中出现求几条线段之和最小值的试题．这类试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段和的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对 “动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生的探索能力与识别能力，这对指导初中数学教师的教学及引导学生的学习有着重要的意义．现撷取关于求线段和最小值的几个例题进行分析． 一、“定——动——定”型试题 例1．（09山东威海）如图1，在直角坐标系中，点A ，B ，C 和坐标分别为（－1，0），（3，0），（0，3），过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动点．求当A D+CD 最小时点D 的坐标．例2．（09福建彰州）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，O A O B ⊥，60A O C ∠=°，P 是O B 上一动点，求P A P C +的最小值；评析：例1与例2均涉及两个定点一个动点，属求“定——动——定”型折线最小值问题，源于课本 “在直线上找一点，使其到直线同侧两点距离之和最短”，只是将问题背景改为抛物线或圆．以此考查学生的识别能力．这类只改变题型背景等非关键因素以适当加深问题的难度，隐蔽的应用课本上知识的试题常会在中考试卷中出现，用其检查学生灵活运用知识的能力．三、“定——动——动——定”型试题 例4．（福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．分析：点P 是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线．解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2，根据轴对称性易知：OP 1=OP 2=OP=10，∠P 1OP 2=2∠AOB=90°，因而P 1P 2=102，故△PQR 周长的最小值为102．例5．（09湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB=50km,A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km,拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图5所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km,请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.评析：例4与例5涉及两个动点一个（或两个）定点，由于它们均是以定点为起止，动点在定点之间，因而属求“定——动——动——定”型折线最小值问题，应选用“两点之间，线段最短”这一性质解题．另外在分析问题时既要考虑条件间的相同点，也要关注条件间的区别，以正确地找出解题方法． 从上面的几个例题可以看出，求几条线段和的最短（小）值问题P 2P 1ABPRQ O图4B C D NM N ′ 图3 B 1A 1 QY X P O B A C 图5图1A ′ABC P O 图2一般需要进行图形变换，将其转化为以两个定点为端点动点在中间的折线或以一个定点为端点其余动点在一侧的折线，然后再根据“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”这两条性质求出最小值．四、应用：1 ：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。
浅谈线段最小值问题
初中几何中的最值问题江西省南康市龙岭中学 梁晓君在解决平面几何问题时,经常会遇到求线段（或线段和）最值的问题。
遇到这类题目时学生常常没有思路，不知从何下手。
其实，解决这类问题最常的思路就是：其解题的理论依据主要是“两点之间线段最短”，“点到直线的距离垂线段最短”及“三角形两边之各大于第三边”。
（一）利用轴对称解决线段和最小值解决线段和最小的问题时又常与轴对称联系起来，通过作对称点把要相加的线段通过等量代换，放置在同一条直线上成为一条线段。
人教版教材八年级在学习作轴对称图形时有一个例题：A 、B 两镇在燃气管道L 的同旁，现在要修一个泵站，分别向A 、B 两镇供气，泵站应修在什么地方，才能使输气管线最短？这是学生最先接触用轴对称知识来解决线路最短问题。
在这个例题的解答中，是作其中一个点关于L 的对称点，此对称点与另一点的连线与直线L 的交点P ，即为到两镇之间距离和最短的地方。
同时教材上也作出证明，让同学生们理解为什么这点就是最短的点。
在掌握这个例题后我们就有很多的题目可以通过作轴对称来解决。
我们可以看下面两题：1．在菱形ABCD 中，AB=4a,E 在BC 上，EC=2a ，∠BAD=1200,点P 在BD 上，则△PEC 周长的最小值是2、正方形ABCD 的边长为3，E 在BC 上，且BE=2，P 在BD 上，求PE+PC 的最小值。
这两题是可以直接转化成例题来解答，这种题形可归纳为“两点一线型”。
我们再看下一个题目：如图∠AOB=450，角内有一点P ，PO=10，在角两边上有两动点Q 、R （均不同于点O ），则△PQR 的周长最小值是———————— 。
本题只有一个点P ，却有两条直线OA ，OB 。
本题思路是边点P 分别作OA ，OB 的对称点同，再连接两对称点与两直线的交点即为Q ，R ，此时△PQR 的周长最小。
这种题目可归纳为一点两线型。
像教材后面的习题，马从马厩出来到河边喝水，再到草地吃草所走的路线最短就属于这种题型。
14 5线段的最大值与最小值的解题策略
14-5线段最大值与最小值的解题思路回顾：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。
5、垂直线段最短一、两点之间线段最短、垂线段最短线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。
????6,0?6,0BA xOy ABC，中，，三个点的坐标分别为1. 例如图，在平面直角坐标系1??AC30,4C,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点，延长AC到点D,使CD=E.2（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的b?y?kx分成周长相等的两个四边形，确定此CDFE直线将四边形b??kxy yP从直线与设直线的解析式；（3）G为y轴上一点，点y点在点，若P点，再沿GA到达Ay轴的交点出发，先沿轴到达G点的位试确定倍，G轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2（要求：简述确A点所用的时间最短。
置，使P点按照上述要求到达 G点位置的方法，但不要求证明）定看数据的特殊性，30°这不是一道简单的作图题，需要经历以下的思索路径：简化图形→转化题意→由果索因→画图说理P点在y轴上运动的速度是它在如图，在△ABC中，AC=BC=2，1课堂练习：。
GA上运动速度的2倍．直线边的中点，是∠ACB=90BC，DE是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是________P点在GH上运动速度等于它在°?2，BAC?45?AB4中，2在锐角，ABC△直线GA上运动速度．于点分别的平分线交BCN、MD，BAC?是和上的动点，则的最小值是__MN?BMABAD的最小值．GH+GA求分别是，若点P,Q的边长为4，∠DCB的平分线CE交DB于点E例2、如图2，正方形ABCD2422 C.4 D. A.2 B. ）则DQ+PQ的最小值（ CD和CE上的动点，a:探究下列问题为边作等边三角形ABC中，BC=ABD. ，AC=b，以AB已知:在△°，则，且∠ACB=60D1，当点与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3（1）如图 CD= ；°，则，且∠ACB=90D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6）如图（22，当点 CD= ；的最大值及相 CD且点D与点C位于直线AB的两侧时，求（3）如图3，当∠ACB变化, .应的∠ACB的度数C DCAB CABBAD D32 图图1 图二、三角形两边之和大于第三边其他两边是求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，在转化较难进则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。
贵阳专版中考数学命题研究第三编综合专题闯关篇专题四线段和的最小值问题试题020714【含解析】
专题四 线段和的最小值问题纵观贵阳5年中考，2014年和2015年两年连续考查了利用对称求线段和最小值的几何问题．设置在第24题、25题，以解答题的形式出现，分值为12分，难度较大．预计2017贵阳中考还会设计利用图形变换考查此类问题的几何综合题，复习时要加大训练力度．,中考重难点突破)线段的最小值【经典导例】【例】(六盘水中考)(1)观察发现如图①，若点A ，B 在直线m 同侧，在直线m 上找一点P ，使AP ＋BP 的值最小，做法如下：作点B 关于直线m 的对称点B′，连接AB′，与直线m 的交点就是所求作的点P ，线段AB′的长度即为AP ＋BP 的最小值．如图②，在等边三角形ABC 中，AB ＝2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP ＋PE 的值最小，做法如下：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求作的点P ，故BP ＋PE 的最小值为________．(2)实践运用如图③，已知⊙O 的直径CD 为2，︵AC 的度数为60°，点B 是︵AC 的中点，在直径CD 上作出点P ，使BP ＋AP 的值最小，则BP ＋AP 的最小值为________．(3)拓展延伸如图④，点P 是四边形ABCD 内一点，分别在边AB ，BC 上作出点M ，点N ，使PM ＋PN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法．【解析】(1)利用作法得到CE 的长为BP ＋PE 的最小值；由AB ＝2，点E 是AB 的中点，根据等边三角形的性质得到CE ⊥AB ，∠BCE ＝21∠BCA ＝30°，BE ＝1，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到CE 的长度．CE 的长为BP ＋PE 的最小值．∵在等边三角形ABC 中，AB ＝2，点E 是AB 的中点，∴CE ⊥AB ，∠BCE ＝21∠BCA ＝30°，BE＝1，∴CE ＝BE ＝.故答案为；(2)过B 点作弦BE ⊥CD ，连接AE 交CD 于P 点，连接OB ，OE ，OA ，PB ，根据垂径定得到CD 平分BE ，即点E 与点B 关于CD 对称，则AE 的长就是BP ＋AP 的最小值．【学生解答】解：(1)；(2)实践运用 如解图①，过B 作弦BE ⊥CD ，连接AE 交CD 于P 点，连接OB ，OE ，OA ，PB.∵BE⊥CD，∴CD 平分BE ，即点E 与点B 关于CD 对称．∵︵AC 的度数为60°，点B 是︵AC 的中点，∴∠BOC＝30°，∠AOC＝60°，∴∠EOC＝30°，∴∠AOE＝60°＋30°＝90°，∵OA＝OE ＝1，∴AE＝OA ＝，∵AE 的长就是BP ＋AP 的最小值．故答案为；(3)分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连接EF，EF交AB于点M，交BC于点N.拓展延伸如解图②.1．(2015绥化中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5.若点M，N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值是( B )A．10 B．8 C．5 D．6,(第1题图)) ,(第2题图)) 2．(2016贵阳模拟)如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM＝1，N为对角线AC上任意一点，则DN＋MN的最小值为( B )A．3 B．5C．6 D．无法确定3．(2016原创)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，PM＋PN的最小值是( B )1A．2 B．1 C. D.24．(2016原创)几何模型：条件：如下左图，A，B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA＋PB＝A′B的值最小(不必证明)．模型应用：(1)如图①，正方形ABCD的边长为2，E为AB中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接PE，PB，则PB＋PE的最小值是________；(2)如图②，⊙O的半径为2，点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA＋PC的最小值；(3)如图③，∠AOB＝30°，P是∠AOB内一点，PO＝8，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR周长的最小值．解：(1)；(2)如图②，延长AO交⊙O于点A′，则点A，A′关于直线OB对称，连接A′C与OB相交于点P，连接AC.∵OA＝OC＝2，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝2.∵AA′＝4，∠ACA′＝90°，∴PA＋PC＝PA′＋PC＝A′C＝2，即PA＋PC的最小值是2；(3)如图③，分别作P 点关于OB ，OA 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于点Q ，交OB 于点R ，∴OP＝OP 1＝OP 2，∠P 1OB ＝∠POB ，∠P 2OA ＝∠POA ，∴∠P 1OP 2＝2∠AOB＝60°，∴△P 1OP 2是等边三角形，P 1P 2＝OP ＝8，∴三角形PQR 的周长＝PR ＋PQ ＋RQ ＝P 1R ＋P 2Q ＋RQ ＝P 1P 2＝8，即△PQR 的周长的最小值为8.5．(2014贵阳中考)如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD ，其中∠BAC ＝45°，∠ACD ＝30°，点E 为CD 边上的中点，连接AE ，将△ADE 沿AE 所在直线翻折得到△AD′E，D ′E 交AC 于F 点．若AB ＝6 cm .(1)AE 的长为__4__cm ；(2)试在线段AC 上确定一点P ，使得DP ＋EP 的值最小，并求出这个最小值；(3)求点D′到BC 的距离．解：(1)4；(2)∵Rt △ADC 中，∠ACD＝30°， ∴∠A DC ＝60°. ∵E 为CD 边上的中点， ∴DE＝AE, ∴△ADE 为等边三角形．∵将△ADE 沿AE 所在直线翻折得△AD′E, ∴△AD′E 为等边三角形， ∠AED′＝60°， ∵∠EAC ＝∠EAD －∠DAC ＝30°， ∴∠EFA＝90°， 即AC 所在的直线垂直平分线段ED′， ∴点E ，D′关于直线AC 对称， 连接DD′交AC 于点P, ∴此时DP ＋EP 值为最小，且DP ＋EP ＝DD′， ∵△ADE 是等边三角形，AD ＝AE ＝4，∴DD′＝2×21AD ×＝2×6＝12, 即DP ＋EP 最小值为12 cm ；(3)连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC 于点G,∵AC 垂直平分线ED′， ∴AE＝AD′，CE ＝CD′， ∵AE＝EC ，∴AD′＝CD′＝4， 在△ABD′和△CBD′中，AD ′＝CD ′，BD ′＝BD ′，∴△ABD′≌△CBD′(SSS ), ∴∠D′BG＝45°， ∴D′G＝GB, 设D′G 长为x cm ，则CG 长为(6－x)cm ，在Rt △GD′C 中，x 2 ＋(6－x)2 ＝(4)2 , 解得x 1＝3－，x 2＝3＋(不合题意舍去), ∴点D′到BC 边的距离为(3－)cm .6．(2016贵阳中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝12，将矩形纸片折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，此时PD ＝3.(1)求MP 的值；(2)在AB 边上有一个动点F ，且不与点A ，B 重合，当AF 等于多少时，△MEF 的周长最小？(3)若点G ，Q 是AB 边上的两个动点，且不与点A ，B 重合，GQ ＝2，当四边形MEQG 的周长最小时，求最小周长值．(计算结果保留根号)解：(1)MP ＝＝5；(2)如图1，作点M 关于AB 的对称点M′，连接M′E 交AB 于点F ，则点F 即为所求，过点E 作EN ⊥AD ，垂足为N.∵AM ＝AD －MP －PD ＝15－5－3＝4，∴AM＝AM′＝4.∵矩形ABCD 折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，∴∠CEP＝∠MEP ，而∠CEP ＝∠MPE ，∴∠MEP＝∠MPE ，∴ME＝MP ＝5，在Rt △ENM 中，MN ＝＝＝3，∴NM′＝11.∵AF ∥NE ，∴△AFM′∽△NEM′，∴M ′N M ′A ＝EN AF ，即114＝4AF ，解得AF ＝1116，即AF ＝1116时，△MEF 的周长最小；(3)如图2，由(2)知点M′是点M 关于AB 的对称点，连接MG ，在EN 上截取ER ＝2，连接M′R 交AB 于点G ，再过点E 作EQ ∥RG ，交AB 于点Q ，∵EQ∥RG，ER∥GQ，∴四边形ERGQ 是平行四边形，∴QE＝GR.∵GM ＝GM′，∴MG＋QE ＝GM′＋GR ＝M′R，此时MG ＋EQ 最小，四边形MEQG 的周长最小，在Rt △M′RN 中，NR ＝4－2＝2，M′R＝＝5，∵ME＝5，GQ ＝2，∴四边形MEQG 的最小周长值是7＋5.。
从几何角度探究线段和最小值问题的解决策略
2021年第1期中学数学教学参考（下旬）+想方法_1从/I何角度探究线段和最小值问题的解决策王绍忠（山东省诸城市东鲁学校）摘要：线段和最小值问题在近几年各地中考数学试卷中出现的几率很大。
本文借助例题分析这类问题的三种几何解题策略。
关键词：线段和；最小值；解决策略文章编号：1002-2171 (2021) 1-0048-03在中考中，线段和最小值问题是常见的题型，其 解决策略主要有两种：一是代数法，即利用函数讨论极值问题；二是几何法。
遇到这类问题，学生受常规思路的影响，一般更倾向于代数法。
本文尝试从几何 角度，通过模型归类，给出解决这类问题的一般方法。
1 “牛喝水”模型“牛喝水”模型是由固定的河流、家、牛构成，需要 通过对称的方法在河流上找到牛喝水的最短路径[1]，如图1所示。
这种线段和最小值解题模型的典型代反思：因为角的平分线上的点到角两边的距离相 等，所以A C J W F的边C M上的高和A C E F的边Cf：上的高相等，因此有|^=^。
^>ACEF L t解法3:如图4,过点C作C M丄E F，垂足为M，交E F的延长线于M。
由于=Z C E F，Z A=Z E M C=90。
，得A AB E c^A M£C0所以謚=4,易得C M=#，B E=f。
因此V5C F CM10 1 B F B E所以S AC奸=+~X — X S a=占X香X1X1=去。
反思：本解法通过构造相似三角形并应用“同高 的两个三角形的面积之比等于对应底边之比”先求出的值，即求出的值，而s ABCE易求，从而顺利^ AB CE 求出S A C E f的值。
思路2:构造A C£F的相似三角形。
由已知条件 易证Z A B E=Z C E F，而Z C=45°,因此只需再构造 一个45°的锐角。
解法4:如图5,以A E为直角边构造R t A M A E。
由于 Z A B£=Z C£：F，Z M=Z C=45°，得 A M B E o q A C E F。
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求线段和最小值试题解法探析
江苏省泗阳中学（223700）洪晓岐
电子信箱hxq5678@
2009年部分省市的中考数学试卷中出现求几条线段之和最小值的试题．这类试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段和的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对 “动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生的探索能力与识别能力，这对指导初中数学教师的教学及引导学生的学习有着重要的意义．现撷取关于求线段和最小值的几个例题进行分析，以供同行们在教学中参考并请指正．
一、“定——动——定”型试题
例1．（山东威海）如图1，在直角坐标系中，点A ，B ，C 和坐标分别为（－1，0），
（3，0），（0，3），过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动
点．求当A D+CD 最小时点D 的坐标．
分析：由于A 、C 两点在对称轴l 的同侧，所以要在对称轴l 上找一点D 使AD+CD
最小，关键是求出A 、C 两点中任一点关于直线l 的对称点．
解：因为l 是抛物线的对称轴，所以A 、B 两点关于直线l 对称．
设直线BC 的解析式为b kx y +=，因为其过点B （3，0），C （0，3），所以1-=k ，3=b ．即直线BC 解析式为3+-=x y ，又因为对称轴为1=x ，所以点D 坐标为（1，2）．
例2．（福建彰州）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、
在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；
分析；题中A 、C 是两个定点，OB 是一条定线段，因此确定点P ，关键是要找
出A 、C 两点中任一点关于直线OB 的对称点．由于过圆心的任一直线都是圆的对称
轴，所以直线AO 与圆的另一交点A ′就是点A 关于直线OB 的对称点．
解：延长AO 交⊙O 于点A ′，连结A ′C 交⊙O 于点P ，由于在△OA ′C 中O
A ′=OC ，∠COA ′=120°，所以322
32260sin 2=⨯⨯=︒⋅=OC AC ． 评析：例1与例2均涉及两个定点一个动点，属求“定——动——定”型折线最小值问题，源于课本 “在直线上找一点，使其到直线同侧两点距离之和最短”，只是将问题背景改为抛物线或圆．以此考查学生的识别能力．这类只改变题型背景等非关键因素以适当加深问题的难度，隐蔽的应用课本上知识的试题常会在中考试卷中出现，用其检查学生灵活运用知识的能力．
二、“定——动——动”型试题
例3．（陕西省）如图3，在锐角△ABC 中，AB=24，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则MN BM +的最小值是_________ ．
分析；由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以点N 关于AD 的对称点一定在AC 上．因此本题可以转化为在AD 找一点M ，在AC 上找一点N ′，使BM+MN ′的值最小．
解：因为AD 是∠BAC 的平分线，所以点N 关于直线AD 的对称点N ′一定在AC 上．由垂线段最短可知当B N ′⊥AC 时，线段B N ′时最小．因此当点M 在直线B N ′上时BM+MN ′的值最小，最小值即为点B 到AC 的距离． A B C
D N M N ′ 图3 图1 A ′ A B C P O 图2
由于42
22445sin =⨯=︒⋅AB ，所以MN BM +的最小值是4． 评析：本题涉及两个动点一个定点，属求“定——动——动”型折线最小值问题，由于两个动点在定点的同侧，因此只能根据“垂线段最短”这一性质入手进行解题．
三、“定——动——动——定”型试题
例4．（福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．
分析：点P 是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线． 解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2，
根据轴对称性易知：OP 1=OP 2=OP=10，∠P 1OP 2=2∠AOB=90°，因而P 1P 2=102， 故△PQR 周长的最小值为102． 例5．（湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗
山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB=50km,A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km,拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图5所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km,
请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值. 分析：由于AB 长为定值，所以要使P 、A 、B 、Q 为顶点的四边形
周长最小，就需使PA+QP+BQ 之和最小.由例4可得启发，先作出点A ，点B 分别关于直线X 与直线Y 的对称点，然后将两对称点连成线段，则这线段的长就是PA+QP+BQ 的最小值．
解：作点A 关于X 轴的对称点A 1，点B 关于Y 轴的对称点B 1，连结A 1B 1，分别交X 轴、Y 轴的交点就是所求的点P 和点Q ，即此时四边形PABQ 四边形的周长最小．
延长A 1A 和B 1 B 使它们相交于点C ，易知∠A 1 C B 1是直角，
AC=40－10=30，A 1 C=40+10=50，BC=4030502222=-=-AC AB ，
B 1 C=40+30×2=100， 5505010022212111=+=+=
C B C A B A ，
所以四边形ABQP 的周长最小值为)15(5050550+=+km ．
评析：例4与例5涉及两个动点一个（或两个）定点，由于它们均是以定点为起止，动点在定点之间，因而属求“定——动——动——定”型折线最小值问题，应选用“两点之间，线段最短”这一性质解题．另外在分析问题时既要考虑条件间的相同点，也要关注条件间的区别，以正确地找出解题方法．
从上面的几个例题可以看出，求几条线段和的最短（小）值问题一般需要进行图形变换，将其转化为以两个定点为端点动点在中间的折线或以一个定点为端点其余动点在一侧的折线，然后再根据“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”这两条性质求出最小值．
本文发表在上海师范大学《上海中学数学》2010年第5期 P 2 P 1 A
B
P R Q O
图4
B 1
A 1 Q Y X P O
B A
C 图5。