数列极限的三种求法
数列极限的三种求法
在数学学科中，数列是一种有规律的数字序列，其中每个数字都按照特定的规则来排列。而数列极限则是数列中无限靠近某一特定值的最终数字，也就是说，数列极限可以确定一个数列的整体趋势。
在实际应用中，数列的极限在物理、计算机科学、经济学等领域发挥着重要的作用。因此，学会如何求解数列的极限非常重要。
接下来就介绍三种常见的数列极限求解方法：
一、代数法
第一种方法是代数法，这种方法比较直接，只需要代入n趋向无穷大的值即可。例如，对于数列{1/n}（n=1, 2, 3, ……），我们可以使用代数法求它的极限。
当n趋向无穷大时，1/n的值越来越小，而我们可以看到1/n的值最小为无限接近于0。因此，根据代数法，当n趋向无穷大时，1/n的极限为0。
二、夹逼法
第二种方法是夹逼法，这种方法需要利用已知的数列加上一个比较紧密的数列来夹逼住待求解的数列，从而推导出它的极限。当然，夹逼法对所要求解的数列和两个比较紧密的数列有一定的要求。
例如，对于数列（-1）的n次方/n，我们可以使用夹逼法求它的极限。当n为奇数时，数列（-1）的n次方/n小于等于0，而数列（-1）的n+1次方/n大于等于0。因此，当n趋向无穷大时，夹在它们之间的数列（-1）的n次方/n的极限为0。
三、通项法
第三种方法是通项法，也就是通过特定的公式推导出数列的通项公式，然后求出它的极限。通项法对于有规律的数列比较有效，但是如果无规律，通项公式就很难求出。
例如，对于数列{sin(n*π/4)}（n=1, 2, 3, ……），我们可以使用通项法求它的极限。由于规律是sin(n*π/4)，而当n趋向无穷大时，sin(n*π/4)在8个值中循环。因此，当n趋向无穷大时，数列{sin(n*π/4)}的极限等于该循环的最大值和最小值之间的所有值的平均值，即（1+√2）/2和（1-√2）/2的平均值，即0。
这三种方法，代数法相对简单直接，夹逼法应用范围比较广泛，而通项法对于有规律的数列比较有效。当然，这三种方法也并非适用于所有数列的极限求解，因此，掌握这些方法需要有足够的练习和深度的理解，才能够应用自如、有效解决实际问题。
数列求极限的方法总结
数列求极限的方法总结 1、等价无穷小的转化，〔只能在乘除时候使用，但是不是说肯定在加减时候不能用，前提是必需证明拆分后极限依旧存在，e的X 次方1或者〔1+x〕的a次方1等价于Ax等等。全部熟记〔x趋近无穷的时候还原成无穷小〕。 2、洛必达法则〔大题目有时候会有示意要你使用这个方法〕。首先他的使用有严格的使用前提！必需是X趋近而不是N趋近！〔所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近状况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种状况而已，是必要条件〔还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不行能是负无穷！〕必需是函数的导数要存在！〔假如告知你g〔x〕，没告知你是否可导，直接用，无疑于找死！！〕必需是0比0无穷大比无穷大！当然还要留意分母不能为0。洛必达法则分为3种状况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷〔应为无穷大于无穷小成倒数的关系〕所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于〔指数幂数〕方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的.形式了，〔这就是为什么只有3种形式的缘由，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0〕。 3、泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特变留意！〕E的x绽开sina，绽开cosa，绽开ln1+x，
对题目简化有很好关心。 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决方法，取大头原则最大项除分子分母！！！看上去冗杂，处理很简洁！ 5、无穷小于有界函数的处理方法，面对冗杂函数时候，尤其是正余弦的冗杂函数与其他函数相乘的时候，肯定要留意这个方法。面对特别冗杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！ 6、夹逼定理〔主要应付的是数列极限！〕这个主要是观察极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7、等比等差数列公式应用〔应付数列极限〕〔q肯定值符号要小于1〕。 8、各项的拆分相加〔来消掉中间的大多数〕〔应付的还是数列极限〕可以使用待定系数法来拆分化简函数。 9、求左右极限的方式〔应付数列极限〕例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的状况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，由于极限去掉有限项目极限值不改变。 10、两个重要极限的应用。这两个很重要！对第一个而言是X 趋近0时候的sinx与x比值。第2个就假如x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式〔第2个事实上是用于函数是1的无穷的形式〕〔当底数是1的时候要特殊留意可能是用地两个重要极限〕 11、还有个方法，特别便利的方法，就是当趋近于无穷大时候，不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！x的x次方快于x！快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数〔画图也能看出速率的快慢〕!!
求数列极限的方法
求数列极限的方法 一、引言 数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列有序的数按照一定规律排列而成。在数学中，我们经常需要研究数列的性质，尤其是数列的极限。数列的极限是指当数列中的数值逐渐接近一个固定的值时，这个固定值就是数列的极限。本文将介绍几种常见的方法来求解数列的极限。 二、数列极限的定义 数列的极限是指当数列的项无限接近某个固定的值时，这个固定的值就是数列的极限。数列的极限可以是有限的实数，也可以是无穷大或无穷小。 三、数列极限的求解方法 1. 递推法 递推法是求解数列极限的一种常用方法。当数列的每一项都可以通过前一项来递推得到时，我们可以通过递推关系式来求解数列的极限。例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，我们可以通过递推关系式an = an-1 + d来求解数列的极限。 2. 收敛法 收敛法是求解数列极限的另一种常用方法。当数列的每一项都是有界的，并且数列的差值趋近于0时，我们可以通过数列的收敛性来
求解数列的极限。例如，对于数列an = 1/n，我们可以通过证明数列的收敛性来求解数列的极限。 3. 夹逼法 夹逼法是求解数列极限的一种重要方法。当数列的每一项都被夹在两个已知的数列之间，并且这两个数列的极限相等时，我们可以通过夹逼法来求解数列的极限。例如，对于数列an = sqrt(n)/n，我们可以通过夹逼法来求解数列的极限。 4. 递归法 递归法是求解数列极限的一种常见方法。当数列的每一项都可以通过前几项来递归得到时，我们可以通过递归关系式来求解数列的极限。例如，对于斐波那契数列an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1，我们可以通过递归关系式来求解数列的极限。 四、案例分析 现在，我们通过几个具体的数列来演示上述方法的应用。 1. 求解等差数列的极限 考虑数列an = 2n + 3，首先我们可以使用递推法来求解数列的极限。由递推关系式an = an-1 + 2，我们可以得到a2 = a1 + 2，a3 = a2 + 2，以此类推。因此，数列的极限为正无穷大。 2. 求解等比数列的极限 考虑数列an = 2^n，我们可以使用收敛法来求解数列的极限。显然，
求数列极限方法总结归纳
求数列极限方法总结归纳 极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。 极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，
则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。 与极限计算相关知识点包括： 连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限； 可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在； 渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)； 多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。 求数列极限可以归纳为以下三种形式。 1.抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除。此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。 2.求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： 利用单调有界必收敛准则求数列极限。首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性；其次,通过递推关系中取极限，解方程,从而得到数列的极限值。 利用函数极限求数列极限。如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解。
数列求极限的方法总结
数列求极限的方法总结 数列求极限的方法有那些？极限的保号性很重要,就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。极限分为一般极限,还有个数列极限,下面是为大家总结的数列求极限的方法总结。 数列求极限的方法总结 1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。 2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是
写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。 3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母！！！看上去复杂,处理很简单！ 5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！ 6、夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7、等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）。 8、各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数。 9、求左右极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。 10、两个重要极限的应用。这两个很重要！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都
求数列极限的几种典型方法
求数列极限的几种典型方法 首先我们要知道数列极限的概念:设{}a n 为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正 整数N ，使得当nN 时有ε<-a a n ，则称数列 {}a n 收敛于，定数则称为数列{}a n 的极限， 并记作 a a a a n n n →=∞ →或lim （∞→n ） 。 若数列没有极限，则称 {}a n 不收敛，或称{}a n 为发散数列。 下面我们来研究求数列极限的几种方法： 方法一：应用数列极限的定义 例一：证明 01 lim =∞ →n n α ，这里为正数。 证明：由于 n n α α 1 01 = - 故对任给的0>ε，只要取11 1+???? ??????=εαN ，则当N n >时就有 εα α << N n 1 1 这就证明了 01 lim =∞ →n n α 。 用定义求数列极限有几种模式： （1）0>?ε，作差a a n -，解方程ε<-a a n ，解出()εf n >，则取() εf N =或() ,1+=εf N （2）将 a a n -适当放大，解出()εf n >； （3）作适当变形，找出所需N 的要求。 方法二：（迫敛性）设收敛数列{}{}b a n n ,都以为极限，数列{}c n 满足：存在正整数N , 当N n 0 > 时有： b c a n n n ≤≤ 则数列 {}c n 收敛，且a c n n =∞ →lim 。
例二：求数列{}n n 的极限。 解：记h a n n n n +==1，这里0>h n （)1>n ，则有 h h n n n n n n 2 2 )1() 1(-?> = + 由上式的12 0-< < n h n )1(>n ,从而有 1 2 111-+ ≤+=≤ n h a n n 数列???? ??-+121n 是收敛于1的， 因为任给的0>ε，取ε 22 1+=N ，则当N n >时有ε<--+ 112 1n ，于是上述不等式两边的极限全为1，故由迫敛性证得1lim =∞ →n n n 。 方法三：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。 例三：设 ,2,1,1 1 1 13 2=+ ++ + =n n a n α α α 其中实数2≥α，证明数列{}a n 收敛。 证明：显然数列 {}a n 是递增的，下证有上界，事实上， n a n 2 2 2 1 1 1 13 2++++ ≤ 2 1 2) 1 11()3121()211(1)1(1 3212111<-=--++-+-+=?-++?+?+ ≤n n n n n 于是由单调有界定理知 {}a n 收敛。 方法四：对于待定型 1 ∞ 利用 =+∞ →) 11(lim n n n e
数列极限的三种求法
数列极限的三种求法 摘要本文介绍三种求数列极限的方法，主要有施笃兹法、比值法、级数求和法，同时，通过适当的例子讨论了这些方法的特点、适用范围、要注意的问题等等。对同学求数列极限有非常好的指导、借鉴作用。 关键词数列极限；施笃兹法；级数求和 一、引言 极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。公元前5世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形（正方形、正六边形）出发，把每边所对的圆弧二等分，联结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤足够多次时，所得圆内接正多边形面积与圆面积之差将小于任何给定的限度。在我国古代，朴素的、直观的极限思想也有记载。例如，中国古代的《墨经》中载有“穷，或有前，不容尺也”，《庄子·天下》中载有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，公元3世纪我国数学家刘徽创立的割圆术，其中都包含了深刻的极限思想。极限是现代数学分析奠基的基本概念，函数的连续性、导数、积分以及无穷级数的和等都是用极限来定义的。可见，研究数列极限是十分有意义的。在数学分析中介绍了很多求数列极限的方法，常见的有：定义法、数列求和法、定积分定义法、单调有界原理、同限夹挤定理等。上述方法在求常见的数列极限时比较有效，但遇到一些特殊的数列就很难求出、甚至无从下手。为此我们介绍三种特殊的求极限的方法主要有施笃兹法、比值法、级数求和法。这些方法对于求一些特殊的数列极限有很重要的作用。 二、数列极限的三种求法 1.施笃兹法 施笃兹法被称为求数列极限的洛必达法则，对一些不能用上述洛必达法则方法求的数列极限如■■，有时可用下面施笃兹法。 命题1（施笃兹法）给定数列Tn可以写成Tn=■且■yn=∞，y■>y■，若■■存在，则■=■■。 例1 求■■ 解令y■=1■+3■+……+（2n-1）■，z■=2■+4■+……+（2n）■ 显然z■→∞，z■>z■满足施笃兹定理，从而有 ■■=■■=1
数列极限的三种求法
数列极限的三种求法 在数学学科中，数列是一种有规律的数字序列，其中每个数字都按照特定的规则来排列。而数列极限则是数列中无限靠近某一特定值的最终数字，也就是说，数列极限可以确定一个数列的整体趋势。 在实际应用中，数列的极限在物理、计算机科学、经济学等领域发挥着重要的作用。因此，学会如何求解数列的极限非常重要。 接下来就介绍三种常见的数列极限求解方法： 一、代数法 第一种方法是代数法，这种方法比较直接，只需要代入n趋向无穷大的值即可。例如，对于数列{1/n}（n=1, 2, 3, ……），我们可以使用代数法求它的极限。 当n趋向无穷大时，1/n的值越来越小，而我们可以看到1/n的值最小为无限接近于0。因此，根据代数法，当n趋向无穷大时，1/n的极限为0。 二、夹逼法 第二种方法是夹逼法，这种方法需要利用已知的数列加上一个比较紧密的数列来夹逼住待求解的数列，从而推导出它的极限。当然，夹逼法对所要求解的数列和两个比较紧密的数列有一定的要求。
例如，对于数列（-1）的n次方/n，我们可以使用夹逼法求它的极限。当n为奇数时，数列（-1）的n次方/n小于等于0，而数列（-1）的n+1次方/n大于等于0。因此，当n趋向无穷大时，夹在它们之间的数列（-1）的n次方/n的极限为0。 三、通项法 第三种方法是通项法，也就是通过特定的公式推导出数列的通项公式，然后求出它的极限。通项法对于有规律的数列比较有效，但是如果无规律，通项公式就很难求出。 例如，对于数列{sin(n*π/4)}（n=1, 2, 3, ……），我们可以使用通项法求它的极限。由于规律是sin(n*π/4)，而当n趋向无穷大时，sin(n*π/4)在8个值中循环。因此，当n趋向无穷大时，数列{sin(n*π/4)}的极限等于该循环的最大值和最小值之间的所有值的平均值，即（1+√2）/2和（1-√2）/2的平均值，即0。 这三种方法，代数法相对简单直接，夹逼法应用范围比较广泛，而通项法对于有规律的数列比较有效。当然，这三种方法也并非适用于所有数列的极限求解，因此，掌握这些方法需要有足够的练习和深度的理解，才能够应用自如、有效解决实际问题。
求极限的13种方法
求极限的13种方法（简叙） 龘龖龍 极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。 一、利用恒等变形求极限 利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限 )1...()1)(1(22 lim n a a a n +++∞ → ，其中1 例2、求极限1 1lim 1 --→n m x x x ，其中m,n 为正整数。 分析 这是含根式的（0 0）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。 解 令11,1 →→=t x x t mn 时，则当 原式=m n t t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限 利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1( 例3、求极限o x →lim x x 2csc ) (cos 解 原式=o x →lim 2 1sin sin 21 lim csc )1(cos 2202 - --==→e e e x x x x x 四、利用夹逼准则求极限 利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。 例4、求极限∞ →n lim n n n ! 分析 当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使用夹逼准则。 解 因为n n n n n n n n n o n 1121!≤⋅-⋅⋅=≤ ， 且不等式两端当趋于无穷时都以0为极限，所以∞ →n lim n n n ! =0 五、利用单调有界准则求极限 利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式 数列求极限的方法总结 1. 数列的收敛性 在数学中，我们经常需要研究数列的极限。首先，我们需要确定数列是否收敛。 一个数列收敛是指当n趋近于无穷大时，数列的值逐渐趋近于一个常数。数列 不收敛，则意味着数列的值在无穷大的范围内没有趋近于一个特定的值。 常用的方法来判断数列的收敛性有： •利用定义：若存在一个常数L，使得对于任意给定的$\\epsilon>0$，存在自然数N>0，使得当n>N时，$|a_n-L|<\\epsilon$，则数列a n收敛于L。 •利用数列的增减性：若数列a n单调递增且有上界，则数列a n收敛。 •利用数列的单调性：若数列a n单调递增或单调递减，则数列a n收敛。 2. 常用的数列极限求解方法 对于已经确定收敛的数列a n，我们可以使用以下方法求解它的极限。 2.1 代入法 对于一些简单的数列，可以直接通过代入法求得它的极限。代入法是将数列的 项逐一代入到极限定义中进行计算。 例如，考虑数列$a_n = \\frac{1}{n}$，我们可以代入$n=1,2,3,\\ldots$，计算出相应的数值： $a_1 = \\frac{1}{1} = 1$ $a_2 = \\frac{1}{2} = 0.5$ $a_3 = \\frac{1}{3} \\approx 0.33$ … 可以观察到数列a n随着n的增大逐渐趋近于0。因此，我们可以推断出数列a n 的极限为0。 2.2 常用的极限计算公式 有一些常用的数列极限计算公式，可以帮助我们快速求解一些特定数列的极限。 2.2.1 基本公式 •当k为常数时，$\\lim\\limits_{n\\to\\infty}k = k$ •$\\lim\\limits_{n\\to\\infty} \\frac{1}{n} = 0$ 求数列极限方法总结 极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。 极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的.分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。 与极限计算相关知识点包括： 连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限； 可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在； 渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)； 求极限的方法总结 极限是数学中的一个重要概念，它可以描述函数或数列在某一点 或某个无穷远的情况下的趋势或结果。在求解极限时，有许多不同的 方法可以使用，下面我将简要总结一下常见的求极限的方法。 一、替换法 替换法是求函数极限的常用方法之一。当我们在计算某一点的函数极 限时，可以尝试将该点的数值代入函数中，然后计算函数的值。如果 当点趋近于某个有限值时函数的极限存在，那么我们可以得出该极限 的值。 二、分子分母因式分解法 当我们计算一个分式的极限时，可以尝试对分子和分母进行因式分解。通过因式分解，我们可以减少计算的复杂性，进而更容易求得极限的 结果。 三、洛必达法则 洛必达法则是求解函数极限的重要工具。这个法则的基本思想是将一 个函数的极限转化为同一点处的两个函数的极限之比。如果这两个函 数的极限都存在并且是有限的，那么我们可以得出原函数极限的结果。 四、夹逼定理 夹逼定理是求解数列极限的常用方法之一。这个定理的主要思想是通 过两个逼近数列来逼近待求数列，进而确定数列的极限值。夹逼定理 在实际计算中可以大大简化问题的求解。 五、泰勒展开式 泰勒展开式是一种将函数展开为无穷项级数的方法。通过将函数展开 为级数，我们可以更加准确地计算函数的极限值。泰勒展开式有时候 可以帮助我们求解一些复杂的函数极限，特别是在计算高阶导数时。 六、变量代换法 变量代换法是一种将复杂极限转化为简单极限的方法。通过对函数中 的自变量进行适当的替代，我们可以将复杂的极限转化为简单的极限。 这种方法可以大大减少计算的难度，提高求解极限问题的效率。 七、松弛变量法 松弛变量法是一种求解含有未知数的极限问题的方法。通过引入一个 松弛变量，我们可以使得原来的极限问题变得简单，从而更容易求解。这种方法在求解一些复杂的函数极限时特别有用。 总结： 求解极限的方法有替换法、分子分母因式分解法、洛必达法则、夹逼 定理、泰勒展开式、变量代换法和松弛变量法等。每种方法都有其适 用的范围和特点，我们可以根据具体问题的不同选择合适的方法。在 实际计算中，我们可以根据问题的特点和我们的目的选择合适的方法，以求得更精确和有效的极限结果。通过熟练掌握这些方法，并结合具 体问题的特点灵活运用，我们可以更好地理解和应用极限概念，为数 学问题的解决提供有力的工具和方法。 数列极限的几种求法 摘要本文通过实例，归纳总结了数列极限的若干种求法．学习并掌握这些方法，对于学好数学分析颇有益处． 关键词数列极限；级数；定积分；重要极限；单调有界数列 中图分类号Ｏ171 Several Methods of Sequence limit Abstract：Through examples，summarized several series method for finding the limit．Learn and master these methods，mathematical analysis is quite good for studying． Keywords：Sequence limit；Series；Definite integral；Important limit；Monotone bounded sequence １引言 极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态． 极限的概念，可追溯到古希腊时代，德谟克里特（Democritus）是古希腊的哲学家，他博学多才，著作多到五六十种，涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面．年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历，获得了大量的科学知识．马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”．谟克里特以探求真理为最大快乐，他有句名言：“宁可找到一个因果的解释，不愿获得一个波斯王位．”在他的著作中有一种原子法，把物体看作是由大量微小部分叠和而成，利用这一理论，求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一，这是极限思想的萌芽．公元前五世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形出发，把每边所对的圆弧二等分，连结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤多次时，所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度．实际上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合．稍后，另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤．这种以直线形逼近曲边形的过程表明，当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想．公元前４世纪，欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法，称为穷竭法，并发展为较为严格的理论，提出现在分析中通称的“阿基米德公理”．穷竭法成功地运用于面积的计算．这些都可以看作是近代极限理论的雏形． 朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载．如，中国古代的《墨 高数之数列极限的方法总结 高数之数列极限的方法总结 极限是考研数学每年必考的内容，在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由 于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的` 比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌 握求解极限的方法是得高分的关键。 极限无外乎出这三个题型： 求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键，极限的运算法则必须遵从，两个极限 都存在才可以进行极限的运算，如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。 极限的计算常用方法： 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入 强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶 段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛 必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往 可以达到事半功倍之效;夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某 些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1， 则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极 限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定 理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。 与极限计算相关知识点包括： 1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是 求函数在间断点处的左右极限； 2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通 过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在； 3、渐近线，（垂直、水平或斜渐近线）； 4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证 明极限不存在。 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。 重要题型及点拨 1、求数列极限 求数列极限可以归纳为以下三种形式。 ★抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现，因此可以通过举反例来排除。此外，也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。 ★求具体数列的极限，可以参考以下几种方法： a、利用单调有界必收敛准则求数列极限。 首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，进而确定极限存在性；其次，通过递推关系中取极限，解方程，从而得到数列的极限值。 b、利用函数极限求数列极限 如果数列极限能看成某函数极限的特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。 ★求n项和或n项积数列的极限，主要有以下几种方法： a、利用特殊级数求和法 数列极限的解法(15种) 1.定义法 N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a .记作：lim n n a a →∞ =.否则称{} n a 为发散数列. 例1.求证1 lim 1,n n a →∞ =其中0a >. 证：当1a =时，结论显然成立. 当1a >时，记1 1n a α=-，则0α>，由()1111(1)n n a n n ααα=+≥+=+- 得11 1n a a n --≤，任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有1 1n a ε-<，即11n a ε-<即1lim 1,n n a →∞ = 当 11 1 1 101,1,lim 1,lim 1 lim n n n n n n a b b b a a b →∞→∞→∞ <<=>=∴= =时，令则由上易知 综上，1lim 1,n n a →∞ =0a > 例2.求7lim ! n n n →∞ 解：77777777777771 !1278917!6!n n n n n n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤=- 77777171771 00,,0!6!6!!6!n n N n N n n n n εε⎡⎤∴-≤∴∀>∃=>-≤⎢⎥⎣⎦ 则当时，有<ε 7lim 0! n n n →∞∴= 2.利用柯西收敛准则 柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0,ε∀>∃正整数N ，使得当,n m N >时，有n m a a ε-<. 例3.证明：数列1sin (1,2,3,)2 n n k k k x n ===⋅⋅⋅∑ 为收敛数列. 数列极限的几种求法 一、定义法: 数列极限的定义如下:设{n a }是一个数列,若存在确定的数a,对ε∀>0 ∃N>0使当n>N 时,都有 a a n -<ε则称数列{n a }收敛于a ，记为n n a ∞ →lim =a ，否则称数列{n a }不收敛（或称数列{n a }发散）。故可从最原始的定义出发计算数列极限。 例1、 用ε-N 方法求 n n n 1lim +∞→ 解：令 n n 1+=t+1 则 t>0 ∴ n+1=n t )1(+2)1(2)1(12 2t n n t n n nt -≥+-++≥ΛΛ ∴ 1 2)1(4)1()1(211-≤-≤-+≤=-+n n n n n n n t n n ∴ε∀>0 取 ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+=142εN 则当N n >时，有 ε<-≤-+12 11n n n ∴ n n n 1lim +∞→=1 二、单调有界法： 首先我们介绍单调有界定理，其内容如下： 在实数系中，有界的单调数列必有极限。 证明：不妨设{n a }为有上界的递增数列。由确界原理，数列{n a }有上界，记为sup =a {n a }。以下证明a 就是{n a }的极限。事实上，ε∀>0，按上确界的定义，存在数列{n a }中某一项N a ，使得N a a <-ε 又由{n a }的递增性，当N n ≥时有 εε+<<-a a a n ， 这就证得 a a n n =∞ →lim 。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。 例2、证明数列 ΛΛΛ ,222,22,2+++ 收敛，并求其极限。 证：222Λ++= n a ，易见数列{n a }是递增的。现用数学归纳法来证明{n a }有上界。 显然 221<=a 。假设2 数列与级数的极限求解方法 关于数列与级数的极限求解方法，我们需要逐一讲解，以便了 解每种方法的适用场合和求解技巧。 一、单调有界原理 在讨论数列极限时，我们常常会用到单调有界原理，即一个单 调递增的数列如果有上界，则必定有极限。同样地，一个单调递 减的数列如果有下界，则必定有极限。 根据这个原理，我们可以轻易地判断数列的极限是否存在。如 果存在，我们还可以通过求得这个数列的上界（或下界）来确定 它的极限。 例如，对于数列an = 1/n，我们可以证明它是单调递减的，并 且显然有下界0。因此，根据单调有界原理，这个数列必定有极限。我们可以用数学证明来求得这个极限，但也可以通过观察其前若 干项来猜测其极限为0。 二、夹逼定理 夹逼定理是极限求解中常用的定理之一，其表述为：如果数列an ≤ bn ≤ cn，且an和cn的极限都为L，则bn的极限也为L。 这个定理的意义在于，当我们想要求得一个数列的极限时，我们可以找到两个极限已知的数列，将其“夹逼”住待求数列，通过求解夹逼住它的两个数列的极限来推断待求数列的极限。 例如，对于数列an = (n² + 1)/(2n² - 1)，我们想要求其极限。显然，当n很大时，n²远远大于1，因此我们可以将它的分子和分母都除以n²，得到an = (1 + 1/n²)/(2 - 1/n²)。当n趋向无穷时，1/n²的值趋近于0，因此我们可以把它的极限看作(1 + 0)/(2 - 0) = 1/2。 但是，这个做法并不十分严谨，因为当n = 1时，原数列的分母为1，不再满足除数不为0的条件，因此我们需要更加严谨的方法来求其极限。这时，我们可以使用夹逼定理。我们可以发现，对于任意的n，都有1 ≤ (n² +1)/n² ≤ 2，因此我们可以设bn = 1，cn = 2，然后利用夹逼定理求得an的极限为1/2。 三、洛必达法则 求极限的13种方法 求极限的13种方法（简 叙） 龘龖龍 极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。 一、利用恒等变形求极限 利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限 )1...()1)(1(22lim n a a a n +++∞→ ，其中1 四、利用等价无穷小求极限 利用等价无穷小求极限是求极限极为重要的一种方法，也是最为简便、快捷的方法。学习时不仅要熟记常用的等价无穷小，还应学会灵活应用。同时应注意：只有在无穷小作为因式时，才能用其等价无穷小替换。 例6、求极限x x x ln )1sin(sin lim 1-→ 分析 此题中sin(x-1),sinsin(x-1),lnx 均为无穷小，而均作为因式，故可以利用等价无穷小快速求出极限。 解 当1→x 时， 1~)11ln(ln ,1~)1sin(~)1sin(sin ,01--+=---→-x x x x x x x 则 故原式=11 1lim 1=--→x x x 五、利用导数定义求极限 利用导数定义求极限适用于b a b x f a x f b a -+-+→-)()(lim 000 )(型极限，并且需要满足)('0x f 存在。 例7、求n n a n a ]sin )1sin([lim +∞→，其中10<数列求极限的方法总结
求数列极限方法总结
求极限的方法总结
数列极限的几种求法
高数之数列极限的方法总结
数列极限的解法(15种)
数列极限的几种求法
数列与级数的极限求解方法
求极限的13种方法