数列极限的三种求法
数列极限的求解及其意义
数列极限的求解及其意义作者：胡丁群来源：《科技风》2017年第02期摘要：数列的极限问题是我们高中学习的一个重要部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。
数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要意义。
本文通过高中数学所涉及的数列极限问题的求解与探讨，展现了数列极限的几种解题方法，为微积分的学习与理解打下良好的基础。
关键词：数列；数列极限；求解数列作为高中数学中一个重要的部分，是中学数学中一个必不可少的环节。
同时极限的思想对于分析解决一些我们中学会遇到的函数、级数、初等的微积分等都有着重要的帮助。
可以说，熟练掌握数列极限的求解与思路，对于我们数学的学习，以及今后对于微积分的理解都有着重要的意义。
我通过对高中知识的总结，初步讨论了数列极限的集中常用求解方法。
一、数列的极限一般，我们设{xn}为一个实数数列，a 为定数。
若对任意的正数ε，总能够存在正整数N，使得当 n>N 时有|xn-a|二、数列极限的求解（一）初等变形法初等变形是数列求极限最为基础的方法，通过数学运算，将原本较为繁复的计算式进行一定程度的化简，转化成为一个较简单的数列，进而对之求极限。
例1.求+ +…+ 。
解：由数列Sn=12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6所以上述例题分子12+32+…+（2n-1）2可变形为：（二）变量替换法通过适当的加入新的变量，替换式中原有的变量，从而达到简化计算过程的目的。
灵活运用变量替换，可以很大程度上完成数列极限求解过程中的计算过程。
例2.已知-1解：通过分析原式的已知条件，可以令a0=cos？坠，？坠∈（0，？仔），则有：a1= = =cos以此类推可知an=cos ，（n=1，2，…）所以原题的计算可变为：（三）夹逼定理法这个方法应用于数列本身的极限不易直接求出的情况下，这时将所求的数列进行一定的变形，使其适当的放大和缩小，通过求解变形之后的数列。
数列极限的几种求解方法
数列极限的几种求解方法张宇（渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国）摘要在髙等数学中极限是一个重要的基本概念。
高等数学中其他的一些重要概念，如微分、积分、级数等都是用极限来定义的。
本文主要研究了求极限问题的若干种方法。
在纷繁众多的求极限方法中，同学们往往在求解极限时不知如何下手。
文章内容包括对求解简单极限问题的各种常用方法的总结：利用迫敛性：利用单调有界定理；利用柯西准则证明数列极限：这些方法对解决一般数列极限问题都很适用。
还包括在此基础上探索出来的解决各种复杂极限问题的特姝方法，例如：利用数列的构造和性质求数列的极限：利用定积分定义求数列极限以及利用压缩映射原理等特殊方法求数列极限，这些特殊方法对解决复杂极限有很重要的意义，而且还比较方便。
在实际求解过程中，要灵活运用以上各种方法。
关键词：数列，极限，槪念，泄理。
Solution of the limitAbstract : In the higher mathematics limit is an important basic concepts・ In the higher mathematics, some important concepts of other, such as the differential and integration. series are used to define the limit. This paper mainly studies the problem of several limit .In the numerous and numerous limit method. students often in solving limit doesn't know how to start. Tlie contents include the limit for solving all kinds of simple method using the summary: popularizes forced convergence property. Monotone have defined Daniel, Using the proof of cauchy criterion sequence limit. These methods of solving problems are generally sequence limit. Also included on the basis of exploring the problem solving complex limit methods, such as special stnictures and properties of invariable; the sequence limit, Using the integral definition for sequence limit and use the banach cotraction principle as a special method. these special method sequence limit to solve complex limit is important, but also more convenient. In the actual solving process, using various above methods・Key words: Series, limit, the concept, the theorem.引言极限的概念与运算贯穿了高等数学的始终。
数列极限的方法总结
数学科学学院数学与应用数学级电子张玉龙陈进进指导教师鲁大勇摘要数列极限地求法一直是数列中一个比较重要地问题，本文通过归纳和总结，从不同地方面罗列了它地几种求法. 个人收集整理勿做商业用途关键词数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量极限一直是数学分析中地一个重点内容，而对数列极限地求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用地求法.求数列极限地最基本地方法还是利用数列极限地定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求地数列，也可以利用数列极限地四则运算法则计算.夹逼性定理和单调有界原理是很重要地定理，在求地时候要重点注意运用. 泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊地数列而言地. 还有一些比较常用地方法，在本文中都一一列举了个人收集整理勿做商业用途.定义法利用数列极限地定义求出数列地极限.设｛｝是一个数列是实数,如果对任意给定地ε 〉,总存在一个正整数，当〉时,都有? < ε ,我们就称是数列{}地极限.记为. →∞ 例: 按定义证明. → ∞ ! 解()()…≤ 令< ε ,则让> 即可, ε 存在[ 立, ε ],当> 时,不等式()()…≤< ε 成. → ∞ !个人收集整理勿做商业用途利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式地函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 例: 求,其中< , < . →∞ 解: 分子分母均为无穷多项地和,应分别求和,再用四则运算法则求极限? ? , ? ? ? ? →∞ ? ? 原式, ? ? →∞ ? ? 所以个人收集整理勿做商业用途利用夹逼性定理求极限若存在正整数, 当> 时, 有≤ ≤ , 且, 则有→∞ →∞ . →∞ 例:求{ 解: }地极限. 对任意正整数,显然有< ≤ , 而→ , → ,由夹逼性定理得. →∞ 个人收集整理勿做商业用途．换元法通过换元将复杂地极限化为简单. 例.求极限，此时→∞ 有，令解：若.单调有界原理个人收集整理勿做商业用途例.证明数列证：令我们用归纳法证明若≤２则则有极限，并求其极限. ，易知｛｝递增，且≤. 显然 . . 中两故由单调有界原理｛｝收敛，设→ ，则在边取极限得即解之得２或１明显不合要求，舍去，从而个人收集整理勿做商业用途.先用数学归纳法,再求极限. ? ? ? ? ( ? ) 例:求极限→∞ ? ? ? ? ? 解: < ? ? ? ? < ? ? ? ? ? 设* ? ? 则有< * *<* * 再由夹逼性定理,得→∞ ? ? ? ? ( ? ) →∞ ? ? ? ? 个人收集整理勿做商业用途.利用两个重要极限, ( ) . → → ∞ 例:求( ) → ∞ 解: 原式( ) ? ( ) ? → ∞ 个人收集整理勿做商业用途.利用等价无穷小来求极限将数列化成自己熟悉地等价无穷小地形式然后求极限. , 例:求→ 而< < ? 解:当→ 地时候, → , ? 而此时, ? ,所以原式→ ∞个人收集整理勿做商业用途.用洛必达法则求极限.适用于和型∞ ? 例:求→ 解: 是待定型. ? → → 个人收集整理勿做商业用途.积分地定义及性质例:求( > ) → ∞ 解: ( > ) ∑ ( ) → ∞ → ∞ 设( ) ,则( ) 在[]内连续, , 取ξ ∈[ , ] 所以, (ξ ) ( ) 所以原式∫ 个人收集整理勿做商业用途.级数收敛地必要条件. . 设∑ 等于所求极限地表达式, 再证∑ 是收敛地, 据必要条件知所求表达式地∞ ∞ 极限为. 例:求→ ∞ ! ∞ ! < ,则→ ∞ → ∞ ( ) ! 所以该级数收敛,所以→ ∞ 个人收集整理勿做商业用途.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数地恒等变形. ? 例. 求→ 解：? ? 法一：原式? ? ? ? ? ? ? → ? ? ? ? 法二：原式→ → → 个人收集整理勿做商业用途.奇数列和偶数列地极限相同，则数列地极限就是这个极限. () 例：求地值→∞ 解：奇数列为→∞ 偶数列为→∞ () 所以→∞ 个人收集整理勿做商业用途．利于泰勒展开式求极限. 解:设∑ 例.求( ? ? ) ? ? 解：原式?( ) ? ( ? ) ? (令) → ∞ ? ? ? ? ( ) ? ? ( )? ? ? ? ?( ) ? ( ? ) ? → ? ? 个人收集整理勿做商业用途.利于无穷小量地性质和无穷小量和无穷大量之间地关系求极限. 利用无穷小量与有界变量地乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数地关系，以及有限个无穷小地和仍是无穷小等等. 例：求地值→∞ 是无穷小量，而是有界变量，所以→∞ →∞ 还是无穷小量，即→∞ →∞ 个人收集整理勿做商业用途。
高数求极限的10个方法
详解高数求极限的方法极限主要包括数列极限和函数极限，两者的求法大同小异，如果分开讨论，比较麻烦，其实数列也可以看作是以正整数n为自变量的函数，所以它们也是可以综合起来的。
接下来介绍求极限的常用方法：一、求极限最常用到的方法，还是利用极限的四则运算法则。
它是基于一些常见的极限，再根据下面的法则求极限，包括：１、相反的收敛数列极限相反；２、互为倒数的收敛数列极限也互为倒数，其中除数不为零；３、和差积商的极限等于极限的和差积商，前提是这些数列的极限都存在，且作为除数的数列及极限非0；４、收敛的正项数列的幂的极限等于极限的幂，不论是乘方还是开方；５、以及收敛数列的绝对值收敛于极限的绝对值等。
二、利用极限的单调有界定理。
其中有界性是数列收敛的必要条件，如果数列无界，就一定发散，但有界数列却不一定收敛。
三、利用两个常见的极限求极限，就是当x趋于0时，sinx/x 的极限和1的无穷次方类型的极限。
四、等价无穷小替换，要熟记常见的等价无穷小的类型。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了!五、用洛必达法则，针对０/0型或无穷/无穷型，对分子分母同时求导后求极限的方法。
主要分三种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方：对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，ln(x)两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln(x)趋近于0)六、利用泰勒公式求极限的方法。
(含有e^x的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!)e^x展开,sinx展开,cos展开,ln(1+x)展开对题目简化有很好帮助。
数列极限定积分求法
数列极限定积分求法
（原创实用版）
目录
1.数列极限定积分的概念
2.数列极限定积分的求法
3.数列极限定积分的实际应用
正文
1.数列极限定积分的概念
数列极限定积分是指在一定条件下，数列的极限与定积分之间的关系。
设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上有界，即存在 M 使得|f(x)|<=M，对于
任意给定的正数ε，总存在正数δ，当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε，则称 f(x) 在区间 [a, b] 上黎曼可积，记作 f(x) 在 [a, b] 上
黎曼可积，其极限值为 S，即 S=lim(n→∞) ∫[a, b]f(x)dx。
2.数列极限定积分的求法
求解数列极限定积分的方法有多种，常见的方法有：
（1）直接积分法：适用于一些简单的函数，可以直接求出定积分的值。
（2）分部积分法：适用于一些复杂的函数，可以将函数分解为简单
的部分，然后分别求积分再相加。
（3）变量代换法：适用于一些含有复合函数的积分，可以通过变量
代换将复合函数转化为简单函数，再求积分。
（4）无穷小代换法：适用于一些无穷小量级的函数，可以将无穷小
量级的函数替换为无穷小量，再求积分。
3.数列极限定积分的实际应用
数列极限定积分在实际问题中有广泛的应用，例如求解物体的质心、转动惯量、平均值等。
通过求解数列极限定积分，可以得到一系列与实际问题相关的数值结果，为实际问题的解决提供理论依据。
求极限lim的常用公式
求极限lim的常用公式1、lim（f（x）+g（x））=limf（x）+limg（x）；2、lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）；3、lim（f（x）×g（x））=limf（x）×limg（x）；4、lim（f（x）/g（x））=limf（x）/limg（x）limg（x）不等于0；5、lim（f（x））^n=（limf（x））^n。
注意：limf（x）limg（x）都存在时才成立。
lim是极限，是微积分中的基础概念，指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。
极限可分为数列极限和函数极限。
lim的基本计算公式：话务量公式为:a=c x t.a是话务量,单位为erl(爱尔兰),c是呼叫次数,单位是个,t是每次呼叫平均占用时长,单位是小时.一般话务量又称小时呼,统计的时间范围是1个小时.求极限的常见公式； (x^3+3x^2)^(1\3)-(x^4-2x^3)^(1\4)=x[(1+3\x)^(1\3)-(1-2\x)^(1\4)] 1\x→0 在0处泰勒公式有(1+x)^(1\m)=1+x\m+o(x) ∴原式为x[(1+3\3x+o(1\x))-(1-2\4x+o(1\x))]=3\2+xo(1\x) ∴极限为3\2求极限的4个重要公式；这个应该不难吧.是不是这个.lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x) lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x) lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x) lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n极限有哪些运算公式；lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x) lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) limg(x)不等于0lim(f(x))^n=(limf(x))^n 注意条件:以上limf(x) limg(x)都存在时才成立高等数学极限的几个重要公式；两个重要极限:来设{xn}为一源个无穷实数数列2113的集合.如果存在5261实数a,对于任意正4102数ε (不论其多1653么小),都N>0,使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立,那么就称常数a是数列{xn} 的极限,或称数列{xn} 收敛于a.如...“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
数列极限求法综述
教育信息化数码世界 P.154数列极限求法综述熊青雪月 侯国亮* 王君婷 刘韦婷 长春师范大学数学学院摘要：数列极限是理解极限思想的根本，又是学习函数极限的基础，还是常考题型之一. 本文在深入研究数列极限的基础之上，给出了三类数列极限的求法.关键词：数列极限 函数极限 夹挤准则 定积分定义 单调有界原理1 问题背景众所周知，极限思想是在寻找某些实际问题的精确解答的过程中产生的。
比如，我国古代数学家刘徽借助圆内接正多边形来推算圆面积的方法，就是对极限思想的一次完美诠释。
设有一圆，首先作它的一个内接正六边形，记面积为S1；然后在此正六边形的基础上作其内接正十二边形，面积记为S2；接着再作该圆的内接正二十四边形，记面积为S3；照此循环做下去，每作一次正多边形的边数就增加一倍，记内接正6×2n-1边形的面积为Sn（）。
这样，就得到一系列内接正多边形的面积：，它们构成无穷数列。
显然，因为随着的增大，也即正多边形的边数增多，这就使得对应的内接正多边形与圆的差别就越小，进而使得Sn越接近圆面积的精确值。
但是无论n取得如何大，只要n固定下来，Sn终究还只是一多边形的面积，而不是该多边形外接圆的面积。
不过，由上述过程可以获知，随着n的无限增大，即内接正多边形的边数无限增加，就可使得内接正多边形无限接近于圆，同时无穷数列的通项 也就无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值（即是数列当n趋于无穷大时的极限）就能理解为圆的面积。
在这个问题中我们一方面看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积；另一方面还看到，数列极限能够形象直观地阐释极限思想的本质，这有助于人类深刻理解极限思想并灵活运用其解决实际问题。
另外，数列极限还是学习函数极限的基础，而有关数列极限的数学题还是高考、考研等人生最重要的考试的常考题型之一。
因此整理总结数理极限的求法意义重大。
因为数列通常是用通项公式或递推公式表示的，所以下面就从这个角度分别给出数列极限的各种求法。
微积分中求数列极限的几种方法
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２０数学学习与研究㊀２０２１ ３０微积分中求数列极限的几种方法微积分中求数列极限的几种方法Һ卢㊀兰㊀（长春光华学院基础教研部，吉林㊀长春㊀１３００１７）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文主要针对求解数列极限的具体实例，对各类求解数列极限的方法进行归纳和总结，掌握了这些求数列极限的解题方法和技巧，能够大大提高解题能力和解题效率．ʌ关键词ɔ数列极限；解题方法数列极限问题是高等数学中极限问题的重要组成部分，如何求数列的极限教材一般介绍得比较简单㊁分散．本文将根据具体的数列求极限问题探讨其解题方法．一㊁先求出ｎ项和的表达式再求极限这种方法通常适用于求数列通项为ｎ项和的极限问题．求ｎ项和的表达常常需要高中阶段求数列前ｎ项和的方法，高中问题这里不再详述．例１㊀求ｌｉｍｎңɕ１＋３２＋５２２＋７２３＋ ＋２ｎ－１２ｎ－１æèçöø÷．由于ｃｎ＝２ｎ－１２ｎ－１＝ａｎｂｎ，其中ａｎ＝２ｎ－１是等差数列，ｂｎ＝１２ｎ－１是等比数列．求这样的数列｛ａｎｂｎ｝的前ｎ项和，常用 乘公比，错位减 的方法．故设Ｓｎ＝１＋３２＋５２２＋７２３＋ ＋２ｎ－１２ｎ－１，则１２Ｓｎ＝１２＋３２２＋５２３＋７２４＋ ＋２ｎ－１２ｎ，将两式相减，可得１２Ｓｎ＝２＋１２＋１２２＋１２３＋ ＋１２ｎ－２－２ｎ－１２ｎ＝３－２ｎ＋３２ｎ，故Ｓｎ＝６－４ｎ＋６２ｎ．因为ｌｉｍｘңɕ４ｘ＋６２ｘ＝ｌｉｍｘңɕ４２ｘｌｎ２＝０，故ｌｉｍｎңɕ４ｎ＋６２ｎ＝ｌｉｍｘңɕ４ｘ＋６２ｘ＝０．所以ｌｉｍｎңɕ１＋３２＋５２２＋７２３＋ ＋２ｎ－１２ｎ－１æèçöø÷＝６－０＝６．二㊁利用两边夹准则求数列极限有时求数列通项为ｎ项和的极限问题先求ｎ项和的表达式是很难做到的，这时需要尝试其他的方法，两边夹准则就是常考虑的方法．利用两边夹准则求极限时一般需要放缩ｎ项和，常用的放缩技巧如下：（１）几个正数乘积中，略去大于１的因子就缩小，略去小于１的因子就放大；（２）分子㊁分母都是正数，分母缩小（放大），则分数放大（缩小），分子缩小（放大），则分数缩小（放大）；（３）ｎ个正数之和可缩小为ｎ个最小数之和（或缩小为最大数），也可放大为ｎ个最大数之和．例２㊀求ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋ｎ＋１＋２ｎ２＋ｎ＋２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ＋ｎæèçöø÷．由于和式中各项的分子㊁分母都是正数，故可用放缩技巧（２），即ｉｎ２＋ｎ＋ｎɤｉｎ２＋ｎ＋ｉɤｉｎ２＋ｎ＋１（ｉ＝１，２， ，ｎ），于是，有ｎ（ｎ＋１）２ｎ２＋ｎ＋ｎɤðｎｉ＝１ｉｎ２＋ｎ＋ｉɤｎ（ｎ＋１）２ｎ２＋ｎ＋１，又ｌｉｍｎңɕｎ（ｎ＋１）２ｎ２＋ｎ＋ｎ＝１２，ｌｉｍｎңɕｎ（ｎ＋１）２ｎ２＋ｎ＋１＝１２，则ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋ｎ＋１＋２ｎ２＋ｎ＋２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ＋ｎæèçöø÷＝１２．例３㊀求ｌｉｍｎңɕ１＋２ｎ＋３ｎ＋４ｎ()１ｎ．由于表达式的底数部分是几个正数之和，可用放缩技巧（３），即４＝（４ｎ）１ｎɤ（１＋２ｎ＋３ｎ＋４ｎ）１ｎɤ４１ｎ㊃４，ｌｉｍｎңɕ４㊃４１ｎ＝４，所以ｌｉｍｎңɕ（１＋２ｎ＋３ｎ＋４ｎ）１ｎ＝４．三㊁利用定积分定义求数列极限一般求每项为无穷小的无限项的和式极限时通常要考虑利用定积分定义求极限．例４㊀求ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ２æèçöø÷．将这个和式化为某个函数在某个区间上的积分和，从而可利用定积分求和式极限．先将和式改写，㊀ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ２＝１ｎ１１＋１ｎ()２＋１１＋２ｎ()２＋ ＋１１＋ｎｎ()２éëêêêùûúúú．考虑用［０，１］区间上的函数ｆ（ｘ）＝１１＋ｘ２将［０，１］区间ｎ等分，取每个小区间的右端点ξｉ，故. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１２１㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３０ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ２＝ðｎｉ＝１１１＋ξ２ｉΔｘｉ＝ðｎｉ＝１１１＋ｉｎ()２㊃１ｎ，所以ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ２æèçöø÷＝ʏ１０１１＋ｘ２ｄｘ＝π４．有的求数列极限问题表面上看不能利用定积分的定义来求，但经过适当的变形之后是可以用的，如例５．例５㊀求ｌｉｍｎңɕｎｎ！ｎ．求解过程如下：ｌｉｍｎңɕｎｎ！ｎ＝ｅｌｉｍｌｎｎ！ｎ＝ｅｌｉｍ㊀１ｎ［ｌｎ（ｎ！）－ｎｌｎｎ］＝ｅｌｉｍ㊀１ｎðｎｉ＝１ｌｎｉｎ＝ｅʏ１０ｌｎｘｄｘ＝１ｅ．注意，这里的ʏ１０ｌｎｘｄｘ是瑕积分，具体求瑕积分的过程此处省略了．四㊁由单调有界原理及其递推公式求数列的极限用这种方法求极限的一般步骤如下：（１）由已知条件确定数列｛ｘｎ｝的递推公式ｘｎ＋１＝ｆ（ｘｎ）；（２）利用递推公式证明此数列是单调有界数列；（３）对递推公式两边取极限得到关于此数列极限的方程，解方程得到数列极限．例６㊀设ｘ１＝２，ｘｎ＋１＝１２ｘｎ＋２ｘｎ()，ｎ＝１，２，３， ，证明：数列｛ｘｎ｝收敛，并求此极限ｌｉｍｎңɕｘｎ．由已知，显然有ｘｎ＞０ｎ＝１，２，３， ()，ｘｎ＋１＝１２ｘｎ＋２ｘｎ()ȡｘｎ㊃２ｘｎ＝２，ｎ＝１，２，３， ，即数列ｘｎ{}有下界，由此可知，ｘｎ＋１－ｘｎ＝１２２ｘｎ－ｘｎ()＝２－ｘ２ｎ２ｘｎɤ０．因此，数列ｘｎ{}单调递减且收敛，故ｌｉｍｎңɕｘｎ的极限存在．设ｌｉｍｎңɕｘｎ＝Ａ，对所给递推公式两边取极限，可得Ａ＝１２Ａ＋２Ａ()，解得Ａ＝２，注意Ａ＞０．五㊁利用级数收敛的必然条件求数列极限级数收敛的必要条件：若级数ðɕｎ＝１ｕｎ收敛，则ｌｉｍｎңɕｕｎ＝０．例７㊀求ｌｉｍｎңɕｎ！ｎｎ．考虑正项级数ðɕｎ＝１ｎ！ｎｎ．由于ｌｉｍｎңɕ（ｎ＋１）！（ｎ＋１）（ｎ＋１）ｎ！ｎｎ＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ()ｎ＝１ｅ＜１．所以正项级数ðɕｎ＝１ｎ！ｎｎ收敛．由级数收敛的必要条件，得ｌｉｍｎңɕｎ！ｎｎ＝０．六㊁利用施笃兹定理（Ｓｔｏｌｚ）求数列极限施笃兹定理一般教材都没有介绍，它可以用来计算某些难度较大的数列极限ｌｉｍｎңɕｘｎｙｎ（无穷比无穷型）．施笃兹定理被称为数列极限的洛必达法则，其定理内容如下：设数列ｙｎ{}严格增大，且无界，若ｌｉｍｎңɕｘｎ－ｘｎ－１ｙｎ－ｙｎ－１存在或为ɕ，则ｌｉｍｎңɕｘｎｙｎ＝ｌｉｍｎңɕｘｎ－ｘｎ－１ｙｎ－ｙｎ－１．下面利用施笃兹定理再求解一遍例５．ｌｉｍｎңɕｎｎ！ｎ＝ｌｉｍｎңɕｎｎ！ｎｎ＝ｅｌｉｍ１ｎｌｎｎ！ｎｎ＝ｅｌｉｍｌｎ（ｎ！）－ｎｌｎｎｎ＝ｅｌｉｍｌｎ（ｎ！）－ｎｌｎｎ－ｌｎ（（ｎ－１）！）＋（ｎ－１）ｌｎ（ｎ－１）ｎ－（ｎ－１）＝ｅｌｉｍｌｎ（ｎ（ｎ－１）！）－ｎｌｎｎ－ｌｎ（（ｎ－１）！）＋（ｎ－１）ｌｎ（ｎ－１）ｎ－（ｎ－１）＝ｅｌｉｍ（ｎ－１）（ｌｎ（ｎ－１）－ｌｎｎ）＝ｅｌｉｍｌｎｎ－１ｎ()＝ｌｉｍｎңɕｎ－１ｎ()ｎ－１＝ｌｉｍｎңɕ１－１ｎ()－ｎ[]ｎ－１－ｎ＝１ｅ．七㊁利用中值定理求数列极限例８㊀求ｌｉｍｎңɕｎ２ａｒｃｔａｎａｎ－ａｒｃｔａｎａｎ＋１()（ａʂ０）．由极限表达式的形式考虑用拉格朗日中值定理求解，设ｆ（ｘ）＝ａｒｃｔａｎｘ，在ａｎ与ａｎ＋１构成的区间上对ｆ（ｘ）使用拉格朗日中值定理，即存在介于ａｎ与ａｎ＋１的ξ，使得ｆａｎ()－ｆａｎ＋１()＝ｆᶄ（ξ）ａｎ－ａｎ＋１()＝１ｎ（ｎ＋１）㊃ａξ２＋１＝ａｒｃｔａｎａｎ－ａｒｃｔａｎａｎ＋１，所以ｌｉｍｎңɕｎ２ａｒｃｔａｎａｎ－ａｒｃｔａｎａｎ＋１()＝ｌｉｍｎңɕｎ２ｎ（ｎ＋１）㊃ａ１＋ξ２＝ａ．ʌ参考文献ɔ［１］刘玉莲，杨奎元．数学分析讲义学习辅导书［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．［２］同济大学数学教研室．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．. All Rights Reserved.。
数列极限的方法总结
求数列极限数学科学学院数学与应用数学11级电子张玉龙陈进进指导教师鲁大勇摘要数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。
关键词数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。
求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。
夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。
泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。
还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设｛Xn｝是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N，当n〉N 时,都有Xn ? a < ε ,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为lim Xn = a . n→∞例1: 按定义证明lim 1 = 0. n →∞n! 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 1 令1/n< ε ,则让n> 即可, ε存在N=[ 立, 1 ε ],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n< ε成1 = 0. n →∞ n!2.利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 1+ a + a2 + L+ an 例2: 求lim ,其中a < 1, b < 1 . n →∞ 1 + b + b 2 + L + b n 解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限1 ? a n +1 1 ? b n +1 1+ a + a2 +L + an = ,1 + b + b 2 + L + b n = , 1? a 1? b 1 ? a n+1 1 lim 1? b n →∞ 1 ? a 1? a 原式= = , n +1 = 1 1? b 1? a lim n →∞ 1 ? b 1? b 所以lim3. 利用夹逼性定理求极限若存在正整数N, 当n>N 时, 有Xn ≤Yn ≤Zn, 且lim Xn = lim Zn = a , 则有n →∞ n →∞ lim Yn = a . n →∞例3:求{ 解: 1+ n }的极限. n2 对任意正整数n,显然有1 1 + n 2n 2 < 2 ≤ 2 = , n n n n 1 2 而→ 0 , → 0 ,由夹逼性定理得n n 1+ n lim 2 = 0 . n →∞ n4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单. an ?1 例4.求极限lim n ，此时n →∞ a + 2 有，令解：若5.单调有界原理4. 例5.证明数列证：令我们用归纳法证明若≤２则则有极限，并求其极限。
第十三章 第二节 数列的极限(理)
2．若 ． A．|a|＜ ． ＜ C．a＞ ． ＞ 解析： 解析： 答案： 答案： C
＝ 0，则a的取值范围是 ( ， 的取值范围是 B．a＜1 ． ＜ D．a＝1 ． ＝ ＜1，解得 ＞ ，解得a＞
)
3. A. B.
＝ C．1 ． D．2 ．
(
)
解析：解析：原式＝ 解析：解析：原式＝ 答案： 答案： B
三、常用的几个极限 1．若C为常数，则 ． 为常数， 为常数 2． C为常数 2．若C为常数，则 为常数， 3．若|a|＜1，则 ． ＜ ， C＝ C ； ＝ ＝0； an＝ 0 ；
4．如果等比数列{an}的首项为 1，公比满足 ＜1且q≠0， ．如果等比数列 的首项为a 公比满足|q|＜ 且 的首项为 ， Sn为其前n项和，则 项和， 为其前 项和 Sn＝
求下列极限： 求下列极限： (1) (2) (3)
(4)
【解】 (1)
(2)
(3)
(4)
1．计算下列极限： ．计算下列极限：
原式＝ 解：(1)原式＝ 原式
(2)原式＝ 原式＝ 原式
(3)原式＝ 原式＝ 原式
＝
(1－0)＝ － ＝
高考对数列极限考查的落脚点是求数列的极限． 高考对数列极限考查的落脚点是求数列的极限．求数列的
2．(1)若 ． 若 (2)
的值； ＝0，求a和b的值； ， 和 的值 的取值范围． 求a的取值范围． 的取值范围
解：(1)∵ ∵
－an－b －
＝
＝ ( －an－b)＝0， － ＝ ， ＝－1. 即a＝1，b＝－ ＝ ， ＝－
由已知
得
(2)∵ ∵
∴
＝0， ，
∴
＜1，∴－4＜a＜2. ， ＜ ＜
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列极限的三种求法
在数学学科中，数列是一种有规律的数字序列，其中每个数字都按照特定的规则来排列。
而数列极限则是数列中无限靠近某一特定值的最终数字，也就是说，数列极限可以确定一个数列的整体趋势。
在实际应用中，数列的极限在物理、计算机科学、经济学等领域发挥着重要的作用。
因此，学会如何求解数列的极限非常重要。
接下来就介绍三种常见的数列极限求解方法：
一、代数法
第一种方法是代数法，这种方法比较直接，只需要代入n趋向无穷大的值即可。
例如，对于数列{1/n}（n=1, 2, 3, ……），我们可以使用代数法求它的极限。
当n趋向无穷大时，1/n的值越来越小，而我们可以看到1/n的值最小为无限接近于0。
因此，根据代数法，当n趋向无穷大时，1/n的极限为0。
二、夹逼法
第二种方法是夹逼法，这种方法需要利用已知的数列加上一个比较紧密的数列来夹逼住待求解的数列，从而推导出它的极限。
当然，夹逼法对所要求解的数列和两个比较紧密的数列有一定的要求。
例如，对于数列（-1）的n次方/n，我们可以使用夹逼法求它的极限。
当n为奇数时，数列（-1）的n次方/n小于等于0，而数列（-1）的n+1次方/n大于等于0。
因此，当n趋向无穷大时，夹在它们之间的数列（-1）的n次方/n的极限为0。
三、通项法
第三种方法是通项法，也就是通过特定的公式推导出数列的通项公式，然后求出它的极限。
通项法对于有规律的数列比较有效，但是如果无规律，通项公式就很难求出。
例如，对于数列{sin(n*π/4)}（n=1, 2, 3, ……），我们可以使用通项法求它的极限。
由于规律是sin(n*π/4)，而当n趋向无穷大时，sin(n*π/4)在8个值中循环。
因此，当n趋向无穷大时，数列{sin(n*π/4)}的极限等于该循环的最大值和最小值之间的所有值的平均值，即（1+√2）/2和（1-√2）/2的平均值，即0。
这三种方法，代数法相对简单直接，夹逼法应用范围比较广泛，而通项法对于有规律的数列比较有效。
当然，这三种方法也并非适用于所有数列的极限求解，因此，掌握这些方法需要有足够的练习和深度的理解，才能够应用自如、有效解决实际问题。