误差理论线性参数的最小二乘法处理实验报告

二、线性参数的最小二乘法处理

一、实验目的

最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法。利用最小二乘法可以解决参数的最可信赖值估计、组合测量的数据处理、用实验方法来拟定经验公式以及回归分析等一系列数据处理问题。通过本次实验要求掌握等精度测量线性参数最小二乘法的处理，并能根据等精度线性参数理解不等精度线性参数及非线性参数情况下的最小二乘法处理。

二、实验原理

1.最小二乘法原理指出，最可信赖值应在是残差误差平方和的条件下求得。

2.最小二乘法可以将误差方程转化为有确定解的代数方程组（其方程组的数目正好等于未知数的个数），从而可求解出这些未知参数。这个有确定解的代数方程组称为最小二乘法的正规方程。

3.线性参数的最小二乘法处理程序为：首先根据具体问题列出误差方程式；再按最小二乘原理，利用求极值的方法将误差方程转化为正规方程；然后求解正规方程，得到代求的估计量；最后给出精度估计。

4.正规方程又转化为残差方程，残差方程可用矩阵方法求出方程的解。因此可用Matlab 求解最小二乘法参数。

5.求出最小二乘法的参数后，还要对参数进行精度估计。 相应的标准差为⎪⎪⎪⎭⎪⎪

⎪⎬⎫===tt xt x x d d d σσσσσσ::222111，其中tt d d d ..2211

称为不定乘数。

三、实验内容

采用最小二乘算法用matlab 编程实现下列题目的要求。

1）做散点图2）求铜棒电阻和温度的关系的回归方程b t a R +=*并作图。3）最

小二乘估计量的精度估计。

A 源程序代码

四、实验结果（包括原程序和运行的截图）

1），2）散点图及拟合直线方程

函数方程为：76.70*29.0+=t R 。

3）最小二乘估计量的精度估计。

由于⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-0.00140.048-0.048-1.8251C ，从而有11d =1.825，22d =0.0014， 又t n v n i i

-=∑=12

σ=3.73*710-；

因此参数a 的标准差为11d a σσ==5.04*710-；

参数b 的标准差为22d b σσ==1.26*810-。

4）源程序如下：

A=[1,19.1;1,25.0;1,30.1;1,36.0;1,40.0;1,45.1;1,50.0];

t=[19.1,25.0,30.1,36.0,40.0,45.1,50.0];

B=A'*A;

C=inv(B);

L=[76.30,77.80,79.75,80.80,82.35,83.90,85.10];

X=C*A'*L';

x=18:0.5:50;

y=X(1)+X(2)*x;

figure;

plot(x,y,'r');

hold on ;

plot(t,L,'.');

Y=X(1)+X(2)*t;

e=sqrt(sum(L-Y)/5);

五、实验心得

通过本次实验，我掌握等精度测量线性参数最小二乘法的处理，并能够应用Matlab用矩阵的方法求出拟合方程的参数，及能够对各个参数进行精度估计。同时能根据等精度线性参数理解不等精度线性参数及非线性参数情况下的最小二乘法处理。对以后的学习有了很大的帮助