经典几何中线段和差最值(含答案)-(2)

经典几何中线段和差最值(含答案)-(2)

几何中线段和，差最值问题

一、解决几何最值问题的通常思路

两点之间线段最短；

直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；

三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）

是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．

轴对称最值图形

l

P

B

A

N

M l

B

A

A

P

B

l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系

特征

A，B为定点，l为定

直线，P为直线l上

的一个动点，求

AP+BP的最小值

A，B为定点，l为定直

线，MN为直线l上的

一条动线段，求

AM+BN的最小值

A，B为定点，l为定

直线，P为直线l上的

一个动点，求|AP-BP|

的最大值

转化

作其中一个定点关

于定直线l的对称点

先平移AM或BN使

M，N重合，然后作其

中一个定点关于定直

线l的对称点

作其中一个定点关于

定直线l的对称点

折叠最值图形

B'

N

M

C

A

B

原理两点之间线段最短

特征

在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．

转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值

3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|PA ﹣PB |

的最大值为 5

．

D P

B′N B

M

A

4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 2 ．

5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 8-54 ．

6．如图，∠MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为 12 ．

7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB 的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE

长的最小值是

2 ．

8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为3．

9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是≤

2BB′+CC′+DD′2

≤．

10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 3 ．11．点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得PA PB

-的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP OQ

⋅＝3．

第11题图第12题图

12.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为__2.4_______．

13.如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是_1

3+_______.若将△ABP中边PA的长度改为2

2，另两边长x

O

A

B

y

A

B C

E

F

M

度不变，则点P 到原点的最大距离变为___15+______．

14.动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3,AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 2 ．

解答题：

1. 如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在

线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ． （1）当P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围为 ≤34-8PD 4≤ ； （2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于多少？ 8-54

2. 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不

含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM .

A

B C D P F

E D C

B

A A B

C

D E

F

P A B

O P

x

y A

D

C

B

P

Q A'