初三锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习(精选)

三角函数专项复习

锐角三角函数知识点总结

1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角,则∠Ａ的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B):

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

４、0°、３0°、45°、6０°、90°特殊角的三角函数值(重要) 当０°≤α≤９0°时，s ｉn α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。６、正切的增减性:

当0°<α<90°时，t ａn α随α的增大而增大,

7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据:①边的关系:222c b a =+；②角的关系:A+B ＝９0°；③边角关系:三角函数的定义。（注意:尽量避免使用中间数据和除法)

90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A

对

边

８、应用举例:

(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。

仰角

铅垂线

水平线

视线

俯角

(2）坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即

=。坡度一般写成1:m的形式，如1:5

i=等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan

==。

３、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3,ＯＡ、OB、ＯＣ、OＤ的方向角分别是：4５°、１35°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于９0°的水平角,叫做方向角。如图４，OA、ＯB、OC、ＯD的方向角分别是:北偏东4５°(东北方向), 南偏东45°(东南方向), 南偏西4５°（西南方向），北偏西４5°（西北方向)。

类型一:直角三角形求值

例1．已知Rｔ△ABC中，,

tan

90=

∠BC

C求AC、AＢ和cｏs B.

例2.已知:如图，⊙Ｏ的半径OＡ=16cm，OＣ⊥ＡB于C点，?

∠

sin AOC

求:AB及OC的长.

i h l

例3.已知A

∠是锐角,

sin=

A，求A

cos，A

tan的值

对应训练：

1.在Ｒt△ABＣ中,∠C=90°,若BC＝１,AB=5,则tａｎA的值为

A．

Ｂ．

C．

D．2

2．在△AＢC中,∠Ｃ=90°,sｉn A＝

,那么taｎA的值等于(）.

Ａ．

B．

Ｃ．

类型二.利用角度转化求值:

例1．已知：如图，Ｒｔ△ABC中，∠C=９0°．D是ＡC边上一点，DE⊥AB于E点.

DE∶AE=1∶2．

求:sin B、cosＢ、tan B.

例2. 如图,直径为1０的⊙A经过点(05)

C，和点(00)

O，，与x轴的正半轴交于点D，B是ｙ轴右侧圆弧上一点，则cos∠OＢC的值为( ）

Ａ.

对应训练:

3.如图，O

⊙是ABC

△的外接圆，AD是O

⊙的直径，若O

⊙的半径为

，2

AC=，则

sin B的值是( ）

第8题图

．

B．

Ｄ．

4. 如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD,使点D落在BC边的点F处.已知

AB=,10

BC=,ＡB=8,则tan EFC

∠的值为 ( )

Ａ．

?C.

?D.

A D

类型三. 化斜三角形为直角三角形

例1 如图，在△ＡBＣ中,∠A=30°，∠B=45°，AC=23,求AB的长．

例2.已知:如图，在△AＢC中,∠BAC=12０°，AB＝10，ＡＣ＝5.

求：sｉn∠AＢC的值.

对应训练

1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=９0°,点D在BＣ边上，且△ABD是等边三角形．若ＡB=2，求△ABＣ的周长．（结果保留根号）

２．已知：如图，△ABC中，ＡB＝9,BC＝6,△AＢC的面积等于9,求siｎＢ.

3. △ABＣ中，∠A=60°,AB=6ｃm,ＡC=4 cm,则△ABC的面积是

A．23ｃｍ2??B．43ｃm２

Ｃ.６3cm2????? D.12cm2

类型四：利用网格构造直角三角形

例1 如图所示，△ABＣ的顶点是正方形网格的格点，则ｓinA的值为（)

B．

Ｃ.

D．

对应训练:

１.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sｉn A =_＿__＿__.

2.正方形网格中,AOB

∠如图放置，则taｎAOB

∠的值是（）

Ａ.错误!? B. 错误! C.错误! D. 2

类型五:取特殊角三角函数的值

1).计算：?

?60

tan

sin

cos

２)计算：?

?30

cos

sin

tan2.

3）计算:3－1+（2π-1)０－

tan３０°－tan45°

4）.计算:

tan

sin

cos

+．

5)．计算：

tan45sin30

1cos60

?+?

;

类型六：解直角三角形的实际应用

例1.如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是3０°、45°,如果此时热气球C 处的高度CD 为1０0米，点A 、D 、Ｂ在同一直线上,则A Ｂ两点的距离是(

)

A ．２０0米 B. 200米 C ． 220米 D. 100（)米

例2.已知:如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D 点．已知∠B ＡＣ＝6０°，∠DAE =45°.点D 到地面的垂直距离

23=DE ，求点Ｂ到地面的垂直距离B Ｃ．

例３如图，一风力发电装置竖立在小山顶上,小山的高ＢD =３0m. 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA ＝60°, 测得山顶B 的仰角∠ＤCB =30°，求风力发电装置的高ＡB 的长.

对应训练:

1．.如图,小聪用一块有一个锐角为30?的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高ＡB 为１.7米,求这棵树的高度.

2．如图，为测量某物体AB 的高度，在Ｄ点测得A 点的仰角为3０°，朝物体AB 方向前进20米,到达点C,再次测得点A 的仰角为6０°,则物体AB 的高度为（）

A. 10

米

B ． 10米

C ． 20

米

D ．

米

A B

D E

类型七：三角函数与圆：

例1．如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点Ｄ，Ｂ

是y 轴右侧圆弧上一点,则cos ∠ＯBC 的值为（ )

Ａ.12 B

．2 C ．3

例2. 已知：在⊙Ｏ中,ＡＢ是直径，CB 是⊙Ｏ的切线

,连接AC 与⊙Ｏ交于点D,

(1) 求证:∠AOD=2∠C (2) 若AD=8,tanC=

，求⊙O 的半径。

对应训练：

1．如图，DE 是⊙Ｏ的直径，CE 与⊙O 相切，E 为切点.连接ＣD 交⊙O 于点B,在EC 上取一个点Ｆ,使EF=ＢF.

(1)求证：BF 是⊙O 的切线;

(２）若5

C cos , ＤＥ=9，求BF 的长.

作业:

第8题图

B A

1.已知2

sin =

A ,则锐角A 的度数是( ） A ．75?

B ．60??

C ．45? Ｄ．30? ２．在Rt △ABC 中,∠ C ＝90°，若ＢC =1,AB 则ｔa ｎA 的值为( )

C.12

D.２３.在△ABC 中,∠C =90°,sin Ａ=5

3，那么tan A 的值等于( ）.

Ａ.35

B ． 45

C ． 34

D . 43

4. 若sin α=3

,则锐角α= . ５．将∠α放置在正方形网格纸中,位置如图所示,则t ａn α的值是

A ．

21 B ．２

C ．25 Ｄ.5

52 6.如图，AB 为⊙Ｏ的弦，半径

OC ⊥AB 于点Ｄ,若OB 长为10， 3

cos 5

BOD ∠=, 则A Ｂ的长是

A . ２0

B ． 16

C ．１２Ｄ． 8 ７.在Ｒｔ△ABC 中，∠Ｃ=90°,如果co ｓＡ=5

,那么ta ｎＡ的值是（ ) Ａ．

53 B ．35 C.43 D ．3

4 8．如图,在△AB Ｃ中，∠ACB =∠ADC ＝ 90°,若sin A =3

，则co ｓ∠BCD 的值为．

9.计算:?-?+?60tan 45sin 230cos 2

10.计算?+?-?-?45tan 30tan 345cos 260sin 2.

112

604cos 30+sin 45tan 60-?．

12．已知在Ｒt △ＡB Ｃ中，∠C=9０°，ａ＝64,b=212.解这个直角三角形

13. 已知：在⊙O 中，ＡB 是直径,CB 是⊙O 的切线，连接ＡC (3) 求证:∠A ＯＤ＝2∠Ｃ (4) 若AD=８,tanC ＝

,求⊙O 的半径。

14.如图,某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端

B 处的俯角为30?，荷塘另一端D 处

C 、B 在同一条直线上,已知32AC =米，16C

D =米，求荷塘宽BD 为多少米？（结果保留根号）

15．如图,一艘海轮位于灯塔P 的南偏东４5°方向，距离灯塔100海

里的Ａ处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处.

（１）Ｂ处距离灯塔P 有多远？

(2）圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上，距离灯塔２00海

里的Ｏ处.已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险，并说明理由．