公差分析中的统计公差方法综述

Revie w of Statistical Tolerancing Methods in Tolerance Analysis
Wang Ping Shen Xiaoyang
Abstract : T olerance analysis is an important problem in tolerance design. The methods of tolerance analysis can be divided into two kinds : worst case and statistical tolerancing , and most of the methods are statistical tolerancing methods which are based upon principles of probability and statistics. The paper introduce firstly tolerance analysis methods in common use , which include Worst Case , Root Sum Squared , Modified Root Sum Squared , Monte Carlo Simulation , Taguchi Test Method , Convolution Method and so on , then it carried on the analysis and comparison to these methods , and finally it expounds an applicability of each statisti2 cal tolerancing method. Keywords :tolerance analysis , Statistical T olerancing , Root Sum Squared , Modified Root Sum Squared , Monte Carlo Simulation , Taguchi Test Method , Convolution Method
ei )
(5)
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式中 ,Δ0 , Δ 为封闭环和第 i 个组成环的中间偏差 ; ei 为第 i 个组成环的相对不对称系数 。 对于正态分布 , K0 = 1 , ei = 0 ; 对于三角分布 , K0 = 1122 , ei = 0 ; 对 于 瑞 利 分 布 , K0 = 1144 , ei = 0128 ; 其它各种常见分布的相对分布系数 K0 和相对 不对称系数 ei 可查表得到 [1 ,2 ] 。 3. 2 修正的方和根法 修 正 方 和 根 法 ( MRSS , Modified Root Sum Squared) 的基本公式为 [3 ]
1 引言 公差设计问题可以分为两类 , 一类是公差分析 (T olerance Analysis , 又称正计算 ) , 即已知组成环的 尺寸和公差 ,确定装配后需要保证的封闭环公差 ; 另 一类是公差分配 ( Tolerance Allocation ,又称反计算 ) , 即已知装配尺寸和公差 , 求解组成环的经济合理公 差 。由于一般尺寸链由多个组成环组成 , 所以分配 方案是多种多样的 。 公差分析的方法有极值法和统计公差方法两 类 ,根据分布特性进行封闭环和组成环公差的分析 方法称为统计公差法 [5 ] 。 为了便于描述 , 先定义公差函数 。公差函数是 尺寸链中欲求解封闭环或组成环与已知组成环和封 闭环函数关系的表达式 ,设公差函数为 :
TOM = cf T01
公差分析 ,就是把求封闭环尺寸及其公差的问题 ,当 作求一个随机变量的统计问题来处理 。因此封闭环 尺寸及公差的确定 , 完全采用随机模拟和统计实验 的方法 ,在一定条件下 ,用这种方法得到的结果比较 符合实际情况 [3 ,4 ,14 ,22 ,23 ] 。 用 Monte Carlo 模拟法进行公差分析的具体步骤 : ①明确各组成环的分布规律 ; ②根据计算精度要求确定随机模拟次数 N ; ③根据各组成环尺寸的分布规律和分布范围 , 分别对其进行随机抽样 , 从而得到一组已知组成环 和封闭环尺寸的随机抽样 ( X1 , X2 , …, X n) ; ④将随机抽样 ( X1 , X2 , …, X n ) 代入公差函数 , 计算未知的封闭环或组成环尺寸 , 得到该尺寸的一 个子样 ; ⑤将步骤 ③、 ④ 重复 N 次 ,即可得到封闭环尺 寸的 N 个子样 ,构成一个样本 ; ⑥对求解的封闭环或组成环样本进行统计处 理 ,从而确定封闭环尺寸的平均值、 标准差和公差等。 Monte Carlo 模拟法的计算机流程框图如图 2 所 示。
3. 3 蒙特卡洛模拟法 用蒙特卡洛模拟法 (Monte Carlo Simulation) 进行
1
K0
i =1
2 2 2 ζ ∑ i Ki T i
n
(4)
式中 , K0 , Ki 为封闭环和第 i 个组成环的相对分布 系数 。 封闭环中间偏差
Δ0 = ∑ ζ i (Δ i +
i =1 n
Ti
2
Weibull
c b
田口试验法的精度只能达到 3 阶 。为了提高计 算精度 ,一些学者提出了改进的田口试验法[4 ] ,它是 一种乘积高斯积分方法 , 并要求各组成环设计变量 为正态分布 ,可用于高于 3 阶的公差分析中 。
3. 5 卷积法
概率密度函数 f ( x)
f ( x) =
随机抽样公式 ( R 为计 算机产生的随机数)
y = f ( x1 , x2 , …, x n )
[1～4 ]
公差函数是非线性函数 。 2 极值法 极值法 ( Worst Case ,WS) 的出发点是 : 当所有增 环均为最大极限尺寸 、 且所有减环均为最小极限尺 寸时 ,获得封闭环的最大极限尺寸 ; 当所有增环均为 极小极限尺寸 、 且所有减环均为最大极限尺寸时获 得封闭环的最小极限尺寸 。
(6)
式中 , TOM为修正的方和根法求出的正态分布的封 闭环公差值 ; cf 为修正系数 。根据 Greenwood 等人 1987 年的研究结果 , cf = 1. 4～1. 7 ; 修正的方和根法 预测值将落在极值法与方和根法预测值之间 ( 如图 1 所示) [2 ,3 ] 。
图 1 WC , RSS , MRSS 的比较
(1)
式中 , y 为欲求解的封闭环或组成环的尺寸及偏差 ; n 为已知组成环和封闭环的个数 ; x 1 , x2 , …, x n 为相 互独立的已知的组成环和封闭环的尺寸及偏差 。 对于线形尺寸链 , 可以从极值法的公式中推导 出公差函数 ; 对于非线性尺寸链 ,公差函数没有统一 的表达式 ,要根据尺寸链的几何关系确定 。显然 ,线 形尺寸链的公差函数是线性函数 , 非线性尺寸链的
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公差分析中的统计公差方法综述 3
王 平 沈晓阳
天津科技大学
摘 要 :公差分析是公差设计中的重要问题 ,公差分析方法分为极值法和统计公差方法两类 ,其中大多数方法 是以概率统计原理为基础的统计公差方法 。本文介绍了常用的公差分析方法 ,包括极值法 、 方和根法 、 修正的方和 根法 、 蒙特卡洛模拟法 、 田口试验法和卷积方法等 ,并对这些方法进行了比较 ,阐述了统计公差方法的适用性 。 关键词 : 公差分析 , 统计公差 , 方和根法 , 蒙特卡洛模拟法 , 田口试验法 , 卷积法
在一般情况下 , 根据修正公差在极值法与方和 根法模型计算值之间的比例保持不变的原则对修正 系数进行推导 ,可得下式
cf = 1 +
0. 5 ( TOL - TOS) ( n - 1) TOS
(7)
当组成环公差平均分配或各组成环的分布范围 相差不大时 , 修正系数为 1. 5 ; 研究表明 , 该值在生
Ty =
1 6
m2y
(13)
(8)
式中 ,σ 为标准差 ;λ 是与置信水平有关的参数 ( 如 当置信水平 1 - α = 99. 73 %时 ,λ = 3 ) 。根据式 ( 8 ) 可以确定抽样次数 N 。
表1 常用分布的随机抽样
常用 分布 均匀 分布 标准正 态分布 正态 分布 指数 分布 三角 分布
天津市应用基础重点基金资助项目 ( 项目编号 :06 YFJ Z JC00500) 收稿日期 :2008 年 3 月
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工具技术
的 ,所以本文把它们也划分为统计公差方法 。 3. 1 方和根法 ( 又称概率法 、 统计法) 方和根法 ( RSS , Root Sum Squared) 是以一定的 置信水平为依据 ( 通常假定封闭环趋近正态分布 ,取 置信水平 P = 99173 %) , 不要求 100 %互换 , 只要求 大数互换 [2 ] 。封闭环的统计公差 TOS为
TOS =
产实际中最为常见 。 然而 ,当尺寸链某一组成环为非正态分布 ,且公 差值又大大超过其他组成环 , 在整个尺寸链中处于 支配地位时 ,修正的统计模型的预测值将会由于偏 大而失败 ,除非在整个尺寸链有足够小公差的组成 环 ,恰好能抵消大公差组成环对整个尺寸链的控制 作用 。造成这种现象的原因是按经验选取的修正系 数与公差值之间没有一致的关系[2 ,3 ,21～23 ] 。
εΦ (λ σ )/
N
1
N
Yi
(9) (10) (11) (12)
m2y = ∑
i =1 N
N
1
N
( Yi - m1y) 2 ( Yi - m1y) 3 ( Yi - m1y) 4
m3y = ∑
i =1 N
1
N
m4y = ∑
i =1
1
N
求出各阶中心距之后 , 再根据封闭环尺寸的分 布 ,就可以算出相应的公差[4 ] 。如果封闭环尺寸分 布为正态分布 ,则公差为
X = ( b - a) R + a X0 =
1/ ( b - a) , a Φ x Φ b 0 , 其它 x2
若一个线性尺寸链由两个组成环构成 , 这两个 组成环分别用随机变量 x 和 y 来描述 。这两个相互 独立的随机变量 x 和 y 分别具有概率密度函数 f x ( x ) , x ∈[ a , b ] 和 f y ( y ) , y ∈[ c , d ] ; 其封闭环 z = g
ζ A0 = ∑ iA i
i =1 n
(2)
式中 , A 0 为封闭环基本尺寸 ; n 为组成环的个数 ; A i 为第 i 个组成环的基本尺寸 ;ζ i 为第 i 个组成环的 传递系数 ( 对于增环 ζ i = 1 ,对于减环 ζ i = - 1) 。
TOL = ∑Ti
i =1 n
(3)
式中 , TOL 为封闭环的公差 ; Ti 为组成环的公差 。 极值法是建立在零件 100 %互换基础上 , 是尺 寸链计算的一种最简单的方法 。但实际上尺寸链中 各组成环和封闭环的尺寸公差是随机变量 , 按极值 法计算的公差势必过于保守 ,使组成环公差减小 ,零 件加工精度要求提高 ,制造成本增加[2 ] 。 3 统计公差方法 统计公差方法主要是指方和根法与修正的方和 根法 [1～5 ] ,由于蒙特卡罗模拟法 、 田口试验法和卷积 法也是根据概率论与数理统计理论进行公差分析
图2 Monte Carlo 模拟法的计算机流程
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45 ( 10) 、 ( 11) 、 ( 12) : 中心距分别为式 ( 9) 、
m1y = ∑
i =1 N
根据随机模拟理论 , 在对各组成环尺寸进行随 机模拟时 ,可通过先产生在 ( 0 ,1) 上均匀分布的随机 数 ,然后再根据随机抽样公式 ,换算成其它分布规律 的随机抽样 。随机抽样公式是通过直接抽样 、 变换 抽样或舍选抽样等方法得到的 。机械加工误差常用 分布的随机抽样如表 1 所示 。 在 ( 0 ,1) 上均匀分布的随机数可以由高级程序 语言所提供的 Random ( ) 函数产生 ,在 C 语言是 rnd ( ) 函数 。 根据 Lindeberg2Levy 定理 ,无论组成环随机变量 的分布如何 ,它的若干个独立随机变量抽样值之和 总是近似服从正态分布 。经过分析 , 经过 N 次抽 样 ,蒙特卡洛模拟值与正态分布积分的误差 ε可按 下式进行估计 ,