线性代数 第四章 相似矩阵 习题
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第四章 相似矩阵
1．试用施密特法把下列向量组正交化：
(1) ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=931421111),,(321a a a ； (2) ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=011101110111
),,(321a a a 解 (1) 根据施密特正交化方法: 令⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==11111a b ，[][]⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-=101,,1112122b b b a b a b ，
[][][][]⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--=12131,,,,222321113133b b b a b b b b a b a b ，故得: ⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛
--=311132
013111),,(321b b b ．
2．下列矩阵是不是正交阵:
(1) ⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
---
12
13
12
1121312
11; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------
97949
4949198949891． 解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．
(2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．
3．设A 与B 都是n 阶正交阵，证明AB 也是正交阵． 证明 因为B A ,是n 阶正交阵，故A A T =-1，B B T =-1
E AB A B AB A B AB AB T T T
===--11)()(，故AB 也是正交阵．
4．求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4211; (2)⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛633312321; (3)())0(,121
21≠⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a a a n n .
并问它们的特征向量是否两两正交?
解 (1) ① )3)(2(421
1--=---=
-λλλ
λ
λE A 故A 的特征值为3,221==λλ． ② 当21=λ时,解方程0)2(=-x E A ,由
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00112211)2(~E A 得基础解系⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=111P 所以)0(111≠k P k 是对应于21=λ的全部特征值向量． 当32=λ时,解方程0)3(=-x E A ,由
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00121212)3(~E A 得基础解系⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1212P 所以)0(222≠k P k 是对应于33=λ的全部特征向量．
③ 023
121)1,1(],[2121≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==P P P P T 故21,P P 不正交．
(2) ① )9)(1(63
3
312321-+-=---=
-λλλλ
λλ
λE A
故A 的特征值为9,1,0321=-==λλλ． ② 当01=λ时，解方程0=Ax ，由
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110321633312321~A 得基础解系⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=1111P 故)0(111≠k P k 是对应于01=λ的全部特征值向量. 当12-=λ时,解方程0)(=+x E A ，由
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛=+000100322733322322~E A 得基础解系⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=0112P 故)0(222≠k P k 是对应于12-=λ的全部特征值向量； 当93=λ时，解方程0)9(=-x E A ，由
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---=-000211011133338232
89~E A 得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=121213P
故)0(333≠k P k 是对应于93=λ的全部特征值向量．
③ 0011)1,1,1(],[2121=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---==P P P P T
，012121)0,1,1(],[3232=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==P P P P T ，
012121)1,1,1(],[3131=⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--==P P P P T ，所以321,,P P P 两两正交．
(3) λ
λλλ---=
-2
21
2221
212121n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a E A
=)(2
22211n n n a a a +++-- λλ
[]
)(2
22211n n a a a +++-=- λλ
∑==+++=∴n
i i n
a a a a 1
2222
2
11 λ, 032====n λλλ
当∑==n
i i a 1
21λ时，()E A λ-
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝
⎛------------=-2122212
122
23211212
12
2322n n n n n
n
n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
初等行变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛----00
00000
00121
n n
n n
a a a a a a 取n x 为自由未知量，并令n n a x =，设112211,,--===n n a x a x a x .
故基础解系为⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=n a a a P 211
当032====n λλλ 时，
()⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛=⋅-22
1
222
1
212
1210n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a E A
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛000000
~21
n a a a 初等行变换 可得基础解系