3全国高考文科数学试题及答案全国卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则e

（A ）{}1,2（B ）{}3,4,5（C ）{}1,2,3,4,5（D ）?

2．已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13

a a ==则 （A ）1213-（B ）513-（C ）513（D ）1213

3．已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则

（A ）4-（B ）3-（C ）-2（D ）-1

4．不等式222x -<的解集是

（A ）()-1,1（B ）()-2,2（C ）()

()-1,00,1（D ）()()-2,00,2

5．()862x x +的展开式中的系数是 （A ）28（B ）56（C ）112（D ）224

6．函数()()()-121log 10=f x x f x x ?

?=+> ???

的反函数 （A ）()1021x x >-（B ）()1021

x x ≠-（C ）()21x x R -∈（D ）()210x x -> 7．已知数列{}n a 满足{}124

30,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于

（A ）()-10-61-3（B ）()-1011-39

（C ）()-1031-3（D ）()-1031+3 8．已知()()1221

,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，

则C 的方程为 （A ）2212x y +=（B ）22132x y +=（C ）22143x y +=（D ）22

154

x y += 9．若函数()()sin 0=y x ω?ωω=+>的部分图像如图，则

（A ）5（B ）4（C ）3（D ）2

10．已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，

（A ）9（B ）6（C ）-9（D ）-6

11．已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于

（A ）23（B

C

（D ）13

12．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若

0MA MB =，则k =

（A ）12

（B

）2（C

（D ）2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13．设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时，.

14．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种.（用数字作答）

15．若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥??+≥??+≤?

则z x y =-+的最小值为.

16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，

3602

OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分10分）

等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==

（I ）求{}n a 的通项公式；

（II ）设{}1,.n n n n

b b n S na =求数列的前项和 18．（本小题满分12分）设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b

c ，()()a b c a b c ac ++-+=。

（I ）求B

3 / 7

（II

）若sin sin A C =

，求C 。 19．（本小题满分12分） 如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==??中，，与都是边长为2

的等边三角形.

（I ）证明：;PB CD ⊥ （II ）求点.A PCD 到平面的距离

20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为

1,2

各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.

（I ）求第4局甲当裁判的概率；

（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.

21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++

（I

）求()f ;a x 的单调性；

（II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围

22．（本小题满分12分） 已知双曲线()22

1222:10,0x y C a b F F a b

-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，

直线2y C =与

（I ）求,;a b ；

（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：

22AF AB BF 、、成等比数列

参考答案

一、选择题

1．B 2.A 3. B4.D 5.C 6. A 7.C 8. C 9. B 10. D 11. A 12. D

13. -1 14.60 15. 0 16. 16π

17． （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-

因为719

942a a a =??=?，所以11164182(8)a d a d a d +=??+=+?. 解得，111,2

a d ==. 所以{}n a 的通项公式为12n n a +=

. （Ⅱ）1222(1)1

n n b na n n n n ===-++， 所以2

222222()()()122311

n n S n n n =-+-++-=++. 18.（Ⅰ）因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a c b ac +-=-.

由余弦定理得，2221cos 22

a c

b B a

c +-==-， 因此，0

120B =.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知060A C +=，所以 cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos

sin sin 2sin sin A C A C A C =-+ cos()

2sin sin A C A C =++122=

+= 故030A C -=或0

30A C -=-，

因此，015C =或0

45C =.

19. （Ⅰ）证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形.

过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O.

连结OA ，OB,OD,OE.

由PAB ?和PAD ?都是等边三角形知PA=PB=PD ，

所以OA=OB=OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，

故OE BD ⊥，从而PB OE ⊥.

因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，

5 / 7

所以OE//CD.因此，PB CD ⊥.

（Ⅱ）解：取PD 的中点F ，连结OF ，则OF//PB.

由（Ⅰ）知，PB CD ⊥，故OF CD ⊥.

又12

OD BD ==

OP == 故POD ?为等腰三角形，因此，OF PD ⊥.

又PD CD D =，所以OF ⊥平面PCD.

因为AE//CD ，CD ?平面PCD ，AE ?平面PCD ，所以AE//平面PCD. 因此，O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，而112

OF PB ==， 所以A 至平面PCD 的距离为1.

20. （Ⅰ）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，

A 表示事件“第4局甲当裁判”.

则12=A A A ?.

12121()=P()()()4

P A A A P A P A ?==. （Ⅱ）记1B 表示事件“第1局结果为乙胜”，

2B 表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，

3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，

B 表示事件“前4局中恰好当1次裁判”. 则1312312B B B B B B B B =?+??+?.

1312312()()P B P B B B B B B B =?+??+?

1312312()()()P B B P B B B P B B =?+??+?

1312312()()()()()()()P B P B P B P B P B P B P B =?+??+?

111484=++58

=. 21.

（Ⅰ）当a =时，(

)32=3 1.f x x x ++

'2()33f x x =-+.

令'

()0f x =，得，11x ，21x =.

当(1)x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 在(1)-∞是增函数；

当1)x ∈时，'()0f x <，()f x 在1)是减函数；

当1,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在1,)+∞是增函数； （Ⅱ）由(2)0f ≥得，54

a ≥-. 当54

a ≥-，(2,)x ∈+∞时， '2251()3(21)3(1)3()(2)022

f x x ax x x x x =++≥-+=-->， 所以()f x 在(2,)+∞是增函数，于是当[2,)x ∈+∞时，()(2)0f x f ≥≥. 综上，a 的取值范围是5

[,)4

-+∞. 22. （Ⅰ）由题设知3c a

=，即2229a b a +=，故228b a =. 所以C 的方程为22288x y a -=.

将y=2代入上式，求得，x =

由题设知，=21a =.

所以1,a b ==（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(3,0)F -，2(3,0)F ，C 的方程为2288x y -=. ①

由题意可设l 的方程为(3)y k x =-，||k <，代入①并化简得， 2222(8)6980k x k x k --++=.

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则

11x ≤-，21x ≥，212268k x x k +=-，2122988

k x x k +?=-. 于是

11||(31)AF x ===-+，

12||31BF x ===+

7 / 7 由11||||AF BF =得，12(31)31x x -+=+，即1223

x x +=-. 故226283k k =--，解得245k =，从而12199x x ?=-.

由于21||13AF x ===-，

22||31BF x ===-， 故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=， 221212||||3()9-116AF BF x x x x ?=+-=.

因而222|||||AB|AF BF ?=，所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.