初中角平分线知识点总结与巧用

角平分线知识点总结与巧用

一．定义、定理

1.角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条 射线叫做这个角的角平分线。

2..角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。

3.逆定理：在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

4.三角形内心：三角形的三个顶角的角平分线必相交于一点。 二．基本结论

1.三角形内（外）角平分线夹角结论

（1）如图①PB 、PC 分别平分∠ABC 和∠ACB ⇒∠P=90°+

2

1

∠A ， 且点P 在∠BAC 的角平分线上

（2）如图PB 、PC 分别平分∠ABC 和∠ACB 的外角⇒∠P=90°-2

1

∠A ，

且点P 在∠BAC 的角平分线上

（3）如图PB 平分∠ABC 、PC 平分∠ACB 的外角⇒∠P=2

1

∠A

且点P 在∠BAC 外角的角平分线上

2.三角形的三条角平分线交于一点（内心），这个点到三角形三边的距离相等。

3.三角形内（外）角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

（1）在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线⇒AB：AC=BD：DC

（2）AD是△ABC外角∠BAP的角平分线⇒AB：AC=BD：DC

三、关于角平分线常见的辅助线作法：

1.作双高，或多高

（1）构造全等

（2）对角互补形

四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线

，且∠3+∠4=180°⇔DA=DC

2.作平行线（1）平分平行⇒等腰

（2）构造A型、X型

3.截长补短构全等

4.平分线+高线,延长⇒等腰

四、典型例题灵活运用

1、如图在△ABC中，PB平分∠ABC，PC平分∠ACB的外角，连接AP，若∠BPC=40°，

则∠CAP= 50 °

2、已知：△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，过O的直线EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，若∠BOC=135°，EO：OF：OD=20:15:12，△ABC的面积为216，则OD=

3、在△ABC中，∠A=2∠B，AC=，BC=，D为射线BA上一点，D到直线AC，BC的距离相等，则AD= 。（两种情况）

4、在△ABC中，O是角平分线BE和CD的交点，∠A=60°，

求证：（1）求∠BOC的度数；（2）求证：OD=OE ；（3）求证：BC=BD+CE

5、矩形ABCD中，F为BC中点，∠1=∠2，求证：AE=AB+EC

6、在正方形ABCD中，∠1=∠2，求证：AE=BE+DF

10、在△ABC中，AD是中线，∠1=∠2，CE（答案：3）

D

E

O

B

A

2

1

C A D

B

B

11、如图，在等边△ABC 中,AB=8,D 为AB 中点,点E 在BC 上, 点F 在AC 上, 且AF=3CF, DE 平分∠BDF,则BE= （答案：27-2）

12、如图,已知菱形ABCD,点E 为AD 边上一点,连接CE,把△CDE 沿着CE 翻折,CD 的对应边所在直线交直线AB 于点F,若AF=2,AE=3,CF=4,则CD=_______________

B

答案：6

13. 如图，在等边△ABC 中, AB=4,AD ⊥BC 于点D ，点P 在AB 的延长线上，点Q 在AB 上，∠PDQ=60°，

QD延长线交AC延长线于点R（PB

（答案：

3

7

）

60°

Q

D

R

C

A

B

P

14、已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，∠EDC=45°.

(1)求证：∠AED+

2

1

∠ABC=90°

(2)过点E作DE的垂线，交DC于M，交BA延长线于N.若NE：MC=2：3，

探究BD与BC的数量关系.

15、已知; 在△ABC中，AD为BC边上的中线，点E为BC边上的一点BE=AC。

(1)求证：∠BEA+∠DAC=180°；

(2)过点C作CH⊥AB与点H，分别交BE、AD与点M、N，过点E作EF∥AC，交CH于点Q，若BE=EF+DF，BE:EF=3:2,

图1

图2

请你探究线段MH 与ME 之间的数量关系，并证明你的结论。