电磁场与电磁波 第3章 恒定电流的电场和磁场

即恒定电流场中的电位满足拉普拉斯方程。
恒定电流的电场
恒定电流场的边界条件
1. 边界条件的法向和切向表达式
电
类似于静电场的边界条件推导方法，将恒定电流场
磁 基本方程的积分形式(3-18)、(3-19)应用到不同导体的界
电
P U I E l I E l S J E V J
磁
当V→0时，取P/V的极限，就得出导体内任
场
一点的热功率密度为：
与
电 磁
或
plim PEJE2
V 0V
(3-15)
波
pJE
(3-16)
式(3-16)就是焦耳定律的微分形式。很显然，有：
恒定电流的电场
PVpdVVJEdV
(3-17)
磁
阵上的质子碰撞，把自身的能量传递给质子，使晶格点 阵的热运动加剧，导体温度上升，形成电流的热效应，
场 这种由电能转换来的热能就称为焦耳热。
与
2.焦耳定律
电 磁
当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单 位时间内电场力对电荷所作的功，即功率是：
波
PUI
(3-14)
恒定电流的电场
在导体中，沿电流线方向取一长度为l、截面为S 的体积元，根据式(3-14) ，该体积元内消耗的功率为：
磁
JlimI ndI n
(3-2)
场
S0S dS
与
电流密度是一个矢量，它的方向与导体中某点的正
电 磁 波
电荷运动方向相同，大小等于与正电荷运动方向相垂直 的单位面积上的电流强度，单位是安培/米2(A/m2)。
导体内每一点都有一个电流密度，因而构成一个矢
量场。我们称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫
形成，后者是指带电粒子在真空中或气体中运动时形成。
恒定电流的电场
当体密度为的带电粒子以速度 v 运动时，运流电
流密度为：
电
J v
(3-5)
磁
场Hale Waihona Puke Baidu
与
电
磁
波
图3-2 面电流密度
恒定电流的电场
电荷守恒定律
1. 电荷守恒定律
电
在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论进行怎
磁 样的物理过程，系统内正、负电荷量的代数和总是保持
引入面电流密度。任一点面电流密度的大小等于通过垂
电 磁
直于电流方向的单位长度上的电流，方向为该点正电荷
运动的方向。如图3-2所示，设通过l的电流为I，n为 正电荷运动方向，则面电流密度为：
场
与 电
JS limIndIn l0l dl
(3-4)
磁
电流分为传导电流和运流电流。前者是由导体中的
波 自由电子或半导体中的自由电荷在电场作用下定向运动
内容提要
第3章 恒定电流的电场和磁场
电 磁
恒定磁场的边界条件
场
标量磁位
与 恒定磁场的基本方程 互感和自感
电 矢量磁位
磁 磁偶极子
磁场力
波 磁介质中的场方程
本章小结
恒定电流的电场
电流密度
1. 电流强度
电
导体内的自由电子在电场的作用下，会沿着与电场
磁 相反的方向运动，形成电流。用电流强度来描述一根导
与
对于各向同性、线性导体，任意一点的电流密度
电
与该点的电场强度成正比，即：
磁
波
J E
(3-12)
式(3-11)叫做欧姆定律的微分形式， 是电导率。
恒定电流的电场
2. 欧姆定律的积分形式
对一段导体而言，导体中的电流I，与这段导体两
电
端的电压U成正比，与这断导体的电阻R成反比，即：
磁 场
IU R
(3-13)
2. 微分形式
J 0
(3-20)
电 磁
E 0
(3-21)
场 与
电流密度 J 与电场强度 E 之间满足欧姆定律 J E。
由于恒定电场的旋度为零，因而可以引入电位 , 使
得 E 。 在均匀导体内部(电导率为常数)，根据式
电 (3-18)和 J E 有：
磁 波
E ( )2 0
(3-22)
将微分移到积分号内，通常 J 又是空间点 r 和时间t的
函数，故写成偏微分的形式，即：
电
磁 场
SJdSVtdV
(3-7)
与
式(3-7)是电荷守恒定律的数学表达式，也称为电
电
流连续性方程的积分形式。
磁
对式(3-7)应用散度定理，有：
波
VJt dV0
(3-8)
恒定电流的电场
要使这个积分对任意的体积V均成立，必须使被积 函数为零，即：
与
式(3-13)叫做欧姆定律的积分形式，它描述了一
电 磁
段导线上的导电规律，而微分形式的欧姆定律描述的
是导体内任意点的 J 与 E 的关系，它比积分形式更能
细致地描述导体的导电规律。注意，运流电流不遵从
波 欧姆定律。
焦耳定律
恒定电流的电场
1.焦耳热
当金属导体内部的自由电子在电场作用下定向运动
电 形成电流时，自由电子在运动过程中不断与金属晶格点
场 不变。它是物理学中的基本定律之一。
与
2. 电荷守恒定律的表达式
电
在体电流密度为J 的空间内，任取一个封闭的曲面
磁
S，根据定律，通过S面流出的电流应该等于以S 为边界 的体积V内单位时间内电荷的减少量，即：
波
SJdSd dq t d dtVdV
(3-6)
恒定电流的电场
式中是体电荷密度。因积分限与时间无关，故可
电 磁
应该指出，焦耳定律不适应于运流电流。因为对
于运流电流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷 的动能，而不是转变为电荷与晶格碰撞的热能。
场 与
恒定电流场的基本方程
电
将电源外部导体中恒定电场的基本方程归纳如下：
磁
1. 积分形式
波
SJ d S 0
(3-18)
l E d l 0
(3-19)
恒定电流的电场
电
J 0
(3-9)
磁
t
场
式(3-9)也称为电流连续性方程的微分形式。
与
在恒定电流的情况下，导电媒质内任意点的电荷
电
分布不随时间变化，即：
磁
0
(3-10)
波
t
则恒定电流场电流连续性方程的积分和微分形式分别
恒定电流的电场
为：
电
JdS 0 J 0 S
磁 欧姆定律
(3-11)
场
1. 欧姆定律的微分形式
做电流线。可以从电流密度 求出流过任意面积S 的电流
恒定电流的电场
强度。一般情况下，电流密度 J 和面积元 d S 的方向并 不相同。此时通过面积S的电流就等于电流密度 J 在S上
电 的通量，即：
磁
ISJdSSJcodsS
(3-3)
场
与
电
磁
波
图3-1 电流密度
恒定电流的电场
有时，电流仅分布在导体表面的一个薄层内，因此
场
线上电流的强弱，单位时间内通过某导线横截面的电量
，即：
与 电
I limqdq t0 t dt
(3-1)
磁
波
2. 电流密度
电流强度只能描述一根导线上总电流的强弱，而不
恒定电流的电场
能描述导体截面某点的电流情况，故 引入电流密度的概
念。如图3-1所示的一段导体，设通过S的电流为I，则
电 该点处的电流密度 J 定义为：