第三章 恒定电流的电场和磁场
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第三章练习题及参考答案
第三章 恒定电流的电场和磁场 练习题及答案1、一铜棒的横截面积为,mm 80202⨯长为2m ，两端的电位差为50V 。
已知铜的电导率为S/m 107.57⨯=σ。
求（1）电阻（2）电流（3）电流密度（4）棒内的电场强度（5）所消耗的功率解：（1）铜棒电阻Ω⨯=⨯⨯⨯=⋅=-571019.2107.508.002.021R S l σ （2）铜棒内电流A R U I 3531028.21019.21050⨯=⨯⨯==-- （3）铜棒内电流密度263/1043.108.002.01028.2m A S I J ⨯=⨯⨯==（4）棒内的电场强度m V JE /1050.2107.51043.1276-⨯=⨯⨯==σ （5）所消耗的功率W R I P 221014.1⨯==2、电缆的芯线是半径为cm a 5.0=的铜线，外面包一层同轴的绝缘层，绝缘层的外半径为cm b 2=，电阻率m ⋅Ω⨯=12101ρ。
绝缘层外又用铅层保护起来。
（1）求长度m L 1000=的这种电缆沿径向的电阻 （2）求当芯线与铅层的电位差为V 100时的径向电流解：（1）距离电缆轴线处的电阻为rL drS dr dR πρρ2==则长度的电缆沿径向的电阻可积分求得 Ω⨯===⎰81021.2ln 22abL rL dr R b a πρπρ（2）据欧姆定律可求得径向电流 A RUI 71052.4-⨯==3、已知半径为R 的环形导线，载有电流为I ，如图所示。
求其中心的磁感应强度的大小。
解：由毕奥--萨伐尔定律可得回路在中心点的磁场大小为R Id RIR RRl Id B L2440202030μθπμπμπ==⨯=⎰⎰磁场方向为垂直纸面向外。
4、某回路由两个半径分别为R 和r 的半圆形导体与两段直导体组成，其中通有电流I 。
求中心点O 处的磁感应强度→B 。
解：由环形载流导线中心磁感应强度的公式可得两个半环形载流导线在中心点的磁场为：rIeB R IeB 221ˆ221ˆ0201μμϕϕ==两段直导线对中心点的磁场无贡献。
第3章 恒定电场(3) 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程 二、恒定电场的基本方程 三、导电媒质内的体积电荷
3
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程
1、积分形式 2、微分形式 3、物理意义
4
一、电流连续性方程
1、积分形式
电荷守恒定律：
在孤立系统中，总电荷量保持不变。
即：电荷既不能产生，也不能被消灭，它只能 从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一 部分转移到另一部分。
I ' dq I dt
根据 I J dS S
（3-3）
dq SJ d S d t
I ' SJ dS
7
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
：运动电荷的体密度
即：
J d
S
dV （3-19）
S
t V
上式是电荷守恒定律的数学表述，
又称电流连续性方程（的积分形式）。
电流密度矢量的通量 等于该面内电荷减少率。
26
(
)
J
（3-29）
：导电媒质的介电常数，
：导电媒质的电导率。 在不均匀导电媒质中，由于、是坐标变量的函数 （只要/不是处处为常数），体积电荷一般不为0。
在均匀导电媒质中，由于、处处为常数，( ) 0 故=0，体积电荷为0，即媒质中没有体积电荷的堆积。
27
在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体时，
即也是保守场（无旋的）。
所以，在电源以外，恒定电场满足：
E d l 0 （3-24）
C
E 0
（3-25）
21
因此，恒定电场也可以用电位梯度表示：
E （3-26）
22
电源以外的恒定电场的电位满足拉普拉斯方程。
3
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程
1、积分形式 2、微分形式 3、物理意义
4
一、电流连续性方程
1、积分形式
电荷守恒定律：
在孤立系统中，总电荷量保持不变。
即：电荷既不能产生，也不能被消灭，它只能 从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一 部分转移到另一部分。
I ' dq I dt
根据 I J dS S
（3-3）
dq SJ d S d t
I ' SJ dS
7
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
：运动电荷的体密度
即：
J d
S
dV （3-19）
S
t V
上式是电荷守恒定律的数学表述，
又称电流连续性方程（的积分形式）。
电流密度矢量的通量 等于该面内电荷减少率。
26
(
)
J
（3-29）
：导电媒质的介电常数，
：导电媒质的电导率。 在不均匀导电媒质中，由于、是坐标变量的函数 （只要/不是处处为常数），体积电荷一般不为0。
在均匀导电媒质中，由于、处处为常数，( ) 0 故=0，体积电荷为0，即媒质中没有体积电荷的堆积。
27
在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体时，
即也是保守场（无旋的）。
所以，在电源以外，恒定电场满足：
E d l 0 （3-24）
C
E 0
（3-25）
21
因此，恒定电场也可以用电位梯度表示：
E （3-26）
22
电源以外的恒定电场的电位满足拉普拉斯方程。
工程电磁场--第3章--恒定电场的基本原理
fe Ee lim qt 0 q t
q t 为试验电荷的电荷量。
19
提供局外力的装置就是电源。 在电源中，其他形式的能量转换为电能。 在整个闭合回路中，电能又转换为别的 形式的能量。
20
2．电动势
下图是一个典型的导电回路， 蓝色部分为导 电媒质，黄色部分为电源。 电源中除库仑电场 外，还存在局外电场。 电源之外的导电媒 质中只有库伦电场。
0 1 E ex ， D ex 1 x 1 x
自由电荷体密度
0 0 D ( )=2 x 1 x (1 x)
32
D E E E
E
E
E E E 2 E J 上式说明积累自由电荷的体密度与 的空间 变化有关。 对于均匀导电媒质，介电常数 和电导率 都
5
如果体积的厚度可以忽略， 可以认为电荷在面上运动，形成面电流。 密度为 的面电荷 以速度 v 运动， 形成面电流密度 K ， 定义 K v 。 如图所示， db0 是垂直于 v 方向的线段元。
6
dl db0 dl dS dq dI K v dt dtdb0 dtdb0 dtdb0 db0
4
7
7
7
3
7
10 5
1.03× 10
7
10 15
16
3.2 恒定电场的基本方程
1．局外场
要维持导电媒质中的恒定电流，就必须有恒定 的电场强度。 （作用：克服运动中的阻力） 在电场的作用下，正自由电荷沿电场强度方向 运动， 负自由电荷沿相反方向运动。 对于金属导体， 主要是自由电子沿电场相反方向运动。
3-4 磁介质中恒定磁场的基本方程
体积元
A m
1
意义 磁介 质中单位体积内 分子的合磁矩.
单位（安/米）
若 P m 是体积 V 中的平均磁矩，N 是分子密度，则磁
化强度也可表示为
M N Pm
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场 3 磁化电流 介质磁化后，介质中的分子电流合起来可在介质体内 和介质表面产生净束缚电流（亦称磁化电流），磁化电 流产生的磁场等效于所有的磁偶极子产生的磁场的总和. 等效的体磁化电流密度和面磁化电流密度分别为：
(
B
C
0
M )dl
I
磁场强度 H
B
0
M
磁介质中的安培环路定律
H dl
l
I
利用斯托克斯定律有 H dl H d S
C S
I
J d S
S
1
顺磁质
r
1 1
抗磁质
铁磁质 （非常数）
B 0 rH H
磁介质的本构关系
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场 例 有两个半径分别为 R 和 r 的“无限长”同 轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁导率为 r 的 磁介质.当两圆筒通有相反方向的电流 时，试 求 I （1）磁介质中任意点 P 的磁感应强度的 大小;（2）圆柱体外面一点 Q 的 磁感强度. I
积分路径是任意的
H J
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
（磁化率） 各向同性磁介质 M m H m B B B 0 (1 m ) H H M mH 0 0
恒定电流的电场和磁场课件
恒定电流的电场和磁场 课件
目录
• 恒定电流的基本概念 • 电场与电场力 • 磁场与磁场力 • 恒定电流的磁场效应 • 恒定电流的应用 • 实验与实践
01
恒定电流的基本概念
电流的定义与性质
电流
电荷在导体中定向移动形成电流 ，单位时间内通过导体横截面的 电荷量称为电流强度，简称电流 。
电流的性质
电荷的定向移动形成电流，其方 向由正电荷定向移动的方向决定 ，而与导体内自由电荷的运动方 向无关。
电场力是电荷在电场中受到的力，其大小与电荷的电量成正比，与电场强度成正比 。
电场强度是描述电场强弱和方向的物理量，等于单位正电荷在电场中受到的力。
电场强度具有方向性，规定正电荷受力方向为电场强度的方向。
电势与电场能量
电势是描述电场能的物理量，等于单 位正电荷在电场中具有的电势能。
电场能量是电场中储存的能量，与电 势能密切相关。
电阻
导体对电流的阻碍作用，由导体的材 料、长度、横截面积和温度等因素决 定。
02
电场与电场力
电场的概念与性质
电场是由电荷产生的 ，对放入其中的电荷 有力的作用。
电场的性质包括对放 入其中的电荷有力的 作用、静电感应现象 等。
电场具有物质性，是 传递电荷间相互作用 的一种特殊物质形态 。
电场力与电场强度
详细描述
电磁感应现象是当导体在磁场中发生相对运动时，会在导体中产生电动势或电流的现象。这个现象由英国物理学 家迈克尔·法拉第于19世纪30年代发现，是电磁化的电场和磁场相互激发，形成电磁波并传播出去。
详细描述
电磁波是由变化的电场和磁场相互激发而形成的。当电场或磁场发生变化时，就会产生电磁波，并传 播出去。电磁波的传播速度等于光速，在真空中传播不受影响，但在介质中传播速度会减慢。
目录
• 恒定电流的基本概念 • 电场与电场力 • 磁场与磁场力 • 恒定电流的磁场效应 • 恒定电流的应用 • 实验与实践
01
恒定电流的基本概念
电流的定义与性质
电流
电荷在导体中定向移动形成电流 ，单位时间内通过导体横截面的 电荷量称为电流强度，简称电流 。
电流的性质
电荷的定向移动形成电流，其方 向由正电荷定向移动的方向决定 ，而与导体内自由电荷的运动方 向无关。
电场力是电荷在电场中受到的力，其大小与电荷的电量成正比，与电场强度成正比 。
电场强度是描述电场强弱和方向的物理量，等于单位正电荷在电场中受到的力。
电场强度具有方向性，规定正电荷受力方向为电场强度的方向。
电势与电场能量
电势是描述电场能的物理量，等于单 位正电荷在电场中具有的电势能。
电场能量是电场中储存的能量，与电 势能密切相关。
电阻
导体对电流的阻碍作用，由导体的材 料、长度、横截面积和温度等因素决 定。
02
电场与电场力
电场的概念与性质
电场是由电荷产生的 ，对放入其中的电荷 有力的作用。
电场的性质包括对放 入其中的电荷有力的 作用、静电感应现象 等。
电场具有物质性，是 传递电荷间相互作用 的一种特殊物质形态 。
电场力与电场强度
详细描述
电磁感应现象是当导体在磁场中发生相对运动时，会在导体中产生电动势或电流的现象。这个现象由英国物理学 家迈克尔·法拉第于19世纪30年代发现，是电磁化的电场和磁场相互激发，形成电磁波并传播出去。
详细描述
电磁波是由变化的电场和磁场相互激发而形成的。当电场或磁场发生变化时，就会产生电磁波，并传 播出去。电磁波的传播速度等于光速，在真空中传播不受影响，但在介质中传播速度会减慢。
大学物理电磁场第3章讲义教材
zˆ4(a20Iaz22)3/2
2
0
d'
B(z)2(a20Iaz22)3/2 z
3.2 真空中的静磁场基本方程
1. 磁通连续性定理
定义穿过磁场中给定曲面S 的磁感应强度B 的通量为磁通：
BdS 单位 韦伯Wb
S
若S面为闭合曲面
ΦBdS0
磁通连续 性定理
上页 下页
ΦBdS0
注意
① 磁通连续性原理也称磁场的高斯定理，表明磁力线是无头
Bdl 2B0I
l
得到
B
0I 2
e
323
I’ II 3 2 2-- 2 22 2 I 3 2 3 2-- 22 2
lBdl2B 0I3 2 3 2--22 2
得到
B
0I 2
32 -2 32 -22
e
同轴电缆的磁场分布
上页 下页
4.真空中的磁场方程
B (r)40 VJR 2R ˆd V '
磁矢位
注意 1 A是从矢量恒等式得出，是引入的辅助计算 量，无明确的物理意义；
2 A适用于整个磁场区域；
③因
mBdSAdS Stokes’ A dl
S
S
l
m Adl
l
A的单位 Wb/m （韦伯/米）
④ 恒定磁场中A满足库仑规范
A0
2 . 磁矢位 A 的求解
应用磁矢位A求解恒定磁场问题也可以分为 场源问题和边值问题。
③ 洛仑兹力垂直于电荷运动方向，只改变电荷运动方向， 对电荷不做功，而库仑力改变电荷运动速度做功。
上页 下页
安培力定律
真空中
描述两个电流回路之间相互作用力的规律。
l1
电磁场与电磁波(王家礼 西电第三版)第三章 恒定电流的电场和磁场
3-7 所示)。设土壤的电导率为σ；接地半球的电导率为无穷大。
第三章 恒定电流的电场和磁场
图 3-7 半球形接地器
第三章 恒定电流的电场和磁场
解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可 将导体球看作等位体。在土壤内，半径r等于常数的半球面是 等位面。假设从接地线流入大地的总电流为I，可以容易地求 出，在土壤内任意点处的电流密度，等于电流I均匀分布在半 个球面上。即：
图 3-5 同轴线横截面
第三章 恒定电流的电场和磁场
两导体间的电位差为
b
U Edr
I
lnb
a
2π a
这样，可求出单位长度的漏电导为
G0
I U
2π
ln b
a
例 3-2 一个同心球电容器的内、外半径为a、b，其间媒质
的电导率为σ，求该电容器的漏电导。
解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设流
过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内任一点的
RIP2 4π1(a11b)
第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1.7 恒定电流场与静电场的比拟 如果我们把导电媒质中电源外部的恒定电场与不存在体电荷
区域的静电场加以比较,则会发现两者有许多相似之处,如表 3-2 。 可见，恒定电场中的E、j、J、I和σ分别与静电场中的E、 j 、
D、q和ε相互对应，它们在方程和边界中处于相同的地位，因而 它们是对偶量。由于二者的电位都满足拉普拉斯方程，只要两种 情况下的边界条件相同，二者的电位必定是相同的。因此，当某 一特定的静电问题的解已知时，与其相应的恒定电场的解可以通 过对偶量的代换(将静电场中的D、q和ε换为J、I和σ)直接得出。 这种方法称为静电比拟法。例如，将金属导体 1、2 作为正、负极 板置于无限大电介质或无限大导电媒质中，如图 3-6 所示，可以 用静电比拟法从电容计算极板间的电导。因为电容为
静态电磁场I恒定电流的电场和磁场.pptx
5. 矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程
1. 恒定磁场的矢量磁位 矢量磁位的定义
矢量磁位或称磁矢位
由 B 0
B A
即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。
3.利用矢量磁位A计算磁场
体电流分布:
A(r) 0 Jc (r' )dV '
4 V ' r r'
面电流分布:
A(r) 0 K (r' )dS '
4 S' r r'
线电流分布:
A(r) 0 I dl'
4 l' r r'
由于元电流矢量产生相同方向的元矢量磁位,故与基于B的分析计算相比，相 对较为简单，尤其在二维磁场(平行平面或轴对称磁场)。
dV
'
毕奥-萨伐尔定律（矢量积分关系式）
第21页/共59页
3.3.4 毕奥-萨法尔定律（矢量磁位）
根据导体中电流分布的不同形态：
体电流密度矢量 Jc v 面电流密度矢量 K v 线电流密度矢量 I v
元电流密度矢量 dqv
JcdV KdS Idl dq
因此，面、线电流分布情况下的磁感应强度为：
Jc dS 0
S
J1n J2n
E dl 0
l
E1t E2t
对线性各向同性媒质， J1 1E1 J2 2E2 (2) 良导体与不良导体分界面上的边界条件
tg1 1 tg2 2
1 2 1 90 o
2 0o
J2
n
例如，钢的电导率 1 = 5106 S/m，周围
2
土壤的电导率2 = 10-2 S/m，1 = 89， 可知，2 8。
sin2
e
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S
物理意义：恒定电场无散场，其电流密度矢量线是无起 点无终点闭合曲线。对应电路理论中基尔霍夫电流定律 旋度方程 积分形式： l E dl 0
微分形式： E 0
物理意义：恒定电场是保守场。 对应电路理论中的基 尔霍夫电压定律。
恒定电流场的基本性质：无散无旋场
§3.1.5 恒定电流场的基本方程 （适应于电源外部）
l
E dl 0
电流密度的法向分量 在分界面上构造如图非常薄的柱形闭合面，由 J dS 0
J dS J dS J dS J dS
S 上 下 侧
S
由于h0
S J dS 上 J dS 下 J dS
§3.1.3
欧姆定律的微分形式
电流分类： • 传导电流：指导体中的自由电子或半导体中的自由电 荷在电场作用下作定向运动所形成的电流。如金属中、 电解液中的电流。 • 运流电流：指带电粒子在真空中或气体中运动时形成 的电流。如真空管中的电流。
欧姆定律微分形式： J E 其中σ 为电导率，单位：西门子/米（S/m） 恒定电场中，仅理想导体（σ →∞ ）内才有： E 0
I 2 a
故得接地电阻为： R U I
同理，全球接地电阻 R
1 2 a 1
4 a
接地电导 G 4 a
结论：当流入地面电流一定，电阻越小，电压越小，因 此为了使人接近接地电极时更安全，应该减小接地电阻。 电阻越小，接地仪器设备的外壳越接近大地的电位
4 a 减小接地电阻方法： • 增大半径a 》 采用大块接地导体 》采用若干个具有一定粗细，一定长度的导体柱组成的 接地系统 》采用多根细长导体辐射状散开平铺于地下。 • 增大电导率σ 》在接地电极附近的地质中灌入盐液或其他导电液体。 R 1
l 0 ( E 2 E1 ) 0
或 n ( E2 E1 ) 0
或 E2t E1t
表明：电场强度的切向分量在边界面两侧是连续的
分界面上电场的方向 分析电场强度经过两种电介质界面时，其方向改变情况 1、法线方向上： J 1n J 2n
1 E1 cos 1 2 E 2 cos 2
二、电流密度（矢量）（A/m2）——体电流密度 大小：与正电荷运动方向垂直的单位面积上的电 流强度。方向：正电荷运动的方向。 如图，设通过 △S的电流为 △I，该点处的电流密度为
I dI J lim n n S 0 S dS
1、体电流密度
I dI J lim n n S 0 S dS
§3.1.6
恒定电流场的边界条件
• 在两种导体分界面上，导体性质有突变，电场也 会突变
• 边界条件：场分量在界面上的变化规律
• 恒定电流场的边界条件：不同导体分界面两边恒 定电流产生的电场突变所遵循的规律，称为静电 场的边界条件 • 推导恒定电流场边界条件的依据是恒定电流场方 程的积分形式SJ NhomakorabeadS 0
由于恒定电场的旋度为零，可以引入电位 E 又由于 J E E E 0
在均匀导体内部（电导率σ为常数），有
E 2 0
拉普拉斯方程 物理意义：在恒定电场中，均匀导体中的电荷体密度为 零，电荷分布在媒质表面。
例：求半球形电极的接地电阻 设经引线由O点流入半球形电极的电流为I，则距球心为 r处的地中任一点的电流密度为：
I er 2 2r I 则电场强度为： E er 2 2 r J
由于电流沿径向一直流出去，直至无穷远处 所以电极在大地中的电压为： U
a
E dr
第三章
恒定电流的电场和磁场
§3.1 恒定电流的电场（第一部分） §3.2 磁感应强度 §3.3 恒定磁场的基本方程 §3.4 矢量磁位 §3.5 磁偶极子 §3.6 磁介质中的场方程 （第二部分） §3.7 恒定磁场的边界条件 §3.8 标量磁位 §3.9 互感和自感 §3.10 磁场能量 §3.11 磁场力
2、切线方向上： E1t E 2t
E1 sin 1 E 2 sin 2
特殊情况： 》垂直分界面入射时：方向不发生改变，类似光折射 》当σ1> >σ2 ：即第一种媒质为良导体，第二种媒质为不 良导体时，只要θ1≠π/2，得θ2≈0，即在不良导体中，电力 线近似垂直于界面，可以将良导体的表面看作等位面
已知流入地中电流为I，则在距求心r处的电场强度为
E I 2 r
2
跨步电压 U AB
OB
OA
Edr 159.2V
损耗功率 P I 2 R 1.59 106W
§3.1.5 恒定电流场的基本方程 （适应于电源外部）
散度方程 微分形式： J 0
积分形式： J dS 0
静电场中，导体内有： E 0
欧姆定律积分形式：U RI
注意：只适用于传导电流， 电源外部；不适用于运流 电流、电源
常温下（20℃）常用材料的电导率
材 料 电导率σ（S/m）
铁（99.98%）
黄铜 铝 金 铅 铜 银
107
1.46 ×107 3.54 ×107 3.10 ×107 4.55×107 5.80×107 6.20×107
》与I的关系
S
I J dS
》与ρ的关系 J v
2、面电流密度 若电流仅分布在导体表面的一薄层内，引入面电流密度
I dI 》与I的关系 I J dl J S lim n n l l 0 l dl 》与ρS的关系 J S v
V 0
P U I E l I EJ l S EJ V
V
补充：接地电阻(无线电仪器或电气装置中常需接地) • 接地：将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的 部分与该导体连接。
• 接地体或接地电极：埋在地内的导体或导体系统。
• 接地电阻：电流由电极流向大地时所遇到的电阻。当 远离电极时，电流流过的面积很大，而在接地电极附 近，电流流过的面积很小，或者说电极附近的电流密 度最大，则电极处电场强度最大，从而电压差主要产 生在电极处，因此，接地电阻主要集中在电极附近。 • 跨步电压：人跨一步（约0.8m）的两脚间的电压。如 果短路，大的电流流入大地时，接地电极附近地面两 点间电压可能达到相当大的数值。
主要内容
• 恒定电流的电场的基本特性（第一部分）
• 磁感应强度与磁场强度
• 恒定磁场的基本方程
• 磁介质中的场方程
• 恒定磁场的边界条件 • 自感与互感的计算 • 磁场能量与能量密度
（第二部分）
第一部分 §3.1 恒定电流的电场
基本概念：
• 电流：电荷在电场作用下定向运动形成电流，习惯
上规定正电荷运动的方向为电流的方向。
硅
1.56×10-3
电动势 • 电源：一种将其他形式的能量（机械的，化学的，热 的等）转化为电能的装置 • 非静电力：非静止电荷产生的力，如电池内，非静电 力指由化学反应产生的使正、负电荷分离的化学力。 • 非库仑场：只存在电源内部，非静电力对电荷的影响 等效为一个非保守电场 E • 库仑场：同时存在电源内部和外部， E 恒定分布的电荷产生的保守场 E • 电动势：电源内部搬运单位正电荷 从负极到正极时非静电力所作的功 A E dl B ( E E ) dl •电动势用总电场的回路积分表示： l •含电源的欧姆定律的微分形式： J ( E E )
例：如图一半径为10cm的半球形接地导体电极，电极平 面与地面重合，已知土壤的导电率为σ=10-2S/m。求： 1）接地电阻； 2）若有短路电流100A流入地中，某人正以0.5m的步距向 接地点前进，前脚距半球中心点的距离为2m，求此人的 跨步电压及土壤的损耗功率
解：接地电极的接地电阻为
1 R 159 2 a 2 0.01 0.1 1
-
§3.1.4
焦耳定律(不适用于运流电流)
焦耳定律：电流产生的热量跟电流、电阻和通电时间的 关系。即电流通过导体的热量跟电流的平方成正比，跟 导体的电阻成正比，跟通过时间成正比。 l Q I 2 Rt 单位( J , A, , S ) S 焦耳定律的微分形式： p J E E 2 证明：当导体上电压为U，电流为I时，功率为 P = UI 在导体中，沿电流线方向取长度为⊿l、截面为⊿S的体 积元，该体积元消耗的功率为 当⊿V→0时，取⊿P/⊿V的极限，得导体内任一点热功 P 2 率密度，即 2 或 p J E E p lim EJ E
• 恒定电流：电流不随时间变化而变化 • 恒定电流场：恒定电流的空间存在的电场
§3.1.1
电流密度
一、电流强度（标量）（A）
q dq lim 单位时间通过某导线截面的电荷量 i t 0 t dt
i为时间的函数，若电荷流动的速度不变，称恒定电流 即直流电流 i dq I
dt
tan 1 1 tan 2 2
说明：电场强度和电流密度矢量方 向在经过分界面两边时方向将发 生改变，改变量与媒质性质有关
§3.1.7 恒定电流场与静电场的比拟
恒定电场（电源外）
E 0 J 0 J E
静电场（ρ=0的区域）
E 0 D 0 DE E
又⊿S很小，所以⊿S上电流密度可看成常数
S J dS J 2 nS J1 nS 0
n (J 2 J1 ) 0
或 J 1n J 2 n
1 2 或 1 2 n n
表明：电流密度的法向分量在边界面两侧连续
电场强度的切向分量 在分界面上构造如右图狭长回路，由
物理意义：恒定电场无散场，其电流密度矢量线是无起 点无终点闭合曲线。对应电路理论中基尔霍夫电流定律 旋度方程 积分形式： l E dl 0
微分形式： E 0
物理意义：恒定电场是保守场。 对应电路理论中的基 尔霍夫电压定律。
恒定电流场的基本性质：无散无旋场
§3.1.5 恒定电流场的基本方程 （适应于电源外部）
l
E dl 0
电流密度的法向分量 在分界面上构造如图非常薄的柱形闭合面，由 J dS 0
J dS J dS J dS J dS
S 上 下 侧
S
由于h0
S J dS 上 J dS 下 J dS
§3.1.3
欧姆定律的微分形式
电流分类： • 传导电流：指导体中的自由电子或半导体中的自由电 荷在电场作用下作定向运动所形成的电流。如金属中、 电解液中的电流。 • 运流电流：指带电粒子在真空中或气体中运动时形成 的电流。如真空管中的电流。
欧姆定律微分形式： J E 其中σ 为电导率，单位：西门子/米（S/m） 恒定电场中，仅理想导体（σ →∞ ）内才有： E 0
I 2 a
故得接地电阻为： R U I
同理，全球接地电阻 R
1 2 a 1
4 a
接地电导 G 4 a
结论：当流入地面电流一定，电阻越小，电压越小，因 此为了使人接近接地电极时更安全，应该减小接地电阻。 电阻越小，接地仪器设备的外壳越接近大地的电位
4 a 减小接地电阻方法： • 增大半径a 》 采用大块接地导体 》采用若干个具有一定粗细，一定长度的导体柱组成的 接地系统 》采用多根细长导体辐射状散开平铺于地下。 • 增大电导率σ 》在接地电极附近的地质中灌入盐液或其他导电液体。 R 1
l 0 ( E 2 E1 ) 0
或 n ( E2 E1 ) 0
或 E2t E1t
表明：电场强度的切向分量在边界面两侧是连续的
分界面上电场的方向 分析电场强度经过两种电介质界面时，其方向改变情况 1、法线方向上： J 1n J 2n
1 E1 cos 1 2 E 2 cos 2
二、电流密度（矢量）（A/m2）——体电流密度 大小：与正电荷运动方向垂直的单位面积上的电 流强度。方向：正电荷运动的方向。 如图，设通过 △S的电流为 △I，该点处的电流密度为
I dI J lim n n S 0 S dS
1、体电流密度
I dI J lim n n S 0 S dS
§3.1.6
恒定电流场的边界条件
• 在两种导体分界面上，导体性质有突变，电场也 会突变
• 边界条件：场分量在界面上的变化规律
• 恒定电流场的边界条件：不同导体分界面两边恒 定电流产生的电场突变所遵循的规律，称为静电 场的边界条件 • 推导恒定电流场边界条件的依据是恒定电流场方 程的积分形式SJ NhomakorabeadS 0
由于恒定电场的旋度为零，可以引入电位 E 又由于 J E E E 0
在均匀导体内部（电导率σ为常数），有
E 2 0
拉普拉斯方程 物理意义：在恒定电场中，均匀导体中的电荷体密度为 零，电荷分布在媒质表面。
例：求半球形电极的接地电阻 设经引线由O点流入半球形电极的电流为I，则距球心为 r处的地中任一点的电流密度为：
I er 2 2r I 则电场强度为： E er 2 2 r J
由于电流沿径向一直流出去，直至无穷远处 所以电极在大地中的电压为： U
a
E dr
第三章
恒定电流的电场和磁场
§3.1 恒定电流的电场（第一部分） §3.2 磁感应强度 §3.3 恒定磁场的基本方程 §3.4 矢量磁位 §3.5 磁偶极子 §3.6 磁介质中的场方程 （第二部分） §3.7 恒定磁场的边界条件 §3.8 标量磁位 §3.9 互感和自感 §3.10 磁场能量 §3.11 磁场力
2、切线方向上： E1t E 2t
E1 sin 1 E 2 sin 2
特殊情况： 》垂直分界面入射时：方向不发生改变，类似光折射 》当σ1> >σ2 ：即第一种媒质为良导体，第二种媒质为不 良导体时，只要θ1≠π/2，得θ2≈0，即在不良导体中，电力 线近似垂直于界面，可以将良导体的表面看作等位面
已知流入地中电流为I，则在距求心r处的电场强度为
E I 2 r
2
跨步电压 U AB
OB
OA
Edr 159.2V
损耗功率 P I 2 R 1.59 106W
§3.1.5 恒定电流场的基本方程 （适应于电源外部）
散度方程 微分形式： J 0
积分形式： J dS 0
静电场中，导体内有： E 0
欧姆定律积分形式：U RI
注意：只适用于传导电流， 电源外部；不适用于运流 电流、电源
常温下（20℃）常用材料的电导率
材 料 电导率σ（S/m）
铁（99.98%）
黄铜 铝 金 铅 铜 银
107
1.46 ×107 3.54 ×107 3.10 ×107 4.55×107 5.80×107 6.20×107
》与I的关系
S
I J dS
》与ρ的关系 J v
2、面电流密度 若电流仅分布在导体表面的一薄层内，引入面电流密度
I dI 》与I的关系 I J dl J S lim n n l l 0 l dl 》与ρS的关系 J S v
V 0
P U I E l I EJ l S EJ V
V
补充：接地电阻(无线电仪器或电气装置中常需接地) • 接地：将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的 部分与该导体连接。
• 接地体或接地电极：埋在地内的导体或导体系统。
• 接地电阻：电流由电极流向大地时所遇到的电阻。当 远离电极时，电流流过的面积很大，而在接地电极附 近，电流流过的面积很小，或者说电极附近的电流密 度最大，则电极处电场强度最大，从而电压差主要产 生在电极处，因此，接地电阻主要集中在电极附近。 • 跨步电压：人跨一步（约0.8m）的两脚间的电压。如 果短路，大的电流流入大地时，接地电极附近地面两 点间电压可能达到相当大的数值。
主要内容
• 恒定电流的电场的基本特性（第一部分）
• 磁感应强度与磁场强度
• 恒定磁场的基本方程
• 磁介质中的场方程
• 恒定磁场的边界条件 • 自感与互感的计算 • 磁场能量与能量密度
（第二部分）
第一部分 §3.1 恒定电流的电场
基本概念：
• 电流：电荷在电场作用下定向运动形成电流，习惯
上规定正电荷运动的方向为电流的方向。
硅
1.56×10-3
电动势 • 电源：一种将其他形式的能量（机械的，化学的，热 的等）转化为电能的装置 • 非静电力：非静止电荷产生的力，如电池内，非静电 力指由化学反应产生的使正、负电荷分离的化学力。 • 非库仑场：只存在电源内部，非静电力对电荷的影响 等效为一个非保守电场 E • 库仑场：同时存在电源内部和外部， E 恒定分布的电荷产生的保守场 E • 电动势：电源内部搬运单位正电荷 从负极到正极时非静电力所作的功 A E dl B ( E E ) dl •电动势用总电场的回路积分表示： l •含电源的欧姆定律的微分形式： J ( E E )
例：如图一半径为10cm的半球形接地导体电极，电极平 面与地面重合，已知土壤的导电率为σ=10-2S/m。求： 1）接地电阻； 2）若有短路电流100A流入地中，某人正以0.5m的步距向 接地点前进，前脚距半球中心点的距离为2m，求此人的 跨步电压及土壤的损耗功率
解：接地电极的接地电阻为
1 R 159 2 a 2 0.01 0.1 1
-
§3.1.4
焦耳定律(不适用于运流电流)
焦耳定律：电流产生的热量跟电流、电阻和通电时间的 关系。即电流通过导体的热量跟电流的平方成正比，跟 导体的电阻成正比，跟通过时间成正比。 l Q I 2 Rt 单位( J , A, , S ) S 焦耳定律的微分形式： p J E E 2 证明：当导体上电压为U，电流为I时，功率为 P = UI 在导体中，沿电流线方向取长度为⊿l、截面为⊿S的体 积元，该体积元消耗的功率为 当⊿V→0时，取⊿P/⊿V的极限，得导体内任一点热功 P 2 率密度，即 2 或 p J E E p lim EJ E
• 恒定电流：电流不随时间变化而变化 • 恒定电流场：恒定电流的空间存在的电场
§3.1.1
电流密度
一、电流强度（标量）（A）
q dq lim 单位时间通过某导线截面的电荷量 i t 0 t dt
i为时间的函数，若电荷流动的速度不变，称恒定电流 即直流电流 i dq I
dt
tan 1 1 tan 2 2
说明：电场强度和电流密度矢量方 向在经过分界面两边时方向将发 生改变，改变量与媒质性质有关
§3.1.7 恒定电流场与静电场的比拟
恒定电场（电源外）
E 0 J 0 J E
静电场（ρ=0的区域）
E 0 D 0 DE E
又⊿S很小，所以⊿S上电流密度可看成常数
S J dS J 2 nS J1 nS 0
n (J 2 J1 ) 0
或 J 1n J 2 n
1 2 或 1 2 n n
表明：电流密度的法向分量在边界面两侧连续
电场强度的切向分量 在分界面上构造如右图狭长回路，由