第三章 恒定电流的电场和磁场1-4

(b) 镜象法图示
图 半球形接地器
深埋球形接地器
I I I J E 2 2 4πr 4 π r
I I U d r 2 a 4 π r 4 π a

U 1 R I 4πa
深埋球形接地器
非深埋的球形接地器
I I 4 π a 4 π (2 h )
1 1 1 R ( ) I 4 π a 2 h
1, 1
U0 d1 d2
2, 2
图 非理想介质的平板电 容器中的恒定电流场
例：试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分界面上 的面电荷分布。 解：
2 1 2 1 0 1 2 2 2 1 2 2 0 2 2 2
2
0
0
1
π 2
2．接地电阻
接地技术是保障人身和设备的一项电气安全措施。计算接 地体的接地电阻是恒定电场计算的一项重要工作。下面计算图 示埋于大地的半球形接地体的接地电阻。由镜像法得：
1 u 1 i 1 R dr 2 G i i a2 a r 2
2i
i
土壤 土壤
a
土壤
a
(a) 电流线J的分布
2 n 2
2 1
P
1
J1
良导体与不良导体分界面上的边界条件： 当电流从良导体流向不良导体时，如图所示，设1 2，由折射 定律可知，只要1 90，就有2 0。这表明，当电流由良导体 侧流向不良导体侧时，电流线总是垂直于不良导体(2 0)。换 句话说，这时可以不计良导体内部的电压降，而把良导体表面 可近似看作为等位面。
2．电功率
故电功率体密度
d P J2 2 p EJ E d V
或写成一般形式 p = EJ
图 电功率的推导
平行板电容器板间距离为d，其中媒质的电导率为 ，两板接 有电流为I的电流源，测得媒质的功率损耗为P。如将板间距离扩 为2d，其间仍充满电导率为 的媒质，则此电容器的功率损耗是 多少？如果是接有电压为U的电压源，重复上问题。
U 1 b R 0 ln I 2 a
（2）解法二：静电比拟法
在同轴电缆分析中，已求得电场强度为
S
E
U0 b ln a
eρ
a b

a o A
b
,
P B Jc
U0
故泄漏电流密度 图 同轴电缆中的泄漏电流 U0 Jc E e a b b ρ ln a 同理，单位长电导可以由单位长度电容求得，即电缆的单位长绝缘电阻为
l
Jc dS
Ed S
S
Edl
l
S
a o A P B Jc
b

Dd S Ed S q C S S U Ed l Edl
l l
,
U0
图 同轴电缆中的泄漏电流
例1：内外导体半径分别为a和b的同轴电缆，如图所示导体间外施电压U0。试 求其因绝缘介质不完善而引起的电缆内的泄漏电流密度及其单位长绝缘电阻。 [解]： （1）解法一：恒定电场分析法 电场强度E和泄漏电流密度Jc均只有径向分量，作一半径为的同轴单位 圆柱面，且令单位长泄漏电流为I，则
电流密度分布为
U U 0 J E 0 e e
对于图示厚度为t的导电片两端面的电阻为
U U U 0 0 0 R b b I U J d S 0 t ln e td e S a a
I Jc 2
I E 2
内外导体间电压为
I b U U E d ln AB 0 2 a a
b
S a o A P B Jc b
,
由此可知泄漏电流密度为
Jc
U0
U 0 e b ln a
a b
图 同轴电缆中的泄漏电流
电缆的单位长绝缘电阻为
E 2E 1 1 2
1, 1
U0
d1 d2
2, 2
又有电压关系
E d E d U 1 1 2 2 0
联立求解两式，得
图 非理想介质的平板电 容器中的恒定电流场
2U 0 E 1 1d2 2d1
E 2
1U 0 1d2 2d1
(2)两非理想介质中的电场能量密度分别为
1 1 2 2
则两种场在分界面上的Jc 线与对应的D线折射情况相同。根据 以上相似原理，就可以把一种场的计算和实验结果，推广应用 于另一种场。这就是静电比拟法。
由静电比拟法，有
G C
因此，可以利用电容的计算方法计算电导或电阻，反之亦然。即
G I S U Ed l
1 w E e 1 1 1 2 2
1 w e 2 2 2E 2 2
相应的单位体积中的功率损耗分别为
p 1 E
2 1 1
p 2E 2 2
2
(3)分界面上的自由电荷面密度为
2 1 1 2 2 1 1 2 J U 2 0 d d 12 12 21
2 1 1 2 J2n 12
J1 图 两种有损电介质的分界面
联立求解，得分界面上自由电荷面密度为
由此可见，只有当两种媒质参数满足
2 2 1 1
条件时，其上表面自由电荷才为零，即=0。
例2：设一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图所示。其介电常数 和电导率分别为1，1和2，2，厚度分别为d1和d2，外施恒定电压U0，忽略 边缘效应。试求：(1)两层非理想介质中的电场强度；(2)单位体积中的电场 能量密度及功率损耗密度；(3)两层介质分界面上的自由电荷面密度。 [解]：(1) 忽略边缘效应，可以认为电容器中 电流线与两介质交界面相垂直，用边界条件
1 1 1 b R ln G C 2 a
镜像法的比拟：
＝
＋
2 1 2 2 ) ( I I, I I 1 2 1 2
恒定电场模拟静电场实验
因为电流场中的电流、电位分布容易测定，所以可 以利用相应的电流场模型来实测待求的静电场问题。
l
l
l
l
0 e e 局外场是非保守场
3．不同媒质分界面上的边界条件
两种不同导电媒质分界面上的边界条件：
类同于静电场的讨论，在两种不同导电媒质分界面上场量的 边界条件为
J1n= J2n 或 en(J2J1)=0 E1t= E2t 或 en(E2E1)=0
对于线性且各向同性的两种导电媒质，有如下类比于静电场 的折射定律 J tg 1 1 e tg 2 2
U0
不同媒质弧形导电片
π 1 2 ， 时 ， 1 2 1 2 4
通解为：
A B , C D
1 2
代入条件
4 U ( ) U 2 0 1 2 0 1 π ( ) 1 2 1 2

非深埋的球形接地器
3．跨步电压
电力系统接地体一旦有电流通过，由于接地电阻的存在，在地 面上存在电位分布。此时，人体跨步的两足之间的电压称为跨 步电压。当跨步电压超过允许值时，将威胁人的生命。对于如 图所示的半球形接地器，由镜象法，地面上任意点P的电位为
要在导电媒质中维持一恒定电场从而维持一恒定电流，必须 将导电媒质与电源相接，由电源不断得提供维持电流流动所 需的能量。 1、电源 电源是一种能将其它形式的能量（机械能、化学能、热 能等）转换成电能的装置。 电源内部有将正负电荷分离 开来的力，从而使正负电极 间电压恒定，也使与电源相 接的导体间的电压也恒定。
3.2 恒定电场与静电场的比拟
1．静电比拟法 将均匀导电媒质中的恒定电场与无源区中均匀介质内的静电 场相比较，可以看出，两者有如下表的对关系。
Jc 0
D 0
E 0 E
E 0 E
Jc E
I Jc dS
S
D E
1
+ + + + E2t + +
2
+ +
Jc1
U
E2n E 2 E2t Jc1
E2 E2n
图 输电线电场示意图
两种有损电介质分界面上的边界条件： 如图所示，在两种有损电介质的分界面上，应有
E E 1 1 n 2 2 n
J2
2, 2 P 1, 1
同时，还有

E E 2 2 n 1 1 n
2、电源电动势
fe f e ——局外力 局外场强 E e q 电源内部： E E E c e ( E E ) 含源导电媒质电流 J c e
电源电动势
e l ed E
l
c e
电源电动势与局外场强
c e
l E d l l E dl (E E)d Ed
2 1 2 ,, z 2 2 0 0 0 U0
,D
积分，得
=C1 + C2
C2 0
图 扇形导电片中的恒定电流场
由边界条件，得 C U 0 1
故导电片内的电位
U 0
q D dS
S
显然，只要两者对应的边界条件相同，则恒定电流场中电位、 电场强度E和电流密度Jc的分布将分别与静电场中的电位、电 场强度E和电位移矢量D的分布相一致。如果场中两种媒质分区 均匀，当恒定电场与静电场两者边界条件相似，且两者对应的 电导率与介电常数之间满足如下物理参数相似的条件时：