恒定电流的电场与磁场

设圆柱体两端的电位差为U，则
位体积中的功率损失可表示为
E
U，又知
dl
J ， 那I 么单
dS
pl
UI dSdl
UI dV
可见，圆柱体中的总功率损失为
P pldV UI
这就是电路中的焦耳定律。
例1 已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如
图示。其介电常数分别为 1 和 2 ，电导率分别为 1 和 2 ，厚度分别为 d1 和 d2 。当外加恒定电压为 V 时，
试求两层介质中的电场强度，单位体积中的电场储能及
功率损耗。
解： 由于电容器外不存在电流，
可以认为电容器中的电流线与边
界垂直，求得
U
1 1 d1 2 2 d2
J1n J 2n
J1 J2
E11 E2 2
E1
2 d1 2 d21
U
E1d1 E2d2 U
E2
1 d1 2 d21
U
we1
1 2
2 0
D1n D2n D1t D2t
1 2
C=q/U
对偶量
EE JD
I q
G C
§4.4 电阻的计算
一、电介质隔开的导体之间漏电阻的计算
1E12
we2
1 2
2
E22
pl1 E12 pl2 E22
§4.3. 恒定电流场与静电场的比拟
静电场和恒定电场性质比较：
相同点：场性质相同，均为无旋场； 场均不随时间改变； 均不能存在于理想导体内部；
不同点：源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场 的源为运动电荷。 存在区域不同。静电场只能存在于导体外， 恒定电场可以存在于非理想导体内。
总是垂直于理想导电体表面。
关于边界条件的说明： 1、由于导体内存在恒定电场，根据边界条件可知，在导体表 面上的电场既有法向分量又有切向分量。电场并不垂直于导 体表面，因而导体表面不是等位面。 2 、若媒质2是良导体，媒质1是极不良导电媒质，只要不接 近，就可以近似地把良导体表面看作等位面。
例题:
例：同轴线填充两种介质，结构如图所示。两
种介质介电常数分别为 1和 ，2导电率分别为 和 ，1 设同2 轴线内外导体电压为U。
求：(1)导体间的 E， J， ；
(2)分界面上自由电荷分布。
解：这是一个恒定电场边值问题。不能直接 应用高斯定理求解。
2c 2b
2a
1 1 2 2
EJ a
1 1 2 2
电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电
流密度成轴对称分布。
先假设电流为I
求出电流密度J的表达式
求出E1和E2
确定出电流
b
c
U a E1 dr b E2 dr
由边界条件，边界两边电流连续。
设单位长度内从内导体流向外导体电流为I。
J
I S
er
I
2
rHale Waihona Puke er(a r c)
由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：
E1
J
1
I
21r
er
第四章 恒定电流场
Steady electric currents field
恒定电场：恒定电流(运动电荷)产生的电场。恒定电流周围
存在恒定电场和磁场
恒定磁场
恒定电场
恒定电流场的边界条件 恒定电流场的能量损耗 恒定电流场与静电场的比 拟
矢量磁位与标量磁位 媒质磁化 媒质中的恒定磁场方程式 电感与互感 磁场能量与磁场力
在 r a 面上： S1 D1 n
1 2U0
[ 2 ln(b / a) 1 ln(c / b)]a
在 r b 面上：S 2 (D2 D1) er
(21 1 2 )U0
[ 2 ln(b / a) 1 ln(c / b)]b
在 r c 面上：S3 D2 er
2 1U 0
[ 2 ln(b / a) 1 ln(c / b)]c
E1
J
1
[ 2
ln(b /
2U0 a) 1
ln(c / b)]r
er
(a r b)
E2
J
2
[ 2
1U0 ln(b / a) 1 ln(c / b)]r
er
(b r c)
c
2 r E2 dr
(b r c)
b
c
1 r E1 dr b E2 dr
(a r b)
2）由边界条件：
§4.1 恒定电流场的边界条件 Boundary condition
1、恒定电场在分界面上的折射关系为
J1t J1n
E1t E1n
tan1
J 2t J2n
E2t E2n
tan2
tan1 1 tan2 2
n J11 E1
1
2
2
E2 J2
若 2 ,则1 0 。
在流理由想理想导体导表电面体上 流，出进J和入一E般都导垂电直媒于质边时界，面电。流当线电
§4.2 恒定电场的能量损耗 在导电媒质中，自由电子移动时要与原子晶格发生碰
撞，结果产生热能，这是一种不可逆的能量转换。这种 能量损失将由外源不断补给，以维持恒定的电流。
dl J dS
U
圆柱体的端面分别为两个等位面。若在电场力作用下，d t 时间内有d q电荷自圆柱的左端面移至右端面，那么电场力 作的功为
dW dqE dl E dqdl
电场损失的功率 P 为
P dW E dq dl EIdl EJdSdl 单位体积中的功率损d失t 为 dt
pl
EJ
E2
J2
当J和E的方向不同时，上式可以表示为下面一般形式
pl E J
焦耳定律的微分形式
表示某点的功率损耗等于该点的电场强度与电流密度
的标积。
当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电 流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同
可以利用已经获得的静电场 的结果直接求解恒定电流场
可用边界条件与静电场相同的 电流场来研究静电场的特性
静电比拟
例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：
P
N
P
N
电流场
静电场
那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。
静电场与恒定电场的对偶关系
导电媒质中的恒定电场 (电源外)
E 0 E •J 0 J E
2
1 E • dl 1 2
SJ • dS I
2 0
J1n J 2n J1t J 2t
1 2
G=I/U
介质中的静电场 (无源区域)
E 0 E •D 0 DE
2
1 E • dl 1 2
SD • dS q
(a r b)
E2
J
2
I
2 2r
er
(b r c)
b
c
U a E1 dr b E2 dr
I (ln b ln a) I (ln c ln b)
2 1
2 2
I
21 2U0
2 ln(b / a) 1 ln(c / b)
J
1 2U0
(a r c)
[ 2 ln(b / a) 1 ln(c / b)]r