(完整版)函数奇偶性的归纳总结

函数的奇偶性的归纳总结

考纲要求： 了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：

1、理解函数奇偶性的概念；

2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；

3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；

4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。 教学重

点： 1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规教学难点：

1、对奇偶性定义的理解；

2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。

教学过程： 、知识要点：

1、函数奇偶性的概念

一般地，对于函数 f (x) ，如果对于函数定义域内任意一个 x ，都有 f ( x) f (x) ， 那么函数 f ( x) 就叫做偶函数。

一般地，对于函数 f (x) ，如果对于函数定义域内任意一个 x ，都有 f ( x) f (x), 那么函数 f ( x) 就叫做奇函数。

理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。

这两个概 念的区别之一就是，奇偶性是一个 “整体 ”性质，单调性是一个 “局部 ”性质；

(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶

函数、亦奇亦偶函数 .

3、奇偶函数的图象：

奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y 轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称 (也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要

条件是其定义域关于原点对称) 。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0 ≤ a

f(x)在区间[a,b] ( 0≤ a

④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)] 的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)] 是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是：“ 内偶则偶，内奇同外” .

5、判断函数奇偶性的方法：

fx

⑴、定义法：对于函数f(x) 的定义域内任意一个x，都有f x f x 〔或 f x 1 fx 或f x f x 0 〕函数f ( x )是偶函数；

fx

对于函数f ( x)的定义域内任意一个x，都有f x f x 〔或 f x 1或fx

f x f x 0 函数f (x)是奇函数；

判断函数奇偶性的步骤：

①、判断定义域是否关于原点对称；

②、比较f( x) 与f (x) 的关系。

③、扣定义，下结论。

⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数。，

⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：

①奇函数+ 奇函数= 奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；

②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。

③若f (x) 为偶函数，则f ( x) f (x) f(| x|)。

二、典例分析

1、给出函数解析式判断其奇偶性：分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看 f(－ x)与

f(x)的关系 .

(1 ). f (x) x2 2 x 1; (2)

.

f

(x)

解：

f (x) 函数的定义域

是(

) f (x) x2 2 x 1 ，∴

f( x) ( x)2 2 x 1

x 2

2

x 1

∴f (x) x2 2 x 1 为偶函数。

(法 2—图象法) ：画出函数 f (x) x 22

例 1 】判断下列函数的奇偶性：

由函数 f (x) f (x) x 2

说明： 的奇偶性。 x 2

2 x 1 的图象可知，

2 x 1 为偶函数 解答题要用定义法判断函数的奇偶性， 选择题、填空题可用图象法判

断函数 x3

由 x 3 0

，得 x

∈( －∞，－ 3] x3

∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数 (2) . 解： ∪ (3 ，

+∞). (1). 解： 2】 判断下列函数的奇

偶性： 4 x

2 3 2 x 3 f (x)

(1). 由 4

3

;(2) . f

(x)

0 ，解得 30

∴定义域为 － 2≤x< 0 或 0<

x ≤2，则 ∴ f ( x) 4 ( x)2 4 x

2 3sin( 3

2 2x); (3). f

(x) 0

x

。

1

x2

0 且 x 6 f(x

)

4 x 2

x33 f(x);

. 4 x 2

4 x3

2

x 为奇函数 . 3

说明：对于 给出

函数解析式较复杂时， 要在函数的定义域不变情况下， 析式变形化简，然后再进行判断。 3 (2) . 函数 f (x) 3sin(

3

∵ f (x) 3sin( 2x)

∴ f ( x) 3cos 2( x) 3 2 x ∴ f (x)

∴ 函数 f (x)

3sin( 先将函数解

2x)

定义域为 R ， 3cos2x ，

3cos2 x f (x) ， 2x) 为偶函数。

x (3). 由 2 x 又∵ f

(x) ∴ f ( x) ，解得

0 1 x

0 x

2

1 f (x)且 f ( 所以 f

(x) 1 x 0

1 x

2 1

1

1 x) 1 x

2 1

例 3 】 判断下列函数的奇

偶性： 0 ，∴ 函数定义域为 x R x 0, x 1

0，∴ f ( x) 0 ，

f(x)，

0 既是奇函数又是偶函数。 (1). f (x) log 0.5 ( x x 2

1) ；

(2).

x(1 x),(x 0) 0, (x 0) x(1 x),(x 0)

f(x )

1，