函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性的判定方法山东 刘海函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法．1．定义域判定法例1 判定()(1)2f x x x =--的奇偶性．解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数．评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性．2．定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性．解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ， 且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数．评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性．3．等价形式判定法例3 判定()f x =的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点．又0x ≠时，2222()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-． 又(0)0f =，()f x ∴为奇函数．评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或()1()f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()()g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ϕ=的奇偶性．解：在()()f x g x ，的公共定义域[]a a -，内，任取一个x ，则()()()x f x g x ϕ-=--， ()()f x g x ，分别是奇函数和偶函数，()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=．()()()()()()x f x g x f x g x x ϕϕ∴-=--=-=-．()x ϕ∴在[]a a -，上为奇函数．评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．。
奇偶函数的判断口诀
奇偶函数的判断口诀
判断一个函数是奇函数还是偶函数可以使用以下口诀：
"奇函数积偶负，偶函数积偶正"。
这句口诀的意思是，如果一个函数是奇函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是负数；如果一个函数是偶函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是正数。
另外，还可以通过函数的定义来判断。
奇函数满足f(-x)=-
f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
通过这两个条件，可以判断一个函
数是奇函数还是偶函数。
此外，还可以通过函数图像的对称性来判断。
如果函数的图像
关于原点对称，则该函数是奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，则该函数是偶函数。
综上所述，通过口诀、函数的定义和函数图像的对称性这几种
方法，可以较为全面地判断一个函数是奇函数还是偶函数。
函数奇偶性的判定口诀
函数奇偶性的判定口诀
函数奇偶性的判定口诀是：内偶则偶，内奇同外。
验证奇偶性的前提：请求函数的定义域必须关于原点对称。
扩展资料
函数奇偶性的概念
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。
但由单调性不能代表其奇偶性。
验证奇偶性的`前提请求函数的定义域必须关于原点对称。
判断函数奇偶性的方法
判断函数奇偶性的方法
⑴定义域法
求出函数的定义域，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；如果定义域关于原点对称，则要用下面方法继续判别。
⑵解析法
利用函数解析式，根据奇偶性的定义确定函数奇偶性的方法。
⑶图像法
利用图像的对称性确定函数奇偶性的方法。
⑷运算法
利用已知函数的奇偶性，确定它们的和、差、积、商型函数的奇偶性。
注意：一般来说，函数的奇偶性有四种情况，一个函数不可能有两种奇偶性。
但函数Y=0是特殊情况，它既是奇函数、又是偶函数，这点要特别考虑。
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函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法函数的奇偶性，指的是一个函数图象关于坐标系原点或y轴的对称性。
判断函数奇偶性的方法主要有图象法、定义法、奇偶函数的四则运算性质、奇偶函数的复合函数性质等。
1、图象法（1）若一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。
（2）若一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。
【注意事项】（1）若奇函数()y f x=在0x=处有定义，则其函数图象必定过原点，即必有()00f=。
（2）奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
2、定义法（1）若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()f x f x-=-，那么函数()y f x=为定义域上的奇函数。
【等价定义1】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()0f x f x-+=，那么函数()y f x=为定义域上的奇函数。
【等价定义2】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()1f xf x-=-（分母不为0），那么函数()y f x=为定义域上的奇函数。
（2）若函数()y g x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()f x f x-=，那么函数()y f x=为定义域上的偶函数。
【等价定义1】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()0f x f x--=，那么函数()y f x=为定义域上的偶函数。
【等价定义2】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x 都有()()1f x f x -=（分母不为0），那么函数()y f x =为定义域上的偶函数。
3、奇偶函数的四则运算性质（1）两个奇函数的和或差仍为奇函数。
【例】sin y x x =+，3sin y x x =-等。
（2）两个偶函数的和或差仍为偶函数。
【例】1cos y x =+，2cos y x x =-等（3）两个奇函数的积或商（除数不为0）奇函数为偶函数。
函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法在学习函数的性质时，我们经常会遇到函数的奇偶性判断问题。
那么，什么是函数的奇偶性呢？如何准确地判断一个函数的奇偶性呢？本文将详细介绍函数奇偶性的判断方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来了解一下函数的奇偶性的概念。
一个函数的奇偶性是指该函数图象关于原点对称的性质。
具体来说，如果对于函数f(x)，对于任意实数x，有f(-x)=f(x)，那么我们称该函数为偶函数；如果对于函数f(x)，对于任意实数x，有f(-x)=-f(x)，那么我们称该函数为奇函数。
接下来，我们将介绍如何判断一个函数的奇偶性。
首先，我们可以利用函数的解析式来进行判断。
对于一个函数f(x)，如果它的解析式中只包含偶次幂的项（如x^2, x^4,等），那么该函数就是偶函数；如果它的解析式中只包含奇次幂的项（如x, x^3,等），那么该函数就是奇函数；如果它的解析式中即包含偶次幂的项，又包含奇次幂的项，那么该函数既不是偶函数，也不是奇函数。
其次，我们可以利用函数的图象来进行判断。
对于一个函数f(x)，如果它的图象关于y轴对称，那么该函数是偶函数；如果它的图象关于原点对称，那么该函数是奇函数；如果它的图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，那么该函数既不是偶函数，也不是奇函数。
除此之外，我们还可以利用函数的性质来进行判断。
对于一个函数f(x)，如果它满足函数的奇偶性质，那么我们可以利用函数的性质来进行判断。
例如，对于偶函数，我们有f(x)+f(-x)=0；对于奇函数，我们有f(x)-f(-x)=0。
总之，函数的奇偶性判断方法主要有三种，利用函数的解析式、利用函数的图象、利用函数的性质。
通过这些方法，我们可以准确地判断一个函数的奇偶性。
在实际问题中，我们经常需要根据函数的奇偶性来简化问题的求解过程，因此掌握这一知识点对于我们的学习和工作都是非常重要的。
希望本文能够帮助大家更好地理解和掌握函数奇偶性的判断方法，同时也希望大家能够在实际问题中灵活运用这一知识点，提高问题的解决效率。
函数的奇偶性口诀
函数的奇偶性口诀函数奇偶性的判断口诀：内偶则偶，内奇同外。
验证奇偶性的前提：要求函数的定义域必须关于原点对称。
判定奇偶性四法（1）定义法用定义来判断函数奇偶性，是主要方法。
首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称。
其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性。
（2）用必要条件具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。
例如，函数y=的定义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性。
（3）用对称性若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。
若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。
（4）用函数运算如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)?g(x)是偶函数。
简单地，“奇+奇=奇，奇×奇=偶”。
类似地，“偶±偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇”。
函数奇偶性性质1、大部分偶函数没有反函数（因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数）。
2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
3、奇±奇=奇（可能为既奇又偶函数），偶±偶=偶（可能为既奇又偶函数），奇X奇=偶，偶X偶=偶，奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）.4、对于F（x）=f[g(x)]：若g(x）是偶函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数。
若g(x）是偶函数且f（x）是奇函数，则F[x]是偶函数。
若g(x）是奇函数且f（x）是奇函数，则F[x]是奇函数。
若g(x）是奇函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数。
5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称。
判断奇偶性的步骤
判断奇偶性的步骤
1、用定义来判断函数奇偶性。
首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称。
其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性。
奇函数：定义域关于原点对称的函数f（x），满足在定义内任意f（x）都有f（x）=-f（-x）。
偶函数：定义域关于原点对称的函数f（x），满足在定义内任意f（x）都有f（x）=f（-x）。
2、具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。
例如，函数y=的定义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性。
3、用对称性。
若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。
若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。
4、用函数运算。
如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)•g(x)是偶函数。
如：“奇+奇=奇，奇×奇=偶”。
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函数奇偶性的判断方法
（周口卫生学校 马爱华 466000）
摘要：本文由两个高考题来验证判断函数奇偶性的三种常见方法：1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）；2、用求和（差）法判断；3、用求商法判断。
关键词：奇函数 偶函数 定义域 求和（差）法 求商法
函数的奇偶性是函数的一个重要的性质，其重要性质体现在它与函数的各种性质的联系之中，那么，怎样来判断函数的奇偶性呢？
函数的奇偶性的判断应从两方面来进行，一是看函数的定义域是否关于原点对称（这是判断奇偶性的必要性）二是看)(x f 与)(x f -的关系。
判断方法有以下三种：
1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法） 定义：如果对于函数y=f （x ）的定义域A 内的任意一个值x ， 都有f （-x ）=-f （x ）则这个涵数叫做奇函数
f （-x ）=f （x ） 则这个函数叫做偶函数
2、用求和（差）法判断
若0)()(=-+x f x f (()()2())f x f x f x --=则)(x f 为奇函数
若())(2)()(0)()(x f x f x f x f x f =-+=-- 则)(x f 为偶函数
3、用求商法判断
若
()0)(1)()(≠-=-x f x f x f 则)(x f 为奇函数 若()0)(1)
()(≠=-x f x f x f 则)(x f 为偶函数
例1、判断函数()x x x f ++=21lg )(的奇偶性（对口升学07年高考题） 解法一（定义法）
函数的定义域为R ，关于原点对称
()
x x x f -+=-21lg )(
==()1221lg 11lg -++=++x x x x
= )x - ()f x =-
)(x f ∴为奇函数
解法二（求和（差）法）
()()x x x x x f x f -++++=-+221lg 1lg )()(
()()
x x x x -+++=2211lg
=01lg =
)(x f ∴为奇函数 解法三（求商法） ()()()()
()x x x x x x x x x x x x x f x f ++++-=+++=++-+=-2222221lg 1lg 1lg 11
lg 1lg 1lg )()( )0(1≠-=x
)(x f ∴为奇函数
例2判断函数⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=21121)(x x x f 的奇偶性（对口升学08年高考题） 解法一（定义法） 函数的定义域为0≠x 的全体实数，关于原点对称
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=--212
1221121)(x x x x x x f
为偶函数而)()
()(2(221)12(212221121)()12(212)21(212)21(22122x f x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x ∴=-∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+•-=
解法二（求和（差）法）
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=--21121)()(x x x f x f 为偶函数
)(01
2)21(1221222
12212x f x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x ∴=+-=+--=+-⋅-+-=+-⋅++-=
解法二（求商法）
211212122211212112221121212122112121121)()(1+--=+---=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=---x x x x x x x x x x x x x x f x f 11
2121
2(2122)12(21
222=++=--+-+-⋅=x x x x x x x 为偶数函数)(x f ∴
例3已知0)(=x f 是定义在R 上的函数，试判断)(x f 的奇偶性
解：)(x f 的定义域为R ，关于原点对称
为偶函数)()
(0)(x f x f x f ∴==-
又)(00)(x f x f -=-==-
为既奇偶函数为奇函数
)()(x f x f ∴∴
由例3可知，确实存在既是奇函数又是偶函数的函数，这种函数的值恒为零。
因此，函数可分为四类：
1、奇函数（非偶函数）
2、偶函数（非奇函数）
3、既是奇函数又是偶函数（既奇又偶函数）
4、既不是奇函数又不是偶函数（非奇非偶函数）
另外，我们还可以利用函数的图象来判断函数的奇偶性。
偶函数 ⇔ 其图象关于y 轴对称
奇函数 ⇔ 其图象关于原点对称
从上面两个等价命题可以得出：奇函数在原点两侧的单调性相同（即同增同减）；偶函数在原点两侧的单调性相反（即左增右减或左减右增）
因此，我们也可以从函数的图象来判断函数的奇偶性，进而解决有关奇偶性的问题。
参考文献：
[1]《数学》（基础模块）上册 中等职业教育课程改革国家规划教材 2012年
[2]《数学》河南省职业技术教育教学研究室 编
2013年河南省中等职业学校对口升学考试复习指导。