函数奇偶性的判定方法
函数的奇偶性与定义域的判定
函数的奇偶性与定义域的判定函数的奇偶性与定义域的判定是数学中的重要概念，它们在函数的性质分析和问题求解中具有重要的作用。
本文将详细讨论函数的奇偶性和定义域的判定方法。
一、函数的奇偶性的概念及判断方法函数的奇偶性是指函数在定义域内是否满足某种对称性质。
具体而言，设函数 f(x) 在定义域内有定义，对于任意 x，若有 f(-x) = f(x)，则称函数 f(x) 是偶函数；若有 f(-x) = -f(x)，则称函数 f(x) 是奇函数；若对于任意 x 都不满足以上两种对称性质，则称函数 f(x) 为非奇非偶函数。
判断函数的奇偶性的方法有两种：代数判断法和几何判断法。
1. 代数判断法代数判断法是通过函数的表达式进行判断。
对于函数 f(x)，若有以下两种情况之一成立，则可以判断函数的奇偶性：（1）当 x 替换为 -x 时，f(x) 的表达式不变，即 f(x) = f(-x)，则函数f(x) 为偶函数；（2）当 x 替换为 -x 时，f(x) 的表达式的正负号发生改变，即 f(x) = -f(-x)，则函数 f(x) 为奇函数。
2. 几何判断法几何判断法是通过函数的图像进行判断。
对于函数 f(x)，若其图像关于 y 轴对称，则函数 f(x) 为偶函数；若其图像关于坐标原点对称，则函数 f(x) 为奇函数。
二、定义域的判定方法定义域是指函数中自变量 x 可取的实数范围。
在确定函数的定义域时，需要考虑函数中存在的根号、分式、对数等特殊运算。
1. 根号的定义域当函数中存在根号运算时，需要满足被开方数大于等于零，即被开方数的取值范围应大于等于零。
例如，函数f(x) = √(x-1)，则 x-1 ≥ 0，解得x ≥ 1，因此函数的定义域为[1, +∞)。
2. 分式的定义域当函数中存在分式运算时，需要满足分母不等于零，即分母的取值范围不能包括使分母为零的数。
例如，函数 f(x) = 1/(x-2)，则 x-2 ≠ 0，解得x ≠ 2，因此函数的定义域为 (-∞, 2) U (2, +∞)。
奇偶函数的判断口诀
奇偶函数的判断口诀
判断一个函数是奇函数还是偶函数可以使用以下口诀：
"奇函数积偶负，偶函数积偶正"。
这句口诀的意思是，如果一个函数是奇函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是负数；如果一个函数是偶函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是正数。
另外，还可以通过函数的定义来判断。
奇函数满足f(-x)=-
f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
通过这两个条件，可以判断一个函
数是奇函数还是偶函数。
此外，还可以通过函数图像的对称性来判断。
如果函数的图像
关于原点对称，则该函数是奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，则该函数是偶函数。
综上所述，通过口诀、函数的定义和函数图像的对称性这几种
方法，可以较为全面地判断一个函数是奇函数还是偶函数。
函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法（周口卫生学校 马爱华 466000）摘要：本文由两个高考题来验证判断函数奇偶性的三种常见方法：1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）；2、用求和（差）法判断；3、用求商法判断。
关键词：奇函数 偶函数 定义域 求和（差）法 求商法函数的奇偶性是函数的一个重要的性质，其重要性质体现在它与函数的各种性质的联系之中，那么，怎样来判断函数的奇偶性呢？函数的奇偶性的判断应从两方面来进行，一是看函数的定义域是否关于原点对称（这是判断奇偶性的必要性）二是看)(x f 与)(x f -的关系。
判断方法有以下三种：1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法） 定义：如果对于函数y=f （x ）的定义域A 内的任意一个值x ， 都有f （-x ）=-f （x ）则这个涵数叫做奇函数f （-x ）=f （x ） 则这个函数叫做偶函数2、用求和（差）法判断若0)()(=-+x f x f (()()2())f x f x f x --=则)(x f 为奇函数若())(2)()(0)()(x f x f x f x f x f =-+=-- 则)(x f 为偶函数3、用求商法判断若()0)(1)()(≠-=-x f x f x f 则)(x f 为奇函数 若()0)(1)()(≠=-x f x f x f 则)(x f 为偶函数例1、判断函数()x x x f ++=21lg )(的奇偶性（对口升学07年高考题） 解法一（定义法）函数的定义域为R ，关于原点对称()x x x f -+=-21lg )(=()1221lg 11lg -++=++x x x x= )x - ()f x =-)(x f ∴为奇函数解法二（求和（差）法）()()x x x x x f x f -++++=-+221lg 1lg )()(()()x x x x -+++=2211lg=01lg =)(x f ∴为奇函数 解法三（求商法） ()()()()()x x x x x x x x x x x x x f x f ++++-=+++=++-+=-2222221lg 1lg 1lg 11lg 1lg 1lg )()( )0(1≠-=x)(x f ∴为奇函数例2判断函数⎪⎭⎫⎝⎛+-=21121)(x x x f 的奇偶性（对口升学08年高考题） 解法一（定义法） 函数的定义域为0≠x 的全体实数，关于原点对称⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=--2121221121)(x x x x x x f为偶函数而)()()(2(221)12(212221121)()12(212)21(212)21(22122x f x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x ∴=-∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+•-=解法二（求和（差）法）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--21121)()(x x x f x f 为偶函数)(012)21(122122212212x f x x x x x x x x x x x x x x xx x x x ∴=+-=+--=+-⋅-+-=+-⋅++-=解法二（求商法）211212122211212112221121212122112121121)()(1+--=+---=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=---x x x x x x x x x x x x x x f x f 1121212(2122)12(21222=++=--+-+-⋅=x x x x x x x 为偶数函数)(x f ∴例3已知0)(=x f 是定义在R 上的函数，试判断)(x f 的奇偶性解：)(x f 的定义域为R ，关于原点对称为偶函数)()(0)(x f x f x f ∴==-又)(00)(x f x f -=-==-为既奇偶函数为奇函数)()(x f x f ∴∴由例3可知，确实存在既是奇函数又是偶函数的函数，这种函数的值恒为零。
函数的奇偶性
函数的奇偶性第一部分 知识梳理1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数；2.函数奇偶性的判定方法①定义法：ⅰ)若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；ⅱ)若函数的定义域关于原点对称，在判断()f x -是否等于()f x ±-，或判断()()f x f x ±-是否等于零，或判断()()f x f x -是否等于1±；判断函数奇偶性一般步骤：ⅰ)求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称ⅱ）用x -代替x ，验证()()f x f x -=-，奇函数；若()()f x f x -=，偶函数；否则，非奇非偶。
②图像法③性质法：偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍奇函数； 奇数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇函数；一个偶函数与一个奇函数的乘积是奇函数3.奇偶函数图像的性质①()()()()0f x f x f x f x ⇔-=-⇔+-=奇函数⇔函数的图像关于中心原点对称；⇔偶函数()()()-()0f x f x f x f x -=⇔-=⇔函数的图像关于y 轴对称②若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．③()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=④奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.第二部分 精讲点拨考点1 奇偶函数的概念与性质1、下列说法错误的个数（ ）①图像关于坐标原点对称的函数奇函数 ②图象关于y 轴对称的函数是偶函数③奇函数的图像一定过坐标原点 ④偶函数的图像一定与y 轴相交.1A 个 .2B 个 .3C 个 .4D 个[].1EX (1)已知函数()y f x =是偶函数，其图像与x 轴有四个交点，则方程()0f x =的所有实根之和是（ ）A ．4 B.2 C.1 D.0（2）已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x >时，()f x 的图像如图，那么()f x 的值域是___________[].2EX （1）设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当[]0,5x ∈时,()f x 的图象如右图,则不等式()0f x < 的解是____________(2)设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 （ ）.()()A f x f x -是奇函数 .()()B f x f x -是奇函数 .()()C f x f x --是偶函数 .()()D f x f x +-是偶函数(3)若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a 等于（ ）.2A - .1B - .1C .2D(4)已知2()1x f x m x =++为奇函数，则(1)f -的值是________考点2 奇偶函数的判断判断下列函数的奇偶性（1）()f x = （2）()11f x x x =++- （3）()(f x x =-（4）23()f x x x =- (5)2223(0)()0(0)23(0)x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩考点3 函数奇偶性的应用（1） 已知53()8f x ax bx cx =++-，且()10f d =，求()f d -的值。
函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法函数的奇偶性，指的是一个函数图象关于坐标系原点或y轴的对称性。
判断函数奇偶性的方法主要有图象法、定义法、奇偶函数的四则运算性质、奇偶函数的复合函数性质等。
1、图象法（1）若一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。
（2）若一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。
【注意事项】（1）若奇函数()y f x=在0x=处有定义，则其函数图象必定过原点，即必有()00f=。
（2）奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
2、定义法（1）若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()f x f x-=-，那么函数()y f x=为定义域上的奇函数。
【等价定义1】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()0f x f x-+=，那么函数()y f x=为定义域上的奇函数。
【等价定义2】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()1f xf x-=-（分母不为0），那么函数()y f x=为定义域上的奇函数。
（2）若函数()y g x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()f x f x-=，那么函数()y f x=为定义域上的偶函数。
【等价定义1】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()0f x f x--=，那么函数()y f x=为定义域上的偶函数。
【等价定义2】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x 都有()()1f x f x -=（分母不为0），那么函数()y f x =为定义域上的偶函数。
3、奇偶函数的四则运算性质（1）两个奇函数的和或差仍为奇函数。
【例】sin y x x =+，3sin y x x =-等。
（2）两个偶函数的和或差仍为偶函数。
【例】1cos y x =+，2cos y x x =-等（3）两个奇函数的积或商（除数不为0）奇函数为偶函数。
究竟如何判别函数的奇偶性附判断方法与8字口诀
究竟如何判别函数的奇偶性?附判断方法与8字口诀
函数的奇偶性是函数的一个重要的性质，其重要性质体现在它与函数的各种性质的联系之中，那么，怎样来判断函数的奇偶性呢？下面是组合教育张老师整理的关于函数奇偶性知识点，希望对考生复习有帮助。
一般地，对于函数f(x)
(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函
数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
(5) 若f(x)=0，既是奇函数，又是偶函数。
说明：
1.奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言；
2.奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验期定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义函数奇偶性知识点的全部知识点就分享到这里，更多精彩敬请点击视频查看详解。
函数奇偶性口诀：
内偶则偶，内奇同外。
奇函数+奇函数=奇函数
偶函数+偶函数=偶函数
奇函数*奇函数=偶函数
偶函数*偶函数=偶函数
奇函数*偶函数=奇函数。
数学复习函数的奇偶性与单调性的判定与应用
数学复习函数的奇偶性与单调性的判定与应用数学复习：函数的奇偶性与单调性的判定与应用一、引言在数学中，函数是一种重要的概念，用于描述数值之间的关系。
函数的奇偶性与单调性是研究函数特性的重要方面。
本文将对函数的奇偶性与单调性的判定方法和应用进行复习和总结。
二、函数的奇偶性的判定与应用1. 奇函数与偶函数的定义奇函数指满足f(-x)=-f(x)的函数，即关于原点对称；偶函数指满足f(-x)=f(x)的函数，即关于y轴对称。
2. 函数奇偶性的判定方法（1）对于已知函数 f(x)，可根据奇函数和偶函数的定义，通过验证f(-x)与f(x)的关系，来判定函数的奇偶性。
（2）特殊情况下，例如幂函数、正弦函数等具有明显的对称特点的函数，可以直接判断其奇偶性。
3. 奇偶函数的性质（1）奇函数与奇函数相加、相减仍为奇函数。
（2）偶函数与偶函数相加、相减仍为偶函数。
（3）奇函数与偶函数相乘为奇函数。
4. 奇偶函数的应用（1）对称轴：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
根据奇偶函数的性质，可以确定图像的对称轴位置。
（2）函数的简化：奇函数与偶函数的特殊性质，可用于简化复杂的函数表达式。
（3）函数的积分：在某些情况下，奇函数在对称区间上的积分为0，而偶函数在关于y轴对称的区间上的积分具有简化求解的特点。
三、函数的单调性的判定与应用1. 单调递增与单调递减的定义（1）单调递增指函数在定义域上的任意两点满足f(x1)<=f(x2)，当x1<x2时。
（2）单调递减指函数在定义域上的任意两点满足f(x1)>=f(x2)，当x1<x2时。
2. 函数单调性的判定方法（1）求导：对于已知函数 f(x)，求其导函数 f'(x)。
若在定义域上f'(x)>=0，则函数在该区间上单调递增；若 f'(x)<=0，则函数在该区间上单调递减。
（2）二阶导数：当一阶导数无法确定函数的单调性时，可求二阶导数，通过二阶导数的正负来判定函数的单调性。
函数的奇偶性
函数的奇偶性定义：设函数y=f(x)如果对于任意的x A ∈都有发y=f(x)f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数设函数y=f(x)如果对于任意的x A ∈都有发f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数注：1 函数y=f(x)是奇函数或偶函数，则称函数y=f(x)具有奇偶性2 定义域不关于原点对称或得不出y=f(x)和 f(-x)=-f(x)，则称f(x)不具有奇偶性一 判断函数奇偶性的几种方法1.直接利用定义判定如果函数f(x)的定义域关于原点对称，则可验证是否满足f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)，从而判定f(x)是奇函数还是偶函数。
注：a:既是奇函数又是偶函数只能f(x)=0f(x)=0,但定义域的不同。
f(x)=0有无穷个b:若函数是奇函数则f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0例1．判断下列函数的奇偶性 (1) 11)(--+=x x x f ； (2) xx x x f -+-=11)1()( ; (3)221)(2---=x x x f ; (4) ⎪⎩⎪⎨⎧>+<-=)0()1()0()1()(x x x x x x x f ④33)(22-+-=x x x f 既是奇函数又是偶函数 ⑤2)(2+--=a x x x f a=0时偶函数，a ≠0时非奇非偶函数 ⑥22)(+--=x x x f5．(2008年高考上海卷)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________________.2.间接利用定义判定（定义的等价命题）f(x)+f(-x)=0⇔f(x)是奇函数，f(x)-f(-x)=0⇔f(x)是偶函数或当f(x)≠0时，1)()(-=-x f x f ⇔)(x f 是奇函数。
1)()(=-x f x f ⇔)(x f 是偶函数 注：函数以对数形式或根式出现时，可考虑此方法。
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函数奇偶性的判定方法
山东 刘海
函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法．
1．定义域判定法
例1 判定()(1)2f x x x =--的奇偶性．
解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，
定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数．
评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性．
2．定义判定法
例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性．
解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ， 且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数．
评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性．
3．等价形式判定法
例3 判定
()f x =
的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点．
又
0x ≠时，22
22()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-． 又(0)0f =，()f x ∴为奇函数．
评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1()
f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或
()1()
f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()()
g x x ∈R 是偶函数，
试判定()()()x f x g x ϕ=的奇偶性．
解：在()()f x g x ，的公共定义域[]a a -，内，
任取一个x ，则()()()x f x g x ϕ-=--， ()()f x g x ，分别是奇函数和偶函数，
()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=．
()()()()()()x f x g x f x g x x ϕϕ∴-=--=-=-．
()x ϕ∴在[]a a -，上为奇函数．
评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．。