量子力学答案(第二版)苏汝铿第三章课后答案3.11-3#9
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2
ˆ | l , m l l 1 （ii）由 L
2
2
ˆ2 的本征值为 2 | l , m 知 L
2
2
。
ˆ2 的本征值为 2 （iii） | 是 L
ˆ2 , L ˆ 0 (i x, y, z ) 的本征态 且有 L i
ˆ 的且 l 1 的共同本征态表出，即 ˆ2 和 L 所以 | 也可以被 L y
ˆ 的可能值也为 , 0, 。有对称性知 L z
, 0,
。
3.12
ˆ2 得到的值是 6 体系处在某一状态，在该状态中测量力学量 L
2
ˆ 得 ，测量力学量 L z
ˆ 可能得到的值。 ˆ 和L 到的是 ，求测量 L y x
ˆ 的共同本征态，设这个状态为 | l , m ，则有 ˆ 和L 解： 由题设易知这个态为 L z
ˆ | L ˆ C |1,1 L ˆ C |1,0 C |1,1 则有 L z z 1 z 2 1
ˆ | l , m m | l , m 。所以 L ˆ 的可能值为 和 0 ，这是因为 L ˆ 的平均值为 （i） L z z z
ˆ | C | L z 1
ˆ 的可能值都为 2 , , 0 。 ˆ 和L 根据与上题同样的理由，易知 L y x
3.13
ˆ 证明算符 O
n ,m 0
An,m
ˆnx ˆn ˆm x ˆm P P （ An , m 是实数） 是厄米算符。 2
ˆˆ 证明：先证明 xP
ˆ x ˆ 。 对任意态矢 | 有 P ˆ P ˆ x ˆ x ˆ ˆ | x ˆ P ˆ | P ˆ | | xP ˆ ˆ xP ˆ ˆ | | xP ˆ x ˆ ˆ | P ˆ | 因为 | 是任意的。 这样就得到 xP ˆ P ˆ x ˆ x ˆ P ˆ ˆ ˆ P ˆ 所以就证明了 进而可得 x xP
|
my 1,0,1
amy |1, my
批注 [JL1]:
且有如下关系
amy ???
应算出来，即由 C1 与 C2 表出。
2 ˆ |1, m m |1, m amy 1 ， L y y y y m 1,0,1 y
ˆ 的可能值为 所以 L y
3.11
设体系处在 C1Y11 C2Y10 态，且 C1 C2
2
2
1 ，求：
ˆ 的可能值和平均值； (i) 力学量 L Z
ˆ2 的本征值； （ii）力学量 L
ˆ 的可能值。 ˆ 和L （iii）力学量 L y x
解： 可让 | C1 |1,1 C2 |1,0 表示体系所处的态。
2
ˆ2 | l , m L l l 1
2
| l, m 6 2 | l, m ，
ˆ | l, m L m | l, m | l, m z
所以 l 2 ， m 1 ，
于是 | l , m | 2, 1 。
批注 [JL2]: 为什么对所有可能的本 证态度一定会出现？
m
n
n
m
同时又有 所以可得
ˆP ˆ， x ˆ x ˆ P
m n n
成立
m
ˆ P ˆ x ˆ P ˆ x
ˆnx ˆm P
பைடு நூலகம்
于是 证完。
ˆnx ˆn ˆn P ˆnx ˆm x ˆmP ˆmP ˆm ˆ P x ˆ O A A O n,m n ,m 2 2 n ,m0 n ,m 0
ˆ | l , m l l 1 （ii）由 L
2
2
ˆ2 的本征值为 2 | l , m 知 L
2
2
。
ˆ2 的本征值为 2 （iii） | 是 L
ˆ2 , L ˆ 0 (i x, y, z ) 的本征态 且有 L i
ˆ 的且 l 1 的共同本征态表出，即 ˆ2 和 L 所以 | 也可以被 L y
ˆ 的可能值也为 , 0, 。有对称性知 L z
, 0,
。
3.12
ˆ2 得到的值是 6 体系处在某一状态，在该状态中测量力学量 L
2
ˆ 得 ，测量力学量 L z
ˆ 可能得到的值。 ˆ 和L 到的是 ，求测量 L y x
ˆ 的共同本征态，设这个状态为 | l , m ，则有 ˆ 和L 解： 由题设易知这个态为 L z
ˆ | L ˆ C |1,1 L ˆ C |1,0 C |1,1 则有 L z z 1 z 2 1
ˆ | l , m m | l , m 。所以 L ˆ 的可能值为 和 0 ，这是因为 L ˆ 的平均值为 （i） L z z z
ˆ | C | L z 1
ˆ 的可能值都为 2 , , 0 。 ˆ 和L 根据与上题同样的理由，易知 L y x
3.13
ˆ 证明算符 O
n ,m 0
An,m
ˆnx ˆn ˆm x ˆm P P （ An , m 是实数） 是厄米算符。 2
ˆˆ 证明：先证明 xP
ˆ x ˆ 。 对任意态矢 | 有 P ˆ P ˆ x ˆ x ˆ ˆ | x ˆ P ˆ | P ˆ | | xP ˆ ˆ xP ˆ ˆ | | xP ˆ x ˆ ˆ | P ˆ | 因为 | 是任意的。 这样就得到 xP ˆ P ˆ x ˆ x ˆ P ˆ ˆ ˆ P ˆ 所以就证明了 进而可得 x xP
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my 1,0,1
amy |1, my
批注 [JL1]:
且有如下关系
amy ???
应算出来，即由 C1 与 C2 表出。
2 ˆ |1, m m |1, m amy 1 ， L y y y y m 1,0,1 y
ˆ 的可能值为 所以 L y
3.11
设体系处在 C1Y11 C2Y10 态，且 C1 C2
2
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1 ，求：
ˆ 的可能值和平均值； (i) 力学量 L Z
ˆ2 的本征值； （ii）力学量 L
ˆ 的可能值。 ˆ 和L （iii）力学量 L y x
解： 可让 | C1 |1,1 C2 |1,0 表示体系所处的态。
2
ˆ2 | l , m L l l 1
2
| l, m 6 2 | l, m ，
ˆ | l, m L m | l, m | l, m z
所以 l 2 ， m 1 ，
于是 | l , m | 2, 1 。
批注 [JL2]: 为什么对所有可能的本 证态度一定会出现？
m
n
n
m
同时又有 所以可得
ˆP ˆ， x ˆ x ˆ P
m n n
成立
m
ˆ P ˆ x ˆ P ˆ x
ˆnx ˆm P
பைடு நூலகம்
于是 证完。
ˆnx ˆn ˆn P ˆnx ˆm x ˆmP ˆmP ˆm ˆ P x ˆ O A A O n,m n ,m 2 2 n ,m0 n ,m 0