上海市北初级中学人教版七年级上册数学 压轴题 期末复习试卷及答案

上海市北初级中学人教版七年级上册数学 压轴题 期末复习试卷及答案

一、压轴题

1．如图1，已知面积为12的长方形ABCD ，一边AB 在数轴上。点A 表示的数为—2，点B 表示的数为1，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P 运动时间为t （t>0）秒.

（1）长方形的边AD 长为 单位长度；

（2）当三角形ADP 面积为3时，求P 点在数轴上表示的数是多少；

（3）如图2，若动点Q 以每秒3个单位长度的速度，从点A 沿数轴向右匀速运动，与P 点出发时间相同。那么当三角形BDQ ，三角形BPC 两者面积之差为1

2

时，直接写出运动时间t 的值. 2．综合试一试

（1）下列整数可写成三个非0整数的立方和：45=_____；2=______．

（2）对于有理数a ，b ，规定一种运算：2a b a ab ?=-．如2121121?=-?=-，则计算()()532-??-=????______． （3）a 是不为1的有理数，我们把

11a

-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1

112=--，1-的差倒数是

()11

112

=--．已知12a =，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3

a 的差倒数，……，以此类推，122500a a a ++???+=______．

（4）10位裁判给一位运动员打分，每个人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余得分的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位，该运动员得9.4分，如果精确到百分位，该运动员得分应当是_____分． （5）在数1.2.3...2019前添加“+”，“-”并依次计算，所得结果可能的最小非负数是______

（6）早上8点钟，甲、乙、丙三人从东往西直行，乙在甲前400米，丙在乙前400米，

甲、乙、丙三人速度分别为

120米/分钟、100米/分钟、90米/分钟，问：______分钟后甲和乙、丙的距离相等.

3．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且AB =22，动点P 从A 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t ＞0）秒．

（1）出数轴上点B 表示的数 ；点P 表示的数 （用含t 的代数式表示） （2）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P 、Q 同时出发，问多少秒时P 、Q 之间的距离恰好等于2？

（3）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，问点P 运动多少秒时追上点Q ？

（4）若M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．

4．观察下列等式：111122=-?，1112323=-?，1113434

=-?，则以上三个等式两边分别相加得：

1111111131122334223344

++=-+-+-=???． ()1观察发现

()1n n 1=+______；()

1111122334n n 1+++?+=???+______．

()2拓展应用

有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆(如图1)，在每个分点标上质数m ，记2个数的和为1a ；第二次再将两个半圆周都分成1

4

圆周(如图2)，在新产生的分点标上相邻的已标的两数之和的

12，记4个数的和为2a ；第三次将四个14圆周分成1

8

圆周(如图3)，在新产生的分点标上相邻的已标的两数之和的1

3，记8个数的和为3a ；第四次将八个

18圆周分成116圆周，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的1

4，记16个数的和为4a ；??如此进行了n 次．

n a =①______(用含m 、n 的代数式表示)；

②当n a 6188=时，求123n

1111a a a a +++??+的值．

5．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．（1）设运动时间为t（t＞0）秒，数轴上点B表示的数是，点P表示的数是（用含t的代数式表示）；（2）若点P、Q同时出发，求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？

6．已知，如图，A、B、C分别为数轴上的三点，A点对应的数为60，B点在A点的左侧，并且与A点的距离为30，C点在B点左侧，C点到A点距离是B点到A点距离的4倍．

（1）求出数轴上B点对应的数及AC的距离．

（2）点P从A点出发，以3单位/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒．

①当P点在AB之间运动时，则BP＝．（用含t的代数式表示）

②P点自A点向C点运动过程中，何时P，A，B三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间t．

③当P点运动到B点时，另一点Q以5单位/秒的速度从A点出发，也向C点运动，点Q到达C点后立即原速返回到A点，那么Q点在往返过程中与P点相遇几次？直．接．写．出．相遇时P点在数轴上对应的数

7．如图，以长方形OBCD的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，B点坐标为（0，a），C点坐标为（c，b），且a、b、C满足6

a +|2b+12|+（c﹣4）2＝0．

（1）求B、C两点的坐标；

（2）动点P从点O出发，沿O→B→C的路线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，设点P 的运动时间为t秒，DC上有一点M（4，﹣3），用含t的式子表示三角形OPM的面积；

（3）当t 为何值时，三角形OPM 的面积是长方形OBCD 面积的1

3

？直接写出此时点P 的坐标．

8．如图，数轴上有A ， B 两点，分别表示的数为a ，b ，且()2

25350a b ++-=．点P 从A 点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B 点后立即以相同的速度返回往A 点运动，并持续在A ，B 两点间往返运动．在点P 出发的同时，点Q 从B 点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动，当点Q 达到A 点时，点P ，Q 停止运动． （1）填空：a = ，b = ；

（2）求运动了多长时间后，点P ，Q 第一次相遇，以及相遇点所表示的数； （3）求当点P ，Q 停止运动时，点P 所在的位置表示的数；

（4）在整个运动过程中，点P 和点Q 一共相遇了几次．（直接写出答案）

9．如图，P 是定长线段AB 上一点，C 、D 两点分别从P 、B 出发以1cm /s 、2cm /s 的速度沿直线AB 向左运动（C 在线段AP 上，D 在线段BP 上）

（1）若C 、D 运动到任一时刻时，总有PD ＝2AC ，请说明P 点在线段AB 上的位置：

（2）在（1）的条件下，Q 是直线AB 上一点，且AQ ﹣BQ ＝PQ ，求

PQ

AB

的值．

（3）在（1）的条件下，若C 、D 运动5秒后，恰好有1

CD AB 2

=

，此时C 点停止运动，D 点继续运动（D 点在线段PB 上），M 、N 分别是CD 、PD 的中点，下列结论：①PM ﹣PN 的值不变；②MN

AB

的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．

10．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，∠AOC =30°，将一直角三角尺（∠M =30°）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．

(1)若将图1中的三角尺绕点O 以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t 秒，当OM 恰好平分∠BOC 时，如图2． ①求t 值；

②试说明此时ON 平分∠AOC ；

(2)将图1中的三角尺绕点O 顺时针旋转，设∠AON =α，∠COM =β，当ON 在∠AOC 内部

时，试求α与β的数量关系；

(3)若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC也绕点O以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC第一次平分∠MON?请说明理由．

11．数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如：如图①，若点A，B在数轴上分别对应的数为a，b(a

请你用以上知识解决问题：

如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达A点，再向右移动3个单位长度到达B点，然后向右移动5个单位长度到达C点．

（1）请你在图②的数轴上表示出A，B，C三点的位置．

（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左移动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右移动，设移动时间为t秒．

①当t=2时，求AB和AC的长度；

②试探究：在移动过程中，3AC－4AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

12．如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是段AB的“2倍点”．

（1）线段的中点__________这条线段的“2倍点”；（填“是”或“不是”）

（2）若AB＝15cm，点C是线段AB的“2倍点”．求AC的长；

（3）如图②，已知AB＝20cm．动点P从点A出发，以2c m／s的速度沿AB向点B匀速移动．点Q从点B出发，以1c m/s的速度沿BA向点A匀速移动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s），当t＝_____________s时，点Q 恰好是线段AP的“2倍点”．（请直接写出各案）

13．如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c-7）2=0．

（1）a=______，b=______，c=______；

（2）若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则点B 与数______表示的点重合； （3）点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点A 与点B 之间的距离表示为AB ，点A 与点C 之间的距离表示为AC ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ．则AB=______，AC=______，BC=______．（用含t 的代数式表示）. （4）直接写出点B 为AC 中点时的t 的值.

14．已知：如图，点M 是线段AB 上一定点，12AB cm =，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1/cm s 、2/cm s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段

AM 上，D 在线段BM 上）

()1若4AM cm =，当点C 、D 运动了2s ，此时AC =________，DM =________；

（直接填空）

()2当点C 、D 运动了2s ，求AC MD +的值．

()3若点C 、D 运动时，总有2MD AC =，则AM =________（填空） ()4在()3的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN BN MN -=，求MN AB

的值．

15．问题一：如图1，已知A ，C 两点之间的距离为16 cm ，甲，乙两点分别从相距3cm 的A ，B 两点同时出发到C 点，若甲的速度为8 cm/s ，乙的速度为6 cm/s ，设乙运动时间为x （s ）， 甲乙两点之间距离为y （cm ）． (1)当甲追上乙时，x = ． (2)请用含x 的代数式表示y ． 当甲追上乙前，y = ；

当甲追上乙后，甲到达C 之前，y = ； 当甲到达C 之后，乙到达C 之前，y = ．

问题二：如图2，若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB 正好对应钟表上的弧AB （1小时的间隔），易知∠AOB=30°．

(1)分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 cm ；时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 cm ．

(2)若从4：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）4；（2）－3.5或－0.5；（3）t 的值为1116、1316、138或118

． 【解析】 【分析】

（1）先求出AB 的长，由长方形ABCD 的面积为12，即可求出AD 的长；

（2）由三角形ADP 面积为3，求出AP 的长，然后分两种情况讨论：①点P 在点A 的左边；②点P 在点A 的右边．

（3） 分两种情况讨论：①若Q 在B 的左边，则BQ = 3-3t ．由|S △BDQ －S △BPC |=1

2

，解方程即可；②若Q 在B 的右边，则BQ = 3t －3．由|S △BDQ －S △BPC |=1

2

，解方程即可． 【详解】

（1）AB =1－（－2）=3．

∵长方形ABCD 的面积为12，∴AB ×AD =12，∴AD =12÷3=4． 故答案为：4．

（2）三角形ADP 面积为：12AP ?AD =1

2

AP ×4=3， 解得：AP =1.5，

点P 在点A 的左边：-2-1.5=-3.5，P 点在数轴上表示-3.5； 点P 在点A 的右边：-2+1.5=-0.5，P 点在数轴上表示-0.5． 综上所述：P 点在数轴上表示-3.5或-0.5．

（3）分两种情况讨论：①若Q 在B 的左边，则BQ =AB －AQ =3-3t ． S △BDQ =

12BQ ?AD =1(33)42t -?=66t -，S △BPC =12BP ?AD =1

42

t ?=2t ， 1(66)22

t t --=，680.5t -=±，解得：t =1316或1116；

②若Q 在B 的右边，则BQ =AQ －AB =3t －3．

S △BDQ =

12BQ ?AD =1(33)42t -?=66t -，S △BPC =12BP ?AD =1

42

t ?=2t ， 1(66)22

t t --=，460.5t -=±，解得：t =138或11

8．

综上所述：t 的值为1116、1316、138或11

8

．

【点睛】

本题考查了数轴、一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离公式． 2．（1）23+(-3)3+43，73+(-5)3+(-6)3；（2）100；（3）2503

2

；（4）9.38；（5）0；（6）24或40 【解析】 【分析】

（1）把45分解为2、-3、4三个整数的立方和，2分解为7、-5、-6三个整数的立方和即可的答案；（2）按照新运算法则，根据有理数混合运算法则计算即可得答案；（3）根据差倒数的定义计算出前几项的值，得出规律，计算即可得答案；（4）根据精确到十分位得9.4分可知平均分在9.35到9.44之间，可求出总分的取值范围，根据裁判打分是整数即可求出8个裁判给出的总分，再计算出平均分，精确到百分位即可；（5）由1+2-3=0，连续4个自然数通过加减运算可得0，列式计算即可得答案；（6）根据题意得要使甲和乙、甲和丙的距离相等就可以得出甲在乙、丙之间，设x 分钟后甲和乙、甲和丙的距离相等，就有甲走的路程-乙走的路程-400=丙走的路程+800-甲走的路程建立方程求出其解，就可以得出结论．当乙追上丙时，甲和乙、丙的距离相等，求出乙追上丙的时间即可.综上即可的答案. 【详解】

（1）45=23+(-3)3+43，2=73+(-5)3+(-6)3， 故答案为23+(-3)3+43，73+(-5)3+(-6)3 （2）∵2a b a ab ?=-，

∴()()532-??-=????(-5)?[32

-3×(-2)]

=(-5)?15 =(-5)2-(-5)×15 =100. （3）∵a 1=2， ∴a 2=1

112

=--， a 3=

11(1)--=1

2

，

41

2

112

a =

=-

a 5=-1 ……

∴从a 1开始，每3个数一循环， ∵2500÷3=833……1， ∴a 2500=a 1=2，

∴122500a a a ++???+=833×(2-1+

1

2)+2=25032

. （4）∵10个裁判打分，去掉一个最高分，再去掉一个最低分， ∴平均分为中间8个分数的平均分， ∵平均分精确到十分位的为9.4， ∴平均分在9.35至9.44之间， 9.35×8=74.8，9.44×8=75.52，

∴8个裁判所给的总分在74.8至75.52之间， ∵打分都是整数， ∴总分也是整数， ∴总分为75，

∴平均分为75÷8=9.375， ∴精确到百分位是9.38. 故答案为9.38

（5）2019÷4=504……3，

∵1+2-3=0，4-5-6+7=0，8-9-10+11=0，…… ∴(1+2-3)+(4-5-6+7)+……+(2016-2017-2018+2019)=0 ∴所得结果可能的最小非负数是0， 故答案为0

（6）设x 分钟后甲和乙、丙的距离相等，

∵乙在甲前400米，丙在乙前400米，速度分别为120米/分钟、100米/分钟、90米/分钟，

∴120x-400-100x=90x+800-120x 解得：x=24.

∵当乙追上丙时，甲和乙、丙的距离相等， ∴400÷(100-90)=40(分钟)

∴24分钟或40分钟时甲和乙、丙的距离相等. 故答案为24或40. 【点睛】

本题考查数字类的变化规律、有理数的混合运算、近似数及一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识是解题关键.

3．（1）﹣14，8﹣5t；（2）2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2；（3）点P运动11秒时追上点Q；（4）线段MN的长度不发生变化，其值为11，见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据已知可得B点表示的数为8﹣22；点P表示的数为8﹣5t；（2）设t秒时P、Q 之间的距离恰好等于2．分①点P、Q相遇之前和②点P、Q相遇之后两种情况求t值即可；（3）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据AC﹣BC=AB，列出方程求解即可；（3）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．

【详解】

（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=22，

∴点B表示的数是8﹣22=﹣14，

∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t＞0）秒，

∴点P表示的数是8﹣5t．

故答案为：﹣14，8﹣5t；

（2）若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：

①点P、Q相遇之前，

由题意得3t+2+5t=22，解得t=2.5；

②点P、Q相遇之后，

由题意得3t﹣2+5t=22，解得t=3．

答：若点P、Q同时出发，2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2；

（3）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，

则AC=5x，BC=3x，

∵AC﹣BC=AB，

∴5x﹣3x=22，

解得：x=11，

∴点P运动11秒时追上点Q；

（4）线段MN的长度不发生变化，都等于11；理由如下：

①当点P在点A、B两点之间运动时：

MN=MP+NP=1

2

AP+

1

2

BP=

1

2

（AP+BP）=

1

2

AB=

1

2

×22=11；

②当点P运动到点B的左侧时：

MN =MP ﹣NP =

12AP ﹣12BP =12（AP ﹣BP ）=1

2

AB =11， ∴线段MN 的长度不发生变化，其值为11． 【点睛】

本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 4．（1）11n n 1-+，n n 1+（2）①()()n 1n 2m 3

++②75364 【解析】 【分析】

()1观察发现：先根据题中所给出的列子进行猜想，写出猜想结果即可；根据第一空中的

猜想计算出结果；

()2①由16a 2m m 3

==，212a 4m m 3

==，320a m 3

=，430a 10m m 3

==，找规律可

得结论；

②由

()()n 1n 2m 22713173

++=????知

()()m n 1n 22237131775152++=?????=??，据此可得m 7=，n 50=，再进一

步求解可得． 【详解】

()1观察发现：

()111n n 1n n 1

=-++；

()1111122334n n 1+++?+???+， 1111111122334n n 1=-+-+-+?+-+，

1

1n 1

=-+， n 11

n 1+-=+， n

n 1

=

+； 故答案为

11n n 1-+，n n 1

+． ()2拓展应用

16a 2m m 3①==，212a 4m m 3==，320a m 3=，430

a 10m m 3==，

??

()()n

n 1n 2a m 3

++∴=，

故答案为

()()n 1n 2m.3

++

()()n n 1n 2a m 61883

②

++=

=，且m 为质数，

对6188分解质因数可知61882271317=????，

()()n 1n 2m 22713173

++∴

=????，

()()m n 1n 22237131775152∴++=?????=??，

m 7∴=，n 50=，

()()n 7

a n 1n 23∴=++，

()()

n 131a 7n 1n 2=?++， 123n

1111a a a a ∴

+++?+ ()()3333

6m 12m 20m n 1n 2m =

+++?+++

()()311172334n 1n 2??=++?+????++???? 31131172n 27252????

=

-=- ? ?+????

75364=

． 【点睛】 本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是掌握并熟练运用所得规律：

()111

n n 1n n 1

=-++．

5．（1）﹣4，6﹣5t ；（2）①当点P 运动5秒时，点P 与点Q 相遇；②当点P 运动1或9秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度． 【解析】 【分析】

（1）根据题意可先标出点A ，然后根据B 在A 的左侧和它们之间的距离确定点B ，由点P

从点A出发向左以每秒5个单位长度匀速运动，表示出点P即可；

（2）①由于点P和Q都是向左运动，故当P追上Q时相遇，根据P比Q多走了10个单位长度列出等式，根据等式求出t的值即可得出答案；

②要分两种情况计算：第一种是点P追上点Q之前，第二种是点P追上点Q之后.

【详解】

解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，

∴OA＝6，

则OB＝AB﹣OA＝4，

点B在原点左边，

∴数轴上点B所表示的数为﹣4；

点P运动t秒的长度为5t，

∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，

∴P所表示的数为：6﹣5t，

故答案为﹣4，6﹣5t；

（2）①点P运动t秒时追上点Q，

根据题意得5t＝10+3t，

解得t＝5，

答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；

②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，

当P不超过Q，则10+3a﹣5a＝8，解得a＝1；

当P超过Q，则10+3a+8＝5a，解得a＝9；

答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．

【点睛】

在数轴上找出点的位置并标出，结合数轴求追赶和相遇问题是本题的考点，正确运用数形结合解决问题是解题的关键，注意不要漏解.

6．（1）30，120（2）①30﹣3t②5或20③﹣15或﹣483 4

【解析】

【分析】

（1）根据A点对应的数为60，B点在A点的左侧，AB＝30求出B点对应的数；根据AC＝4AB求出AC的距离；

（2）①当P点在AB之间运动时，根据路程＝速度×时间求出AP＝3t，根据BP＝AB﹣AP 求解；

②分P点是A、B两个点的中点；B点是A、P两个点的中点两种情况讨论即可；

③根据P、Q两点的运动速度与方向可知Q点在往返过程中与P点相遇2次．设Q点在往返过程中经过x秒与P点相遇．第一次相遇是点Q从A点出发，向C点运动的途中．根据AQ ﹣BP＝AB列出方程；第二次相遇是点Q到达C点后返回到A点的途中．根据CQ+BP＝BC

列出方程，进而求出P点在数轴上对应的数．

【详解】

（1）∵A点对应的数为60，B点在A点的左侧，并且与A点的距离为30，∴B点对应的数为60﹣30＝30；

∵C点到A点距离是B点到A点距离的4倍，

∴AC＝4AB＝4×30＝120；

（2）①当P点在AB之间运动时，

∵AP＝3t，

∴BP＝AB﹣AP＝30﹣3t．

故答案为30﹣3t；

②当P点是A、B两个点的中点时，AP＝1

2

AB＝15，

∴3t＝15，解得t＝5；

当B点是A、P两个点的中点时，AP＝2AB＝60，

∴3t＝60，解得t＝20．

故所求时间t的值为5或20；

③相遇2次．设Q点在往返过程中经过x秒与P点相遇．第一次相遇是点Q从A点出发，向C点运动的途中．

∵AQ﹣BP＝AB，

∴5x﹣3x＝30，

解得x＝15，

此时P点在数轴上对应的数是：60﹣5×15＝﹣15；

第二次相遇是点Q到达C点后返回到A点的途中．

∵CQ+BP＝BC，

∴5（x﹣24）+3x＝90，

解得x＝105

4

，

此时P点在数轴上对应的数是：30﹣3×105

4

＝﹣48

3

4

．

综上，相遇时P点在数轴上对应的数为﹣15或﹣483

4

．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，行程问题相等关系的应用，线段中点的定义，进行分类讨论是解题的关键．

7．（1）B点坐标为（0，﹣6），C点坐标为（4，﹣6）（2）S△OPM＝4t或S△OPM＝﹣3t+21

（3）当t为2秒或13

3

秒时，△OPM的面积是长方形OBCD面积的

1

3

．此时点P的坐标是

（0，﹣4）或（8

3

，﹣6）

【解析】

【分析】

（1）根据绝对值、平方和算术平方根的非负性，求得a，b，c的值，即可得到B、C两点

的坐标；

（2）分两种情况：①P 在OB 上时，直接根据三角形面积公式可得结论；②P 在BC 上时，根据面积差可得结论；

（3）根据已知条件先计算三角形OPM 的面积为8，根据（2）中的结论分别代入可得对应t 的值，并计算此时点P 的坐标． 【详解】 （1）∵

6a ++|2b +12|+（c ﹣4）2=0，∴a +6=0，2b +12=0，c ﹣4=0，∴a =﹣6，b =﹣6，c

=4，∴B 点坐标为（0，﹣6），C 点坐标为（4，﹣6）． （2）①当点P 在OB 上时，如图1，OP =2t ，S △OPM 1

2

=?2t ×4=4t ； ②当点P 在BC 上时，如图2，由题意

得：BP =2t ﹣6，CP =BC ﹣BP =4﹣（2t ﹣6）=10﹣2t ，DM =CM =3，S △OPM =S 长方形

OBCD ﹣S △0BP ﹣S △PCM ﹣S △ODM =6×4

12-?6×（2t ﹣6）12-?3×（10﹣2t ）1

2-?4×3=﹣3t +21． （3）由题意得：S △OPM 13=S 长方形OBCD 1

3

=?（4×6）=8，分两种情况讨论：

①当4t =8时，t =2，此时P （0，﹣4）；

②当﹣3t +21=8时，t 133=

，PB =2t ﹣626188333=

-=，此时P （8

3

，﹣6）． 综上所述：当t 为2秒或133秒时，△OPM 的面积是长方形OBCD 面积的1

3

．此时点P 的坐标是（0，﹣4）或（

8

3

，﹣6）．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，主要考查了平面直角坐标系中求点的坐标，动点问题，求三角形的面积，还考查了绝对值、平方和算术平方根的非负性、解一元一次方程，分类讨论是解答本题的关键．

8．（1）25- ，35 （2）运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27 ；（3）5;(4) 一共相遇了7次. 【解析】 【分析】

（1）根据0+0式的定义即可解题；（2）设运动时间为x秒,表示出P,Q的运动路程,利用路程和等于AB长即可解题；（3）根据点Q达到A点时，点P，Q停止运动求出运动时间即可解题；（4）根据第三问点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度即可解题.【详解】

解：（1）25

-，35

（2）设运动时间为x秒

13x2x2535

+=+

解得x4

=

352427

-?=

答：运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27

（3）运动总时间：60÷2=30（秒），13×30÷60=6…30即点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度,

∵25305

-+=，

∴点P所在的位置表示的数为5 .

（4）由（3）得：点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度,

∴点P和点Q一共相遇了6+1=7次.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的实际应用,数轴的应用,难度较大,熟悉路程,时间,速度之间的关系是解题关键.

9．（1）点P在线段AB上的1

3

处；（2）

1

3

；（3）②MN

AB

的值不变.

【解析】

【分析】

（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在

线段AB上的1

3

处；

（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ 与AB的关系；

（3）当点C停止运动时，有CD＝1

2

AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB

表示的PM与PN的值，所以MN＝PN?PM＝

1

12

AB．

【详解】

解：（1）由题意：BD=2PC

∵PD=2AC，

∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.

∴点P在线段AB上的1

3

处；

（2）如图：

∵AQ-BQ=PQ，

∴AQ=PQ+BQ，

∵AQ=AP+PQ，

∴AP=BQ，

∴PQ=

1

3

AB，

∴

1

3

PQ

AB

=

（3）②MN

AB

的值不变.

理由：如图，

当点C停止运动时，有CD=

1

2

AB，

∴CM=

1

4

AB，

∴PM=CM-CP=

1

4

AB-5，

∵PD=

2

3

AB-10，

∴PN=

12

23

（AB-10）=

1

3

AB-5，

∴MN=PN-PM=

1

12

AB，

当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，

所以

1

1

12

12

AB

MN

AB AB

==.

【点睛】

本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．

10．（1）①t=3；②见解析；（2）β=α+60°；（3）t=5时，射线OC第一次平分∠MON.【解析】

【分析】

（1）根据角平分线的性质以及余角补角的性质即可得出结论；

（2）根据∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC即可得到结论；

（3）分别根据转动速度关系和OC平分∠MON列方程求解即可．

【详解】

（1）①∵∠AOC=30°，OM平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COM=2∠BOM=150°，

∴∠COM=∠BOM=75°．

∵∠MON=90°，∴∠CON=15°，∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，∴∠AON=∠CON，∴t=15°÷3°=5秒；

②∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC．

（2）∵∠AOC=30°，∴∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC，∴30°－α=90°－β，∴β=α+60°；

（3）设旋转时间为t秒，∠AON=5t，∠AOC=30°+8t，∠CON=45°，

∴30°+8t=5t+45°，∴t=5．

即t=5时，射线OC第一次平分∠MON．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．

11．（1）详见解析；（2）①16；②在移动过程中，3AC﹣4AB的值不变

【解析】

【分析】

（1）根据点的移动规律在数轴上作出对应的点即可；

（2）①当t=2时，先求出A、B、C点表示的数，然后利用定义求出AB、AC的长即可；

②先求出A、B、C点表示的数，然后利用定义求出AB、AC的长，代入3AC－4AB即可得到结论．

【详解】

（1）A，B，C三点的位置如图所示：

．

（2）①当t=2时，A点表示的数为－4，B点表示的数为5，C点表示的数为12，∴AB=5－(－4)=9，AC=12－(－4)=16．

②3AC－4AB的值不变．

当移动时间为t秒时，A点表示的数为－t－2，B点表示的数为2t＋1，C点表示的数为3t ＋6，则：AC=(3t＋6)－(－t－2)=4t＋8，AB=(2t＋1)－(－t－2)=3t＋3，∴3AC－4AB=3(4t＋8)－4(3t＋3)=12t＋24－12t－12=12．

即3AC﹣4AB的值为定值12，∴在移动过程中，3AC﹣4AB的值不变．

【点睛】

本题考查了数轴上的动点问题．表示出对应点所表示的数是解答本题的关键． 12．（1）是；（2）5cm 或7.5cm 或10cm ；（3）10或607

． 【解析】 【分析】

（1）根据“2倍点”的定义即可求解；

（2）分点C 在中点的左边，点C 在中点，点C 在中点的右边三种情况，进行讨论求解即可；

（3）根据题意画出图形，P 应在Q 的右边，分别表示出AQ 、QP 、PB ，求出t 的范围．然后根据（2）分三种情况讨论即可． 【详解】

（1）∵整个线段的长是较短线段长度的2倍，∴线段的中点是这条线段的“2倍点”． 故答案为是；

（2）∵AB ＝15cm ，点C 是线段AB 的2倍点，∴AC ＝1513?=5cm 或AC ＝151

2

?=7.5cm 或AC ＝152

3

?

=10cm ． （3）∵点Q 是线段AP 的“2倍点”，∴点Q 在线段AP 上．如图所示：

由题意得：AP =2t ，BQ =t ，∴AQ =20-t ，QP =2t -（20-t ）=3t -20，PB =20-2t ． ∵PB =20-2t ≥0，∴t ≤10． ∵QP =3t -20≥0，∴t ≥203，∴203

≤t ≤10． 分三种情况讨论： ①当AQ ＝13AP 时，20-t ＝1

3

×2t ，解得：t ＝12＞10，舍去； ②当AQ ＝12AP 时，20-t ＝1

2×2t ，解得：t ＝10； ③当AQ ＝

23AP 时，20-t ＝23×2t ，解得：t 607=； 答：t 为10或60

7

时，点 Q 是线段AP 的“2倍点”． 【点睛】

本题考查了一元一次方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“2倍点”的定义分类讨论，理解“2倍点”的定义是解决本题的关键．

13．（1）-2；1；7；（2）4；（3）3+3t ；9+5t ；6+2t ；（4）3. 【解析】 【分析】

（1）利用|a +2|+（c ﹣7）2＝0，得a +2＝0，c ﹣7＝0，解得a ，c 的值，由b 是最小的正整数，可得b ＝1；

（2）先求出对称点，即可得出结果；

（3）分别写出点A 、B 、C 表示的数为，用含t 的代数式表示出AB 、AC 、BC 即可； （4）由点B 为AC 中点，得到AB =BC ，列方程，求解即可． 【详解】

（1）∵|a +2|+（c ﹣7）2＝0，∴a +2＝0，c ﹣7＝0，解得：a ＝﹣2，c ＝7． ∵b 是最小的正整数，∴b ＝1． 故答案为﹣2，1，7．

（2）（7+2）÷2＝4.5，对称点为7﹣4.5＝2.5，2.5+（2.5﹣1）＝4． 故答案为4．

（3）点A 表示的数为：－2－t ，点B 表示的数为：1+2t ，点C 表示的数为：7+4t ，则AB ＝t +2t +3＝3t +3，AC ＝t +4t +9＝5t +9，BC ＝2t +6． 故答案为3t +3，5t +9，2t +6．

（4）∵点B 为AC 中点，∴AB =BC ，∴3t +3=2t +6，解得：t =3． 【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用、数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．

14．（1）2AC cm =，4DM cm =；（2）6AC MD cm +=；（3）4AM =；（4）

1

3MN AB =或1． 【解析】 【详解】

（1）根据题意知，CM=2cm ，BD=4cm ．

∵AB=12cm ，AM=4cm ，∴BM=8cm ，∴AC=AM ﹣CM=2cm ，DM=BM ﹣BD=4cm ． 故答案为2，4；

（2）当点C 、D 运动了2 s 时，CM=2 cm ，BD=4 cm ．

∵AB=12 cm ，CM=2 cm ，BD=4 cm ，∴AC+MD=AM ﹣CM+BM ﹣BD=AB ﹣CM ﹣BD=12﹣2﹣4=6 cm ；

（3）根据C 、D 的运动速度知：BD=2MC ． ∵MD=2AC ，∴BD+MD=2（MC+AC ），即MB=2AM ． ∵AM+BM=AB ，∴AM+2AM=AB ，∴AM=1

3

AB=4． 故答案为4；

（4）①当点N 在线段AB 上时，如图1．

∵AN ﹣BN=MN ．