广东省江门市高二数学下学期3月月考试题理
广东省江门市2019-2020学年高二下学期学业水平考试数学(理)试题Word版含答案
广东省江门市2019-2020学年下学期学业水平考试高二数学（理）试题（测试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.（1）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则=B A Y（A ）{1,2} （B ）{0,1,2} （C ）{}22≤≤-x x （D ）{}20≤≤x x（2）已知i 是虚数单位，若复数()()z i a i a R =-+∈的实部与虚部相等，则z 的共轭复数z = （A ）1i -+ （B ）1i + （C ）1i - （D ）1i --（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为（A ）9-（B ）9- （C ）9 （D ）9（5）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A （B （C ）14 （D ）17图2俯视图侧视图（6）在图1的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 0（B ）12 （C ）32- （D ）1- （7）已知向量(sin 2,cos 2)a b x x ==r r ，()f x a b =⋅r r，则函数()f x 的最小正周期为 （A ）π （B ）2π （C ）2π（D ）4π （8）在区间[]m ,1-上随机选取一个数x ，若1≤x 的概率为52，则 实数m 的值为 （A ）32（B ）2 （C ）4 （D ）5 （9）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积是（A ）90 （B ）92 （C ）98 （D ）104（10）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与ln y x =的图象关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若2()f m e -=，则m 的值是（A ）e -（B ）2 （C ）－2 （D ）1e（11）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP⊥，则实数a的取值范围为（A）[ （B）[0, （C ）[- （D ）[2,2]-(12) 已知函数()f x =3221ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）(2,)+∞ （B）(0,9 （C ）9∞（-,-) （D ）+9∞（）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题∽第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题∽第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题DC 1B 1CBA卡相应的横线上．（13）6(2x 展开式中常数项是 ． （14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）某次数学竞赛后，小军、小民和小乐分列前三名.老师猜测：“小军第一名，小民不是第一名，小乐不是第三名”.结果老师只猜对一个，由此推断：前三名依次为 . （16）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知B 是A 、C 的等差中项，且2b =，则△ABC 面积的最大值为 .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,7a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC的中点，AC ⊥平面BCC 1B 1． （Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1, （1）求BD 的长；（2）求B 1D 与平面ABB 1所成角的正弦值． （19）（本小题满分12分） 图3某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由20名高二级学生和15名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取7人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X型车，高一级学生都租Y 型车.（1）如果从组内随机抽取3人，求抽取的3人中至少有2人在市场体验过程中租X 型车的概率; （2）已知该地区X 型车每小时的租金为1元，Y 型车每小时的租金为1.2元，设ξ为从体验小组内随机抽取3人得到的每小时租金之和，求ξ的数学期望（20）（本小题满分12分） 已知如图4，圆C 、椭圆(2222:1x y E ab a b+=>经过点M (，圆C 的圆心为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，椭圆E 的两焦点分别为()()122,0,2,0F F -.（Ⅰ）分别求圆C 和椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）过1F 作直线l 与圆C 交于A 、B 两点，试探究22F A F B ⋅是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，说明理由． （21）（本小题满分12分）已知函数2()2xx f x e x -=+. （Ⅰ）确定函数()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：函数221()2x e x g x x --=在(0,)+∞上存在最小值.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. (Ⅰ)若2a =-，解不等式5)(≥x f ；(Ⅱ)如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．广东省江门市2019-2020学年下学期学业水平考试高二数学（理）试题参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：部分解析：（9）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其表面积为(254+42+44+245=92+⨯⨯⨯⨯⨯）. （10）由题知(),()xxg x e f x e -==则2m e e =，2m =.（11）问题转化为求直线l 与圆2222x y +=有公共点时，a 的取值范围，数形结合易得a -≤≤.（12）当0a =时，函数2()21f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()34(34)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或43x a =，由题意知，0a >，且4()03f a>，解得9a >． 二、填空题：（16）由2,,B A C A B C π=+++=得3B =，由余弦定得2222cos 4b a c ac B =+-=,即224a c ac +-=，又222a c ac +≥（当且仅当a c =时等号成立）得4ac ≤，所以1sin 2ABC S ac B ∆==≤即△ABC三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,7a a == ∴公差4123a a d -==，---------------------------------------------------------------------------------------1分 ∴1(1)21n a a n d n =+-=-，-------------------------------------------------------------------------------3分 ∵12b a ==3，25b a ==9，∴11222,6,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，------------------------------------------------------------------5分∴1111()23n n n n b a b a q ---=-=⋅，∴12123n n b n -=-+⋅；--------------------------------------------------------------------------------------7分(Ⅱ)由12123n n b n -=-+⋅得21(132-1)2(1333)n n S n -=++++++++L L -------------------------------------------------------9分(121)2(31)231n n n +--=+- 231n n =+-.---------------------------------------------------------------------------------------------------12分（18）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ，------------------------------------------1分∵D 、E 分别为1AC 和1BC 的中点， ∴EABCB 1C 1DDE//AB,-------------------------------------------------------------------------------------------------- --------2分又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC ⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥,又∵1BC CC ⊥,1AC CC C =I ， ∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC , ∴BC CD ⊥,------------------------------------------------------------------------------------------------6分 在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===,∴BD =;-------------------------------------------------------------------------------------------------8分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）依题意知AC 、BC 、CC 1两两互相垂直， 以C 为原点，CB 所在的直线为x 轴、CC 1为y 轴建立空间直角坐标系如图示，易得1,0,0B （），1B ，1(0(001)C A ，，，1(0)2D ，，故11(1)2B D =--u u u u r ，，,(1,0,1)AB =-u u ur,1BB =u u u r ,----------------------------------------9分设平面1ABB 的一个法向量为(,,)m a b c =u r，由1,m AB m BB ⊥⊥u r u u u r u r u u u r得0,0.a c -=⎧⎪=令1c =得(1,0,1)m =u r ，--------------------------------------10分设1B D 与平面1ABB 所成的角为θ，则||sin 11m D B ⋅=θ111|4-+==, 即1B D与平面1ABB 所成的角的正弦值为14.---------------------------------------------------------12分 【其它解法请参照给分，如先用体积法求出点D 到平面ABB 1的距离42=h ，（10分）再用公式D B h 1sin =θ算1B D 与平面1ABB 所成角的正弦值（12分）】(19) 解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为715=320+15⨯，--2分高二学生的人数为:720=420+15⨯；---------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）（1）解法1：所求的概率213434372235C C C P C +==.-----------------------------------------------7分 【解法2：所求概率1234333722135C C C P C +=-=.----------------------------------------------------------7分 （2）从小组内随机抽取3人， 得到的ξ的可能取值为：3,3.2,3.4,3.6.（元）-------------------8分因34374(3)35C P C ξ===，21433718( 3.2)35C C P C ξ===，12433712( 3.4)35C C P C ξ===，33371( 3.6)35C P C ξ===，----------------------------------10分故ξ的数学期望.41812193 3.2 3.4 3.633535353535E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=(元)-----------------------12分 （20）解：（Ⅰ）依题意知圆C的半径32r ==，------------------------------------1分 ∴圆C的标准方程为：225924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；-------------------------------------------------------------2分∵椭圆2222:1x y E a b+=过点M (，且焦点为()2,0-、()2,0，由椭圆的定义得：||||221MF MF a +=， 即2a ==，----------------------------------------------------------4分 ∴28a =，2244b a =-=， ∴椭圆E的方程为：22184x y +=-----------------------------------------------------------------------------6分 【其它解法请参照给分】（Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为()2y k x =+，由()22259.24y k x x y ⎧=+⎪⎨⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，消去y 得： ()()()2222145410k x kx k ++-++=，-----------------------------------------------------------------8分 显然0∆>有解， 设()11,A x y 、()22,B x y ，则124x x =，------------------------------------------------------------------9分22F A F B ⋅==2=．故22F A F B ⋅为定值，其值为2.----------------------------------------------------------------------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞--+∞U ，---------------------------------------1分222[(2)](2)(2)'()(2)(2)x x x x e x e x x e x e f x x x +-+--==++0≥，---------------------------------------4分 ∴函数()f x 在(,2)-∞-和(2,)-+∞上单调递增；------------------------------------------------------5分(Ⅱ)2433(2)1[](2)2(21)4(21)2(2)222'()42x x x x x e x e x x e x x e x x g x x x x -++-----+++===3(2)1[()]2x f x x +=+，------------------------------------------------------------------------------------------8分由（Ⅰ）知()f x 在),0(+∞单调递增； ∴1()2f x +在),0(+∞上也单调递增； ∵11(0)022f +=-<，11(2)022f +=>，----------------------------------------------------------10分 ∴存在)2,0(0∈x ，有021)(0=+x f ， 当∈x 0(0,)x 时，1()2f x +<0，得'()0g x <， 当),(0+∞∈x x 时，1()2f x +>0，得'()0g x >，---------------------------------------------------11分 ∴()g x 在0(0,)x 上递减，在),(0+∞x 上递增， 故函数()g x 在(0,)+∞上存在最小值，min 0()()g x g x =.--------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==--------------------------------------2分代入221x y +=中得2216''1x y +=，----------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；-----------------------------------------------------5分（Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，---------------------------------------------------------------------6分 故线段P 1 P 2中点11(,)82M --，-----------------------------------------------------------------------------7分∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14， 故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+--------------------------------------------------------8分 即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=---------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|，①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-----------------------1分 ②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；--------------------------------------------------2分③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.-------------------------------------------------------------5分 (Ⅱ)当x R ∈时，|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ---------------------------------------7分所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*）当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分故所求a 的取值范围为5[,+2∞）.--------------------------------------------------------------------------10分。
广东省江门市第一中学2023-2024学年高一启超学院创新班下学期3月月考数学试题
广东省江门市第一中学2023-2024学年高一启超学院创新班下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合}=15Z ,{},=11,3,5|{A x x x B -≤<∈-,，则=A B I （ ） A ．∅ B ．{}1,1,3﹣ C ．}1,1,{3,5-D ．}1,0,1,2{,3,4,5-2．命题“2000,320x x x ∃∈+-=R ”的否定为（ ） A ．2,320x x x ∀∈+-=R B ．2,320x x x ∀∈+-≠R C ．211,320x x x ∃∉+-=RD ．2111,320x x x ∃∈+-≠R3．设a 、b 、c 为实数，且0a b <<，则下列不等式正确的是（ ） A ．11a b<B ．22ac bc <C ．b a a b> D ．a b >4．如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合M 、S 、P ，它们是V 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S I IB ．()M P S I UC ．()()S M S P I I ðD ．()()V M P S I U ð5．2241x x ++的最小值等于（ ） A ．3 B ．52C ．2D ．无最小值6．定义运算()()a ab a b b a b ⎧≤⎪⊕=⎨>⎪⎩，则函数()()234f x x x =-⊕的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,∞+单调递减，则不等式(2)(1)f a f ->的解集是（ ） A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．()1,3-D ．()1,38．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]=y x 标为高斯函数.例如：[]2[3.5421],.=-﹣=，已知函数()[]x f x x=，则下列选项中，正确的是（ ）A ．(2)(2)f f =﹣- B ．()f x 的最大值为1 C ．()f x 的最小值为0D ．()f x 在0,)(+∞上的值域为[0,1]二、多选题9．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，称为狄利克雷函数，则关于()f x ，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的值域为[]0,1B ．()f x 的定义域为RC ．R x ∀∈，()()1f f x =D ．()f x 为偶函数10．已知关于x 的不等式20x bx c ++≥的解集为{|2x x ≤-或3}x ≥，则（ ）A ．1b =-B ．6c =-C ．不等式210cx bx -+<的解集是11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．不等式302x x -≥+与20x bx c ++≥的解集相同 11．设函数()()()221266f x x x c x x c =-+-+，集合123{|}{)N }(0M x f x x x x *===⊆,,，设12c c ≥，则下列说法正确的是（ ）.A ．3M ∈B ．1c 一定等于9C ．1c 可能等于8D ．25c =时，5{}13M =,,三、填空题12．设x ∈R ，则“33x -<<”是“2x < ”的条件.（选填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）13．函数2()21f x ax x =--在区间()1,+∞上单调递增，则a 的取值范围是.14．设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，函数()()1,221,x x A x x Bf x ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩. （1）56f f⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （2）若()f f t A ∈⎡⎤⎣⎦，则t 的取值范围是.四、解答题 15．已知函数()2x bf x x a+=+，[1,1]x ∈-，满足条件()502f =，(1)3f -=.(1)求()f x 的解析式；(2)用单调性的定义证明()f x 在[1,1]x ∈-上的单调性，并求()f x 在[1,1]x ∈-上的最值.16．设函数()()()2240f x ax b x a =++-≠，()22f =.(1)若0a >，0b >，求12a b+的最小值；(2)若()21f x x ≤-在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.17．佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x 台，另需投入成本()p x （万元），当月产量不足70台时，()21402p x x x =+（万元）；当月产量不小于70台时，()64001012060p x x x=+-（万元）.若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完.（1）求月利润y （万元）关于月产量x （台）的函数关系式； （2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润. 18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x -=.(1)求函数()f x 的解析式并画出其图像；(2)设函数()f x 在[],2(2)a a >--,上的最大值为()g a ，求()g a . 19．已知函数()(),R f x x x a bx a b =⋅-+∈．(1)0a b ==时，①求不等式()4f x <的解集；②若对任意的0x ≥，()()20f x m m f x +-<，求实数m 取值范围；(2)若存在实数a ，对任意的[]0,x m ∈都有()()14f x b x ≤-+恒成立，求实数m 的取值范围．。
广东省江门市普通高中高二数学下学期4月月考试题(4)
广东省江门市普通高中2017-2018学年高二数学下学期4月月考试题总分：150分 考试时间：120分钟一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一项是符合题目要求的). 1．若0a b >>，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．11a b b a+>+ B ．11b b a a +>+ C ．11a b b a ->- D ．22a b aa b b+>+2.已知直线1l 的一个方向向量为(1,2)-,直线2l 的方程为20ax y +=,若12l l ⊥,则a =( ) A. 1 B. 1- C. 4- D. 43.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①09090180A B C C ++=++>，这与三角形内角和为0180相矛盾，090A B ==不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A ，B ，C 中有两个直角，不妨设090A B ==. 正确的顺序的序号为（ ）A ．①②③ B. ③②① C. ①③② D. ③①②4.从集合{}1,1,1i i i -+-+中取出两个元素，它们是共轭复数的概率是（ ）A ．120 B. 110 C. 310 D. 35 5. 已知数列n a a a a n n n +==+11,1,}{中，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）7. 对具有线性相关关系的变量x 与y ，测得一组数据如表1，若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线方程为 （ ）A ． 6.517.5y x =+ B. 17.5 6.5y x =+ C. 6.517.5y x =- D. 6.517.5y x =-+ 8. 从抛物线24y x =上一点P 引其准线的垂线,垂足为M,设抛物线的焦点为F,且5PF =,则MPF ∆的面积为（ ）A．9. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=( )A.18B.14C.25D.1210.直线y=与椭圆2222:1x yCa b+=（0a b>>）交于A B、两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为 ( )A．B． C1D．4-二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)11. 设,x y满足约束条件0,,230,yy xx y≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩使2z x y=-取得最大值时的点(,)x y的坐标是 .12====(,a t 均为正实数)，则观察以上等式，可推测,a t的值，a t+＝____________.13.设直线10x my--=与圆22(1)(2)4x y-+-=相交于A，B两点，且弦AB的长为m的值是 .14.若三角形内切圆的半径为r,三边长为,,a b c,则三角形的面积1()2S r a b c=++,根据类比思想,若四面体的内切球的半径为R,四个面的面积为1234,,,S S S S,则四面体的体积V= .15．下列四个命题中：①不等式324x->的解集是()2,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭；②224sin4sinxx+≥；③设,x y都是正数，若191x y+=，则x y+的最小值是12；④若2,2,x yεε-<-<，则2x yε-<.其中所有真命题的序号是__________.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. (本小题满分12分)已知复数,,z a bi a b R=+∈(1)若24z bz-是实数,且0b≠,求ab的值.(2)若复数z 满足条件21z z i +=+,则求复数z 在复平面上对应点(),a b 的轨迹方程, 并指出其轨迹是什么?17. (12分)对于任意的实数a ，不等式11a a M ++-≥恒成立，记实数M 的最大值是m .(1)求m 的值；(2)解不等式123x x m -+-≤．18.(12分)某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min. （1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2min 的概率.19.(12分)设{}n a 是集合{}220,,t s s t s t Z +≤<∈且中所有的数依小到大的顺序排成的数列，即1233,5,6a a a ===，4569,10,12,a a a ===现将数列{}n a 中的各项排成如图所示的三角数表，观察排列规律，回答下列问题：（1）请写出第4行的所有数. (2)求此数表第n 行的所有数字之和.20.(13分)(1)已知123,,a a a R ∈,求证:222123122313a a a a a a a a a ++≥++;(2)由(1)知三个数的平方和不小于这三个数中每两个数的乘积的和.把上述结论类比推广为关于四个数的平方和的类似不等式,即若1234,,,a a a a R ∈,则22221234121314232434()a a a a k a a a a a a a a a a a a +++≥+++++,试利用(1)的证明方法确定常数k 的值.(3)进一步推广关于n 个数的平方和的类似不等式(不须证明).21．(14分)已知椭圆,22)0(1:2222=>>=+e b a by a x C 的离心率左、右焦点分别为F 1、F 2，点)3,2(P ，点F 2在线段PF 1的中垂线上．（1）求椭圆C 的方程； （2）设直线m kx y l +=:与椭圆C 交于M 、N 两点，直线F 2M 与F 2N 的倾斜角分别为βα,，且πβα=+，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．答案一、选择题1—5A B D B B 6-10C A D B C 二、填空题11．3,02⎛⎫⎪⎝⎭12．41 13．m = 14．12341()3R S S S S +++ 15．①④三、解答题16．(12分)解(1)2224(4)2(2)z bz a b ab b a b i -=--+-为实数, ∴2(2)b a b -=0 又0b ≠则20a b -=∴2ab= (2)21z z i +=+(21)2(1)a bi a b i ∴++=++2222(21)4(1)a b a b ∴++=++2234320a a b b ∴++-=22215()()339a b ∴++-=即其轨迹是以21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心.17．(12分)解：(1)由绝对值不等式，有11(1)(1)2a a a a ++-≥+--=那么对于11a a M ++-≥，只需min 11a a M ++-≥ 即2M ≤则2m =……………………4分 (2)1232x x -+-≤当1x ≤时：1232x x --+≤，即23x ≥，则213x ≤≤ 当312x <<时：1232x x --+≤，即0x ≥，则312x << 当32x ≥时：1232x x -+-≤，即2x ≤，则322x ≤≤……………10分那么不等式的解集为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ …………………………………12分 18．(12分)解(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A.则()1114(1)(1)33327p A =-⨯-⨯=(2).设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2min 为事件B, 这名学生在上学路上遇到k 次红灯的事件(0,1)k B k =.则40121222163216()()()()433333818127p B p B P B =+=+⨯⨯⨯⨯=+=19(12分)(1) 22,0,t sn a s t =+≤<且,s t Z ∈所第4行为44142432217,2218,2220,2224+=+=+=+= 即第4行所有数为17,18,20,24.(2)第n 行的n 个数依次为: 0123122,22,22,22,,22.n n n n n n -+++++212(1222)nn n S n -∴=⋅+++++1(12)2(1)2112n nn n n ⨯-=⋅+=+--20．(13分)证明:( 1) 2212122a a a a +≥,2223a a +≥232a a ,21a +23a ≥132a a ,将三式相加得: 2221232()a a a ++≥1223132()a a a a a a ++,∴222123122313a a a a a a a a a ++≥++(2)2212122a a a a +≥,21a +23a ≥132a a ,21a +24a ≥142a a ,2223a a +232a a ≥,22a +24a 242a a ≥,2234a a +342a a ≥,将六式相加得: 222212341213142324343()2()a a a a a a a a a a a a a a a a +++≥+++++所以, 222212341213142324342()3a a a a a a a a a a a a a a a a +++≥+++++,所以, 23k =.(3)12,,n a a a R∈222121213123212()1n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a n -+++≥++++++++- 21(14分)解(1)由椭圆C 的离心率22=e 得22=a c ，其中22b a c -=，椭圆C 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -又点F 2在线段PF 1的中垂线上 222221)2()3()2(|,|||c c PF F F -+=∴=∴解得,1,2,122===b a c.1222=+∴y x 椭圆的方程为 5分（2）由题意，知直线MN 存在斜率，设其方程为.m kx y += 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x ,1222消去.0224)12(,222=-+++m kmx x k y 得设),,(),,(2211y x N y x M则,1222,1242221221+-=+-=+k m x x k km x x 且1,1221122-+=-+=x m kx k x m kx k N F M F由已知πβα=+， 得.011,0221122=-++-+=+x m kx x m kx k k N F M F 即化简，得02)((22121=-+-+m x x k m x kx0212)(412222222=-+--+-⋅∴m k k m km k m k 整理得.2k m -=∴ 直线MN 的方程为)2(-=x k y ， 因此直线MN 过定点，该定点的坐标为（2，0）。
广东省江门市第二中学2021-2022高二数学下学期第一次月考试题 理(含解析)
广东省江门市第二中学2021-2022高二下学期第一次月考数学（理）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合为虚数单位，，则复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为M∩N=｛4｝，所以选C.考点：此题主要考查集合的概念、复数的概念、集合的运算和复数的运算，考查分析问题、解决问题的能力.2.已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是+2,则的值等于( )A. 1B.C. 3D. 0【答案】C【解析】由导数的几何意义得所以=，故选C.3.已知函数，则=A. 1B. 0C.D.【答案】A【解析】分析：先求导，再求，再化简得解.详解：由题得，∴.因为=，∴=1故选A.点睛：本题主要考查导数的运算和导数的定义，属于基础题.4.某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项，故选B.5.已知，为虚数单位，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则，选A．6.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】：∵f′（x）=（x-2）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞2，∴f（x）在（2，+∞）递增，故答案为：C．7.函数的极大值为，那么的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令f′（x）＝0，可得x＝0 或x＝6，根据导数在x＝0和x＝6两侧的符号，判断故f（0）为极大值，从而得到f（0）＝a＝6．【详解】∵函数f（x）＝2x3﹣3x2+a，导数f′（x）＝6x2﹣6x，令f′（x）＝0，可得x＝0 或x＝1，导数在x＝1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．导数在x＝0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）＝a＝6．故选：A．【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件，判断f（0）为极大值，f（1）为极小值，是解题的关键．8.以正弦曲线上一点为切点得切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵∴∵∴切线的斜率范围是∴倾斜角的范围是故选A9.在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】整理得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应点在第二象限，则解得3＜m＜4.10.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）【答案】D【解析】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．11.若函数在上的最大值为，则＝（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，∴当时，单调递增；当时，单调递减．①当，即时，．令，解得，不合题意．②当，即时，在上单调递减，故．令，解得，符合题意．综上．点睛：（1）求函数最值时，要注意函数单调性的运用．对于函数不单调的问题，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过对极值和区间端点值的比较才能下结论．（2）当含有参数的问题涉及函数的最值或单调性的逆向应用等问题时，求解时注意分类讨论思想的运用，对于参数的讨论要做到不重不漏．12.已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：设函数，则，所以函数在为减函数，所以，即，所以，故选B.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.【技巧点睛】对于已知不等式中既有又有，一般不能直接确定的正负，即不能确定的单调性，这时要求我们构造一个新函数，以便利用已知不等式判断其导数的的正负，常见的构造新函数有，，，等等.第II卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.若函数，则__________．【答案】【解析】【分析】对函数求导，再赋值得到.【详解】对函数求导得到解得.故答案为：.【点睛】这个题目考查了常见函数的求导公式，题目比较基础.14.由曲线与直线所围成图形的面积等于__________．【答案】【解析】【分析】根据定积分的几何意义得到积S＝(e x＋x)d x，由牛顿莱布尼茨公式可得到答案.【详解】根据定积分的几何意义得到，面积S＝(e x＋x)d x＝故答案为：【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义，以及常见函数的积分值的求法.15.观察下列各式：a+b=1.a²2+b2=3，a3+b3="4" ，a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10=A. 28B. 76C. 123D. 199【答案】C【解析】试题分析：由题观察可发现，，即后一个式子的值为它前两个式子的和。
广东省江门市第二中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(理)试题(含精品解析)
广东省江门市第二中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合为虚数单位，，则复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为M∩N=｛4｝，所以选C.考点：此题主要考查集合的概念、复数的概念、集合的运算和复数的运算，考查分析问题、解决问题的能力.2.已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是+2,则的值等于( )A. 1B.C. 3D. 0【答案】C【解析】由导数的几何意义得所以=，故选C.3.已知函数，则=A. 1B. 0C.D.【答案】A【解析】分析：先求导，再求，再化简得解.详解：由题得，∴.因为=，∴=1故选A.点睛：本题主要考查导数的运算和导数的定义，属于基础题.4.某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项，故选B.5.已知，为虚数单位，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则，选A．6.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】：∵f′（x）=（x-2）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞2，∴f（x）在（2，+∞）递增，故答案为：C．7.函数的极大值为，那么的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令f′（x）＝0，可得x＝0 或x＝6，根据导数在x＝0和x＝6两侧的符号，判断故f（0）为极大值，从而得到f（0）＝a＝6．【详解】∵函数f（x）＝2x3﹣3x2+a，导数f′（x）＝6x2﹣6x，令f′（x）＝0，可得x＝0 或x＝1，导数在x＝1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．导数在x＝0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）＝a＝6．故选：A．【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件，判断f（0）为极大值，f（1）为极小值，是解题的关键．8.以正弦曲线上一点为切点得切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵∴∵∴切线的斜率范围是∴倾斜角的范围是故选A9.在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】整理得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应点在第二象限，则解得3＜m＜4.10.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）【答案】D【解析】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．11.若函数在上的最大值为，则＝（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，∴当时，单调递增；当时，单调递减．①当，即时，．令，解得，不合题意．②当，即时，在上单调递减，故．令，解得，符合题意．综上．点睛：（1）求函数最值时，要注意函数单调性的运用．对于函数不单调的问题，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过对极值和区间端点值的比较才能下结论．（2）当含有参数的问题涉及函数的最值或单调性的逆向应用等问题时，求解时注意分类讨论思想的运用，对于参数的讨论要做到不重不漏．12.已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：设函数，则，所以函数在为减函数，所以，即，所以，故选B.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.【技巧点睛】对于已知不等式中既有又有，一般不能直接确定的正负，即不能确定的单调性，这时要求我们构造一个新函数，以便利用已知不等式判断其导数的的正负，常见的构造新函数有，，，等等.第II卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.若函数，则__________．【答案】【解析】【分析】对函数求导，再赋值得到.【详解】对函数求导得到解得.故答案为：.【点睛】这个题目考查了常见函数的求导公式，题目比较基础.14.由曲线与直线所围成图形的面积等于__________．【答案】【解析】【分析】根据定积分的几何意义得到积S＝(e x＋x)d x，由牛顿莱布尼茨公式可得到答案.【详解】根据定积分的几何意义得到，面积S＝(e x＋x)d x＝故答案为：【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义，以及常见函数的积分值的求法.15.观察下列各式：a+b=1.a²2+b2=3，a3+b3="4" ，a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10=A. 28B. 76C. 123D. 199【答案】C【解析】试题分析：由题观察可发现，，即后一个式子的值为它前两个式子的和。
广东省江门市高二下学期期末数学试卷(理科)
广东省江门市高二下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·郴州模拟) 已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1）B . （4，+∞）C . （﹣1，4）D . （﹣4，﹣1）2. （2分）设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁UB）=（）A . {1，2，5，6}B . {1}C . {2}D . {1，2，3，4}3. （2分） (2016高二上·徐水期中) 已知命题P：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p是（）A . ∃x0∈R，x02+2x0+2＞0B . ∀x∈R，x2+2x+2≤0C . ∀x∈R，x2+2x+2＞0D . ∀x∈R，x2+2x+2≥04. （2分） (2017高一上·河北月考) 已知函数，，若函数有四个零点，则的取值范围（）A .B .C .D .5. （2分）已知定义在R上的函数y=f(x)满足下列三个条件：①对任意的都有f(x+2)=-f(x),②对于任意的，都有f(x1)<f(x2),③y=f(x+2)的图象关于y轴对称，则下列结论中，正确的是（）A . f(4.5)<f(6.5)<f(7)B . f(4.5)<f(7)<f(6.5)C . f(7)<f(4.5)<f(6.5)D . f(7)<f(6.5)<f(4.5)6. （2分） (2015高三上·平邑期末) 设p：（）x＞1，q：﹣2＜x＜﹣1，则p是q成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）(2012·上海理) 若1+ i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A . b=2，c=3B . b=﹣2，c=3C . b=﹣2，c=﹣1D . b=2，c=﹣18. （2分） (2016高二上·辽宁期中) 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·桃江期末) 若n∈N*，且n≤19，则（20﹣n）（21﹣n）…（100﹣n）等于（）A .B .C .D .10. （2分）函数，已知在时取得极值，则（）A . 2B . 3C . 4D . 5二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）计算 =________．12. （1分）已知函数f（x）=ax5+bx3+cx+1，f（2）=﹣1，求f（﹣2）=________．13. （1分）(2017高二下·兰州期中) 观察下列不等式：，＜4，，＜12，…照此规律，第n个不等式为________．14. （1分）(2012·广东) 中x3的系数为________．（用数字作答）15. （1分） (2016高一上·杭州期末) 已知函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（﹣x+1），且当x≤0时，f（x）=x3 ，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2 f（x）恒成立，则实数t的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共65分)16. （10分） (2016高二上·西安期中) 设命题P：实数x满足2x2﹣5ax﹣3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．17. （10分） (2019高一上·兴仁月考) 已知函数（1）在给定的直角坐标系中作出的图象;（2）若 ,求实数的值.18. （10分） (2016高二下·右玉期中) 在数列{an}中，a1=1，a2= ，且an+1= （n≥2）（1）求a3，a4；（2）猜想an的表达式，并加以证明．19. （15分）(2017·常宁模拟) 某经销商从外地水产养殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如图：（1）记事件A为：“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35g的小龙虾”，求P（A）的估计值；（2）若购进这批小龙虾100千克，试估计这批小龙虾的数量；（3）为适应市场需求，了解这批小龙虾的口感，该经销商将这40只小龙虾分成三个等级，如下表：等级一等品二等品三等品重量（g）[5，25）[25，45）[45，55]按分层抽样抽取10只，再随机抽取3只品尝，记X为抽到二等品的数量，求抽到二级品的期望．20. （10分） (2017高二下·眉山期中) 二次函数f（x），又的图象与x轴有且仅有一个公共点，且f′（x）=1﹣2x．（1）求f（x）的表达式．（2）若直线y=kx把y=f（x）的图象与x轴所围成的图形的面积二等分，求k的值．21. （10分） (2018高二下·陆川月考) 已知的图象经过点，且在处的切线方程是（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间。
高二数学3月月考试题 理 2
一中2021-2021-2学期高二年级3月考试试题制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
数 学〔理〕说明：本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.满分是150分，考试时间是是120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第一卷〔选择题〕一、选择题〔本大题一一共12 小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.〕 1．假设0()2f x '=-，那么0001()()2lim k f x k f x k→--等于〔 〕A ．－2B ．－1C ．1D ．22．函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )=2 f ′(e )x +ln x 〔e 为自然对数的底数〕，那么f ′(e )=〔 〕A. 1eB ．e C. -1e D ．- e3．11||x dx -⎰等于〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．124．函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )．A ．－37B ．－29C ．－5D ．－115．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，那么f 2021(x )＝〔 〕A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x6．内接于半径为R 的圆的矩形的周长的最大值为( )．A ．22RB ．2RC ．42RD ． 4R 7．方程x -ln x -2=0的根的个数为〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．3 8．由曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为( )A. 1B. 13C. 23D.439．设函数()219ln 2f x x x =-在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，那么实数a 的取值范围是( ) A. [－∞，2) 10．以初速40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，那么此物体到达最高时的高度为〔 〕A.1603 mB.803 mC.403m D.203m11．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现理解到以下情况：〔1〕甲不是最高的；〔2〕最高的是没报铅球；〔3〕最矮的参加了跳远；〔4〕乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛工程是〔 〕A ．跑步比赛B ．跳远比赛C ．铅球比赛D ．不能断定12．如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开场在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转到〔转到角不超过90°〕时，它扫过的圆内阴影局部的面积S 是时间是t 的函数，这个函数的图像大致是〔 〕第二卷〔非选择题〕二、选择题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.〕 13．曲线sin xy x=在点M(π，0)处的切线方程为________． 14．在用数学归纳法证明不等式1111(1,*)1222n n N n n n +++>>∈++的过程中，从n ＝k 到n ＝k +1时，左边需要增加的代数式是.________________． 15．假设函数f (x )＝a3x 3＋952a -x 2＋4ax ＋c (a >0)在(－∞，＋∞)内无极值点，那么a 的取值范围是______________．16．定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()01f =，那么不等式()1xf x e<的解集为 . 三、解答题〔本大题一一共6 小题，一共70分〕 17. 〔10分〕求证： e x≥(1＋x ) ≥ln(1＋x )．18. 〔12分〕函数y =f (x )在区间[a ，b]上的图像是连续不连续的曲线，且f (x )在区间[a ，b]上单调，f (a )>0，f (b )<0.试用反证法证明：函数y =f (x )在区间[a ，b]上有且只有一个零点.19．〔12分〕如下图，在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．〔12分〕设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，是否有关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )[f (n )－1]对n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．21.〔12分〕假设函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式．(2)假设方程f (x )＝k 有3个不同的根，务实数k 的取值范围．22.〔12分〕设函数2()ln f x ax a x =--，其中x ∈R.(1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使11()xf x e x->-在区间〔1，+∞〕内恒成立〔e ＝2.71828…是自然对数的底数〕．一中2021-2021-2学期高二年级3月考试数学〔理〕参考答案一、选择题〔本大题一一共12 小题，每一小题5分，一共60分〕二、选择题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13．1()y x ππ=-- ； 14．112122k k -++； 15．[1，9]； 16．}{0x x > 三、解答题〔本大题一一共6 小题，一共70分〕 17. 〔10分〕求证： e x≥1＋x >ln(1＋x )．证明：根据题意，应有x >－1，设f (x )＝e x－(1＋x )，那么 f ′(x )＝e x－1， 由f ′(x )=0，得 x =0.当－1< x < 0时，f ′(x )<0；当x > 0时，f ′(x )>0．∴f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f (x )min = f (0)=0． ∴ 当x >－1，f (x )≥f (0)=0， 即 e x≥1＋x ．设g (x )＝1+x －ln(1＋x )，那么g ′(x )＝1－11＋x ＝x1＋x ，由g ′(x )=0，得 x =0.当－1< x < 0时，g ′(x )<0；当x > 0时，g ′(x )>0．∴g (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，g (x )min =g (0)=1． ∴ 当x >－1，g (x )≥g (0)=1>0， 即1＋x >ln(1＋x )．18. 〔12分〕函数y =f (x )在区间[a ，b]是的图像连续不连续，且f (x )在区间[a ，b]上单调，f (a )>0，f (b )<0.试用反证法证明：函数y =f (x )在区间[a ，b]上有且只有一个零点.证明：因为函数y =f (x )在区间[a ，b]上的图像连续不连续，且f (a )>0，f (b )<0，即f (a )·f (b )<0.所以函数y =f (x )在区间[a ，b]上一定存在零点x 0，假设y =f (x )在区间[a ，b]上还存在一个零点x 1〔x 1≠x 0〕，即f (x 1)=0，由函数f (x )在区间[a ，b]上单调且f (a )>0，f (b )<0知f (x )在区间[a ，b]上单调递减； 假设x 1>x 0，那么f (x 1)< f (x 0)，即0<0，矛盾， 假设x 1<x 0，那么f (x 1) > f (x 0)，即0>0，矛盾，因此假设不成立，故y =f (x )在区间[a ，b]上有且只有一个零点.19．〔12分〕如下图，在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解：设箱子的底边长为x cm ，那么箱子高h ＝60－x 2cm.箱子容积V ＝V (x )＝x 2h ＝60x 2－x32(0<x <60)．求V (x )的导数，得V ′(x )＝60x －32x 2＝0，解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝40.当x 在(0,60)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：x (0,40) 40 (40,60) V ′(x )＋－因此在x ＝40处，函数V (x )获得极大值，并且这个极大值就是函数V (x )的最大值． 将x ＝40代入V (x )得最大容积V ＝402×60－402＝16 000(cm 3)．所以箱子底边长取40 cm 时，容积最大，最大容积为16 000 cm 3.20．〔12分〕设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，是否有关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )[f (n )－1]对n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．解： 当n ＝2时，f (1)＝g (2)[f (2)－1]， 得(1)1(2)21(2)1(1)12f g f ===-+-.当n ＝3时，f (1)＋f (2)＝g (3)[f (3)－1]，得(1)(2)(3)(3)1f f g f +=-＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1＝3.猜测g (n )＝n (n ≥2)．下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n －1)]恒成立． (1)当n ＝2时，由上面计算知，等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1](k ≥2)， 那么，当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1) [ f (k ＋1)－1+1k ]－k ＝(k ＋1) [ f (k ＋1) -1]， 故当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对一切n ≥2的自然数n ，等式都成立． 故存在函数g (n )＝n 使等式成立．21.〔12分〕假设函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式．(2)假设方程f (x )＝k 有3个不同的根，务实数k 的取值范围．解 f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意得(2)120,4(2)824.3f a b f a b '=-=⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩ 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或者x ＝－2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2) －2(－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x)＋0 －0 ＋f (x )283－43因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如下图．假设f (x )＝k 有3个不同的根，那么直线y ＝k 与函数f (x ) 的图象有3个交点，所以－43<k <283.22.〔12分〕设函数2()ln f x ax a x =--，其中x ∈R.(1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使11()xf x e x->-在区间〔1，+∞〕内恒成立〔e ＝2.71828…是自然对数的底数〕．制卷人：打自企；成别使；而都那。
广东省江门市第二中学2020学年高二数学下学期第一次月考试题 理(含解析)
广东省江门市第二中学 2020 学年高二下学期第一次月考数学（理）试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第I卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合为虚数单位，，则复数 （ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为 M∩N=｛4｝，所以选 C.考点：此题主要考查集合的概念、复数的概念、集合的运算和复数的运算，考查分析问题、 解决问题的能力.2.已知函数的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是()A. 1B.C. 3【答案】C 【解析】由导数的几何意义得所以=，故选 C.3.已知函数，则=A. 1B. 0C.【答案】A 【解析】+2,则的值等于 D. 0D.分析：先求导，再求 ，再化简得解.详解：由题得∴.因为， =，∴=1故选 A.点睛：本题主要考查导数的运算和导数的定义，属于基础题.4.某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项 ；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项 ；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项 ，故选 B.5.已知， 为虚数单位，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，则，选 A．6.函数的单调递增区间是 （ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】：∵f′（x）=（x-2）ex，令 f′（x）＞0，解得：x＞2，∴f（x）在（2，+∞）递增，故答案为：C．7.函数的极大值为 ，那么 的值是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令 f′（x）＝0，可得 x＝0 或 x＝6，根据导数在 x＝0 和 x＝6 两侧的符号，判断故 f（0）为极大值，从而得到 f（0）＝a＝6．【详解】∵函数 f（x）＝2x3﹣3x2+a，导数 f′（x）＝6x2﹣6x，令 f′（x）＝0，可得 x＝0或 x＝1，导数在 x＝1 的左侧小于 0，右侧大于 0，故 f（1）为极小值．导数在 x＝0 的左侧大于 0，右侧小于 0，故 f（0）为极大值．f（0）＝a＝6．故选：A．【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件，判断 f（0）为极大值，f（1）为极小值，是解题的关键．8.以正弦曲线上一点 为切点得切线为直线 ，则直线 的倾斜角的范围是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 ∵ ∴ ∵ ∴切线的斜率范围是 ∴倾斜角的范围是 故选 A9.在复平面内，若 范围是所对应的点位于第二象限，则实数 的取值A.B.C.D.【答案】D【解析】整理得 z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应点在第二象限，则解得 3＜m＜4.10.设 是函数 的导函数，将和能正确的是（ ）的图象画在同一个直角坐标系中，不可【答案】D 【解析】 解析：检验易知 A、B、C 均适合，不存在选项 D 的图象所对应的函数，在整个定义域内，不 具有单调性，但 y=f（x）和 y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的 函数，故选 D．11.若函数在上的最大值为 ，则 ＝（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】由题意得，∴当时，单调递增；当时，单调递减．①当，即 时，．令，解得 ，不合题意．②当，即 时， 在上单调递减，故．令，解得，符合题意．综上．点睛：（1）求函数最值时，要注意函数单调性的运用．对于函数不单调的问题，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过对极值和区间端点值的比较才能下结论．（2）当含有参数的问题涉及函数的最值或单调性的逆向应用等问题时，求解时注意分类讨论思想的运用，对于参数的讨论要做到不重不漏．12.已知 是定义在区间上的函数，其导函数为 ，且不等式恒成立，则（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：设函数，则，所以函数在为减函数，所以，即，所以，故选 B.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题. 【技巧点睛】对于已知不等式中既有 又有 ，一般不能直接确定 的正负，即不能 确定 的单调性，这时要求我们构造一个新函数，以便利用已知不等式判断其导数的的正负，常见的构造新函数有，，，等等.第 II 卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.13.若函数，则__________．【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，再赋值得到.【详解】对函数求导得到解得.故答案为： .【点睛】这个题目考查了常见函数的求导公式，题目比较基础.14.由曲线与直线所围成图形的面积等于__________．【答案】【解析】 【分析】根据定积分的几何意义得到积 S＝ (ex＋x)dx，由牛顿莱布尼茨公式可得到答案.【详解】根据定积分的几何意义得到，面积 S＝ (ex＋x)dx＝故答案为：【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义，以及常见函数的积分值的求法.15.观察下列各式：a+b=1.a²2+b2=3，a3+b3="4" ，a4+b4=7,a5+b5=11,…，则 a10+b10=A. 28B. 76C. 123D. 199【答案】C【解析】试题分析：由题观察可发现，，即后一个式子的值为它前两个式子的和。
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- 1 - 广东省江门市第二中学2017-2018学年高二数学下学期3月月考试题 理 注意事项：本试卷共4页，22小题，满分150，考试用时120分钟. 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．曲线2xy在(1,1)处的切线方程是
A．230xy B．032yx C．210xy D．012yx 2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是 A．z1>z2 B．z1|z2| D．|z1|<|z2|
3．已知函数f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则hhxfhxfx)()(lim000＝ A．f′(x0) B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0 4．面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，
f′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)
＝3x2>0恒成立，以上推理中( ) A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论正确 D．推理形式错误
5．由曲线xycos、0x、 3π2x、y=o所围图形的面积为 Ａ．4 Ｂ．2 Ｃ．52 Ｄ．3 6．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n－11)”时，由n＝k(k>1)不等式成立推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是 A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是 A．24n B．42n C．24n D．33n
8．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能是 - 2 -
9．若θ∈3π4，5π4，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是 A．(－∞，－3)∪(3，＋∞) B．(－3，3) C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．[－3，3]
11．在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边ACAB,互相垂直，则
222BCACAB”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥BCDA的三
个侧面ABC、ACD、ABD两两互相垂直”，则可得 A．222222BDCDBCADACAB
B．2222BCDABDACDABCSSSS C．2222BCDABDACDABCSSSS D．222222BDCDBCADACAB 12．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是
A．[－32，3] B．[32，6] C．[3,12] D．[－32，12]
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 13．定义运算abadbccd,若复数z满足112zzi,其中i为虚数单位,则复数 z 。
14．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是_______。 - 3 -
15．已知1)2(33)(23xaaxxxf有极大值又有极小值，则a得取值范围是 _____________。 16．观察下列式子232112 ，353121122，474131211222 , … … , 则可归纳出第n个式子为______________________________。 三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程或步骤。 17．（本小题满分10分）把复数z的共轭复数记作z，已知(1＋2i)z＝4＋3i，
求z及zz。
18．（本小题满分12分）已知a，b是正实数，求证：baabba。 19．（本小题满分12分）已知数列na中，12,111nnaaa， （1）求5432,,,aaaa； （2）猜想na的表达式，并用数学归纳法加以证明。
20．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝23时，y＝f(x)有极值。 （1）求函数f(x)的解析式； （2）求函数f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值。
21．（本小题满分12分）如图，设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，记直线OP与曲线y＝x2所围成图形的面积为S1，直线OP、直线x＝2与曲线y＝x2所围成图形的面- 4 -
积为S2。 （1）当S1＝S2时，求点P的坐标； （2）当S1＋S2取最小值时，求点P的坐标及此最小值。
22． (本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(ax＋1)(x≥0，a>0)，g(x)＝x－2x＋2. （1）讨论函数y＝f(x)－g(x)的单调性； （2）若不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a＝1时，证明：13＋15＋17＋…＋12n＋1<12f(n)(n∈N*)。 - 5 -
第二学期第一次考试高二年级 数学试卷（理科答案）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D B A D C A A B D C c
二.填空题： 13、1-i 14、36m
15、),2()1,( 16、22211121123(1)1nnn 三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程或步骤。 17．（本小题满分10分）
解:设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi， 由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，
a＋2b＝4，
2a－b＝3.得a＝2，b＝1，
∴z＝2＋i. ∴zz＝2＋i2－i＝＋2－＋＝3＋4i5＝35＋45i.
18、（本小题满分12分） 证明：要证baabba，
只需证)(baabbbaa 即证)())((baabbaabba 即证ababba 即证abba2，即0)(2ba - 6 -
该式显然成立，所以baabba 19、（本小题满分12分） 解：（1）31,15,7,35432aaaa
（2）12nna，证明略 20、(本题满分12分) 解： f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，
(1)由题意得， f 23＝232＋2a×23＋b＝0，f ＝3×12＋2a×1＋b＝3.
解得 a＝2，b＝－4. 经检验得x＝23时，y＝f(x)有极小值， 所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5. (2)由(1)知，f ′(x)＝3x2＋4x－4＝(x＋2)(3x－2)．
令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝23， f ′(x)，f(x)的值随x的变化情况如下表：
x －4 (－4，－2) －2 (－2，23) 23 (23，1) 1
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
函数值 －11 13 9527 4
∵f(23)＝9527，f(－2)＝13，f(－4)＝－11，f(1)＝4， ∴f(x)在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11. 21．(本题满分12分) 解： (1)设点P的横坐标为t(0tx.
S1＝0t(tx－x2)dx＝16t3，
S2＝t2(x2－tx)dx＝83－2t＋16t3， - 7 -
因为S1＝S2，所以16t3＝83－2t＋16t3，解得t＝43， 故点P的坐标为(43，169)． (2)令S＝S1＋S2， 由(1)知，S＝16t3＋83－2t＋16t3＝13t3－2t＋83，则S′＝t2－2， 令S′＝0，得t2－2＝0，因为0又当00；
故当t＝2时，S1＋S2有最小值，最小值为83－423，此时点P的坐标为(2，2)． 22、 (本题满分12分) 解：(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－x－2x＋2，
y′＝aax＋1－4x＋2＝ax2＋4a－4ax＋x＋2，
当a≥1时，y′≥0，所以函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数； 当00得x>21a－1，所以函数y＝f(x)－g(x)在21a－1，＋∞上是
单调递增函数，函数y＝f(x)－g(x)在0，21a－1上是单调递减函数； (2)当a≥1时，函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数． 所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1， 即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立，
当0使得f(x0)－g(x0)综上，实数a的取值范围是[1，＋∞)． (3)当a＝1时，由(2)得不等式f(x)>g(x)＋1在x∈(0，＋∞)时恒成立，
即ln(x＋1)>2xx＋2，所以ln1k＋1>21＋2k(k∈N*)，
即12k＋1<12[ln(k＋1)－lnk]． 所以13<12(ln2－ln1)， 15<12(ln3－ln2)，