2016-2017年浙江省杭州市下城区八年级上学期数学期中试卷与答案

赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=5APBC的面积是36，求△ACB的周长.P 2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.DAB3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

DBAC2016-2017学年浙江省杭州市下城区八年级（上）期中数学试卷一、仔细选一选（本题有10小题，每小题3分，共30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．）1．（3分）若等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长是（）A．14 B．15 C．16 D．14或162．（3分）若x＞y，则下列式子中错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+2 C．﹣3x＞﹣3y D．3．（3分）如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于（）A．60°B．70°C．50°D．40°4．（3分）如图，CE∥BF，CE=BF．则添加下列条件还不能使△EAC≌△FDB．（）A．AB=CD B．AE∥DF C．∠E=∠F D．AE=DF5．（3分）如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（3分）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°7．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为（）A．20°B．30°C．10°D．15°8．（3分）如图1是长方形纸带，∠DEF=10°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF 折叠成图3，则图3中∠CFE度数是多少（）A．160°B．150°C．120° D．110°9．（3分）△ABC的两条高AD，BE所在的直线交于点H，若BH=AC，则∠ABC=（）A．60°B．45°C．60°或120°D．45°或135°10．（3分）在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG、DH分别与边AC、BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AB，②△DEF始终为等腰直角三角形，③S=AB2，四边形CEDF④AE2+CE2=2DF2．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①④D．②③二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分．注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．）11．（4分）若a≤0，则2a a（填＜，≤，＞，≥）．12．（4分）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：．13．（4分）如图，射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA于点D，PE ⊥OB于点E，若OD=8，OP=10，则PE的长为．14．（4分）直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为．15．（4分）如图，已知两块三角板如图摆放，点B和点C分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点M在另一块三角板的边上，且∠BAC=40°，∠E=60°，∠F=45°，则∠ABE+∠EMF+∠FCA=度．16．（4分）有一块直角三角形绿地，量得两直角边长为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长6m的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为m2．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．）17．（6分）解不等式6x﹣1＞9x﹣4，并把解集在数轴上表示出来．18．（8分）如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明．19．（8分）如图，在△ABC中：（1）用直尺和圆规，在AB上找一点D，使点D到B、C两点的距离相等（不写作法．保留作图痕迹）（2）连接CD，已知CD=AC，∠B=25°，求∠ACB的度数．20．（10分）在边长为3cm和4cm的长方形中作等腰三角形，其中等腰三角形的两个顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，请画出3种满足上述条件的等腰三角形（全等的等腰三角形视为一种），并分别求出所画三角形的面积．21．（10分）两个非负实数a和b满足a+2b=3，且c=3a+2b求：（1）求a的取值范围；（2）请含a的代数式表示c，并求c的取值范围．22．（12分）如图，过△ABC的顶点A分别作对边BC上的高线AD和中线AE，交BC于点D，E，规定λA=，当点D与点E重合时，规定λA=0，另外对λB，λC 作类似的规定．（1）如图2，已知在Rt△ABC中，∠A=30°，求λA，λC；（2）判断下列三个命题的真假（真命题打“√”，假命题打“×”）：①若△ABC中λA＜1，则△ABC为锐角三角形；②若△ABC中λA=1，则△ABC为直角三角形；③若△ABC中λA＞1，则△ABC为钝角三角形．．（2）如图3，在每个小正方形边长都为1的4×4的方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点（即每个小正方形的顶点）上，且λA=2，面积也为2．23．（12分）已知，等腰Rt△ABC，∠BAC=Rt∠，在直角边AB的左侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连结BE，CE，其中CE交直线AP于点F．（1）依题意，在图1中补全示意图；当∠PAB=18°时，求∠ACF的度数；（2）当0°＜∠PAB＜45°时，利用图1，求证：∠PAB+∠ACE=45°；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FC之间的数量关系，并证明．2016-2017学年浙江省杭州市下城区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有10小题，每小题3分，共30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．）1．（3分）若等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长是（）A．14 B．15 C．16 D．14或16【解答】解：根据题意，①当腰长为6时，符合三角形三边关系，周长=6+6+4=16；②当腰长为4时，符合三角形三边关系，周长=4+4+6=14．故选：D．2．（3分）若x＞y，则下列式子中错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+2 C．﹣3x＞﹣3y D．【解答】解：A、根据不等式的性质1，不等式两边同时减去3，故命题正确；B、大的加大仍然比小的加小的，故命题正确；C、根据不等式性质3，两边同时乘以﹣3，不等号的方向改变，则命题错误；D、根据不等式的性质2，不等式两边同时除以3，故命题正确．故选：C．3．（3分）如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于（）A．60°B．70°C．50°D．40°【解答】解：如图所示：根据题意得：∠1=∠2=∠3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠AOB=20°，∴∠3=90°﹣20°=70°，∴∠1=70°；故选：B．4．（3分）如图，CE∥BF，CE=BF．则添加下列条件还不能使△EAC≌△FDB．（）A．AB=CD B．AE∥DF C．∠E=∠F D．AE=DF【解答】解：∵AB=CD，∴AC=DB，∴△EAC≌△FDB（SAS）；∵AE∥DF，∴∠A=∠D，∴△EAC≌△FDB（AAS）；∵∠E=∠F，∴△EAC≌△FDB（AAS）；当AE=DF时，不能使△EAC≌△FDB．故选：D．5．（3分）如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵△ABC≌△AEF，∴AC=AF，故①正确；∠EAF=∠BAC，∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误；EF=BC，故③正确；∠EAB=∠FAC，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④共3个．故选：C．6．（3分）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=AC．有两种情况：①顶角∠A=50°；②当底角是50°时，∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．故选：C．7．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为（）A．20°B．30°C．10°D．15°【解答】解：∵∠BAC=60°，∠C=80°，∴∠B=40°．又∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠BAC=30°，∴∠ADE=70°，又∵OE⊥BC，∴∠EOD=20°．故选：A．8．（3分）如图1是长方形纸带，∠DEF=10°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF 折叠成图3，则图3中∠CFE度数是多少（）A．160°B．150°C．120° D．110°【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF=10°．由翻折的性质可知：图2中，∠EFC=180°﹣∠BFE=170°，∠BFC=∠EFC﹣∠BFE=160°，∴图3中，∠CFE=∠BFC﹣∠BFE=150°．故选：B．9．（3分）△ABC的两条高AD，BE所在的直线交于点H，若BH=AC，则∠ABC=（）A．60°B．45°C．60°或120°D．45°或135°【解答】解：分为两种情况：①如图1，∵AD、BE是△ABC的高，∴∠ADC=∠BDH=90°，∠∠BEC=90°，∴∠C+∠CAD=90°，∠C+∠HBD=90°，∴∠CAD=∠HBD，在△HBD和△CAD中，，∴△HBD≌△CAD（AAS），∴BD=AD，∵∠ADB=90°，∴∠ABC=∠BAD=45°，②如图2，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC=∠HDB=∠AEH=90°，∴∠H+∠HAE=∠C+∠HAE=90°，∴∠H=∠C，∵在△HBD和△CAD中，，∴△HBD≌△CAD（AAS），∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=45°，∴∠ABC=180°﹣45°=135°；故选：D．10．（3分）在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG、DH分别与边AC、BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AB，②△DEF始终为等腰直角三角形，=AB2，③S四边形CEDF④AE2+CE2=2DF2．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①④D．②③【解答】解：如图所示，连接CD，∵AC=BC，点D为AB中点，∠ACB=90°，∴AD=CD=BD=AB，∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°，∴∠ADE+∠EDC=90°，∵∠EDC+∠FDC=∠GDH=90°，∴∠ADE=CDF．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，DE=DF，S△ADE =S△CDF．∵AC=BC，∴AC﹣AE=BC﹣CF，∴CE=BF．∵AC=AE+CE，∴AC=AE+BF．∵AC2+BC2=AB2，AC=BC，∴AC=AB，∴AE+BF=AB，故①正确；∵DE=DF，∠GDH=90°，∴△DEF始终为等腰直角三角形，故②正确；∵S四边形CEDF =S△EDC+S△EDF，∴S四边形CEDF =S△EDC+S△ADE=S△ABC，又∵S△ABC=AC2=（AB）2=AB2，∴S四边形CEDF =S△ABC=×AB2=AB2，故③正确；∵CE2+CF2=EF2，DE2+DF2=EF2，∴CE2+AE2=EF2=DE2+DF2，又∵DE=DF，∴AE2+CE2=2DF2，故④正确；∴正确的有①②③④．故选：A．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分．注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．）11．（4分）若a≤0，则2a≤a（填＜，≤，＞，≥）．【解答】解：2＞1，两边都乘以a，不等号的方向改变，2a＜a，故答案为：≤．12．（4分）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果两个角是对顶角，那么它们相等．【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．13．（4分）如图，射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA于点D，PE ⊥OB于点E，若OD=8，OP=10，则PE的长为6．【解答】解：∵PD⊥OA，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，由勾股定理得：PD===6，∵射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PE=PD=6，故答案为：6．14．（4分）直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为40°或15°．【解答】解：①当这两个角是锐角，设直角三角形中一个锐角为x，另一个锐角为2x﹣60°，根据两个锐角之和为90°可得，x+2x﹣60°=90°，解的x=50°，较小角为90°﹣50°=40°，②设直角三角形中一个锐角为x，则有2x﹣60=90°，x=75°，∴另一个锐角为15°，较小的角为15°故答案为40°或15°．15．（4分）如图，已知两块三角板如图摆放，点B和点C分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点M在另一块三角板的边上，且∠BAC=40°，∠E=60°，∠F=45°，则∠ABE+∠EMF+∠FCA=65度．【解答】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G，∵∠BDC=∠A+∠ABE，∠EGF=∠BDC+∠ACF=∠A+∠ABE+∠ACF，∴∠ABE+∠EMF+∠FCA+∠A=∠BEM+∠CFM=105°，∴∠ABE+∠EMF+∠FCA=105°﹣∠A=65°，故答案为：65．16．（4分）有一块直角三角形绿地，量得两直角边长为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长6m的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为32或48或40或m2．【解答】解：∵两直角边长为6m，8m，∴由勾股定理得到：AB==10m．①如图1：当AC=CD=8m时；∵AC⊥CB，此时等腰三角形绿地的面积：×8×8=32（m2）；②如图2，延长BC到D使BC=CD=6m，此时AB=AD=10m，此时等腰三角形绿地的面积：×12×8=48（m2）；③延长BC到D使BD=AB=10m，此时等腰三角形绿地的面积：×10×8=40（m2）；④作AB的中垂线，交BC延长线于点D，设DC为x，DA=DB=6+x，在Rt△ACD中，x2+82=（x+6）2，解得x=，此时等腰三角形绿地的面积：×（+6）×8=（m2）；综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为32m2或48m2或m2或40m2．故答案是：32或48或40或．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．）17．（6分）解不等式6x﹣1＞9x﹣4，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：移项得，6x﹣9x＞﹣4+1，合并同类项得，﹣3x＞﹣3，系数化为1，得：x＜1，表示在数轴上如下：18．（8分）如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明．【解答】解：（1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；（2）∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=FC，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）．19．（8分）如图，在△ABC中：（1）用直尺和圆规，在AB上找一点D，使点D到B、C两点的距离相等（不写作法．保留作图痕迹）（2）连接CD，已知CD=AC，∠B=25°，求∠ACB的度数．【解答】解：（1）如图所示：故点D为所求（2）由（1）得DC=DB，∴∠BCD=∠B=25°，∴∠ACD=∠B+∠BCD=50°，∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣50°﹣25°=105°．20．（10分）在边长为3cm和4cm的长方形中作等腰三角形，其中等腰三角形的两个顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，请画出3种满足上述条件的等腰三角形（全等的等腰三角形视为一种），并分别求出所画三角形的面积．【解答】解：如图1，作BC边的中垂线，交AD于P，∴PB=PC，即△PBC为等腰三角形，S△PBC=BC×h=BC•AB=×4×3=6；如图2，作AB边的中垂线，交CD于E，∴EA=EB，即△EAB为等腰三角形，S△EBC=AB×h=AB•BC=×4×3=6；如图3，以点B为圆心，BA长为半径画弧交BC于点F，∴BA=BF，即△ABF为等腰三角形，S△ABF=×AB×BF=×3×3=4.5．21．（10分）两个非负实数a和b满足a+2b=3，且c=3a+2b求：（1）求a的取值范围；（2）请含a的代数式表示c，并求c的取值范围．【解答】解：（1）∵a+2b=3，∴2b=3﹣a，∵a、b是非负实数，∴b≥0，a≥0，∴2b≥0，∴3﹣a≥0，解得0≤a≤3．（2）∵a+2b=3，c=3a+2b，∴c﹣3=（3a+2b）﹣（a+2b）=2a，∴c=2a+3，∵a是非负实数，∴a≥0，∴0≤a≤3，∴0≤2a≤6，3≤2a+3≤9，即3≤c≤922．（12分）如图，过△ABC的顶点A分别作对边BC上的高线AD和中线AE，交BC于点D，E，规定λA=，当点D与点E重合时，规定λA=0，另外对λB，λC 作类似的规定．（1）如图2，已知在Rt△ABC中，∠A=30°，求λA，λC；（2）判断下列三个命题的真假（真命题打“√”，假命题打“×”）：①若△ABC中λA＜1，则△ABC为锐角三角形；×②若△ABC中λA=1，则△ABC为直角三角形；√③若△ABC中λA＞1，则△ABC为钝角三角形．√．（2）如图3，在每个小正方形边长都为1的4×4的方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点（即每个小正方形的顶点）上，且λA=2，面积也为2．【解答】解：（1）如图，作BC边上的中线AD，又AC⊥DC，∴λA==1，过点C分别作AB边上的高CE和中线CF，∵∠ACB=90°，∴AF=CF，∴∠ACF=∠CAF=30°，∴∠CFE=60°，∴λC===cos60°=；（2）①在第（1）题中，λC=，而△ABC是直角三角形，故命题错误；②λA=1时，过顶点A的高线的垂足与三角形的顶点一定重合，故三角新一定是直角三角形，故命题正确；③λA＞1时，过顶点A的高线的垂足与三角形的顶点一定在边的延长线上，则三角形一定是钝角三角形，故命题正确．故答案为：①×，②√，③√．（3）如图：23．（12分）已知，等腰Rt△ABC，∠BAC=Rt∠，在直角边AB的左侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连结BE，CE，其中CE交直线AP于点F．（1）依题意，在图1中补全示意图；当∠PAB=18°时，求∠ACF的度数；（2）当0°＜∠PAB＜45°时，利用图1，求证：∠PAB+∠ACE=45°；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FC之间的数量关系，并证明．【解答】（1）解：如图1所示：∵由轴对称的性质得：AE=AC，BM=EM，AM⊥BE，∠AME=∠BMA=90°，∴∠EAP=∠PAB=18°，∴∠EAC=90°+2×16°=126°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∴AE=AC，∴∠ACF=∠AEC=（180°﹣126°）=27°；（2）证明：由（1）得：∠EAP=∠PAB，∠AEC=∠ACE，∵∠AEC+∠ACE+∠EAC=180°，∴∠AEC+∠ACE+2∠PAB=90°，即2∠ACE+2∠PAB=90°，∴∠PAB+∠ACE=45°；（3）解：EF2+CF2=2AB2，理由如下：如图2所示：作CG⊥AP于G，则∠AGC=∠BMA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠GAC=∠MBA，在△ACG和△BAM中，，∴△ACG≌△BAM（AAS），∴CG=AM，∵AB=AC=AE，∴点A是△BCE的外接圆圆心，∴∠BEC=∠BAC=45°，∴∠CFG=∠EFM=45°，∴△EFM和△CFG是等腰直角三角形，∴EF2=2EM2，CF2=2CG2，∵AB2=AM2+BM2，∴EF2+CF2=2AB2．。