第一讲.立方和与立方差公式
初高中衔接专题一：立方和与立方差公式
例1运用立方和公式计算：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4）
练习
1．填空，使之符合立方和公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
2．运用立方和公式计算：
（1） ；（2） 。
利用立方和公式计算 。
解： = 。
于是，我们得到：
即两个数的差乘以它们的平方和与它们积的和，等于这两个数的立方差．
这个公式叫做（乘法的）立方差公式。
例2运用立方差公式计算：
（1） ；
（2） ；
（3）
练习
1．填空，使之符合立方和公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
2．运用立方和公式计算：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） 。
综合练习
1．填空，使之符合立方和或立方差公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
立方和与立方差公式同学们在初中我们已经学习了平方差公式完全平方公式相信你能完成下列问题
初高中衔接专题一：立方和与立方差公式
同学们，在初中我们已经学习了平方差公式，完全平方公式，相信你能完成下列问题：
（1）
（2）
（3）
我们来计算 。
。
于是，我们得到：
即两个数的和乘以它们的平方和与它们积的差，等于这两个数的立方和．
（ห้องสมุดไป่ตู้） ；
（6） 。
2．运用立方和（差）公式计算：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） 。
完全立方和立方差公式
完全立方和立方差公式完全立方和立方差公式是数学中常见的两个公式，它们在代数和数论等领域有广泛的应用。
本文将为大家介绍这两个公式，并探讨它们的应用和意义。
一、完全立方公式完全立方公式是指一个整数的立方是由连续奇数相加得到的。
具体来说，一个整数n的立方可以写成n^3 = a + b + c + ...，其中a，b，c，...是连续的奇数。
例如，8的立方是8^3 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15，其中1到15是连续的奇数。
完全立方公式的应用非常广泛。
首先，在数论中，完全立方公式可以用来研究整数的性质和关系，如整数的分解和因子等。
其次，在代数中，完全立方公式可以用来求解一元三次方程，解决一些复杂的代数问题。
此外，在几何学中，完全立方公式可以用来计算和推导一些几何图形的性质，如立方体的体积和表面积等。
二、立方差公式立方差公式是指两个整数的立方之差可以用一些数的立方来表示。
具体来说，如果有两个整数a和b，那么它们的立方之差可以表示为a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)。
这个公式可以通过展开(a - b)(a^2 + ab + b^2)来验证。
立方差公式的应用也非常广泛。
首先，在因式分解中，立方差公式可以用来分解一个立方差，将其转化为更简单的因式。
其次，在代数中，立方差公式可以用来求解一些方程和不等式，简化计算过程。
此外，在几何学中，立方差公式可以用来计算和推导一些几何图形的性质，如立方体的对角线长度等。
三、完全立方和立方差公式的意义完全立方和立方差公式在数学中有重要的意义。
它们不仅可以帮助我们理解和解决一些数学问题，还可以拓展我们的思维和推理能力。
通过学习和应用这些公式，我们可以培养逻辑思维和数学思维，提高解决问题的能力。
完全立方和立方差公式的应用也不仅局限于数学领域。
在生活和工作中，我们也经常会遇到需要应用这些公式的情况，如物理学、工程学和计算机科学等领域。
立方和差公式口诀
立方和差公式口诀立方和：两项相加，第一平方，第二积之两乘；再乘一积之差，结果立方。
一平方之和，二积相减；再乘积之和，结果立方。
亦可约记为：(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3例子：1)2^3+3^3=(2+3)(2^2-2*3+3^2)=5*1=52)4^3+5^3=(4+5)(4^2-4*5+5^2)=9*(-6)=-54立方差：两项相减，第一平方，第二积之两乘；再乘一积之和，结果立方。
一平方之差，二积相加；再乘积之差，结果立方。
亦可约记为：(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3例子：1)6^3-4^3=(6-4)(6^2+6*4+4^2)=2*52=1042)8^3-7^3=(8-7)(8^2+8*7+7^2)=1*113=113立方和公式的推导：设(a + b)^3 = c，则展开式为c = a^3 +3a^2b + 3ab^2 + b^3、将式子视为多项式c = a^3 + b(b^2 + 3ab +3a^2)，可以发现，b(b^2 + 3ab + 3a^2)的部分其实是(b + a)^2的展开式中的(a^2 + 2ab)项。
所以，我们可以推导出立方和公式(a + b)^3 =a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3同样地，立方差公式的推导也是类似的。
设(a - b)^3 = d，则展开式为d = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3、将式子视为多项式d = a^3 -b(b^2 - 3ab + 3a^2)，可以发现，b(b^2 - 3ab + 3a^2)的部分其实是(b- a)^2的展开式中的(a^2 - 2ab)项。
所以，我们可以推导出立方差公式(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3立方和差公式在数学中有广泛的应用。
它可以帮助我们快速计算两个数的立方和或立方差，尤其在解决一些代数运算问题时非常有用。
立方和公式和立方差公式推导过程
立方和公式和立方差公式推导过程立方和公式和立方差公式是数学中常用的公式，用于计算一个数的立方和以及两个数的立方差。
在本文中，我们将推导这两个公式的过程并解释它们的应用。
让我们来推导立方和公式。
假设我们要计算一个数的立方和，即将从1到n的所有数的立方相加，可以表示为：1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3我们可以观察到这个序列中每个数的立方都是由这个数的平方乘以这个数本身得到的。
因此，这个序列可以进一步表示为：(1^2 × 1) + (2^2 × 2) + (3^2 × 3) + ... + (n^2 × n)我们可以将这个式子展开并进行简化，得到：1 × (1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2) + 2 × (1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2) +3 × (1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2) + ... + n × (1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)可以发现，括号中的部分是一个等差数列的和，即：1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n × (n + 1) × (2n + 1) / 6将这个结果代入到原始式子中，我们可以得到立方和公式：1 × (n × (n + 1) × (2n + 1) / 6) +2 × (n × (n + 1) × (2n + 1) / 6) +3 × (n × (n + 1) × (2n + 1) / 6) + ... + n × (n × (n + 1) × (2n + 1) / 6)将分子提取出来，可以得到：(n × (n + 1) × (2n + 1) × (1/6)) × (1 + 2 + 3 + ... + n)进一步计算等差数列的和，我们可以得到最终的立方和公式：(n × (n + 1) / 2) ^ 2接下来，让我们推导立方差公式。
专题2立方和差公式和差的立方公式
反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。
例1计算:1 2 5 1 2(5x -1y )(25x +?xy +1y )；(2x+ 1)(4x 2 +2x+1)。
两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算 解：(1)原式=33+(2y)3 =27+8y 3 ；(2)原式=(5x)3 -(! y)3 =125x 3 -1 y 3 ；2 8(3)原式=8x 3 +4x 2 +2x +4x 2 +2x +1 =8x 3 +8x 2 +4x +1。
说明：第（1）、（ 2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项 式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“ +T 改成“ -1 ”则利用公式计算；若将第二个因 式中“ +2x ”改成“ -2x ”则利用公式计算；若将第二个因式 中“ +2x ”改成“ +4x ”,可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算(2x +1)(2x +1)2 =(2x +1)3=(2X )3 +3(2X )21 +3(2)) 12+13 =8 x 3+12x 2 +6x +1。
计算:(X 3 -1)(x 6 +x 3 + 1)(x 9 +1)；(x + 1)(x-1)(x 2 +x +1)(x 2 -X +1)；(X +2y)2(x 2 -2xy +4y 2)2 ； 专题 立方和（差）公式、和（差）的立方公式 （1）立方和公式 (a + b^a 2 -ab+b 2) =a 3 + b 3 ；（2）立方差公式 (a-b)(a 2 + ab+ b 2) MQ 3 -b 3 ；（3）三数和平方公式 2 2 2 2(a + b+c) =a +b +c +2(ab + bc+ac)；（4）两数和立方公式 . .、3 3 c 2, _ . 2 . 3(a + b) =a +3ab + 3ab +b ；（5）两数差立方公式 , .、3 3 c 2. c ・ 2 . 3 (a — b) =a -3a b+3ab -b 。
三个数的立方和公式
三个数的立方和公式三数立方和公式(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3a^c+3ac^2 +3b^2c+3bc^2+6abc“立方和、立方差”公式是什么？a^3-b^3=(a-b)^3-[-3(a^2)b+3ab^2]=(a-b)(a-b)^2+3ab(a-b)=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2)有立方和公式及其推广:(1)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)立方和公式a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2）折叠立方差公式a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2）折叠3项立方和公式a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)推导过程：a^3+b^3+c^3-3abc=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3）-（3abc+3a^2b+3ab^2）=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2）-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)折叠编辑本段文字表达折叠立方和，差公式两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）折叠3项立方和公式三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍折叠编辑本段公式证明⒈迭代法：我们知道：0次方和的求和公式ΣN^0=N即1^0+2^0+...+n^0=n1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1）/2即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1）/22次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1）（2N+1）/6即1^2+2^2+…+n^2=n(n+1）（2n+1）/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式（x+1）^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。
立方和差公式推导过程
立方和差公式推导过程我们先来推导立方和公式。
设有两个数a和b，它们的立方和可以表示为：(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 --------（1）我们可以用这个公式来推导立方和公式。
首先，我们将方程（1）左边进行展开得到：(a + b)(a + b)(a + b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3我们可以将(a+b)看作一个整体，用c来代替。
这样，我们可以将方程（1）改写为：c^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 --------（2）接下来，我们再引入一个新的数x。
令x=a+b，那么我们可以将方程（2）改写为：x^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 --------（3）现在，我们可以尝试将方程（3）右边进行化简。
我们可以对右边的四项进行配方得到：a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3= (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)= (a^2 + 2ab + b^2)(a + b)=(a+b)^2(a+b)=x^2(a+b)=x^3--------（4）利用方程（4），我们可以将方程（3）化简为：x^3=x^3x^3-x^3=0进一步化简得：x^3 - x^3 = (x - x)(x^2 + xy + y^2) = 0由此可得到立方和公式：x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)这就是推导得到的立方和公式。
接下来，我们将推导立方差公式。
与立方和公式类似，我们先设有两个数a和b，它们的立方差可以表示为：(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 --------（5）我们可以按照类似的思路推导立方差公式。
首先，同样将方程（5）左边进行展开：(a - b)(a - b)(a - b) = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3仍然用c代替(a-b)，我们可以将方程（5）改写为：c^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 --------（6）接下来，我们令y=a-b，将方程（6）进行变换得：y^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 --------（7）现在，我们要尝试将方程（7）右边进行化简。
立方和立方差
若将此题改成-27m3+n3 怎样解？把此题作为课堂练习 一种方法：可以看在是-3m 与n 的立方和 另一种方法：根据加法交换律，可以写成n3-27m3 ，再用立方差公式分解因式 课堂练习： 将下列各式分解因式： (1)8p3-q3;(2)125m3+8n3; (3)Q3+8b3; （三）小结 1、立方和（差）公式在运用时一定要注意符号和第二因式中的两个数的积而不是两个数 积的2倍。 2、立方是非奇次主，在写某个数的立方时，要注意原来幂的符号。 二、布置作业 1、填空： (1)1-a3b3=(1-ab)( (2)-m3-8=-(m+2)( (3)-27a3+64=(4-3a)( 1 1 (4) +8a3=( +2a)( 2 8 ); ); ); )
a3b3 a8
分析：让学生观察题目的特点：1可以看在是13，a8 可以看成是 用立方和公式了。 解：1+ =1+( =(1+
ab 2 ab 2
a3b3 a8
a3b3
ab 2
的立方，这样就可以利
)3 )(1ab 2
+ a 2b 2)
4
课堂练习： 1、填空： （1）64a3=( （3）0.001x3=( （1）a3+1 （3）1-27y3 )3; )3; （2）125n6( （4）-27a3b3=( )3; )3
2、把下列各式因式分解： （2）1-3m3 （4）27+x3
注意：由于立方是一个数的奇次幂，因此立方后的符号和底数的符号是一致的，这一点平 方有区别，练习中的-27a3b3=(-3ab)3，而在平方米关系中如(p-q)2=(q-p)2是可以的，而在立 方关系中这个等式不能成立。 例2 将多项式27m3-n3分解因式 分析：27m3可以看成是(3m)3，因此可以用公式。 解：27m3-n3 =(3m)3-n3 =(3m-n)( 9m2|+3mn+n2 ) 说明：注意后面因式中的符号以及积不能写成2倍，这是学生最易出错的地方，教师上课 定要反复说明。
立方和公式和立方差公式记忆口诀
立方和公式和立方差公式记忆口诀一、立方和公式的记忆口诀大家好，今天我要给大家讲一个关于立方和公式的知识。
立方和公式是一个非常重要的数学概念，它在我们的日常生活中有着广泛的应用。
那么，如何记住这个公式呢？其实，有一个非常简单易记的方法，就是“一一对应法”。
我们来看一下什么是立方和公式。
立方和公式是这样的：对于任意一个数a,有a3+a2-a+1=0。
这个公式看起来很复杂，但是只要我们掌握了它的规律，就能够轻松地记住它。
接下来，我就要给大家介绍这个公式的规律了。
我们可以把这个公式分成三部分来看：第一部分是a3,第二部分是a2,第三部分是1。
然后，我们可以发现，这三部分之间存在着一种特殊的关系。
具体来说，就是第一部分加上第二部分再减去第三部分，结果总是等于0。
这就是立方和公式的规律。
通过这种方法，我们就可以轻松地记住立方和公式了。
如果你觉得这种方法还不够直观的话，还可以自己画一个图形来帮助记忆。
比如说，你可以画一个正方形，然后把每个顶点上的数字都表示成立方和的形式。
这样一来，你就可以更直观地理解立方和公式了。
二、立方差公式的记忆口诀好了，现在我们已经知道了立方和公式，接下来我要给大家讲的是另一个非常重要的数学概念——立方差公式。
立方差公式也是一个非常有用的工具，它可以帮助我们解决很多实际问题。
那么，如何记住这个公式呢？其实，也有一个非常简单易记的方法，就是“一一对应法”。
我们来看一下什么是立方差公式。
立方差公式是这样的：对于任意三个数a、b、c,有(a-b)3=a3-3ab+3b3-b3。
这个公式看起来也很复杂，但是只要我们掌握了它的规律，就能够轻松地记住它。
接下来，我就要给大家介绍这个公式的规律了。
我们可以把这个公式分成三部分来看：第一部分是(a-b),第二部分是a3-3ab,第三部分是3b3-b3。
然后，我们可以发现，这三部分之间也存在着一种特殊的关系。
具体来说，就是第一部分的三次方加上第二部分减去第三部分的结果总是等于0。
利用立方和立方差公式进行因式分解
利用立方和立方差公式进行因式分解一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式)2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()a b a b a ab b +=+-+3322()()a b a b a ab b -=-++ 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 38x + (2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==．解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+ 2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab - 分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+- 22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+强化练习1．因式分解下列各式：(1) 31x -(2) 338a b +(3) 66x y -2．把下列各式分解因式：(1) 327a +(2) 38m -(3) 3278x -+ (4) 3311864p q --(5) 3318125x y -(6) 3331121627x y c +2．把下列各式分解因式：(1) 34xy x +(2) 33n n x x y +-(3) 2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+强化练习答案1． (1) 31x -=331x -=22(1)(11)x x x -+⋅+=2(1)(1)x x x -++(2) 338a b +=33(2)a b +=22[(2)][(2)(2)]a b a a b b +-⋅+=22(2)(24)a b a ab b +-+(3) 66x y -=3232()()x y -=3333()()x y x y +-=2222()()()()x y x xy y x y x xy y +-+-++2．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++ 222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+3．2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。