2017-2018学年人教A版选修2-2 1.1.3导数的几何意义 课件(55张)

2 2 Δy ax＋Δx ＋1－ax －1 [解析] ∵ ＝ Δx Δx
aΔx2＋2aΔxx Δy ＝ ＝a(Δx)＋2ax， lim ＝2ax， Δx Δx→0Δx 即 y′＝2ax，设切点为(x0，y0)，则 2ax0＝1， 1 1 ∴x0＝ .∵切点在直线 y＝x 上，∴y0＝ . 2a 2a 1 1 1 代入 y＝ax ＋1 得 ＝ ＋1，∴a＝ ，故选 B． 2a 4a 4
命题方向2 ⇨求切点的坐标
1 (1)曲线 f(x)＝－ 2在点 P 处的切线方程为 2x＋y－1＝0，则点 P 的 x
(1，－1) 坐标为____________. 导学号 84624061
(2)曲线 f(x)＝2x2－x 在点 P 处的切线与直线 x＋y－1＝0 垂直，则点 P 的坐标 1 ( ，0) 为_________. 2
命题方向3 ⇨最值问题
若抛物线 y＝4x2 上的点 P 到直线 y＝4x－5 的距离最短，求点 P 的 坐标. 导学号 84624063
[思路分析] 抛物线上到直线 y＝4x－5 的距离最短的点，是平移该直线与抛 物线相切时的切点．解答本题可先求导函数，再求 P 点的坐标．
[解析] 由点 P 到直线 y＝4x－5 的距离最短知，过点 P 的切线方程与直线 y ＝4x－5 平行．设 P(x0，y0)，则 4x＋Δx2－4x2 8x·Δx＋4Δx2 Δy y′＝ lim ＝ lim ＝ lim ＝ lim (8x＋4Δx)＝8x， Δ x Δ x Δ x Δx→0 Δx→0 Δx→0 Δx→0
2 2 3 1 3x Δx＋3xΔx ＋Δx ＝ lim 3Δx→0 Δx
1 ＝ lim [3x2＋3xΔx＋(Δx)2] 3Δx→0 ＝x2.
∴y′|x＝2＝22＝4. ∴点 P 处切线的斜率为 4. (2)∵由(1)知，点 P 处切线斜率为 4， 8 且点 P 坐标为(2， )， 3 8 ∴在点 P 处的切线方程是 y－ ＝4(x－2)， 3 即 12x－3y－16＝0.
1 2 5 4 ． 已知曲线 y ＝ x － 3 上一点 P(1 ，－ ) ，则过点 P 的切线的斜率为 2 2 导学号 84624058 ( B ) 3 A． 3 C．－1 B．1 3 D．－ 3
1 2 [解析] ∵y＝ x －3， 2 1 1 3 2 x＋Δx －3－ x －3 2 2 ∴y′＝ lim Δx Δx→0 1 Δx2＋x· Δx 2 ＝ lim Δx Δx→0 1 ＝ lim (x＋ Δx)＝x. 2 Δx→0 5 ∴y′|x＝1＝1，∴过点 P(1，－ )的切线的斜率为 1. 2
2
3 ． 若 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的 切 线 方 程 为 3x － y ＋ 1 ＝ 0 ， 则 导学号 84624057 ( B ) A．f ′(x0)<0 C．f ′(x0)＝0 B．f ′(x0)>0 D．f ′(x0)不存在
[解析] 由导数的几何意义可知曲线在(x0， f(x0))处的导数等于曲线在该点处的 切线的斜率，所以 f ′(x0)＝3.故选 B．
′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导
fx＋Δx－fx lim 数)，即 f ′ ( x ) ＝ y ′ ＝ __________________. Δx Δx→0
1．曲线 y＝x2 在点 P(1,1)处的切线方程为 导学号 84624055 ( B ) A．y＝2x C．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 D．y＝－2x
8x0＝4， 由 2 y ＝ 4 x 0 0，
1 x0＝ ， 2 得 y0＝1.
1 P2，1 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
故所求的点为
• 『规律总结』 求最值问题的基本思路：(1)目标函数法： 通过设变量构造目标函数，利用函数求最值；(2)数形结合 法：根据问题的几何意义，利用图形的特殊位置求最值．
[解析] (1)将 x＝2 代入曲线 C 的方程得 y＝4， ∴切点 P(2,4)． 1 4 1 3 4 3 2＋Δx ＋ － ×2 － 3 3 3 3 Δy y′|x＝2＝ lim ＝ lim Δx Δx→0Δx Δx→0 1 ＝ lim [4＋2·Δx＋ (Δx)2]＝4. 3 Δx→0 ∴k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
互动探究学案
命题方向1 ⇨求切线方程
1 3 4 已知曲线 C：y＝ x ＋ . 导学号 84624059 3 3 (1)求曲线 C 上的横坐标为 2 的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？
[思路分析] 求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数； 另一种方法是先求函数在 x＝x0 处的导数表达式，再把 x 的值代入求导数值．
• 1．曲线的切线：过曲线y＝f(x)上一点P作曲线的割线PQ，当Q点沿 着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定的直线PT，则这 一确定的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P的________． 切线 • 2．导数的几何意义 • 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的
fx0＋ Δx － fx)0＝ _________________. ____________ ，即 k ＝ f ′ ( x 0 lim
Δx→0
切线的斜率
Δx
• 3．导数的物理意义：物体的运动方程s＝s(t)在点t0处的导数s′(t0)，就 是物体在t0时刻的____________． 瞬时速度 • 4．函数的导数 • 对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个确定的数．当x变化时，f
新课标导学
数 学
选修2-2 ·人教A版
第一章
导数及其应用 1.1 变化率与导数
1.1.3 导数的几何意义
1
自主预习学案
2
3
互动探究学案
课时作业学案
自主预习学案
下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切 线方向飞出．实际上物体(看作质点)做曲线运动时，运动方向在 不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向， 我们可以利用导数研究曲线的切线问题．
1 ∴x0＝ . 2 1 12 1 ∴f(x0)＝f( )＝2×( ) － ＝0. 2 2 2 1 ∴切点 P 为( ，0)． 2
• 『规律总结』 切点问题的处理方法 • (1)由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在 某点的导数，进而求出点的横坐标． • (2)解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线 的倾斜角和斜率的关系，直线平行或垂直与斜率的关系等．
〔跟踪练习 1〕 导学号 84624060 1 3 8 已知曲线 y＝ x 上一点 P(2， )， 3 3 (1)求点 P 处切线的斜率； (2)写出点 P 处的切线方程．
1 3 [解析] (1)∵y＝ x ， 3 1 1 3 3 x＋Δx － x 3 3 Δy ∴y′＝ lim ＝ lim Δx Δx→0Δx Δx→0
－x0＋Δx2＋x2 Δy 0 y′＝ lim ＝ lim ＝ lim (－2x0－Δx)＝－2x0， Δ x Δ x Δx→0 Δx→0 Δx→0 1 x0＝－2 －2x0＝1 由 2 得， y0＝－x0 y0＝－1 4
• 3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与过点P的曲线y ＝f(x)的切线． • 求曲线过点P的切线方程时，先验证点P是否在曲线上，再分 别按上述1、2求解． • 4．f ′(x0)>0时，切线的倾斜角为锐角；f ′(x0)<0时，切线的倾 斜角为钝角；f ′(x0)＝0时，切线与x轴平行．f(x)在x0处的导数 不存在，则切线垂直于x轴或不存在．
〔跟踪练习 2〕 导学号 84624062 1 曲线 f(x)＝ 在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( D ) x π A． 4 2π C． 3 π B． 3 3π D． 4
f1＋Δx－f1 [解析] f ′(1)＝ lim Δx Δx→0 1 ＝ lim (－ )＝－1. 1 ＋ Δ x Δx→0 3π 由 tanα＝－1 及 0≤α<π 得，α＝ . 4
y＝4x－4， (2)由 1 3 4 y＝ x ＋ ， 3 3 可得(x－2)2(x＋4)＝0， 解得 x1＝2，x2＝－4. 从而求得公共点为 P(2,4)或 M(－4，－20)． 即切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另外的公共点．
• • • • • • • •
『规律总结』 1.求曲线在点P(x0，y0)处切线方程的步骤： (1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)； 2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤： (1)设切点为Q(x0，y0)； (2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)； (3)利用Q在曲线上和f ′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f ′(x0)． (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
(2)设切点 P 为(x0，y0)，则 k＝f′(x0) 2x0＋Δx2－x0＋Δx－2x2 0－x0 ＝ lim Δx Δx→0 4x0Δx ＋2Δx2－Δx ＝ lim Δx Δx→0 ＝ lim (4x0＋2Δx－1)＝4x0－1.
Δx→0
∵在 P 处的切线与 x＋y－1＝0 垂直， ∴4x0－1＝1.
[思路分析] 解此类题的步骤为：①设切点坐标(x0，y0)；②求导函数 f ′(x)； ③求切线的斜率 f ′(x0)；④由斜率间的关系列出关于 x0 的方程，解方程求 x0；⑤ 由于点(x0，y0)在曲线 y＝f(x)上，将 x0 代入求 y0，得切点坐标．
[解析] (1)设切点 P 为(x0，y0)，则 fx0＋Δx－fx0 k＝f′(x0)＝ lim Δx Δx→0 1 1 － 2＋ 2 x0＋Δx x0 ＝ lim Δx Δx→0