平行四边形判定定理3
证明平行四边形的判定定理
证明平行四边形的判定定理
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3、对角线互相平分的四边形是平行四边形；
4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
1定义
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，包括长方形、菱形、正方形和一般平行四边形，其边与边、角与角、对角线之间存在着各种各样的关系，即是平行四边形性质定理。
2性质
两组对边平行且相等；
两组对角大小相等；
相邻的两个角互补；
对角线互相平分；
对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；
四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。
18.1.2_平行四边形的判定(1---3)
教学重难点
重点：
平行四边形的判定方法及应用．
难点：
平行四边形的判定定理与性质定理的灵 活应用．
探究
张师傅手中有一些木条，他想通过适当的测量、 割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出 一些办法来吗？并说明理由． A● AB＝CD AD＝BC
角
两组对角分别相等
对角线： 对角线互相平分
• 1、下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ D ） • A、∠A=∠C，∠B=∠D • ∠A=∠B=∠C=90 • ∠A+∠B=180 ，∠B+∠C=180 • ∠A+∠B=180 ，∠C+∠D=180
A D
B
C
• 下列条件中能判定一个四边形是平行四边形的条件 是（D ） • ①一组对边相等，且一组对角相等，②一组对边相 等且一条对角线平分另一条对角线，③一组对角相 等，且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条 对角线平分，④一组对角相等，且这一组对角的顶 点所连结的对角线平分这组对角。 • A、①和② B、②和③ • C、②和④ D、只有④ D A
新课导入
回顾旧知
下面图片中，哪些是平行四边形？你是 怎样判断的？
平行四边形的主要特征
1．边： a．平行四边形两组对边分别平行． b．平行四边形两组对边分别相等． 2．角：平行四边形两组对角分别相等． 3．对角线： 平行四边形对角线互相平分 .
怎样证明对边相等或对角 线相等或对角线互相平分的四 边形是不是平行四边形？
证明：作对角线BD，交AC于点O．
A
E O F B C
2.2.2平行四边形的判定
∴ AM=CN.
又 AM∥CN，
∴ 四边形AMCN是平行四边形.
中考 试题
例1
如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而 成的平面图形，则图中的平行四边形共有 21 个.
解析
由图形知，由两个正三角形所 组成的平行四边形有6+6+1=13个； 由四个正三角形所组成的平行四边 形有6个，由六个正三角形所组成的 平行四边形有2个； 故所有的平行四边形共有21个.
2. 如图，□ABCD的对角线相交于点O，直线MN 经过点O，分别与AB ，CD交于点M，N ，连接 AN，CM. 求证：四边形AMCN是平行四边形. 证明： ∵ □ABCD， ∴ OA=OC, AB∥DC. ∴ ∠BAC =∠ACD. 又 ∠AOM =∠CON,
所以 △AOM≌△CON. (ASA)
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
例7
已知：如图2-28，在□ABCD的对角线AC和 BD相交于点O，点E，F在BD上且OE=OF. 求证：四边形AECF是平行四边形.
图2-28
证明： 由于四边形ABCD是平行四边形， 因此 OA=OC.
又 OE=OF， 所以四边形AECF是平行四边形.
图2-28
中考 试题
例2
如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上 两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE. 求证：（1）△AFD≌ △ CEB； （2）四边形ABCD是平行四边形.
证明 （1）∵DF∥BE， ∴ ∠DFE=∠BEF.
∵ ∠AFD + ∠DFE=180°， ∠CEB +∠BEF=180°， ∴ ∠AFD =∠CEB. 又 AF=CE，DF=BE. ∴ △AFD≌△CEB(SAS). （2）由(1)知△AFD≌△CEB， ∴ ∠DAC=∠BCA，AD=BC， ∴ AD∥BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形).
平行四边形菱形判定定理
平行四边形菱形判定定理
平行四边形的判定定理如下：
1、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3、对角线互相平分的四边形是平行四边形;
4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
菱形的判定定理如下：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3、两条对角线分别平分每组对角的四边形；
4、有一对角线平分一个内角的平行四边形;
5、四条边均相等的四边形是菱形。
平行四边形的判定定理
平行四边形判定定理三： 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O. ∵ OA= OC， OB=OD（已知）， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相 平分的四边形是平行四边形）.
O
三、应用新知，巩固提高
例3 如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于
点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF. 求证：
在四边形ABCD中， ∵ AB=CD，AD=BC（已知）， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分 别相等的四边形是平行四边形）.
平行四边形判定定理二： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
在四边形ABCD中， ∵ ∠A= ∠C， ∠B= ∠D（已知）， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分 别相等的四边形是平行四边形）.
四边形BFDE是平行四边形.
A
D
E
O
F
B
C
提问：本题还有其他证法吗？ 请从定义、几个判定定理分别考虑.
A
D
E
O
F
B
C
平行四边形的判定定理：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平边
形 四 边 形
角
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
的 判
定
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定 第1课时
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已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
分析：
现在能证明四边形是 平行四边形的依据是 什么？
2.2.2平行四边形判定3、4doc
使学生熟练掌握平行四边形判定的方法，并通过定理，习题的证明提高学生的逻辑思维能力；进一步掌握平行四边形性质与判定之间的区别与联系重点：掌握平行四边形的判定定理；难点：灵活恰当地运用判定定理。
（一）复习、引入提问：1. 平行四边形有什么性质?2. 我们学习了哪些平行四边形的判定定理？我们学习了利用“边”的条件来判定一个四边形是平行四边形，它是平行四边形边的性质定理的逆定理。
那么平行四边形的对角及对角线的性质定理的逆命题是否成立呢？（二）新课1、探究：已知：如图2，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于Ｏ点，且OC AO =，OD BO =。
求证：四边形ABCD 是平行四边形。
B AC DO2.结论：平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
3、例3： 已知：如图3，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，且AE ＝CF 。
求证：四边形BFDE 是平行四边形。
B A OC D EF图3分析：已知平行四边形可用平行四边形的性质，求证平行四边形要想判定定理，由于E 、F 在对角线上，显然用对角线互相平分来判定。
证明：连结BD 交AC 于O 。
是平行四边形四边形即平行四边形ABCD OF EO CF OC AE AO CFAE ODOB ,OC OA ABCD∴=-=-∴===∴（对角线互相平分的四边形是平行四边形）这道题，还可以利用CFB AED ,DFC ABE ∆≅∆∆≅∆用对边相等或平行来判定平行四边形，相比之下使用对角线较简便。
4、例2已知：如图1，四边形ABCD 中D B ,C A ∠=∠∠=∠。
求证：四边形ABCD 是平行四边形。
A B C D图1分析：四边形的内角和是︒360，又知道对角相等，容易由同旁内角互补来证明两组对边分别平行。
证明由学生完成。
5、结论：平行四边形的判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（三）巩固练习1. 如图5，四边形AECF 是平行四边形，D B ∠=∠。
平行四边形性质与判定定理汇总
文字语言符号语言平行四边形平定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,BC∥DA.性质定理边1、平行四边形的对边相等∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,BC=DA.角2、平行四边形的对角相等∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C, ∠B=∠D.对角线3、平行四边形的对角线互相平分∵四边形ABCD是平行四边形，∴CO=AO,BO=DO.4、夹在两条平行线间的平行线段相等∵MN∥PQ , AB∥CD,∴AB=CD.定定边1、两组对边分别相等的四边形∵AB=CD,AD=BC,BDCAM N P QBDCABDCAOBDCA行四边形是平行四边形∴四边形ABCD是平行四边形.2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形. 角3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形∵∠A=∠C,∠B=∠D.∴四边形ABCD是平行四边形. 对角线4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形.BDCAO平行四边形定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形性质定理1、平行四边形的对边相等2、平行四边形的对角相等3、平行四边形的对角线互相平分4、夹在两条平行线间的平行线段相等判定定理1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定定理(3)
章节小组：姓名：平行四边形的判定定理（3）1、理解三角形中位线的概念，掌握它的性质；2、能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3、理解两条平行线的距离的概念、并熟练运用。
探究：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？1、动手操作（1）剪一个三角形记为△ABC；（2）分别取AB、AC的中点D、E，连接DE；（3）沿DE将△ABC剪成两部分，将△ADE绕点E旋转180°，得四边形BCFD，如图1。
2、观察思考：图中四边形BCFD是平行四边形吗？为什么？我们能够得出什么结论。
3、结合课本P88例4及以上结论，归纳：（1）连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线．（2）三角形中位线定理：．〖个性导学〗1、新课导入。
AAFEDEDCB B C图11．如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（）．A．15m B．25m C．30m D．20m2．如图,在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（）．A．10 B．20 C．30 D．403已知三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．4．如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=12BD．5.已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．【我的问题】相信自己，检查下自己学的怎么样。
自主预习课本89页的内容，完成下列题目：1.两条平行线之间的距离的概念：两条平行线中,一条直线上的点到另一条直线的叫做两条平行线之间的距离.2.平行线之间的距离的性质：两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离. 自主探究：1、如图1，点A与点B之间的距离是的长度。
平行四边形判定(3)中位线定理
平行四边形判定（3）—三角形中位线一、学生知识状况分析本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判定的基础上学习三角形中位线的概念和性质。
三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。
三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也是后续研究梯形中位线的基础。
三角形中位线定理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可进行定性和定量的描述，在生活中有着广泛的应用。
二、教学任务分析本节课以“问题情境——建立模型——巩固训练——拓展延伸”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。
利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探究活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。
教学目标1、认知目标（1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。
（2）理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。
（3）通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力．2、能力目标引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。
3、德育目标对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。
4、情感目标利用制作的Powerpoint课件，创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，激活学生思维。
教学重难点【重点】：三角形中位线定理【难点】：难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用．三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情景,导入课题；第二环节：教师讲授、传授新知；第三环节：师生共析、证明定理；第四环节：灵活运用、自我检测；第五环节：回顾小结、共同提升；第六环节：分层作业，拓展延伸；第七环节：课后反思。
平行四边形的判定
平行四边形的判定
根据平行四边形的定义来判断：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
简单记就是：两组对边分别平行。
平行四边形的判定方法
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
补充：条件3仅在平面四边形时成立，如果不是平面四边形，即使是两组对边分别相等的四边形，也不是平行四边形。
平行四边形性质
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，包括长方形、菱形、正方形和一般平行四边形，其边与边、角与角、对角线之间存在着各种各样的关系，即是平行四边形性质定理。
两组对边平行且相等；
两组对角大小相等；
相邻的两个角互补；
对角线互相平分；
对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；
四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。