上海市闸北区2015届高三上学期期末(一模)练习数学理试题 Word版含解析
《解析》上海市宝山区2015届高三上学期期末模拟数学试题Word版含解析
2014-2015学年上海市宝山区高三（上）期末数学模拟试卷试题解析一.（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对3分，否则一律得0分．1．（3分）函数y=3tanx的周期是π．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据y=Atan（ωx+φ）的周期等于T=，可得结论．解答：解：函数y=3tanx的周期为=π，故答案为：π．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Atan（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．2．（3分）计算=2．考点：二阶矩阵．专题：计算题；矩阵和变换．分析：利用行列式的运算得，=2×3﹣1×4=2．解答：解：=2×3﹣1×4=2，故答案为：2．点评：本题考查了矩阵的运算，属于基础题．3．（3分）（2014•嘉定区三模）=．考点：极限及其运算．专题：导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的求和公式可得1+2+3+…+n=，然后即可求出其极限值．解答：解：==（+）=，故答案为：点评：本题主要考察极限及其运算．解题的关键是要掌握极限的实则运算法则和常用求极限的技巧！4．（3分）二项式（x+1）10展开式中，x8的系数为45．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：根据二项式（x+1）10展开式的通项公式，求出x8的系数是什么．解答：解：∵二项式（x+1）10展开式中，通项为T r+1=•x10﹣r•1r=•x10﹣r，令10﹣r=8，解得r=2，∴===45；即x8的系数是45．故答案为：45．点评：本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应根据二项式展开式的通项公式进行计算，是基础题．5．（3分）设矩阵A=，B=，若BA=，则x=2．考点：矩阵与向量乘法的意义．专题：计算题；矩阵和变换．分析：由题意，根据矩阵运算求解．解答：解：∵A=，B=，BA=，∴4×2﹣2x=4；解得，x=2；故答案为：2．点评：本题考查了矩阵的运算，属于基础题．6．（3分）现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有240种．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：利用捆绑法，把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，问题得以解决解答：解：先把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，故有=240种，故答案为：240点评：本题主要考查了排列问题的中的相邻问题，利用捆绑法是关键，属于基础题7．（3分）若cos（π+α）=﹣，π＜α＜2π，则sinα=﹣．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式可知cosα=，又π＜α＜2π，利用同角三角函数间的关系式（平方关系）即可求得sinα的值．解答：解：∵cos（π+α）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，又π＜α＜2π，∴sinα=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式与同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．8．（3分）（2008•天津）若一个球的体积为，则它的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可．解答：解：由得，所以S=4πR2=12π．点评：本题考查学生对公式的利用，是基础题．9．（3分）函数y=sin（2x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ的值是．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：根据函数y=sin（2x+φ）的图象特征，若它是偶函数，只需要x=0时，函数能取得最值．解答：解：函数y=sin（2x+ϕ）是R上的偶函数，就是x=0时函数取得最值，所以f（0）=±1即sinϕ=±1所以ϕ=kπ+（k∈Z），当且仅当取k=0时，得φ=，符合0≤φ≤π故答案为：点评：本题考查了正弦型函数的奇偶性，正弦函数的最值，是基础题．10．（3分）正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：根据异面直线所成角的定义先找出对应的平面角即可得到结论．解答：解：连结AC，BD相交于O，则O为AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE是△PAC的中位线，则OE∥，则OE与BE所成的角即可异面直线BE与PA所成的角，设四棱锥的棱长为1，则OE==，OB=，BE=，则cos==，故答案为：点评：本题考查异面直线所成的角，作出角并能由三角形的知识求解是解决问题的关键，属中档题11．（3分）（2004•福建）直线x+2y=0被曲线x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦长等于4．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题；数形结合．分析：根据圆的方程找出圆心坐标和半径，过点A作AC⊥弦BD，可得C为BD的中点，根据勾股定理求出BC，即可求出弦长BD的长．解答：解：过点A作AC⊥弦BD，垂足为C，连接AB，可得C为BD的中点．由x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0，得（x﹣3）2+（y﹣1）2=25．知圆心A为（3，1），r=5．由点A（3，1）到直线x+2y=0的距离AC==．在直角三角形ABC中，AB=5，AC=，根据勾股定理可得BC===2，则弦长BD=2BC=4．故答案为：4点评：本题考查学生灵活运用垂径定理解决实际问题的能力，灵活运用点到直线的距离公式及勾股定理化简求值，会利用数形结合的数学思想解决数学问题，是一道综合题．12．（3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A＞0，ω＞0，0≤ϕ≤π）的部分图象如图所示，则y=f（x）的解析式是f（x）=2sin（2x+）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先，根据所给函数的部分图象，得到振幅A=2，然后，根据周期得到ω的值，再将图象上的一个点代人，从而确定其解析式．解答：解：根据图象，得A=2，又∵T==，∴T=π，∴ω=2，将点（﹣，0）代人，得2sin（2x+ϕ）=0，∵0≤ϕ≤π，∴ϕ=，∴f（x）=2sin（2x+），故答案为：2sin（2x+）点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、特殊角的三角函数等知识，属于中档题．解题关键是熟悉所给函数的部分图象进行分析和求解．二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把正确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．13．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：由题意，推导出，确定α的象限，然后取得结果．解答：解：∵P（tanα，cosα）在第三象限，∴，由tanα＜0，得α在第二、四象限，由cosα＜0，得α在第二、三象限∴α在第二象限．故选B点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．14．（3分）已知函数y=x a+b，x∈（0，+∞）是增函数，则（）A．a＞0，b是任意实数B．a＜0，b是任意实数C．b＞0，a是任意实数D．b＜0，a是任意实数考点：指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由幂函数的性质可知，a＞0，b是任意实数．解答：解：∵函数y=x a+b，x∈（0，+∞）是增函数，∴a＞0，b是任意实数，故选A．点评：本题考查了幂函数的单调性的判断，属于基础题．15．（3分）在△ABC中，若b=2asinB，则这个三角形中角A的值是（）A．30°或60° B．45°或60° C．30°或120° D．30°或150°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：在△ABC中，利用正弦定理解得sinA=，从而求得A的值．解答：解：在△ABC中，若b=2asinB，则由正弦定理可得sinB=2sinAsinB，解得sinA=，∴A=30°或150°．故选D．点评：本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．16．（3分）若log a3＜log b3＜0，则（）A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C．a＞b＞1 D．b＞a＞1考点：对数函数的单调区间．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：化log a3＜log b3＜0为log3b＜log3a＜0，利用函数的单调性求解．解答：解：∵log a3＜log b3＜0，∴＜＜0，即log3b＜log3a＜0，故0＜b＜a＜1，故选B．点评：本题考查了对数的运算及对数函数单调性的利用，属于基础题．17．（3分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2B． 2 C．D． 1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程求得焦点坐标和渐近线方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到渐近线的距离．解答：解：双曲线﹣=1的焦点为（4，0）或（﹣4，0）．渐近线方程为y=x或y=﹣x．由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d==2．故选A．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质和点到直线的距离公式．考查了考生对双曲线标准方程的理解和灵活应用，属基础题．18．（3分）用数学归纳法证明等式1+3+5+…+（2n﹣1）=n2（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A．1+3+5+…+（2k+1）=k2 B．1+3+5+…+（2k+1）=（k+1）2C．1+3+5+…+（2k+1）=（k+2）2 D．1+3+5+…+（2k+1）=（k+3）2考点：数学归纳法．专题：阅读型．分析：首先由题目假设n=k时等式成立，代入得到等式1+3+5+…+（2k﹣1）=k2．当n=k+1时等式左边=1+3+5++（2k﹣1）+（2k+1）由已知化简即可得到结果．解答：解：因为假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k﹣1）=k2当n=k+1时，等式左边=1+3+5+…+（2k﹣1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2．故选B．点评：此题主要考查数学归纳法的概念问题，涵盖知识点少，属于基础性题目．需要同学们对概念理解记忆．19．（3分）设z=1+i（i是虚数单位），则复数+z2在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得对应点的坐标，则答案可求．解答：解：∵z=1+i，则复数+z2=，∴复数+z2在复平面上对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的等式表示法及其几何意义，是基础题．20．（3分）（2004•陕西）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x﹣y+4=0 D．x﹣y+2=0考点：圆的切线方程．专题：计算题．分析：本题考查的知识点为圆的切线方程．（1）我们可设出直线的点斜式方程，联立直线和圆的方程，根据一元二次方程根与图象交点间的关系，得到对应的方程有且只有一个实根，即△=0，求出k值后，进而求出直线方程．（2）由于点在圆上，我们也可以切线的性质定理，即此时切线与过切点的半径垂直，进行求出切线的方程．解答：解：法一：x2+y2﹣4x=0y=kx﹣k+⇒x2﹣4x+（kx﹣k+）2=0．该二次方程应有两相等实根，即△=0，解得k=．∴y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0．法二：∵点（1，）在圆x2+y2﹣4x=0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．又∵圆心为（2，0），∴•k=﹣1．解得k=，∴切线方程为x﹣y+2=0．故选D点评：求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P（x0，y0）在圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）上，则过点P的切线方程为（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）=r2（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．21．（3分）“tanx=﹣1”是“x=﹣+2kπ（k∈Z）”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：函数奇偶性的性质．专题：简易逻辑．分析：得出tan（=﹣+2kπ）=﹣1，“x=﹣+2kπ”是“tanx=﹣1”成立的充分条件；举反例tan=﹣1，推出“x=﹣+2kπ（k∈Z）”是“tanx=﹣1”成立的不必要条件．解答：解：tan（﹣+2kπ）=tan （﹣）=﹣1，所以充分；但反之不成立，如tan =﹣1．故选：B点评：本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断．充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概念之一，要理解好其中的概念．22．（3分）（2013•福建）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A．B．C．5 D．10考点：向量在几何中的应用；三角形的面积公式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；平面向量及应用．分析：通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．解答：解：因为在四边形ABCD中，，，=0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，，该四边形的面积：==5．故选C．点评：本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．23．（3分）（2006•天津）函数的反函数是（）A．B．C．D．考点：反函数．分析：本题需要解决两个问题：一是如何解出x，二是如何获取反函数的定义域，求解x时，要注意x＜0的条件，因为涉及2个解．解答：解：由解得，又∵原函数的值域是：y＞2∴原函数的反函数是，故选D．点评：该题的求解有2个难点，一是解出x有两个，要根据x＜0确定负值的一个，二是反函数的定义域要用原函数的值域确定，不是根据反函数的解析式去求．24．（3分）曲线y2=|x|+1的部分图象是（）A．B．C．D．考点：曲线与方程．专题：函数的性质及应用．分析：分类讨论，去掉绝对值，化简函数的解析式，可得它的图象特征，结合所给的选项，得出结论．解答：解：当x≥0时，y2=x+1表示以（﹣1，0）为顶点的开口向右的抛物线．当x＜0时，y2=﹣（x﹣1）表示以（1，0）为顶点的开口向左的抛物线，故选：C．点评：本题主要考查函数的图象特征，属于基础题．三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（8分）解不等式组：．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据不等式的解法即可得到结论．解答：解：由|x﹣1|＜3解得﹣2＜x＜4，由＞1得﹣1=＞0，解得3＜x＜5，所以，不等式解集为（3，4）．点评：本题主要考查不等式组的求解，比较基础．26．（8分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB=2，若异面直线A1A与B1C 所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知得AA1∥BB1，从而tan∠CB1B==，进而BB1=4，由此能求出正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．解答：解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB=2，异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan，∴AA1∥BB1，∴∠CB1B为AA1、B1C所成的角，且tan∠CB1B==，…（4分）∵BC=AB=2，∴BB1=4，…（6分）∴正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积V=Sh=22×4=16．…（8分）点评：本题考查正四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．27．（10分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点．（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．考点：直线的一般式方程；抛物线的应用．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0），求出斜率用点斜式写出直线方程．（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），用弦长公式求出线段AB的长，再由点到直线的距离公式求点D到直线AB的距离，用三角形面积公式表示出面积关于参数m的表达式，再根据m的取值范围求出面积的范围．（Ⅲ），，变化为坐标表示式，从中求出参数λ，μ用两点A，B的坐标表示的表达式，即可证明出两者之和为定值．解答：解：（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0），于是直线PF的斜率为，所以直线PF的方程为，即为mx+2y﹣m=0．（3分）（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由得m2x2﹣（2m2+16）x+m2=0，所以，x1x2=1．于是．点D到直线mx+2y﹣m=0的距离，所以．因为m∈R且m≠0，于是S＞4，所以△DAB的面积S范围是（4，+∞）．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），（﹣1﹣x1，m﹣y1）=μ（x2+1，y2﹣m），于是，（x2≠±1）．所以．所以λ+μ为定值0．（14分）点评：考查求直线方程、抛物线在的焦点弦弦长公式、点到直线的距离公式及向量中数乘向量的意义，涉及知识较多，综合性较强．28．（10分）已知函数f（x）=（x∈R）．（1）写出函数y=f（x）的奇偶性；（2）当x＞0时，是否存实数a，使v=f（x）的图象在函数g（x）=图象的下方，若存在，求α的取值范围；若不存在，说明理由．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=0时，f（x）=是奇函数；当a≠0时，函数f（x）=（x∈R），是非奇非偶函数．（2）若y=f（x）的图象在函数g（x）=图象的下方，则＜，化简得a＜+x恒成立，在求函数的最值．解答：解：（1）因为y=f（x）的定义域为R，所以：当a=0时，f（x）=是奇函数；当a≠0时，函数f（x）=（x∈R）．是非奇非偶函数．（2）当x＞0时，若y=f（x）的图象在函数g（x）=图象的下方，则＜，化简得a＜+x恒成立，因为x＞0，∴即，所以，当a＜4时，y=f（x）的图象都在函数g（x）=图象的下方．点评：本题主要考查函数的奇偶性，同时考查函数恒成立的问题，主要进行函数式子的恒等转化．29．（12分）已知抛物线x2=4y，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点P1，又过点P1作斜率为的直线交抛物线于点P2，再过P2作斜率为的直线交抛物线于点P3，﹣2＜x＜4，如此继续．一般地，过点3＜x＜5作斜率为的直线交抛物线于点P n+1，设点P n（x n，y n）．（1）求x3﹣x1的值；（2）令b n=x2n+1﹣x2n﹣1，求证：数列{b n}是等比数列；（3）记P奇（x奇，y奇）为点列P1，P3，…，P2n﹣1，…的极限点，求点P奇的坐标．考点：数列与解析几何的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求出直线方程，联立抛物线方程，求出交点，即可得到；（2）设出两点点P n（x n，）．P n+1（x n+1，），由直线的斜率公式，再由条件，运用等比数列的定义，即可得证；（3）运用累加法，求得x2n+1=+，再由数列极限的概念，即可得到点P奇的坐标．解答：（1）解：直线OP1的方程为y=x，由解得P1（4，4），直线P2P1的方程为y﹣4=（x﹣4），即y=x+2，由得P2（﹣2，1），直线P2P3的方程为y﹣1=（x+2），即y=x+，由解得，P3（3，），所以x3﹣x1=3﹣4=﹣1．（2）证明：因为设点P n（x n，）．P n+1（x n+1，），由抛物线的方程和斜率公式得到，，所以x n+x n﹣1=，两式相减得x n+1﹣x n﹣1=﹣，用2n代换n得b n=x2n+1﹣x2n﹣1=﹣，由（1）知，当n=1时，上式成立，所以{b n}是等比数列，通项公式为b n=﹣；（3）解：由得，，，…，，以上各式相加得x2n+1=+，所以x奇=，y奇=x奇2=，即点P奇的坐标为（，）．点评：本题考查联立直线方程和抛物线方程求交点，考查等比数列的定义和通项公式的求法，考查累加法求数列通项，及数列极限的运算，属于中档题．四、附加题（本大题满分30分）本大题共有3题，解答下列各题必须写出必要的步骤．30．（8分）有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1：2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计）．专题：函数的性质及应用．分析：求出窗框的高为3x，宽为．推出窗框的面积，利用二次函数的最值，求解即可．解答：解：如图设x，则竖木料总长=3x+4x=7x，三根横木料总长=6﹣7x，∴窗框的高为3x，宽为．…（2分）即窗框的面积y=3x•=﹣7x2+6x．（0＜x＜）…（5分）配方：y=﹣7（x﹣）2+（0＜x＜2 ）…（7分）∴当x=米时，即上框架高为米、下框架为米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大．…（8分）点评：本题考查二次函数的解析式的应用，考查分析问题解决问题的能力．31．（10分）（2008•辽宁）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是椭圆．从而写出其方程即可；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，求出k值即可，最后通牒利用弦长公式即可求得此时的值，从而解决问题．解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，故．（6分），即x1x2+y1y2=0．而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是．所以时，x1x2+y1y2=0，故．（8分）当时，，．，而（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=，所以．（12分）点评：本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．设数列{a n}的首项a1为常数，且a n+1=3n﹣2a n（n∈N+）．（1）证明：{a n﹣}是等比数列；（2）若a1=，{a n}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．（3）若{a n}是递增数列，求a1的取值范围．考点：等比关系的确定；数列的函数特性；等差数列的通项公式．专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）根据等比数列的定义，结合条件，即可得证；（2）由（1）求出数列{a n}的通项公式，再由等差数列的性质，得到方程，求出n，即可判断；（3）运用数列{a n}的通项公式，作差，再由n为偶数和奇数，通过数列的单调性，即可得到范围．解答：（1）证明：因为==﹣2，所以数列{a n﹣}是等比数列；（2）解：{a n﹣}是公比为﹣2，首项为a1﹣=的等比数列．通项公式为a n=+（a1﹣）（﹣2）n﹣1=+若{a n}中存在连续三项成等差数列，则必有2a n+1=a n+a n+2，即解得n=4，即a4，a5，a6成等差数列．（3）解：如果a n+1＞a n成立，即＞+（a1﹣）（﹣2）n﹣1对任意自然数均成立．化简得，当n为偶数时，因为是递减数列，所以p（n）max=p（2）=0，即a1＞0；当n为奇数时，，因为是递增数列，所以q（n）min=q（1）=1，即a1＜1；故a1的取值范围为（0，1）．点评：本题考查数列的通项公式及等比数列的证明，考查等差数列的性质和已知数列的单调性，求参数的范围，考查运算能力，属于中档题和易错题．。
上海市闸北区高三数学上学期期末考试(一模)试题 理 沪
闸北区2013学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷考生注意：1．本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效． 2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3．本试卷共有17道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分． 1．设k ⨯-=οο3602014α,ο2014=β，若α是与β终边相同的最小正角，则=k ______．2．已知双曲线204522=-y x 的右焦点与抛物线px y 22=的焦点重合，则=p ．3．设()1,3-=，()x x sin ,cos =，则函数x f ⋅=)(的最小正周期为_______． 4．已知函数⎩⎨⎧≤>=.0,,0,log )(22x x x x x f 则不等式1)(>x f 的解集为_______．5．已知直线l 的一个法向量()b a ,=，其中0>ab ，则l 的倾斜角为 ． 6．相距480米有两个垂直于水平地面的高塔AB 和CD ，两塔底B 、D 的中点为P ，已知280=AB 米，320=CD 米，则APC ∠cos 的值是 ．7．设0>a ，0>b ，2=+b a ，则下列不等式恒成立的有______．(填不等式序号) ①1≤ab ；②2≤+b a ；③222≥+b a ．8．若等差数列{}n a 的首项为2，公差为)0(≠d d ，其前n 项和n S 满足：对于任意的*∈N n ，都有nnS S 2是非零常数．则=d ． 9．设1,0≠>a a ，已知函数22sin 2)(-+=x a x f xπ(0>x )至少有5个零点，则a 的取值范围为 ．10．设曲线C ：)(32222y x y x +=++，则曲线C 所围封闭图形的面积为_______． 二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分. 11．如果{}Z ,12|∈+==n n x x S ，{}Z ,14|∈±==k k x x T ，那么 【 】A ．S 真包含于TB ．T 真包含于SC ．S 与T 相等D ．S 与T 没有交集 12．在平面内，设A ，B 为两个不同的定点，动点P 满足：2k =⋅（k 为实常数），则动点P 的轨迹为 【 】A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．不确定13．给出下列等式：233321=+，23336321=++，23333104321=+++，…，现设23333321n a n =+⋅⋅⋅+++（*∈N n ，2≥n ），则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++∞→n n a a a 111lim 32 【 】 A ．4 B ．2 C ．1 D ．0三、解答题（本题满分72分）本大题共有4题，解答必须在答题纸的规定区域内． 14．本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分设ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，满足：BbAa sin cos 3=． （1A （2）若12sin 22sin222=+CB ，试判断ABC ∆的形状，并说明理由． 15．本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分定义域为R 的函数xxx f --=22)(，xx x g -+=22)(．（1）请分别指出函数)(x f y =与函数)(x g y =的奇偶性、单调区间、值域和零点；（请将结论填入答题卡的表中，不必证明） （2）设)()()(x g x f x h =，请判断函数)(x h y =的奇偶性和单调性，并证明你的结论． （必要时，可以（1）中的结论作为推理与证明的依据）16．本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分如图所示：一块椭圆形状的铁板Γ的长轴长为4米，短轴长为2米． （1）若利用这块椭圆铁板Γ截取矩形，要求矩形的四个顶点都在椭圆铁板Γ的边缘，求所能截取 的矩形面积的最大值；（2）若以短轴的端点A 为直角顶点，另外两个锐角的顶点B 、C 都在椭圆铁板的边缘，切割 等腰直角三角形，则在不同的切割方案中， 共能切割出几个面积不同的等腰直角三角形？ 最大面积是多少？（结果保留一位小数）17．本题满分20分，第1小题满分8分，第2小题满分12分如图，在y 轴的正半轴上依次有点12n A A A L L 、、、、,其中点1(0,1)A 、2(0,10)A ,且113+-=n n n n A A A A ),4,3,2(Λ=n ,在射线)0(≥=x x y 上依次有点12n B B B L L 、、、、,点1B 的坐标为)3,3(，且221=--n n OB OB ),4,3,2(Λ=n .（1）求点n A 、n B 的坐标；（2）设四边形11n n n n A B B A ++面积为n S ，解答下列问题： ① 问{}n S 中是否存在连续的三项n S ,1+n S ,2+n S （•∈N n ）恰好成等差数列？若存在，求出所 有这样的三项；若不存在，请说明理由； ② 求满足不等式801229<-n S 的所有自然数n .B n+1 B nB 2B 1A n +1 A nA 2A 1 Oyx闸北区2013学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷参考答案与评分标准一、1．5； 2．6； 3．π2； 4．()()+∞-∞-,21,Y ； 5．⎪⎭⎫⎝⎛-+b a arctan π； 6．85852； 7．①③； 8．4； 9．()()2,11,0Y ； 10．38332+π． 二、11．C ； 12．A ；1 3．C ． 三、14．解：（1）由条件结合正弦定理得，Aa Bb Aasin sin cos 3==从而AA cos 3sin =，3tan =A ，----------------------------------------------4分∵π<<A 0，∴3π=A ．-------------------------------------------------------------2分（2∴，∴1cos cos =+C B ,分即,得到,分为等边三角分15（2）)(x h y =是奇函数． --------------------------------------------------------------1分 证明：任取Rx ∈，)()()()()()(x h x g x f x g x f x h -=-=--=-Θ，----------------------------2分)(x h y =∴是奇函数． --------------------------------------------------------------1分)(x h y =是R 上的单调递增函数． -----------------------------------------------------------1分 证明：任取,,,2121x x R x x <∈即,021<-x x又)()()()()()(221121x g x f x g x f x h x h -=-Θ ------------------------------------------------------------1分())()(22221)(2121x g x g x x x x ----=)()()(22121x g x g x x f -=． ---------------------------------1分)(x f y =Θ是单调递增函数函数，且0)0(=f ，∴ 0)(21<-x x f ． --------------------------------------------------------------1分)(x g y =Θ的值域为[)+∞,2，0)(>∴x g 恒成立．----------------------------------------1分所以，)()(21x h x h <． --------------------------------------------------------------1分故，)(x h y =是R 上的单调递增函数．16．解：（1）建系（略），得椭圆的标准方程为4422=+y x -------------------------------3分 设矩形的一个顶点坐标为()y x ,4422422=+≤==∴y x y x xy S --------------------------------------------------------------4分 当且仅当yx 2=，即22,2==y x 时等号成立．-------------------------------------------1分（2）设AB 所在的直线方程为：1+=kx y ，则AC 所在的直线方程为：11+-=x ky ---2分 将AB 所在的直线方程代入椭圆方程，得08)41(22=++kx x k 可求得，224181kk k AB +⋅+=--------------------------------------------------------------2分 同理可求得481122+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=k k k AC ，-----------------------------------------------------------1分 不妨设>k ，令ACAB =，得14423=-+-k k k ，-----------------------------------1分 即()()01312=+--k k k ，解得，1=k 或253±=k ． --------------------------------------------------------------1分当1=k 时，所截取等腰直角三角形面积为 2.6平方米；-----------------------------------------1分当253±=k 时，所截取等腰直角三角形面积为 2.1平方米．---------------------------------1分所以，切割出的等腰直角三角形的最大面积约 2.6平方米． -----------------------------------1分 17．（1）9110||,31||||2111=-==-+A A A A A A n n n n 且Θ,-----------------------------------------------1分311211)31()31(9)31(||||---+===∴n n n n n A A A A----------------------------------------------1分12231||||||n n A A A A A A -+++L 4412711931()()3223n n --=++++=-Ln A 点∴的坐标))31(21229,0(4--n ,-------------------------------------------------------------2分1||||n n OB OB --=Q (2,3,n =L )且1||OB =-----------------------------------1分{||}n OB ∴是以23为首项,22为公差的等差数列||((2n OB n n ∴=+-=+ ---------------------------------------------------2分n B ∴的坐标为(21,21)n n ++.-------------------------------------------------------------1分（2）连接1+n n B A ,设四边形11n n n n A B B A ++的面积为n S , 则111n n n n n n nA AB B B A S S S +++∆∆=+341112911[()](23)[()232223n n n --=⋅++⋅-32923n n -=+.---------------------3分① 设连续的三项n S ,1+n S ,2+n S （•∈N n ）成等差数列， 则有，212+++=n n n S S S ，-------------------------------------------------------------1分即132322293229312292---++++=⎪⎭⎫⎝⎛++n n n n n n ，解得1=n .所以，存在连续的三项1S ,2S ,3S 恰好成等差数列. -------------------------------------------------2分 ② 031221>-=--+n n n n S S Θ ∴数列{}n S 是单调递减数列.-------------------------------------------------------------2分由于⇔<-801229n S 80133<-n n 用计算器可知80124383838>=-，8018113939<=-. 由于数列{}n S 是单调递减数列，所以，满足不等式801229<-n S 的所有自然数n 为不小于9的所有自然数. --------------4分。
2015年上海市杨浦区高考数学一模试卷(理科)及参考答案
2015年上海市杨浦区高考一模数学试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若，则α＝．2．（4分）设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|m+1≤x≤2m+4，m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是．3．（4分）若在等差数列{a n}中，a3＝7，a7＝3，则通项公式a n＝．4．（4分）已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是．5．（4分）函数f（x）＝x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）＝．6．（4分）二项式的展开式（按x的降幂排列）中的第4项是．7．（4分）已知条件p：|x+1|≤2；条件q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是．8．（4分）向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．9．（4分）一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有种．10．（4分）在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部熔化后，容器中液面的高度为．（相同质量的冰与水的体积比为10：9）11．（4分）不等式log2（4x﹣3）＞x+1的解集是．12．（4分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则角C＝．13．（4分）已知，集合A＝{z|z＝1+ω+ω2+…+ωn，n∈N*}，集合B ＝{x|x＝z1•z2，z1、z2∈A}（z1可以等于z2），则集合B的子集个数为．14．（4分）如图所示，已知函数y＝log24x图象上的两点A、B和函数y＝log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则p2×2q的值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）A．i＜7B．i＜8C．i＞7D．i＞816．（5分）下列命题中正确的是（）A．若x∈C，则方程x3＝2只有一个根B．若z1∈C，z2∈C且z1﹣z2＞0，则z1＞z2C．若z∈R，则不成立D．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数17．（5分）圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y+1＝0B．C．x2+y2+x﹣2y+1＝0D．18．（5分）对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：①[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）；②，则称{[a n，b n]}为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD 与BC1所成角的大小为60°，求：（1）线段A1B1到底面ABCD的距离；（2）三棱椎B1﹣ABC1的体积．20．（14分）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON＝，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？21．（14分）已知函数是奇函数，a，b，c为常数（1）求实数c的值；（2）若a，b∈Z，且f（1）＝2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；（3）对于（2）中的f（x），若f（x）≥m﹣2x对x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．22．（16分）如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．23．（18分）数列{a n}各项均不为0，前n项和为S n，b n＝a n3，b n的前n项和为T n，且T n＝S n2（1）若数列{a n}共3项，求所有满足要求的数列；（2）求证：a n＝n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列；（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{a n}，并使得a2015＝﹣2014；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）．2015年上海市杨浦区高考一模数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若，则α＝或．【解答】解：∵sinα＝，且α∈（0，π），∴α＝或．故答案为：或2．（4分）设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|m+1≤x≤2m+4，m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是[，0]．【解答】解：∵A⊆B；∴；∴；∴m的取值范围是[，0]．故答案为：．3．（4分）若在等差数列{a n}中，a3＝7，a7＝3，则通项公式a n＝﹣n+10．【解答】解：设数列的公差为d∵a3＝7，a7＝3，∴a1+2d＝7，a1+6d＝3，∴a1＝9，d＝﹣1，∴a n＝﹣n+10．故答案为：﹣n+10．4．（4分）已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是x+y+1＝0．【解答】解：∵A（1，﹣2），B（﹣3，2），∴过A，B两点的直线方程为，整理得：x+y+1＝0．故答案为：x+y+1＝0．5．（4分）函数f（x）＝x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）＝﹣（x＞﹣1）．【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣1（x＜0），∴值域为（﹣1，+∞），y＝x2﹣1，∴反函数f﹣1（x）＝﹣（x＞﹣1），故答案为：﹣（x＞﹣1）6．（4分）二项式的展开式（按x的降幂排列）中的第4项是﹣84x3．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x9﹣2r，故按x的降幂排列中的第4项为﹣•x3＝﹣84x3，故答案为：﹣84x3．7．（4分）已知条件p：|x+1|≤2；条件q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由|x+1|≤2得﹣2≤x+1≤2，即﹣3≤x≤1，又|x+1|≤2是x≤a成立的充分不必要条件，即﹣3≤x≤1是x≤a成立的充分不必要条件，所以a≥1．故答案为[1，+∞）．8．（4分）向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．【解答】解：∵＝（2，3），＝（﹣1，2），∴m+＝m（2，3）+（﹣1，2）＝（2m﹣1，3m+2），﹣2＝（2，3）﹣2（﹣1，2）＝（4，﹣1）．又m+与﹣2平行，∴（2m﹣1）•（﹣1）﹣4（3m+2）＝0，解得：m＝﹣．故答案为：．9．（4分）一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有30种．【解答】解：第一类，当爷爷在6排D座时，再排小孙女，最后排其他人，共有＝18种，第二类，当爷爷在6排C座时，再排小孙女，最后再排其他人，共有＝12种，根据分类计数原理共有18+12＝30种，故答案为：3010．（4分）在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部熔化后，容器中液面的高度为．（相同质量的冰与水的体积比为10：9）【解答】解：半径为2的冰球的体积为＝，水的体积为，设冰球全部熔化后，容器中液面的高度为h，则π×32h＝，∴h＝．故答案为：．11．（4分）不等式log2（4x﹣3）＞x+1的解集是（log23，+∞）．【解答】解：∵4x﹣3＞0，∴，∵log2（4x﹣3）＞x+1，∴2x+1＜4x﹣3，∴（2x）2﹣2•2x﹣3＞0，解得2x＞3，或2x＜﹣1（舍），∴x＞log23．故答案为：（log23，+∞）．12．（4分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则角C＝．【解答】解：已知等式变形得：（a+b+c）（a+b﹣c）﹣3ab＝0，整理得：（a+b）2﹣c2﹣3ab＝0，即a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝，∵C为三角形内角，∴C＝，故答案为：13．（4分）已知，集合A＝{z|z＝1+ω+ω2+…+ωn，n∈N*}，集合B ＝{x|x＝z1•z2，z1、z2∈A}（z1可以等于z2），则集合B的子集个数为16．【解答】解：∵，∴ω2＝，ω3＝1，1+ω+ω2＝0，∴当n＝1时，z＝1+ω＝+，当n＝2，z＝1+ω+ω2＝0，当n＝3时，z＝1+ω+ω2+ω3＝1，当n＝4时，z＝1+ω+ω2+ω3+ω4＝+，则A＝{+，0，1}，则B＝{x|x＝z1•z2，z1、z2∈A}＝{+，0，1，﹣+}，则集合B的子集个数为24＝16，故答案为：1614．（4分）如图所示，已知函数y＝log24x图象上的两点A、B和函数y＝log2x 上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则p2×2q的值为12．【解答】解：根据题意，设A（x0，2+log2x0），B（p，q），C（x0，log2x0），∵线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴AC＝2，2+log2p＝q，∴p＝2q﹣2，∴4p＝2q；又x0﹣p＝，∴p＝x0﹣，∴x0＝p+；又2+log2x0﹣q＝1，∴log2x0＝q﹣1，x0＝2q﹣1＝；∴p+＝，2p+2＝2q＝4p，∴p＝，2q＝4；∴p2•2q＝3×4＝12．故答案为：12．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）A．i＜7B．i＜8C．i＞7D．i＞8【解答】解：当S＝0，i＝1时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝1，i＝2，当S＝1，i＝2时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝5，i＝3，当S＝5，i＝3时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝14，i＝4，当S＝14，i＝4时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝30，i＝5，当S＝30，i＝5时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝55，i＝6，当S＝55，i＝6时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝91，i＝7，当S＝91，i＝7时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝140，i＝8，当S＝140，i＝8时，应不满足继续循环的条件，故循环条件应为：i＜8，故选：B．16．（5分）下列命题中正确的是（）A．若x∈C，则方程x3＝2只有一个根B．若z1∈C，z2∈C且z1﹣z2＞0，则z1＞z2C．若z∈R，则不成立D．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数【解答】解：对于A，若x∈C，则方程x3＝2有三个根，故错误；对于B，若z1∈C，z2∈C，则z1，z2无法比较大小，故错误；对于C，若z∈R，则成立，故错误；对于D，若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数，故正确；故选：D．17．（5分）圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y+1＝0B．C．x2+y2+x﹣2y+1＝0D．【解答】解：圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x＝，即圆心（，1），半径是1，所以圆的方程是x2+y2﹣x﹣2y+＝0．故选：D．18．（5分）对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：①[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）；②，则称{[a n，b n]}为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，对于A，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以A 不正确；对于B，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以B不正确；对于C，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）成立，并且，所以C正确；对于D，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以D不正确；故选：C．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD 与BC1所成角的大小为60°，求：（1）线段A1B1到底面ABCD的距离；（2）三棱椎B1﹣ABC1的体积．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠CBC1为异面直线AD与BC1所成角，∴CBC1＝60°，…（2分）∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥面ABCD，BB1⊥面ABCD，∴线段BB1的长为线段A1B1到底面ABCD的距离，…（4分）∵RT△BCC 1中，BC＝1，∠CBC1＝60°，∴，线段A1，B1到底面ABCD的距离为．…（6分）（2）＝…（8分）＝＝…（10分）＝．…（12分）20．（14分）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON＝，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB＝，∴AB＝2R sin，OH＝R cos，OE＝DE＝AB＝R sin，∴EH＝OH﹣OE＝R（cos﹣sin），S＝AB•EH＝2R2（sin cos﹣sin2）＝，（2）设∠AOB＝θ（0＜θ＜），则AB＝2R sin，OH＝R cos，oe＝AB＝R cos，OE＝AB＝R sin，∴EH＝OH﹣OE＝R（cos﹣sin），S＝AB•EH＝R2（2sin cos﹣2sin2）＝R2（sinθ+cosθ﹣1）＝R2[sin（θ+）﹣1]，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴θ+＝即θ＝时，S max＝（﹣1）R2，此时A在弧MN的四等分点处．答：当A在弧MN的四等分点处时，S max＝（﹣1）R2．21．（14分）已知函数是奇函数，a，b，c为常数（1）求实数c的值；（2）若a，b∈Z，且f（1）＝2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；（3）对于（2）中的f（x），若f（x）≥m﹣2x对x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）∴＝﹣化简得bx+c＝bx﹣c，解得c＝0，（2）又f（1）＝2，所以a+1＝2b①，因为f（2）＜3，所以＜3②，将①代入②并整理得＜0，解得0＜b＜，因为b∈z，所以b＝1，从而a＝1，∴f（x）＝x+（3）∵f（x）＝x+，∴x+≥m﹣2x，∴m≤3x+，对x∈（0，+∞）恒成立∵3x+≥2，当且仅当x＝时等号成立即x＝时，（3x+）min＝2，∴m≤222．（16分）如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C 2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0），∴，解得，则曲线Γ的方程为和．（2）证明：曲线C2的渐近线为，如图，设直线l：y＝，则，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）＝0，△＝4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，解得．又由数形结合知．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2＝m，x1x2＝，∴＝，．∴，即点M在直线y＝﹣上．（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x＝ny+6（n＞0）．，化为（5+4n2）y2+48ny+64＝0，△＝（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|y3﹣y4|＝＝，＝＝＝，令t＝＞0，∴n2＝t2+1，∴＝＝＝，当且仅当t＝，即n＝时等号成立．∴n＝时，＝．23．（18分）数列{a n}各项均不为0，前n项和为S n，b n＝a n3，b n的前n项和为T n，且T n＝S n2（1）若数列{a n}共3项，求所有满足要求的数列；（2）求证：a n＝n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列；（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{a n}，并使得a2015＝﹣2014；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）．【解答】（本题（18分），第一小题（4分），第二小题（6分），第三小题8分）解：（1）n＝1时，T1＝S12⇒a13＝a12⇒a1＝1（a1＝0舍去）…（1分）n＝2时，T2＝S22⇒a13+a23＝（a1+a2）2⇒1+a23＝（1+a2）2⇒a2＝2或a2＝﹣1（a2＝0舍去）…（2分）n＝3时，，当a2＝2时，⇒a3＝3或a3＝﹣2（a3＝0舍去）当a2＝﹣1时，…（3分）所以符合要求的数列有：1，2，3；1，2，﹣2；1，﹣1，1…（4分）（2）∵a n＝n，即证13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，…（5分）用数学归纳法证：当n＝1时，13＝12，等式成立；假设当n＝k时，13+23+33+…+k3＝（1+2+3+…+k）2＝，…（7分）则当n＝k+1时，13+23+33+…+k3+（k+1）3＝（1+2+3+…+k）2+（k+1）3＝+（k+1）3＝（）2（k2+4k+4）＝＝，即当n＝k+1时，等式也成立；综上所述，对任意n∈N*，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；…（10分）（3）＝++…+①＝++…++②②﹣①得：2S n+a n+1＝，∴2S n＝﹣a n+1；③…（11分）∴当n≥2时，2S n＝﹣a n，④…（12分）﹣1③﹣④得：2a n＝﹣a n+1﹣+a n，整理得：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0，∴a n+1＝﹣a n，或a n+1＝a n+1（n≥2）…（14分）（i）a n＝；（ii）a n＝；（iii）a n＝；（v）a n＝百度文库——让每个人平等地提升自我本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除。
【数学】上海市金山区2015届高三上学期期末考试(一模).docx
上海市金山区 2014— 2015 学年第一学期期末考试高三数学试卷(满分： 150 分，完卷时间： 120 分钟 )（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题满分56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分．1．若集合 M={ y | yx 25 ，x R }， N={ y | yx 2 ， x ≥ –2}，则 M ∩N=▲．2．计算： lim 3n2n n 1n 1 =▲．n3 211 的解是▲．3．不等式：x4．如果复数 z = 2bi （ b R ）的实部与虚部相等，则 z 的共轭复数 z =▲．1 i5．方程： sinx+cosx=1 在 [0， π]上的解是▲．6．等差数列 {a n }中， a 2=8， S 10=185，则数列 {a n }的通项公式 a n =▲ (n N* )．a 17．当 a>0， b>0 且 a+b=2 时，行列式的值的最大值是▲．1b8．若 ( x22 )12的二项展开式中的常数项为m ，则 m= ▲．x9．从一堆苹果中任取 5 只，称得它们的质量分别是：(单位：克 )125，124，121，123，127，则该样本的标准差是▲克．10．三棱锥 O –ABC 中， OA=OB=OC=2，且∠ BOC=45 ，则三棱锥 O –ABC 体积的最大值是▲．11．从集合 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 中任取两个数，欲使取到的一个数大于 k ，另一个数小于 k(其中 k {5, 6, 7, 8, 9})的概率是 2，则 k=▲．512．已知点 A(–3,–2)和圆 C ：(x –4)2+(y –8)2=9，一束光线从点 A 发出，射到直线 l ：y=x –1 后反射(入射点为 B)，反射光线经过圆周 C 上一点 P ，则折线 ABP 的最短长度是▲．AD13．如图所示，在长方体 ABCD –EFGH 中，AD=2，AB=AE=1， BMCM 为矩形 AEHD 内的一点，如果∠ MGF=∠ MGH ， MGEH和平面 EFG 所成角的正切值为1，那么点 M 到平面F第 13 题图G2EFGH 的距离是▲．14． 已知点 P(x 0, y 0) 在椭圆 C ：x 2 y 2 1(a>b>0)上，如果经过点 P 的直线与椭圆只有 a2b2一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P 称为切点，这条切线方程可以表示为：x 0 x y 0 y a 2b 2 1．根据以上性质，解决以下问题：已知椭圆 L ：x 2y 2 1，若 Q(u ，v)是椭圆 L 外一点 (其中 u ，v 为定值 )，经过 Q 点作169椭圆 L 的两条切线，切点分别为 A 、 B ，则直线 AB 的方程是▲．二、选择题（本大题满分20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分.15．复数 z 1 ＝ a+bi(a 、b R ，i 为虚数单位 )，z 2＝ –b+i ，且 | z 1|<| z 2| ，则 a 的取值范围是( ▲ )．(A)a ＞ 1 (B)a ＞0 (C)–l ＜ a ＜ 1 (D)a ＜ –1 或 a ＞116．用 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字的五位数，其中偶数有( ▲ )． (A) 60 个(B) 48 个 (C) 36 个 (D) 24 个17．设 k>1，f(x)=k(x –1) (x R )，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=f(x)的图像与 x 轴交于 A点，它的反函数y=f –1(x)的图像与 y 轴交于 B 点，并且这两个函数的图像相交于P 点 . 已知四边形 OAPB 的面积是 3，则实数 k 等于 ( ▲ )．(A) 33 4 6(B)(C)(D)23518．若集合 A 1、 A 2 满足 A 1∪ A 2=A ，则称 (A 1，A 2)为集合 A 的一个分拆，并规定：当且仅当 A 1=A 2 时， (A 1 ，A 2 )与 (A 2，A 1)为集合 A 的同一种分拆，则集合 A={a 1，a 2，a 3}的不同分拆种数是( ▲ )．(A)8 (B)9 (C)26 (D)27三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19． (本题满分 12 分 )a 、b 、c 分别是锐角△ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边，向量 p =(2–2sinA ，cosA+sinA)，q =(sinA –cosA ，1+sinA)，且 p ∥ q ．已知 a= 7 ，△ ABC 面积为3 3，求 b 、 c 的大小．220．(本题满分14 分 )本题共有 2 个小题，第 1 小题满分8 分，第 2 小题满分 6 分．如图，在四棱锥P–ABCD的底面梯形ABCD中， AD∥ BC， AB⊥ BC， AB=2， AD=3，∠ ADC=45 .已知 PA⊥平面 ABCD， PA=1．求： (1)异面直线PD与 AC所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(2)三棱锥 C–APD 的体积．PA DB C第 20 题图21．(本题满分14 分 ) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分7 分，第 2 小题满分 7 分 .已知 a>0 且 a1，数列 {a n}是首项与公比均为 a 的等比数列，数列{b n}满足 b n=a n lga n(n N* )．(1)若 a=3，求数列 {b n}的前 n 项和 S n；(2)若对于 n N* ，总有b n<b n+1，求a的取值范围．22．（本题满分16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第3小题满分 6 分．动点 P 与点F (0,1)的距离和它到直线l : y1的距离相等，记点P 的轨迹为曲线 C ．(1)求曲线 C 的方程；(2) 设点A 0,a (a 2 ) ,动点T在曲线C上运动时，A T 的最短距离为 a 1，求a的值以及取到最小值时点T 的坐标；(3) 设P1,P2为曲线C的任意两点，满足OP1OP2(O为原点)，试问直线 P1 P2是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．23．(本小题满分18 分 ) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分 .设函数 f(x)=2ka x+(k–3)a–x(a>0 且 a1)是定义域为R的奇函数．(1)求 k 值；(2)若f(2)<0，试判断函数f(x)的单调性，并求使不等式f(x2–x)+f(tx+4)<0 恒成立的t 的取值范围；(3)若 f(2)=3，且 g(x)=2x+2–x–2mf (x)在[ 2,+∞)上的最小值为–2，求 m 的值．参考答案4一、填空 （本大 分56 分）本大 共有 14 ，考生 在答 相 号的空格内直接填写 果，每个空格填 得4 分，否 一律得零分．1．[0, 5] ； 1 ；3．0<x<1；4． 1–i ；5． 或 0； 6． 3n+2；7． 02． 328．7920；9．2；10． 2 2 ；11．7；12．10； 13．2；14．uxvy 132169二、 （本大 分 20 分）本大 共有 4 ，每 有且只有一个正确答案，考生 在答 的相 号上，将代表答案的小方格涂黑， 得 5 分，否 一律得零分 .15． C ；16． B ；17． B ；18． D三、解答 （本大 分74 分）本大 共有 5 ，解答下列各 必 在答 相 号的定区域内写出必要的步 ．19． (本 分 12 分 )解： p2 2sin A,cos A sin A ， q sin A cos A,1 sin A ，又 p ‖ q(2–2sinA)(1+sinA)–(cosA+sinA)(sinA –cosA)=0，即： 4 sin 2A3 0又A 角，3sin A2，所以∠ A=60 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分因 △ ABC 面33 ，所以 1 bcsinA= 3 3，即 bc=6，2 22222 2又 a= 7 ，所以 7=b +c –2bccosA ， b +c =13，b 3 b2 12 分解之得：或c⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯c 2320． (本 分 14 分 )本 共有 2 个小 ，第 1 小 分 8 分，第 2 小 分 6 分．解： (1) 点 C 作 CF ∥ AB 交 AD 于点 F ，延 BC 至 E ，使得 CE=AD ， 接 DE ， AC ∥ DE ，所以∠ PDE 就是异面直PD 与 AC 所成的角或其 角，⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分因 ∠ ADC=45，所以 FD=2，从而 BC=AF=1，且 DE=AC= 5 ，AE=20 ， PE= 21 ， PD= 10 ， 在 △ PDE中 ，PAF DBC E3 2 cos PDE，所以，异面直 PD 与 AC 所成角的10大小 arccos32⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分10(2) 因 V C –APD =V P –ACD ，△1CF AD=32S ACD = PA ⊥底面 ABCD ，三棱 P –ACD 的高 PA=1，V P –ACD = 1S △ACD PA=1，3所以，三棱 C –APD 的体 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分21． (本 分14 分 ) 本 共有 2 个小 ，第 1 小 分 7 分，第 2 小 分 7 分 .(1) 由已知有 a n3n ， b n a n lg a n n 3n lg 3S n [3 2 32 3 33(n 1)3n 1n 3n ] lg 3 ，3S n [322 33 (n 1)3n n 3n 1 ] lg 3 ，所以2S n(3 32333n 13nn 3n 1 ) lg 3 ，S n3lg 3 (2n 1) 3n 1 lg 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分4 4(2) b nb n 1 即 na n lg a (n 1)a n 1 lg a .由 a 0 且 a1 ，得 n lg a(n 1)a lg a ，lg a或lg a 0所以(n 1)a n 0( n 1)a n 00 a 1 a 1即an 或an 任意 nN* 成立，n1n 1且 1n 11，所以 0 a1 或 a 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分n 2222．（本 分 16 分）本 共有3 个小 ，第 1 小 分4 分，第 2小 分 6 分，第 3小 分6 分．(1) 根据抛物 的定 可知 , 点 P 的 迹是抛物所以曲 C 的方程x 2=4y ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(2) 点 T(x 0, y 0), x 02=4y 0(y 0≥ 0)，| AT|= ( x 0 0)2 ( y 0 a)2 = [ y 0 ( a 2)] 24a 4 ，a –2>0， 当 y 0=a –2 ， | AT| 取得最小 2 a 1 ，2 a1 =a –1, a 2–6a+5=0， a=5 或 a=1 (舍去 )，所以 y 0=a –2=3， x 0=23 ，所以 T 坐 ( 23 , 3)；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分(3) 然直 OP 1 、OP 2 的斜率都必 存在，1 ，k ，ky kx4 ,4)，同理 P 2(–4k, 4k 2)，x 2，解之得 P 1(4 yk k 2直 P 1P 2 的斜率1k 2 ，直 P 1P 2 方程 ： y 4k 21 k 2(x 4k)kk整理得： k(y –4)+(k 2–1)x=0，所以直 P 1 P 2 恒 点 (0, 4)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分23． (本小 分 18 分 )本 共有 3 个小 ，第 1 小 分4 分，第 2 小 分 6 分，第 3小 分 8分 .解(1) 因 f(x)是定 域 R 的奇函数，所以 f(0)＝ 0，所以 2k+(k –3)=0，即 k=1， 知，符合条件⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分x–x且 a 1)(2) f(x)=2(a –a )(a>0因 f(2)<0， a21 <0，又 a>0 且 a1，所以 0<a<1a2因 y=a x 减， y=a –x 增，故 f(x)在 R 上 减。
2015年上海市闸北区中考一模(即期末)数学试题
九年级数学学科期末练习卷（2015年1月）（考试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1、本试卷含三个大题，共25题；2、答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．如果点G 是△ABC 的重心，联结AG 并延长，交对边BC 于点D ，那么AG ︰AD 是………………………………………………………………………………………（ A ） （A ）2︰3 ； （B ）1︰2； （C ）1︰3 ； （D ）3︰4．2．已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，下列给出的条件中，不能判定DE ∥B C 的是……………………………………………………………………………………（ B ）（A ）BD ︰AB ＝ CE ︰AC ； （B ）DE ︰BC ＝ AB ︰AD ； （C ）AB ︰AC ＝ AD ︰A E ； （D ）AD ︰DB ＝ AE ︰EC ．3．下列有关向量的等式中，不一定成立的是…………………………………（ D ）（A ）＝－； （B ）︱︱＝︱︱；（C ） ＋＝； （D ）︱＋︱＝︱︱＋︱|． 4．在直角△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 与∠C 的对边分别是a 、b 和c ，那么下列关系中，正确的是 ……………………………………………………………………（ C ）（A ）cos A ＝c a ； （B ）tan A ＝a b ； （C ）sin A ＝c a ； （D ）cot A ＝ba ． 5．在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是…………………………（ A ） （A ）2x y =； （B ）21xy =； （C ）2kx y =； （D ）x k y 2=． 6．如图1，小明晚上由路灯A 下的点B 处走到点C 处时，测得自身影子CD 的长为1米．他继续往前走3米到达点E 处（即CE ＝3米），测得自己影子EF 的长为2米．已知小明的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 是…………………………………（ B ）（A ）4.5米； （B ）6米； （C ）7.2米； （D ）8米．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．已知y x ＝25，则yyx -的值是 32 ．图18．如果点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，那么AP BP 的比值是． 9．如图2，在平行四边形ABC D 中，点E 在BC 边上，且CE ︰BC ＝2︰3，AC 与DE 相交于点F ，若 S △AFD ＝9，则S △EFC ＝ 4 ．10．如果α是锐角，且tanα ＝cot20°，那么 α＝ 70 度．11．计算：2sin60°＋tan451 ． 12．如果一段斜坡的坡角是30°，那么这段斜坡的 坡度是1:（请写成1︰m 的形式）．13．如果抛物线2)1(x m y -=的开口向上，那么 m 的取值范围是 1m > ．14．将抛物线5)3(2+--=x y 向下平移6个单 位，所得到的抛物线的顶点坐标为 （3，-1） ．15．已知抛物线经过A （0，－3）、B （2，－3）、C （4，5），判断点D （－2，5）是否在该抛物线上．你的 结论是： 是 （填“是”或“否”）．16．如图3，正方形DEFG 内接于Rt △ABC ，∠C ＝90°，AE ＝4，BF ＝9 ，则tan A ＝32． 17．如图4，梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC ， 点P 是AD 边上一点，联结PB 、PC ，且PD AP AB ⋅=2， 则图中有 3 对相似三角形．18．如图5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边 AB 上，线段D C 绕点D 逆时针旋转，端点C 恰巧落在边AC 上的点E 处．如果m DB AD =，n ECAE=．那么m 与n 满足的关系式是：m ＝ 21n + （用含n 的代数式表示m ）．图2A BCEDFABD E C图5C ABDEFG图3图4三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 解方程：4322--x x －x-21＝2． （3x =- ） 20．（本题满分10分， 第（1）小题6分，第（2）小题4分）已知二次函数c bx x y ++-=22的图像经过点A （0，4）和B （1，－2）．（1）求此函数的解析式；并运用配方法，将此抛物线解析式化为y ＝a （x ＋m ）2＋k 的形式；（2）写出该抛物线顶点C 的坐标，并求出△CAO 的面积．（1）222442(1)6y x x x =--+=-++ （2）C(-1，6) 2CAOS =21．（本题满分10分）如图6，已知点E 在平行四边形ABCD 的边AD上，AE ＝3ED ，延长CE 到点F ，使得EF ＝CE ，设BA＝a ，＝b ，试用a、b 分别表示向量和．14CE a b =- 12A F a b =+22．（本题满分10分）如图7，某人在C 处看到远处有一凉亭B ，在凉亭 B 正东方向有一棵大树A ，这时此人在C 处测得B 在北偏 西45°方向上，测得A 在北偏东35°方向上．又测得A 、C 之间的距离为100米，求A 、B 之间的距离．（精确到1米）．（参考数据：si n35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0AB ≈139米23．（本题满分12分， 第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 如图8，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，图8ABFE DC图6A图7AB ＝CD ＝2，点E 在BC 边上，AE 与BD 交于点F ，∠BAE ＝∠DBC ，（1）求证：△ABE ∽△BCD ； （2）求tan ∠DBC 的值； （3）求线段BF 的长．（1）,BAE DBC ABC C ∠=∠∠=∠(3)4,3BE BD BF ===24．（本题满分12分， 第（1）小题6分，第（2）小题6分） 如图9，在平面直角坐标系内，已知直线4+=x y 与x 轴、 y 轴分别相交于点A 和点C ，抛物线12-++=k kx x y 图像过点 A 和点C ，抛物线与x 轴的另一交点是B ，（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B 点坐标； （2）若在y 轴负半轴上存在点D ，能使得以A 、C 、 D 为顶点的三角形与△ABC 相似，请求出点D 的坐标．(1)254y x x =++ 对称轴52x =- B(-1，0) (2)D 20(0,)3-25．（本题满分14分 ，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 如图10，已知在等腰 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，斜边AB ＝2，若将△ABC 翻折，折痕EF 分别交边AC 、边BC 于点E 和点F （点E 不与A 点重合，点F 不与B 点重合），且点C 落在AB 边上，记作点D ．过点D 作DK ⊥AB ，交射线AC 于点K ，设AD ＝x ，y ＝cot ∠CFE ，（1）求证：△DEK ∽△DFB ；（2）求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）联结CD ，当EF CD ＝23时，求x 的值(1)45,DKE B EDK FDB ∠=∠=︒∠=∠(2)2xy x-=(2x <<(3)13x 或 ABC备用图ABC备用图ABCE KF图10。
上海市闸北区高三上学期期末练习试卷 数学.pdf
2011学年第一学期高三文科数学期末练习卷 考生注意： 分11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．方程的全体实数解组成的集合为________． 2．不等式的解集为 ． 3．设，则数列的各项和为 ． 4．等腰三角形底角的正切值为，则顶角的正切值等于 . 5．若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为 ． 6．从装有10个黑球，6个白球的袋子中随机抽取3个球，则抽到的3个球中既有黑球又有白球的概率为 （用数字作答）． 7．在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都为整数的点为整点，则方程所表示的曲线上整点的个数为． 8．设、为平面内两个互相垂直的单位向量，向量满足，则的最大值为 ． 9．A杯中有浓度为的盐水克，B杯中有浓度为的盐水克，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A、B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为 ． 10．不等式的解集为 ． 11．如右图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边 长为，高为，将此钢板切割成等腰梯形的形状， 记，梯形面积为．则关于的函数解 析式及定义域为 ． 二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 12．设直线与的方程分别为与，则“”是“”的 【】 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．曲线的长度为 【 】 A． B． C． D． 14．已知数列的各项均为正数，满足：对于所有，有，其中 表示数列的前项和．则 【 】 A． B． C． D． 15．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个复数，（），当且仅当“”或“且”． 按上述定义的关系“”，给出如下四个命题： ①； ②若，，则； ③若，则，对于任意，； ④对于复数，若，则. 其中真命题的序号为 【 】 A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 三、解答题（本题满分7分）有最小值． （1）求实常数的取值范围； （2）设为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式． 17．（14分）已知的面积为，且满足，设和的夹角为． （1）求的取值范围； （2）求函数的最小值． 18．（15分）证明下面两个命题： （1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大； （2）余弦定理：如右图，在中，、、 所对的边分别为、、，则． 19．（16分）椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列． （1）求证：； （2）若直线的斜率为1，且点在椭圆上，求椭圆的方程． 20．（16分）设和均为无穷数列． （1）若和均为等比数列，它们的公比分别为和，试研究：当、 满足什么条件时，和仍是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前项和公式． （2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前项和公式（用首项与公差表示）． 2011学年第一学期高三理科数学期末练习卷 考生注意： 分11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．方程的全体实数解组成的集合为________． 2．不等式的解集为 ． 3．设，则数列的各项和为 ． 4．等腰三角形底角的正切值为，则顶角的正切值等于 . 5．若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为 ． 6．从装有10个黑球，6个白球的袋子中随机抽取3个球，则抽到的3个球中既有黑球又有白球的概率为 （用数字作答）． 7．在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都为整数的点为整点，则方程所表示的曲线上整点的个数为． 8．设、为平面内两个互相垂直的单位向量，向量满足，则的最大值为 ． 9．A杯中有浓度为的盐水克，B杯中有浓度为的盐水克，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A、B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为 ． 10．关于的不等式（）的解集为 ． 11．如右图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边 长为，高为，将此钢板切割成等腰梯形的形状， 记，梯形面积为．则关于的函数解 析式及定义域为 ． 二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 12．设直线与的方程分别为与，则“”是“”的 【】 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．曲线的长度为 【 】 A． B． C． D． 14．已知数列的各项均为正数，满足：对于所有，有，其中 表示数列的前项和．则 【 】 A． B． C． D． 15．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个复数，（），当且仅当“”或“且”． 按上述定义的关系“”，给出如下四个命题： ①若，则； ②若，，则； ③若，则，对于任意，； ④对于复数，若，则. 其中所有真命题的个数为 【 】 A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本题满分7分）有最小值． （1）求实常数的取值范围； （2）设为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式． 17．（14分）已知的面积为，且满足，设和的夹角为． （1）求的取值范围； （2）求函数的最小值． 18．（15分）证明下面两个命题： （1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大； （2）余弦定理：如右图，在中，、、 所对的边分别为、、，则． 19．（16分）椭圆的左、右焦点分别是，，过斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列． （1）求证：； （2）设点在线段的垂直平分线上，求椭圆的方程． 20．（16分）设和均为无穷数列． （1）若和均为等比数列，试研究：和是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前项和公式． （2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前项和公式（用首项与公差表示）． 2011学年第一学期高三文科数学期末练习卷 参考答案与评分标准 一、1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．； 9．； 10．； 11．，． 二、12．B． 13．D． 14．C． 15．B． 三、……………………………………3分 所以，当时，有最小值，………………………………………3分 （2）由为奇函数，有，得． ………………………2分 设，则，由为奇函数，得． …4分 所以，…………………………………………………2分 17．解：（1）设中角的对边分别为， 则由，，……………………………………………………4分 可得，．…………………………………………………………2分 （2）………………………5分 ，， 所以，当，即时，……………………………3分 18．证明一：（1）设长方形的长，宽分别为，，由题设为常数……………1分 由基本不等式2：，可得：， …………………………4分 当且仅当时，等号成立， …………………………………………………………1分 即当且仅当长方形为正方形时，面积取得最大值． ……………………1分 证明二：（1）设长方形的周长为，长为，则宽为 ……………1分 于是，长方形的面积， …………………………4分 所以，当且仅当时，面积最大为，此时，长方形的为，即为正方形……2分 （2）证法一： …………………………4分 ． 故，．……………………4分 证法二 已知中所对边分别为 以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 则，……………………4分 ． 故，．……………………4分 证法三 过边上的高，则 ……………………4分 ． 故，． …………………4分 19．解：（1）由题设，得， 由椭圆定义，………………………………………………4分 所以，．………………………………………………………………………2分 （2）由点在椭圆上，可设椭圆的方程为，…………2分 设，，，：，代入椭圆的方程，整理得 ，（*） …………………………2分 则 ， 于是有， ……………………………………………………4分 解得，故，椭圆的方程为． …………………………2分 20．解：（1）①设， 则设 （或） 当时，对任意的， （或）恒成立， 故为等比数列； ……………………………………………………3分 …………………………………………………1分 当时， 证法一：对任意的，，不是等比数列．……2分 证法二：，不是等比数列． …2分 注：此处用反证法，或证明不是常数同样给分． ②设， 对于任意，，是等比数列． ………………3分 …………………………………………………1分 （2）设，均为等差数列，公差分别为，，则： ①为等差数列；……………………2分 ②当与至少有一个为0时，是等差数列，………………………………1分 若，；………………………………………………1分 若，．………………………………………………1分 ③当与都不为0时，一定不是等差数列．………………………………1分 2011学年第一学期高三理科数学期末练习卷 参考答案与评分标准 一、1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．； 9．； 10．； 11．，． 二、12．B． 13．D． 14．C． 15．B． 三、……………………………………3分 所以，当时，有最小值，………………………………………3分 （2）由为奇函数，有，得． ………………………2分 设，则，由为奇函数，得． …4分 所以，…………………………………………………2分 17．解：（1）设中角的对边分别为， 则由，，……………………………………………………4分 可得，．…………………………………………………………2分 （2）………………………5分 ，， 所以，当，即时，……………………………3分 18．证明一：（1）设长方形的长，宽分别为，，由题设为常数……………1分 由基本不等式2：，可得：， …………………………4分 当且仅当时，等号成立， …………………………………………………………1分 即当且仅当长方形为正方形时，面积取得最大值． ……………………1分 证明二：（1）设长方形的周长为，长为，则宽为 ……………1分 于是，长方形的面积， …………………………4分 所以，当且仅当时，面积最大为，此时，长方形的为，即为正方形……2分 （2）证法一： …………………………4分 ． 故，．……………………4分 证法二 已知中所对边分别为 以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 则，……………………4分 ． 故，．……………………4分 证法三 过边上的高，则 ……………………4分 ． 故，．…………………4分 19．解：（1）由题设，得， 由椭圆定义， 所以，．………………………………………………………………………3分 设，，，：，代入椭圆的方程，整理得 ，（*）…………………………2分 则 ， 于是有， ……………………………………………………4分 化简，得，故，． ……………………………………………………1分 （2）由（1）有，方程（*）可化为 ………………1分 设中点为，则， 又，于是． ………………………………………………2分 由知为的中垂线，， 由，得，解得，， …………………………2分 故，椭圆的方程为．…………………………………………………1分 20．解：（1）①设， 则设 （或） 当时，对任意的， （或）恒成立， 故为等比数列； ……………………………………………………3分 …………………………………………………1分 当时， 证法一：对任意的，，不是等比数列．……2分 证法二：，不是等比数列． …2分 注：此处用反证法，或证明不是常数同样给分． ②设， 对于任意，，是等比数列． ………………3分 …………………………………………………1分 （2）设，均为等差数列，公差分别为，，则： ①为等差数列；……………………2分 ②当与至少有一个为0时，是等差数列，………………………………1分 若，；………………………………………………1分 若，．………………………………………………1分 ③当与都不为0时，一定不是等差数列．………………………………1分 。
2015年上海市黄浦区高三一模数学试卷(文理合卷)WORD版含答案
word 可自由复制编辑黄浦区2014学年第一学期高三年级期终调研测试数学试卷（文理合卷）2015年1月8日一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U=R ，集合{}1|||1|2A x x B x x ⎧⎫=<=>-⎨⎬⎩⎭，，则U (C )B A = ．2．函数()f x =的定义域是 ．3．已知直线12:30,:(1(110l x y l x y +-=++=，则直线1l 与2l 的夹角的大小是 ．4．若三阶行列式1302124121n m m n -+---中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15-，则|i |n m+（其中i 是虚数单位，R m n ∈、）的值是 ．5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：22172x y -=的右焦点重合，则抛物线C 的方程是 ． 6．若函数213()2xax af x ++-=是定义域为R 的偶函数，则函数()f x 的单调递减区间是 ．7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点4(,)5A A x ，则sin 2α＝ ．（用数值表示）8．已知二项式*(12)(2,N )nx n n +≥∈的展开式中第3项的系数是A ，数列{}n a *(N )n ∈是公差为2的等差数列，且前n 项和为n S ，则limn nAS →∞＝ ． 9．已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是 ．10．若从总体中随机抽取的样本为1,3,1,1,1,3,2,2,0,0--，则该总体的标准差的点估计值是 ．11．已知 R,,m n m n αβαβ∈<<、、、，若αβ、是函数()2()()7f x x m x n =---的零点，则m n αβ、、、四个数按从小到大的顺序是 ．（用符号<“”连接起来）word 可自由复制编辑12．一副扑克牌（有四色，同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 ．（用数值作答）13．已知R x ∈，定义：()A x 表示不小于x的最小整数．如2,(0.4)0,A A =-=( 1.1)1A -=- . （理科）若(2())5A x A x ⋅=，则正实数x 的取值范围是 ． （文科）若(21)3A x +=，则实数x 的取值范围是 ．14．（理科）已知点O 是ABC ∆的重心，内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，且2320a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=,则角C 的大小是 ． （文科） 已知点P Q 、是ABC ∆所在平面上的两个定点，且满足0,PA PC +=2QA QB QC BC ++=，若||=||PQ BC λ，则正实数λ＝ ．二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直的 （ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 16．已知向量(3,4)a =-，则下列能使12(R)a e e λμλμ=+∈、成立的一组向量12,e e 是（ ）． A ．12(0,0)(1,2)e e ==-， B ．12(1,3)(2,6)e e =-=-， C ．12(1,2)(3,1)e e =-=-， D ．121(,1)(1,2)2e e =-=-，17．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）．A ．4B ． 5C ． 6D ． 718．已知i z a b =+(R i )a b ∈、，是虚数单位，12,C z z ∈，定义：()||z ||||||D z a b ==+，1212(,z )||z ||D z z =-．给出下列命题：① 对任意C z ∈，都有(z)0D >；② 若z 是复数z 的共轭复数，则()(z)D z D =恒成立； ③ 若12(z )(z )D D =12(z z C)∈、，则12z z =；④（理科）对任意123C z z ∈、z 、，结论131223(z ,z )(z ,z )(z ,z )D D D ≤+恒成立； （文科）对任意12C z ∈、z ，结论1221(z ,z )=(z ,z )D D 恒成立； 则其中真命题是（ ）．A ．①②③④B ．②③④C ．②④D ．②③word 可自由复制编辑P三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3A B A A B C ===，E F 、分别是所在棱AB BC 、的中点，点P 是棱11A B 上的动点，联结1,EF AC ．如图所示．（1）求异面直线1EF AC 、所成角的大小（用反三角函数值表示）； （2）（理科）求以E F A P 、、、为顶点的三棱锥的体积．（文科）求以E B F P 、、、为顶点的三棱锥的体积．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 已知函数()cos cos2,R f x x x x x =-∈． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角A B C 、、所对边的长分别是a b c 、、，若()2,C ,24f A c π===，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数101(),R 101xx g x x -=∈+，函数()y f x =是函数()y g x =的反函数．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出定义域D ； （2）（理科）设1()()h x f x x=-，若函数()y h x =在区间(0,1)内的图像是不间断的光滑曲线； 求证：函数()y h x =在区间(1,0)-内必有唯一的零点(假设为t )，且112t -<<-． （文科）设1()()h x f x x=-，试判断函数()y h x =在区间(1,0)-上的单调性，并说明你的理由．word 可自由复制编辑22．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分． 定义：若各项为正实数的数列{}n a满足*1N )n a n +∈，则称数列{}n a 为“算术平方根递推数列”；已知数列{}n x 满足*0N ,n x n >∈，且19,2x =点1(,)n n x x +在二次函数2()22f x x x =+的图像上；（1）试判断数列{}21n x +*(N )n ∈是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由； （2）记lg(21)n n y x =+*(N )n ∈，求证：数列{}n y 是等比数列，并求出通项公式n y ；（3）从数列{}n y 中依据某种顺序自左至右取出其中的项123,,,n n n y y y ，把这些项重新组成一个新数列{}n z ：123123,z ,z ,n n n z y y y ===；（理科）若数列{}n z 是首项为111()2m z -=、公比为*1(,N )2k q m k =∈的无穷等比数列，且数列{}n z 各项的和为1663，求正整数k m 、的值．（文科）若数列{}n z 是首项为111()2m z -=，公比为*1(,N )2k q m k =∈的无穷等比数列，且数列{}n z 各项的和为13，求正整数k m 、的值．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 在平面直角坐标系中，已知动点(,)M x y ，点(0,1),(0,1),(1,0),A B D -点N 与点M 关于直线y x =对称，且212AN BN x ⋅=.直线l 是过点D 的任意一条直线．（1）求动点M 所在曲线C 的轨迹方程； （2）设直线l 与曲线C 交于G H 、两点，且||GH =l 的方程； （3）（理科）若直线l 与曲线C 交于G H 、两点，与线段AB 交于点P （点P 不同于点O A B 、、），直线GB 与直线HA 交于点Q ，求证：OP OQ ⋅是定值．（文科）设直线l 与曲线C 交于G H 、两点，求以||GH 的长为直径且经过坐标原点O 的圆的方程．word 可自由复制编辑黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷(文理合卷)参考答案和评分标准(2015年1月8日)一、填空题1．1(1,]2--； 2．(1,)+?； 3．3p ； 4．2； 5．212y x =；6．(,0]-?； 7．2425-； 8．2； 9．36p ； 10； 11．m n a b <<<； 12．234425； 13．(理)514x <≤；(文) 112x <≤； 14．(理)3p ；(文) 12．二、选择题： 15．B 16．C 17．A 18．C 三、解答题19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分． 解(1)联结AC ，在长方体1111ABCD A B C D -中，有AC EF .又1CAC ∠是直角三角形1ACC 的一个锐角，∴1CAC ∠就是异面直线1AC EF 与所成的角. 由14,3AB AA BC ===，可算得5AC ==.∴114tan 5CC CAC AC ∠==，即异面直线1AC EF 与所成角的大小为4arctan 5. (理) (2)由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱1AA 的长相等． ∴113P AEF AEF V S AA -∆=⋅．∵113322222AEF S AE BF ∆=⋅=⋅⋅=， ∴1113=4=2332P AEF AEF V S AA -∆=⋅⋅⋅． (文) (2)由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱1AA 的长相等． ∴113P EBF EBF V S AA -∆=⋅，113322222EBF S EB BF ∆=⋅=⋅⋅=，∴1113=4=2332P EBF EBF V S AA -∆=⋅⋅⋅． 20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分． 解(1)∵()cos cos2R f x x x x x =-∈，，∴()2sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈.word 可自由复制编辑(2)∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===，∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈. 又0A π<<， ∴3A π=.依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得.∴512B A C ππ=--=.∴11sin 222ABC S ac B ∆==⋅=. 21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 解(1)1012()1,R 101101x x x g x x -==-∈++，()1g x ∴<.又1011x +>，2211110101x∴->-=-++. 1()1g x ∴-<<. 由101101x x y -=+，可解得1110,lg 11xy y x y y++==--.1()l g1xf x x+∴=-，(1,1)D =-. (理)证明 (2)由(1)可知，11111()()lg lg 11x x h x f x x x x x x+-=-=-=+-+. 可求得函数()h x 的定义域为1(1,0)(0,1)D =-.对任意1x D ∈，有1111()()lg lg 011x xh x h x x x x x-++-=+++=+--， 所以，函数()y h x =是奇函数. 当(0,1)x ∈时，1x 在(0,1)上单调递减，12=111x x x--+++在(0,1)上单调递减，于是，1lg1xx-+在(0,1)上单调递减.因此，函数()y h x =在(0,1)上单调递减. 依据奇函数的性质，可知，函数()y h x =在(1,0)-上单调递减，且在(1,0)-上的图像也是不间断的光滑曲线. 又199100100()2lg 30,()lg1992021009999h h -=-+<-=-+>->, 所以，函数()y h x =在区间(1,0)-上有且仅有唯一零点t ，且112t -<<-. (文) (2) 答：函数()y h x =在区间(1,0)-上单调递减. 理由：由(1)可知，11111()()lg lg 11x x h x f x x x x x x+-=-=-=+-+. 可求得函数()h x 的定义域为1(1,0)(0,1)D =-.word 可自由复制编辑对任意1x D ∈，有1111()()lg lg 011x x h x h x x x x x-++-=+++=+--， 所以，函数()y h x =是奇函数. 当(0,1)x ∈时，1x 在(0,1)上单调递减，12=111x x x--+++在(0,1)上单调递减，于是，1lg1xx-+在(0,1)上单调递减. 因此，函数()y h x =在(0,1)上单调递减. 依据奇函数的性质，可知， 函数()y h x =在(1,0)-上单调递减.22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．解(1)答：数列{}21n x +是算术平方根递推数列.理由：1(,)n n x x +点在函数2()22f x x x =+的图像上，21122,n n n x x x ++∴=+21121441n n n x x x +++=++即，2121(21)n n x x ++=+. 又*0,N n x n >∈，∴*121n x n N ++=∈．∴数列{}21n x +是算术平方根递推数列.证明(2)*1lg(21),21N n n n y x x n +=++=∈，112n n yy +∴=. 又1119lg(21)1()2y x x =+==, ∴数列{}n y 是首项为11y =,公比12q =的等比数列.1*11(),N 2n n y y n -∴=⋅∈.(理)(3)由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数， 1116216312m k -∴=- ．化简，得116631622k m -+=． 若13m -≥，则1166316631663++16222828km k -+≤≤<.这是矛盾！12m ∴-≤. 又101m -=或时，116631622k m -+>, ∴ 12,3m m -==即. 166316,264,624kk k ∴=-==解得. 3,6.m k =⎧∴⎨=⎩(文) (3)由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数，word 可自由复制编辑11121312m k -∴=- ． 化简，得113122k m -+=． 若13m -≥，则1131313++1222828k m k -+≤≤<.这是矛盾！ 12m ∴-≤. 又101m -=或时，113122k m -+>, ∴ 12,3m m -==即. 131,24,224kk k ∴=-==解得. 3,2.m k =⎧∴⎨=⎩23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解(1)依据题意，可得点(,)N y x . (,1),(,1)AN y x BN y x ∴=-=+．又212AN BN x ⋅=，222112y x x ∴+-=. ∴所求动点M 的轨迹方程为22:12x C y +=. (2) 若直线ly轴，则可求得|GH ，这与已知矛盾，因此满足题意的直线l 不平行于y 轴．设直线l 的斜率为k ，则:(1)l y k x =-． 由221,2(1).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-=．设点1122(,)(,)H x y G x y 、，有212221224,212221k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩且0∆>恒成立(因点D 在椭圆内部)．又||2GH =2=，2=，解得k =．所以，所求直线:1)l y x =-． (理)证明(3)直线l 与线段AB 交于点P ，且与点O A B 、、不重合，∴直线l 的斜率k 满足：11,0k k -<<≠． 由(2)可得点(0,)P k -，可算得21212222,2121k k y y y y k k -+==-++．word 可自由复制编辑又直线121211:1,:1y y HA y x GB y x x x -+-=+=． 设点(,y )Q Q Q x ，则由11221111.y y x x y y x x -⎧-=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得12211111Q Q y y x y y x --=⋅++(此等式右边为正数). ∴101Q Q y y ->+，且222121212222112121(1)1()()1(1)1Q Q y y x y y y y y y x y y y y ---++=⋅=+++++=21+1k k ⎛⎫⎪-⎝⎭． ∴ 1111Q Q y k y k-+=+-，解得1Q y k =-. 1(0,)(,)1Q OP OQ k x k ∴⋅=-⋅-=为定值. (文) (3)当直线ly轴时，||GH =O 到圆心的距离为1.即点O 在圆外，不满足题意.∴满足题意的直线l 的斜率存在，设为k ，则:(1)l y k x =-.设点1122(,)(,)H x y G x y 、，由(2)知，212221224,2122.21k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩进一步可求得12221222,21.21k y y k k y y k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩依据题意，有OG OH ⊥， 12120x x y y ∴+=， 即22222202121k k k k --+=++，解得k = ∴所求圆的半径1||25r GH ===，圆心为12124(,)(,2255x x y y ++=±. ∴所求圆的方程为：22418()(5525x y -+±=.。
上海市静安区2015届高三上学期期末教学质量检测(一模)数学(文)试题 Word版含答案
上海市静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测数学（文）试卷（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 计算：22lim127n n n →∞=+ . 2. 已知集合{|2,0}M y y x x ==≥，2{|lg(2)}N x y x x ==-，则MN = .3. 已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为4，则该数列的前n 项和n S = .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式4021x x -<-的解集是 . 6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边在射线2y x =-（0x ≤）上，则sin 2α= .9. 已知两个向量a ，b 的夹角为30，||3a =，b 为单位向量，(1)c ta t b =+-，若0b c =，则t = .10. 已知两条直线的方程分别为1l ：10x y -+=和2l ：220x y -+=，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 11. 若α，β是一二次方程2230x x ++=的两根，则11αβ+= .12. 直线l 经过点(2,1)P -且点(2,1)A --到直线l 的距离等于1，则直线l 的方程是 .13. 已知实数x 、y 满足||||1x y ≥+，则2y x-的取值范围是 . 14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S ，则S 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.224685101O xyQPPAM15. 在下列幂函数中，是偶函数且在(0,)+∞上是增函数的是（ ）A. 2y x -= B. 12y x = C. 13y x = D. 23y x =16. 已知直线1l ：3(2)60x k y -++=与直线2l ：(23)20kx k y +-+=，记3(2)23k D k k -+=- .0D =是两条直线1l 与直线2l 平行的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 17. 已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是（ ）A. MB. NC. PD. Q18. 到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（ ）A. 1个B. 4个C. 7个D. 8个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边长，且满足sin 32A a b=. （1）求B ∠的大小； （2）若7b =，ABC 的面积334ABCS=，求a c +的值.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.B 1B C 1C DD1AA 1P M N上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y （元）与行车里程x （公里）之间的函数关系式()y f x =.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 为面11ADD A 的对角线1AD 的中点.PM ⊥平面ABCD 交AD 与M ，MN BD ⊥于N .（1）求异面直线PN 与11AC 所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示） （2）求三棱锥P BMN -的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数2()log (1)a f x x x =++（其中1a >）.（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（3）若两个函数()F x 与()G x 在闭区间[,]p q 上恒满足|()()|2F x G x ->，则称函数()F x 与()G x 在闭区间[,]p q 上是分离的.试判断函数1()y f x -=与()x g x a =在闭区间[1,2]上是否分离？若分离，求出实数a 的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列{}n a 中，已知21a =，前n 项和为n S ，且1()2n n n a a S -=.（其中*n N ∈） （1）求1a ；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设1lg 3n n na b +=，问是否存在正整数p 、q （其中1p q <<），使得1b 、p b 、q b 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(,)p q ；否则，说明理由.静安区2014学年第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 计算：22lim127n n n →∞=+ . 解：112. 2. 已知集合{|2,0}M y y x x ==≥，2{|lg(2)}N x y x x ==-，则M N = .解：(0,2).3. 已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为4，则该数列的前n 项和n S = . 解：22n n +.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45. 5. 不等式4021x x -<-的解集是 . 解：1,42⎛⎫⎪⎝⎭. 6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：3π.8. 已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边在射线2y x =-（0x ≤）上，则sin 2α= . 解：45-. 9. 已知两个向量a ，b 的夹角为30，||3a =，b 为单位向量，(1)c ta t b =+-，若0b c =，则t = .解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为1l ：10x y -+=和2l ：220x y -+=，则这两条直线的夹角224685101O xyQPPAM大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：1arctan3（或310arccos 10或10arcsin 10）. 11. 若α，β是一二次方程2230x x ++=的两根，则11αβ+= .解：-3.12. 直线l 经过点(2,1)P -且点(2,1)A --到直线l 的距离等于1，则直线l 的方程是 .解：31230x y -++=或31230x y --+-=. 13. 已知实数x 、y 满足||||1x y ≥+，则2y x-的取值范围是 . 解：[2,2]-.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S ，则S 的取值范围是 . 解：(1,2).二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在(0,)+∞上是增函数的是（ ）A. 2y x -= B. 12y x = C. 13y x = D. 23y x = 解：D.16. 已知直线1l ：3(2)60x k y -++=与直线2l ：(23)20kx k y +-+=，记3(2)23k D k k -+=- .0D =是两条直线1l 与直线2l 平行的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 解：B.17. 已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是（ ）A. MB. NC. PD. Q解：D.18. 到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（ ）A. 1个B. 4个C. 7个D. 8个B 1C 1D 1AA 1P M解：C.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边长，且满足sin 32A a b=. （1）求B ∠的大小； （2）若7b =，ABC 的面积334ABCS=，求a c +的值. 解：（1）由正弦定理：sin sin a b A B =，得sin 3sin 2A B a b b ==，∴ 3sin 2B =，（4分） 又由B 为锐角，得3B π=.（6分）（2）1sin 2ABCSac B =，又∵ 334ABCS =，∴ 3ac =，（8分） 根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而4a c +=.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y （元）与行车里程x （公里）之间的函数关系式()y f x =. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩ . 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 为面11ADD A 的对角线1AD 的中点.PM ⊥平面ABCD 交AD 与M ，MN BD ⊥于N .（1）求异面直线PN 与11AC 所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示） （2）求三棱锥P BMN -的体积.解：（1）∵ 点P 为面11ADD A 的对角线1AD 的中点，且PM ⊥平面ABCD ，∴ PM 为1ADD 的中位线，得1PM =， 又∵ MN BD ⊥，∴ 2222MN ND MD ===，（2分） ∵ 在底面ABCD 中，MN BD ⊥，AC BD ⊥，∴ //MN AC ， 又∵ 11//AC AC ，PNM ∠为异面直线PN 与11AC 所成角，（6分） 在PMN 中，PMN ∠为直角，tan 2PNM ∠=，∴ arctan 2PNM ∠=. 即异面直线PN 与11AC 所成角的大小为arctan 2.（8分） （2）2322222BN =-=，（9分） 1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数2()log (1)a f x x x =++（其中1a >）.（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（3）若两个函数()F x 与()G x 在闭区间[,]p q 上恒满足|()()|2F x G x ->，则称函数()F x 与()G x 在闭区间[,]p q 上是分离的.试判断函数1()y fx -=与()x g x a =在闭区间[1,2]上是否分离？若分离，求出实数a 的取值范围；若不分离，请说明理由.解：（1）∵ 21||0x x x x ++>+≥，∴ 函数()y f x =的定义域为R ，（1分）又∵ 22()()log (1)log (1)0a a f x f x x x x x +-=++++-=，∴ 函数()y f x =是奇函数.（4分）（2）由210x x ++>，且当x →-∞时，210x x ++→，当x →+∞时，21x x ++→+∞，得2()log (1)a f x x x =++的值域为实数集.解2log (1)a y x x =++得11()()2xx f x a a --=-，x R ∈.（8分） （3）1()22xx x a a a --->在区间[1,2]上恒成立，即122x x a a -+>，即4xxa a-+>在区间[1,2]上恒成立，（11分）令xa t =，∵ 1a >，∴ 2[,]t a a ∈，1t t +在2[,]t a a ∈上单调递增，∴ min114t a t a ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭， 解得23a >+，∴ (23,)a ∈++∞.（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列{}n a 中，已知21a =，前n 项和为n S ，且1()2n n n a a S -=.（其中*n N ∈） （1）求1a ；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设1lg 3n n na b +=，问是否存在正整数p 、q （其中1p q <<），使得1b 、p b 、q b 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(,)p q ；否则，说明理由. 解：（1）∵ 1()2n n n a a S -=，令1n =，得111()02a a a -==，∴ 10a =，（3分）或者令2n =，得21122()2a a a a -+=，∴ 10a =.（2）当2n ≥时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n n n n n n a na a S S ++++=-=-，∴ 11n n a n a n +=-， 推得132n a na +=，又∵ 21a =，∴ 3223a a ==，∴ 1n a n +=， 当1,2n =时也成立，∴ 1n a n =-（*n N ∈）.（9分）（3）假设存在正整数p 、q ，使得1b 、p b 、q b 成等比数列，则1lg b 、lg p b 、lg q b 成等差数列，故21333p q p q=+（**）（11分）由于右边大于13，则2133p p >，即136p p >， 考查数列3p p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的单调性，∵ 111120333p p p p p p +++--=<，∴ 数列3p p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递减数列.（14分） 当2p =时，21396p p =>，代入（**）式得139q q =，解得3q =； 当3p ≥时，139p p ≤（舍）.综上得：满足条件的正整数组(,)p q 为(2,3).（16分） （说明：从不定方程21333p q p q=+以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）。
上海市闸北区2015年高三第一学期期末(一模)学科质量检测生命科学试题及答案(word详解版)
C.过程②产生的（CH2O）中的氧全部来自H2O
D.过程①和②中均能产生[H]，二者还原的物质不同
【答案】D
【解析】
【分析】
1、分析图图中过程①表示细胞中的有氧呼吸，过程②表示光合作用过程。
2、有氧呼吸过程：
【详解】A、图中过程①表示有氧呼吸过程，发生在细胞质基质和线粒体中，少数原核生物也能进行有氧呼吸，但是没有线粒体；过程②表示光合作用，场所一般为叶绿体，但是蓝藻没有叶绿体也能进行光合作用，A错误；
D、NADPH的产生减少，NADPH/NADP比值下降，D正确。
故选B。
【点睛】本题考查光合作用，意在考查考生识记所列知识点，并能运用所学知识做出合理的判断或得出正确的结论的能力。
11.如图是细胞中糖类合成与分解过程示意图．下列叙述正确的是（ ）
（CH2O）+O2 CO2+H2O+能量
A.过程①只在线粒体中进行，过程②只在叶绿体中进行
2、酶促反应的速率可以用单位时间内反应物的减少量或产物的生成量表示来表示。
【详解】A、由以上分析知，①表示酶，若底物浓度一定，增大酶的浓度会提高酶促反应的速度，A正确；
B、由以上分析知，②表示反应底物，如果探究底物浓度对酶促反应速度的影响，自变量是酶的浓度（或在一定反应体系中酶的数量），B正确；
C、由以上分析知，③和④表示生成物，酶促反应的速率可以用单位时间内产物的生成速率来表示，C正确；
A.自然选择作用于表现型而不是基因型
B.甲为自然选择对显性基因不利时的曲线
C.该种群将因基因频率的改变而形成新的物种
D.生物体内有害的显性基因一般都少于隐性基因
【答案】C
【解析】
2015年1月上海市长宁区高三数学（理科）一模试卷及参考答案
开始开始结束结束是否 A ＜35 A ←1 A ←2A +1 打印打印2015年1月上海市长宁区高三数学(理科)一模试卷考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期是___________________.2．若集合2{|||2},{|30}M x x N x x x =£=-£，则M ∩N =_______________. 3．复数221ii+-=______________.=______________.（（i 是虚数单位）是虚数单位） 4．已知数列{}n a 的前n 项和542n n S -=-´，则其通项公式为，则其通项公式为5. 已知()214732lim 6752n a n n n ®¥++++-éùëû=--，则a =6. 已知{}3,2,1,1,2,3,---Îb a 且b a ¹，则复数bi a z +=对应点在第二象限的概率为._______（用最简分数表示）（用最简分数表示）7．已知函数()1log a f x x =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图象过点(2,4)，则a 的值为._________8．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是母线与底面所成的角的大小是 . 9．根据右面的框图，打印的最后一个数据是．根据右面的框图，打印的最后一个数据是 . 10．已知数列{}n a 是以2-为公差的等差数列，n S 是其前是其前n 项和，若7S 是数列{}n S 中的唯一最大项，则数列中的唯一最大项，则数列 {}n a 的首项1a 的取值范围是的取值范围是. 11．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好 有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 . 。
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上海市闸北区2015届高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分． 1．复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为 4 ． 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：化简复数为a+bi（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值． 解答：解：=．
∵复数是纯虚数
∴，解得：a=4． 故答案为：4． 点评：本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）= ﹣2 ． 考点：函数奇偶性的性质． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：运用奇函数的定义，已知解析式，可得f（0）=0，f（2）=﹣2，即可得到结论． 解答：解：f（x）为R上的奇函数， 则f（﹣x）=﹣f（x）， 即有f（0）=0，f（﹣2）=﹣f（2）， 当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x）， f（﹣2）=log2（2+2）=2， 则f（0）+f（2）=0﹣2=﹣2． 故答案为：﹣2． 点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题． 3．设定点A（0，1），若动点P在函数y=（x＞0）图象上，则|PA|的最小值为 2 ． 考点：两点间距离公式的应用；函数的图象． 专题：直线与圆．
分析：设P（x，1+），|PA|=≥=2．由此能求出|PA|的最小值．
解答：解：设P（x，1+）， ∴|PA|=≥=2． 当且仅当，即x=时，取“=”号， ∴|PA|的最小值为2． 故答案为：2． 点评：本题考查线段长的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用． 4．用数字“1，2”组成一个四位数，则数字“1，2”都出现的四位数有 14 个． 考点：计数原理的应用． 专题：排列组合． 分析：本题需要分三类第一类，3个1，1个2，第二类，3个2，1个1，第三类，2个1，2个2，根据分类计数原理可得，或者利用列举法． 解答：解：方法一：1，2”组成一个四位数，数字“1，2”都出现的共3类， 第一类，3个1，1个2，有3个1的排列顺序只有1种，把2插入到3个1所形成的4个间隔中，故有=4种，
第二类，3个2，1个1，有3个2的排列顺序只有1种，把1插入到3个2所形成的4个间隔中，故有=4种，
第三类，2个1，2个2，先排2个1只有一种，再把其中一个2插入到2个1只形成的3个间隔中，再把另一个2插入所形成的四个间隔中，2个2一样，故=6， 根据分类计数原理，数字“1，2”都出现的四位数有4+4+6=14个 方法二，列举即可，1112，1121，1211，2111，1122，1212，1221，2121，2112，2211，2221，2212，2122，1222，共14种 故答案为14 点评：本题主要考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题
5．设n∈N*，圆的面积为Sn，则= 4π ． 考点：极限及其运算；圆的标准方程． 专题：函数的性质及应用．
分析：利用圆的面积计算公式可得Sn=．再利用数列极限运算性质即可得出．
解答：解：∵圆的面积为Sn， ∴Sn=．
∴==4π． 故答案为：4π． 点评：本题考查了圆的面积计算公式、数列极限运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
6．在Rt△ABC中，AB=AC=3，M，N是斜边BC上的两个三等分点，则的值为 4 ． 考点：平面向量数量积的运算． 专题：计算题；平面向量及应用．
分析：运用向量垂直的条件，可得=0，由M，N是斜边BC上的两个三等分点，得=（+）•（+），再由向量的数量积的性质，即可得到所求值． 解答：解：在Rt△ABC中，BC为斜边， 则=0， 则=（）•（+） =（+）•（+）=（+）•（） =++=×9+=4． 故答案为：4． 点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于中档题． 7．设函数f（x）=sin（πx），若存在x0∈（﹣1，1）同时满足以下条件： ①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立； ②x02+[f（x0）]2＜m2， 则m的取值范围是 ． 考点：正弦函数的图象． 专题：函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析：直接利用题中的已知条件建立关系式先求出，对f（x）≤f（x0）成立，只需满f（x）≤f（x0）min即可．由于f（x）=sin（πx），所以：先求出f（x）的最小值，进一步求出：
当x0最小，f（x0）最小时，函数x02+[f（x0）]2＜m2，解得：，最后求出结果． 解答：解：根据题意：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立 由于：x0∈（﹣1，1） 所以：对f（x）≤f（x0）成立，只需满足f（x）≤f（x0）min即可． 由于f（x）=sin（πx）， 所以： 由于②x02+[f（x0）]2＜m 所以当x0最小，且 求出： 进一步求出： 故答案为： 点评：本题考查的知识要点：三角函数的值域，函数的恒成立问题和存在性问题，属于基础题型． 8．如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是 （﹣∞，5] ． 考点：一元二次不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用． 分析：将不等式转化为函数，利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论． 解答：解：不等式x2＜|x﹣1|+a等价为x2﹣|x﹣1|﹣a＜0， 设f（x）=x2﹣|x﹣1|﹣a， 若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，
则，即，则， 解得a≤5， 故答案为：（﹣∞，5] 点评：本题主要考查不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系，转化为函数是解决本题的关键． 9．（6分）关于曲线C：x4﹣y3=1，给出下列四个结论： ①曲线C是双曲线； ②关于y轴对称； ③关于坐标原点中心对称； ④与x轴所围成封闭图形面积小于2． 则其中正确结论的序号是 ② ．（注：把你认为正确结论的序号都填上） 考点：曲线与方程． 分析：根据题意，依次分析4个命题：对于①：将曲线C的方程与双曲线的标准方程比较，可得①错误；对于②：分析关于y轴对称的两个点（x，y）点（﹣x，y），是否都在曲线上，即可得②正确；对于③：分析关于原点对称的两个点（x，y）点（﹣x，﹣y），是否都在曲线上，即可得③错误，对于④：将曲线方程变形为y=，分析其与x轴所围成的面积，即可得答案． 解答：解：根据题意，依次分析4个命题： 对于①：曲线C：x4﹣y3=1，不符合双曲线的标准方程，故不是双曲线；①错误； 对于②：若点（x，y）在曲线上，则有x4﹣y3=1，那么对于与点（x，y）关于y轴对称的点（﹣x，y），也有（﹣x）4﹣y3=1成立，则点（﹣x，y）也在曲线上，故曲线关于y轴对称，②正确； 对于③：若点（x，y）在曲线上，则有x4﹣y3=1，那么对于与点（x，y）关于原点对称的点（﹣x，﹣y），（﹣x）4﹣（﹣y）3=1不成立，则点（﹣x，﹣y）不在曲线上，故曲线不关于原点对称，③错误； 对于④：曲线C：x4﹣y3=1，变形可得y=，分析可得其是开放性曲线，与x轴所围成的面积无最大值，故④错误； 故答案为②． 点评：本题考查曲线与方程，解题的关键是根据曲线的方程，分析曲线的几何形状与具有的几何性质． 二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.
10．（6分）“a≠2”是“关于x，y的二元一次方程组有唯一解”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑． 分析：由方程组得y=，得到a≠2且a≠﹣1，从而求出a的范围．
解答：解：由有唯一解得： y=， ∴a≠2且a≠﹣1， ∴a≠2”是“关于x，y的二元一次方程组有唯一解”的必要不充分条件， 故选：A． 点评：本题考查了充分必要条件，考查了二元一次方程组的解法，是一道基础题．
11．已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下列一定成立的是（ ） A．若a3＞0，则a2013＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0 C．若a3＞0，则S2013＞0 D．若a4＞0，则S2014＞0 考点：等比数列的性质． 专题：等差数列与等比数列． 分析：对于选项A，B，D可通过q=﹣1的等比数列排除，对于选项C，可分公比q＞0，q＜0来证明即可得答案． 解答：解：对于选项A，可列举公比q=﹣1的等比数列1，﹣1，1，﹣1，…，显然满足a3
＞0，但a2013=1＞0，故错误；
对于选项B，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但a2014=0，故错误； 对于选项D，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a2＞0，但S2014=0，故错误； 对于选项C，因为a3=a1•q2＞0，所以 a1＞0． 当公比q＞0时，任意an＞0，故有S2013＞0；当公比q＜0时，q2013＜0，故1﹣q＞0，1﹣q2013
＞0，仍然有S2013 =＞0，故C正确， 故选C． 点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题． 12．对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素． 下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①A=R，运算“⊕”为普通减法； ②A={Am×n|Am×n表示m×n阶矩阵，m∈N*，n∈N*}，运算“⊕”为矩阵加法； ③A={X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③ 考点：进行简单的合情推理． 专题：计算题；推理和证明． 分析：根据单位元素的定义，对三个集合及相应的运算“⊕”进行检验即可．