数学_2013年浙江省杭州市高考数学二模试卷(理科)(含答案)

2013年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i 是虚数单位，则1+i i+i 1+i=( )A −12+32i B 12−32i C 32+12i D 32−12i2. 已知集合A ={k ∈Z|sin(kπ−θ)=sinθ,θ∈(0,π2)}，B ={k ∈Z|cos(kπ+θ)=cosθ,θ∈(0, π2)}．则(∁Z A)∩B =( )A {k|k =2n, n ∈Z}B {k|k =2n −1, n ∈Z}C {k|k =4n, n ∈Z}D {k|k =4n −1, n ∈Z}3. 设P 为函数f(x)=sin(πx)的图象上的一个最高点，Q 为函数g(x)=cos(πx)的图象上的一个最低点，则|PQ|最小值是（ ） A √π24+4 B 2 C√172D 2√2 4. 设直线：l:y =kx +m(m ≠0)，双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，则“k =−ba ”是“直线l 与双曲线C 恰有一个公共点“的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分条件D 既不充分也不必要条件 5. 若存在实数x ，y 使不等式组{x −y ≥0x −3y +2≤0x +y −6≤0 与不等式x −2y +m ≤0都成立，则实数m的取值范围是（ ）A m ≥0B m ≤3C m ≥lD m ≥3 6. 设数列{a n }是首项为1的等比数列，若{12a n +a n+1}是等差数列，则(12a 1+1a 2)+(12a 2+1a 3)+⋯+(12a2012+1a2013)的值等于（ ）A 2012B 2013C 3018D 3019 7. 已知双曲线y 2a2−x 2b 2=1(a >0,b >0)，A 、B 是双曲线的两个顶点．P 是双曲线上的一点，且与点B 在双曲线的同一支上．P 关于y 轴的对称点是Q ，若直线AP ，BQ 的斜率分别是k 1，k 2，且k 1⋅k 2=−45，则双曲线的离心率是（ ） A3√55 B 94 C 32 D 958. 若函数f(x)=(x +1)e x ，则下列命题正确的是（ ）A 对任意m <−1e 2，都存在x ∈R ，使得f(x)<m B 对任意m >−1e 2，都存在x ∈R ，使得f(x)<m C 对任意x ∈R ，都存在m <−1e 2，使得f(x)<m D 对任意x ∈R ，都存在m >−1e2，使得f(x)<m9. 如图，平面α与平面β交于直线l ，A ，C 是平面α内不同点，B ，D 是平面β内不同的两点，且A ，B 、C 、D 不在直线l 上，M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，下列判断正确的是（ ）A 若AB 与CD 相交，且直线AC 平行于l 时，则直线BD 与l 可能平行也有可能相交 B 若AB ，CD 是异面直线时，则直线MN 可能与l 平行 C 若存在异于AB ，CD 的直线同时与直线AC ，MN ，BD 都相交，则AB ，CD 不可能是异面直线 D M ，N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 10. 已知cosx =23(x ∈R)，则cos(x −π3)=________．11. (2x √x)6展开式中常数项为________（用数字作答）． 12. 如图是某程序框图，则该程序运行后输出的值是________．13. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．14. 公差不为0的等差数列{a n }的部分项a k 1，a k 2，a k 3…，构成等比数列，且k 1=1，k 2=2，k 3=6，则k 4=________．15. 如图，在△OAB 中，C 为OA 上的一点，且OC →=23OA →，D 是BC 的中点，过点A 的直线l // OD ，P 是直线l 上的任意点，若OP →=λ1OB →+λ2OC →，则λ1−λ2=________．16. 已知a 2sinθ+acosθ−2=0，b 2sinθ+bcosθ−2=0(a ，b ，θ∈R ，且a ≠b)，直线l 过点A(a, a 2)，B(b, b 2)，则直线l 被圆(x −cosθ)2+(y −sinθ)2=4所截得的弦长为________．三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在直角坐标中，A(3, 1)，B(−3, −3)，C(l, 4)，P 是AB ¯和 AC ¯夹角平分线上的一点，且 |AP|¯=2，则 AP ¯的坐标是（ ） A (−5√2613，√2613) B (−√2, √2) C (−4√55，2√55) D (−√3，1) 18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知c =2，acosB −bcosA =72. (1)求bcosA 的值；(2)若a =4，求△ABC 的面积.19. 已知盘中有编号为A ，B ，C ，D 的4个红球，4个黄球，4个白球（共 12个球）现从中摸出4个球（除编号与颜色外球没有区别） （1）求恰好包含字母A ，B ，C ，D 的概率；（2）设摸出的4个球中出现的颜色种数为随机变量X ．求X 的分布列和期望E(X)．20. 如图，已知在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA =√3，AB =1．AD =2．∠BAD =120∘，E ，F ，G ，H 分别是BC ，PB ，PC ，AD 的中点．（1）求证：PH // 平面GED ；（2）过点F 作平面α，使ED // 平面α，当平面α⊥平面EDG 时，设PA 与平面α交于点Q ，求PQ 的长．21.如图，已知直线y =2x −2与抛物线x 2=2py(p >0)交于M 1，M 2两点，直线y =p2与y 轴交于点F ．且直线y =p2恰好平分∠M 1FM 2． （I ）求P 的值；（II ）设A 是直线y =p2上一点，直线AM 2交抛物线于另点M 3，直线M 1M 3交直线y =p2于点B ，求OA →⋅OB →的值．22. 设函数f(x)=ax 3+bx （a ，b 为实数）．（1）设a ≠0，当a +b =0时．求过点P(−1, 0)且与曲线y =f(x)相切的直线方程； （2）设b >0，当a ≤0且x ∈[0, 1]时，有f(x)∈[0, 1)，求b 的最大值．2013年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）答案1. D2. A3. C4. A5. B6. C7. C8. B9. D 10.2±√15611. 60 12. 613. 50+50√3 14. 22 15. −3216. 2√3 17. A18. 解：(1)∵ acosB +bcosA =a ⋅a 2+c 2−b 22ac+b ⋅b 2+c 2−a 22bc=c ，∴ 由c =2得acosB +bcosA =2， 结合acosB −bcosA =72联解， 可得bcosA =−34；(2)由(1)得acosB =2−bcosA =114，∵ a =4， ∴ cosB =1116，可得sinB =√1−cos 2B =3√1516， 根据正弦定理，得△ABC 的面积为 S =12acsinB=12×4×2×3√1516=3√154. 19. 解：（1）记事件“恰好包含字母A ，B ，C ，D”为E ， 则P(E)=C 31⋅C 31⋅C 31⋅C 31C 124=955．（2） 由题意可得随机变量X 的取值可能为：1，2，3，且P(X =1)=C 31C 124=1165，P(X =2)=C 32(C 41C 43+C 42C 42+C 43C 41)C 124=68165，P(X =3)=3C 41C 41C 42C 124=3255．故X 的分布列为：故数学期望为E(X)=1165+2×68165+3×3255=8533．20. （1）证明：连接HC ，交ED 于点N ，连接GN ，∵ DHEC 是平行四边形，∴ N 是线段HC 的中点，又G 是PC 的中点， ∴ GN // PH ，又∵ GN ⊂平面GED ，PH ⊄平面GED ， ∴ PH // 平面GED ．（2） 方法1：连接AE ，∵ ∠BAD =120∘，∴ △ABE 是等边三角形，设BE 的中点为M ，以AM 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则B(√32, −12, 0)，C(√32, 32, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, √3)， 则E(√32, 12, 0)，F(√34, −14, √32)，G(√34, 34, √32)． 设Q(0, 0, t)，ED →=(−√32,32,0)，DG→=(√34,−54,√32)． 设n 1→=(x 1,y 1,z 1)是平面GED 的一个法向量，则{n 1→⋅DG →=√34x 1−54y 1+√32z 1=0˙，得{x 1=√3y 1z 1=√33y 1，令y 1=1∴ n 1→=(√3,1,√33)． 设n 2→=(x 2,y 2,z 2)是平面α的一个法向量， 则{n 2→⋅QF →=√34x 2−14y 2+(√32−t)z 2=0˙，得{x 2=√3y 2z 2=12t−√3y2，令y 2=1，得n 2→=(√3,1,12t−√3)，当平面GED ⊥平面α时，n 1→⋅n 2→=3+1+√33⋅12t−√3=0，得t =118√3=11√324，则PQ 的长为√3−11√324=13√324．方法2：连接BH ，则BH // ED ，又∵ PB // GE ，∴ 平面PBH // 平面GED ， 设BH 与AE 交于点K ，PK 的中点为M ， ∵ F 是PB 的中点，∴ FM // BK ，∵ ABEH 是菱形，∴ AE ⊥BK ，∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥BK ，∴ BK ⊥平面PAK ． ∴ FM ⊥平面PAK ，过M 作MQ ⊥PK ，交PA 于Q ，设MQ 与FM 所确定的平面为α，∵ ED // BH // FM ，∴ ED // 平面α，又平面α⊥平面PBH ，∴ 平面α⊥平面EDG ． 得平面α满足条件．∵ PA =√3，AK =12，∴ PK =√3+14=√132， 由PQ PK=PM PA，得PQ =PK⋅PM PA=√3˙=13√324．21. 解：(I) 由{y =2x −2x 2=2py ，整理得x 2−4px +4p =0，设M 1(x 1, y 1)，M 2(x 2, y 2)， 则{△=16p 2−16p >0x 1+x 2=4px 1⋅x 2=4p， ∵ 直线y =p2平分∠M 1FM 2，∴ k M 1F +k M 2F =0， ∴y 1−p 2x 1+y 2−p 2x 2=0，即2x 1−2−p 2x 1+2x 2−2−p 2x 2=0，整理得：4−(2+p2)⋅x 1+x 2⋅=0，则4−(2+p 2)⋅4p 4p=0，解得p =4，满足△>0，∴ p =4．（II ） 由（1）知抛物线方程为x 2=8y ， 且{x 1+x 2=16x 1x 2=16，M 1(x 1,x 128)，M 2(x 2,x 228)，设M 3(x 3,x 328)，A(t, 2)，B(a, 2)， 由A 、M 2、M 3三点共线得k M 2M 3=k AM 2，∴ x 228−x 328x2−x 3=x 2+x 38=x 228−2x2−t，即：x 22+x 2x 3−t(x 2+x 3)=x 22−16， 整理得：x 2x 3−t(x 2+x 3)=−16 ①由B 、M 3、M 1三点共线得k M 1M 3=k BM 1， ∴ x 128−x 328x1−x 3=x 1+x 38=x 128−2x1−a，即x 12+x 1x 3−a(x 1+x 3)=x 12−16x 1x 3−a(x 1+x 3)=−16 ②②式两边同乘x 2得：x 1x 2x 3−a(x 1x 2+x 2x 3)=−16x 2， 即：16x 3−a(16+x 2x 3)=−16x 2③由①得：x 2x 3=t(x 2+x 3)−16，代入③得：16x 3−16a −ta(x 2+x 3)+16a =−16x 2， 即：16(x 2+x 3)=at(x 2+x 3)，∴ at =16． ∴ OA →⋅OB →=at +4=20．22. 解：（1）∵ a ≠0，a +b =0，∴ b =−a ，则f(x)=ax 3−ax ， ∴ f ′(x)=3ax 2−a ，设切点T(x 0, y 0)，则f ′(x 0)=k PT ，即：切线方程为y −y 0=(3ax 02−a)(x −x 0)，又∵ 切线过点P(−1, 0)，∴ −(ax 03−ax 0)=(3ax 02−a)(−1−x 0)，解得：x 0=−1或x 0=12．当x 0=−1时，f ′(x 0)=2a ，切线方程为y =2ax +2a ， 当x 0=12时，f′(x 0)=−14a ，切线方程为y =−14ax −14a ．（2） ①当a =0，b >0时，f(x)=bx 在[0, 1]上递增，∴ b ≤1． ②当a <0，b >0时，令f ′(x)=3ax 2+b =0，得x =±√−b 3a，f(x)在[0, √−b 3a]上递增，（1） 若√−b3a ≥1时，f(x)在[0, 1]上递增， ∵ f(0)=0，∴ {−b3a ≥1a +b ≤1a <0,b >0，即：{3a +b ≥0a +b ≤1a <0,b >0，由线性规划知：b ≤32．（2） 若√−b 3a <1时，f(x)在[0, √−b 3a]上递增，在[√−b 3a, 1]上递减，又f(0)=0，由题意得：{−b3a <1f(√−b 3a )≤1a +b ≥0，由f(√−b3a )≤1得，a ⋅(−b3a )⋅√−b3a +b ⋅√−b3a ≤1， 即：23b ⋅√−b 3a ≤1，得4b 3≤−27a ． 又a +b ≥0，∴ a ≥−b ， ∴ 4b 3≤27b ，得0<b ≤32√3． 当b =32√3时，a =−b =−3√32，满足−b3a <1．综上所述：b的最大值为3√3．2。