探求正四面体外接球、内切球半径求法知识讲解

探求正四面体外接球、内切球半径求法
探求正四面体外接球、内切球半径
正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边
三角形，有外接球、内切球，且球心重合•
已知正四面体ABCD麦长为a，设外接球半径为R，内切球半径为r，球心为
0，则正四面体的咼h是* a，外接球半径是■ a即R h ；内切球
3 4 4
半径是16 a即r 1h .外接球半径是内切球半径的3倍.下面从不同角度、用
12 4
不同方法进行探求：
方法一：(勾股定理)
作AH 平面BCDf H点，则点H是V BCD勺中心，
高h AH —a，设0为球心，则O AH连结BH BO
3
在Rt V BOH中, BO2 BH2 OH2，
即R2( -a)2(f a R)2，
3 3
R 迈a,r h R丄a丄a 丄a.
4 3 4 12
方法二：(三角正切倍角公式)
作AH 平面BCDf H点，则点H是V BCD勺中心，
高h AH —a，设O为球心，则O AH连结BH, BO
3
Q AO BO
ABO BAO= BOH 2
J J
在Rt V ABH中，tan BH T a.2
AH 飞—T
a
3
在Rt V OBH中, tan 2
BH V a、3a
OH r 3r
Q tan 2 2 tan tan 2
,3a
~zT
2 2,
6 72" a,
6 —a 12
作AH 平面BCDf H点，则点H是V BCD勺中心，
高h AH 纬，设0
为球心，则。

AH连结
BOCODO
方法三：（分割等体积）
得到四个以O为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是内切球的半径r，设正四面体每个面的面积为S，
则Z O BCD V A BCD,即4
拖1 严,
1… 1 .6
r AH h a,
4 4 12
& -.6
R h r a a a.
3 12 4
方法四：（侧棱、高相似或三角）
作AH 平面BCDf H点，则点H是V BCD勺中心,
V AMO :
V AHB,
AM AO
AH AB 在 Rt V ABH 中，cos AH
AB
在 Rt V AMOK cos 高h AH -I a ，设O 为球心，则O AH 3
设M 是AB 的中点，连结OMOBBH,
Q AO BO OM AB
AMO AHB Rt , 又 MAO HAB ,
2
-la 3 12
或：设 BAH MAO ，贝U
a
AM 2
AO R
.6
—a 3
a
方法五：（斜高、高相似或三角）
作AH 平面BCDT H 点，则点H 是V BCD 勺中心，
高h AH -ia ，设O 为球心，贝U O AH 3
设E 为BC 中点，连结AEEH ，
作ON AE 于 N 点，则N 是V ABC 中心，N 是AE 的三等分点,
ON 平面ABC or是内切圆半径r,且Rt V ANO: Rt V AEH
AN AO 即3-
AH AE ， R 3 a 2
3 4 12
在 Rt V AEH 中，cos AH
AE
在 Rt V ANO 中，cos AN
A
O fa 以下同上.
方法六：（斜高、侧棱相似或三角）
作AH 平面BCDT H 点，则点H 是V BCD 勺中
心,
高h AH 6
a ，设O 为球心，贝U O AH
3 设E 为BC 中点，连结AEDEDO ，延长DO 交AE 于N ，
则N 是AE 的三等分点，H DE 且DN 平面ABC
则 Rt V ODH : Rt V DNE
N E DE 刚 OH NE 1 r 1
即 = —— R 3r
OD DE 3， R 3， 又R r
AH h .6 a, 3
，则
2
◎a
3
2
r4h存，R3h
4
或：在Rt V DNEK sin NDE
NE 1 DE 3
在Rt V DOH中, sin NDE sin
ODH OH,
OH
OD
3r.
AH h
◎a,
12
方法七: （构造正方体）
正四面体的四个顶点是正方体的顶点，此时正四面体的
外接球也是正方体的外接球，正四面体的棱长为则正方体的棱长为a.正方体的体对角线等于外接球直径，有
R T a,r h R T a空a 空a.
4 12
方法八：（相交弦定理）
设外接球球心为0，半径为R，过A点作球的直径,
交底面V BCD于H，贝U H为V BCD的外心，
求得
6 3
A H訂BH亍，由相交弦定理得
3 a) (T a)2
解得R 孚a.
4
r h R 迈a 迈a -la.
3 4 12
以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的•。