概率论课后习题答案

习题1解答

1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：

（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；

（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；

（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；

（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.

解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为

{|0,1,2,,100}i i n n Ω==.

（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为

{10|0,1,2,}k k Ω=+=，

或写成{10,11,12,}.Ω=

（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为

{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.

（3）取直角坐标系，则有22{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，

则有

{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.

2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件.

(1) A 发生而B 与C 不发生；

(2) A 、B 、C 中恰好发生一个；

(3) A 、B 、C 中至少有一个发生；

(4) A 、B 、C 中恰好有两个发生；

(5) A 、B 、C 中至少有两个发生；

(6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.

解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -； (2)ABC ABC ABC ；

(3)A B C 或

ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ；(4)ABC

ABC ABC . (5)AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ； (6)ABC ABC ABC

ABC . 3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：

(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B .

解：（1）{|0.81}AB x x =<≤；

（2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；

（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或；

（4）{|00.5 1.62}A B x x x =≤<<≤或.

4. 一个样本空间有三个样本点， 其对应的概率分别为22,,41p p p -， 求p 的值.

解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以

2241 1.p p p ++-=

解之得1233p p =-=-，又因为一个事件的概率总是大于0，

所以3p =-

5. 已知()P A =，()P B =，()P A B =，求(1)()P AB ；(2)()P A B -； (3)()P AB .

解：(1)由()()()()P A B P A P B P AB =+-得

()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.

(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P A B =-=-=-=

6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B .

解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P A B P A P B P AB =-=-=--+得 ()()1P A P B +=，从而()1.P B p =-

7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C .

解：

()

()()()()()()()

0.40.50.600.20.40

0.9.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=

8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率.

解：依题意可知，基本事件总数为34个.

以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个

杯子最多放一个球，共有34A 种方法，故

34136().416

A P A == 2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个

放入其余3个杯子中，放法总数为21134

3C C C 种，故 211343239().416

C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有14C 种放法，故

14331().416

C P A == 9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少 解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为

4987487987411098790

P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)