二面角的基本求法例题及练习
C1
C
C1
C
B
一、平面与平面的垂直关系
1.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
例1.在空间四边形ABCD 中,AB=CB ,AD=CD ,E 、F 、G 分别是AD 、DC 、CA 的中点。 求证:BEF BDG ^平面平面。
例2.AB BCD BC CD ^=平面,,90BCD °?,E 、F 分别是AC 、AD 的中点。
求证:BEF ABC ^平面平面 。
2.性质定理:若两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于它们交
线的直线垂直于另一个平面。 例3.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.。
二、二面角的基本求法
1.定义法:在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, 求(1)二面角11A B C A --的大小;
(2)平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。
练习:过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面,设PA=AB=a 求二面角B PC D --的大小。
2.三垂线法
例5.ABCD ABEF ABCD ^平面平面,是正方形,ABEF AF=
1
2
AD=a ,G 是EF 的中点,
C
C
(1)求证:AGC BGC ^平面平面; (2)求GB 与平面AGC 所成角的正弦值; (3)求二面角B AC G --的大小。
例6.点P 在平面ABC 外,ABC V 是等腰直角三角形,90ABC °?,PAB V 是
正三角形,PA BC ^。
(1)求证:^平面PA B 平面A B C ; (2)求二面角P AC B --的大小。
练习:正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 是AD 的中点,求二面角
1A BD P --的大小。
B1
A
3.垂面法
例7.SA ABC AB BC SA AB BC ^^==平面,,, (1)求证:SB BC ^;
(2)求二面角C SA B --的大小;
(3)求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。
4.无棱二面角的处理方法 (1)找棱
例8.过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面,设PA=AB=a 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。
(2)射影面积法(cos
s
S
q=射影)
例9.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,P是棱
1
AA的中点,
求平面
11
PB C与平面ABCD所成二面角的大小。