数值分析求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法

实验报告一:实验题目

一、 实验目的

掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法,并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。 二、 实验内容

1、编写二分法、牛顿迭代法程序,并使用这两个程序计算02)(=-+=x

e x x

f 在[0, 1]区间的解，要求误差小于 4

10- ,比较两种方法收敛速度。

２、在利率问题中,若贷款额为２０万元，月还款额为2160元,还期为10年，则年利率为多少?请使用牛顿迭代法求解。

３、由中子迁移理论,燃料棒的临界长度为下面方程的根,用牛顿迭

代法求这个方程的最小正根。

4、用牛顿法求方程

的根，精确至8位有效数字。比较

牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。

三、 实验程序

第1题:

02)(=-+=x

e x x

f 区间[0，1] 函数画图可得函数零点约为0.５。

画图函数：

f ｕn ｃti ｏｎ Te ｓｔ1(）

% f(x ） 示意图, ｆ(x) ＝ x + exp （x) - 2; ｆ(x) ＝ 0 r = 0:0.０１:１; y = r + e ｘp(r) - ２ p ｌot(r, y); gri ｄ ｏn

二分法程序：

计算调用函数：[c,n ｕm ］＝bisec ｔ(０，1,１e-４）

fu ｎｃｔi ｏn [ｃ,ｎｕm ］=ｂisect （a,b,de ｌt ａ) %Ｉｎp ｕt –ａ,b 是取值区间范围 ％ -de ｌta 是允许误差

%O ｕtput －ｃ牛顿迭代法最后计算所得零点值 % －num 是迭代次数 ya = a + ｅｘｐ(ａ) - 2; ｙｂ = b + e ｘp(b) - 2;

if ya* yb>0

reｔurn;

enｄ

ｆor k＝1:100

ｃ=(a+b)/2；

yc=c＋exp(c)－ 2；

if aｂs（yｃ）<＝ｄｅlｔａ

a=c;

ｂ=c;

ｅlsｅif yb＊ｙc>0

b=c;

yb=yｃ;

elｓe

a=c;

ya=yc;

eｎd

ｉf aｂs(ｂ-a）＜ｄelta

nｕm=k; %nuｍ为迭代次数

ｂreａk;

eｎd

ｅnd

c=(a+ｂ)/２;

ｅrr=aｂs（b-ａ);

ｙc =ｃ + exｐ(c） - 2;

牛顿迭代法程序：

计算调用函数:［ｃ，nｕｍ]=ｎewｔon(@fuｎc1,０．5,１e-4）调用函数:

function [y］ =fｕｎc1(x)

y = ｘ + ｅxｐ(ｘ) -2;

end

迭代算法：

funcｔioｎ［ｃ,num］=newton(func,ｐ0,deｌｔa）

%Ｉｎpｕt －func是运算公式

% -p0是零点值

% －delta是允许误差

%Ｏutpｕt -c牛顿迭代法最后计算所得零点值

% -num是迭代次数

num=-1；

fｏr k=1:1000

y０=fｕｎc（p0)；

ｄy0=diff(funｃ（[p0p０＋１e-8］))/１e-8;

p1=p０-y0／ｄy0;

eｒｒ=ａbs(p1-p0);

p０＝p１;

if(ｅrr<ｄｅlta)

num=k;%num为迭代次数

breaｋ;

eｎｄ

enｄ

ｃ＝p０;

第2题:

由题意得到算式：

计算调用函数:[c,ｎum]=newton(＠func２,０．02,1ｅ-8)

程序：先用画图法估计出大概零点位置在0.02附近。

画图程序：

ｆuｎcｔiｏn Tｅｓt2（)

% f(x）示意图， f(x） =２０00００*(1＋x）.^１0-21６0*12*10;ｆ(x) = ０ｒ =liｎsｐace(０，0.０6, 100);

y =２０00０0*(１+r）.＾1０-2１60*１２＊10;

plot(r，y）;

grid on

调用函数：

ｆunction[ｙ］=fuｎc2(r）

y=200０00*(1+r)．＾１0-21６０*１2*1０;

enｄ

牛顿迭代法算法程序：

fuｎctｉon [c，ｎum] ＝newtｏn（fuｎｃ,p0,ｄeｌta)

%Inpｕt-func是运算公式

% －p0是零点值

% －dｅlta是允许误差

％Output －c牛顿迭代法最后计算所得零点值

% -num是迭代次数

num＝－1;

forｋ＝1:100０

y０=fuｎc(p0)；

ｄｙ0＝diｆf(ｆuｎc(［p０ p0＋1e-8])）／１e－８;

p1=p0－y０/dy0;

err=aｂｓ（p1-p0);

ｐ0=p1;

ｉf(err＜delta)

nuｍ=k;

ｂrｅak；

eｎｄ

enｄ

ｃ＝p0;

第3题：求最小正数解

计算调用函数：[c,num]=ｎewtoｎ（@fｕnc３, 1 ,１e-8)

程序:先用画图法估计出最小正解位置在1到2之间

画图程序：

funcｔｉon Tｅst3()

% f(x）示意图， f(x） = ｃot(ｘ)-(x.^2-１）.／（2.*x); ｆ（x) = 0 ezｐlot('cｏt(x)-(x．^2-1)./(２.*x)'，[-6,６]);

ｇrid on

调用函数：

functiｏn［y]=ｆunc3（x）

y=cｏt(x)-（x.^2-1)./(2.*x);

eｎd

牛顿迭代法算法程序：

ｆｕnctiｏn[c，num] =ｎｅwton(ｆunc,p0,delｔａ）

％Input -fuｎｃ是运算公式

％ -p0是零点值

％ -dｅlta是允许误差

%Oｕtput -c牛顿迭代法最后计算所得零点值

% -num是迭代次数

num=-1;

for k=1:1０00

y0＝fuｎc(p0);

dy0＝dｉｆf(fｕnc([p０ｐ0+１e-8]）)/1e-8;

ｐ1=p0－y０/dy0;

err=aｂs(p1-p０)；

p0=p１;

ｉf(eｒｒ<ｄeltａ)

num=ｋ；

break;

end

end

ｃ=p0;

第4题：精确至８位有效数字

根据画图图像可得函数有一个重根在区间[1,3]和另一个根在区间[6,8]。

计算调用函数:重根:[c,num]=newton(@ｆunc4， 1 ,1ｅ-８)

另外的单根：[c，num]=nｅwton(＠fuｎｃ4，6,1e-８) 画图程序:

fuｎcｔion Test4()

％ f(x）示意图,f(x) = x.^3－11.＊x．^2+32.*x-28; ｆ（ｘ) = 0

r ＝0:0.01:８;

ｙ = r.^3－11.*r.^２+32.*r-28;

plｏt（ｒ,y）;

griｄｏn

调用函数：

fuｎcｔion fuｎc4(x)

ｙ=ｘ.^3-11.＊x.^2+32．＊x-28;

end

牛顿迭代法算法程序:

functｉoｎ[c,ｎum]＝newton（func,p０,deｌｔa)

%Ｉｎput -fuｎc是运算公式

% -p0是零点值

% -dｅｌtａ是允许误差

%Ｏuｔｐut －c牛顿迭代法最后计算所得零点值

％ -ｎuｍ是迭代次数

ｎum=－1；

ｆorｋ=1:1０0

ｙ０＝fｕｎc(p0);

ｄｙ０＝ｄifｆ(ｆunｃ([ｐ０ p0＋１e－8］))／1e-8;

if(dy０=＝0)

c= ｖpa(p0,8);

nｕm=k;

break；

else

ｐ1＝p0-y0/ｄy０;

eｒr=abs(p1－ｐ0);

p0=p1；

if(ｅrr＜delta)

num＝k；

break；

enｄ

ｅnd

end

c＝ vpa(p0,8)；

改进的牛顿算法程序：

funcｔion［c，nｕm]=nｅwtｏn(funｃ,ｐ0,ｄeｌｔa)

％Input -funｃ是运算公式

% -p０是零点值

％ -ｄelta是允许误差

%Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值

% -nuｍ是迭代次数

nｕm=-1;

for k＝１：１０0

y０＝func(p0);

dy０=dｉｆf(fｕnc(［p０ p０+1e-8]))/1e-8;

if（dy０==0)

c= vpa(p０,8);

nｕm=k;

break;

eｌse

p1=p0－2*y0/dy0;%根据重根计算时,改进Nｅwton法的收敛速度，可以采用在迭代函数中乘上重根数的方法进行改善。

eｒr=ａｂｓ（ｐ1-p0);

p０=p1;

if(ｅrr<ｄelｔa)

num=k;

bｒeａｋ;

ｅnd

end

end

c=vpa(p0,8）；

四、实验结果分析

第1题:

根据图片可以看出函数零点的值在0.４与0.5之间，牛顿迭代法时取0.5作为迭代初值。

第2题：

根据图片可以看出函数零点的值在0.0２与０．０3之间,可采用0.0２作为迭代初值。

第3题:

根据图片可以看出函数最小正数零点的值在1与2之间，在使用牛顿迭代法时可以采用1为迭代初值。

第4题：

根据图片可以看出函数重根为2，另一单根为７。在使用迭代法时刻采用１和６为初值进行计算。

五、实验结论

通过实验结果可以看出，二分法,简单迭代法和牛顿迭代法三种算法中,牛顿迭代法在选取适合值进行代入的情况下能得到较好的收敛效果。

第1题:

二分法实验结果： c =0．４４29,nｕm =１１

牛顿迭代法实验结果: c =0.4４29,ｎum =3

根据结果可以看出两者计算结果相同，牛顿迭代法迭代次数为３，二分法的迭代次数为11，比较而言迭代次数牛顿迭代法比二分法小得多。

第2题实验结果：零点c = 0.0263,ｎum = ４

通过画图后能对计算结果有一个较好的估计，从而在最后获得结果，并且迭代次数也较少。

第３题实验结果：零点c＝ 1.３065,nuｍ=5。

cｏt(x)函数在处无限值,画图时注意使用符号函数ｅzplot。以1为代入点,最后迭代

次数为5。

第4题实验结果:

利用牛顿迭代法计算得到：

重根：c ＝２.0０0０００00，ｎum ＝25;

另一单根:c =7.000000０0，nｕｍ＝7;

改进后牛顿迭代法重根计算结果：ｃ=2．０00000００，num =5；

从结果中可以看出牛顿迭代法在计算单根时比计算重根时的收敛速度快很多，针对重根的计算，改进后牛顿迭代法大大减小了迭代的次数，提高了收敛速度。