指数及指数函数(最新编写)

对数运算和对数函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果a x n

=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N

*．负数没有偶次方根；0

的任何次方根都是

记作00=n 。当n 是奇数时，a a n

n

=，当n 是偶数时，⎩⎨

⎧<≥-==)

0()

0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：)

1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m )

1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）； （2）；（3）

(0,,)r s r s a a a

a r s Q +=>∈()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈．()(0,0,)r r r a

b a b a b r Q =>>∈（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x

且叫做指数函数，其中是自变量，

x 函数的定义域为．

R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在上，(且）值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；],[b a x

a x f =)(0>a 1≠a （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x

≠>=且，总有a )1(f =；一、化解

（）

(2).

⎝⎭

0,0a b >>1

ab -0121

32)32()25(10)002.0()8

27(-+--+----

679

1-

二、比较大小1、； 2 ；3 ； 4 ；

2.5

31.7______1.70.10.20.8______1.25-331.7______1.8220.7______0.8--5 ；

0.3

3.11.7

______0.96设，则的大小关系是，52

53

52

)5

2

(,)52(,)53(===c b a c b a ,,c

b a >>三、解指数方程

1 方程的解是_________。96370x

x

-⋅-=3log 7x =2 方程的根是 。

192327x x ---⋅=四、方程恒过定点1已知函数的图像恒过定点，则点的坐标是（ ）

()1

4x f x a -=+P P ()1,52已知函数的图像恒过定点，则点的坐标是（ ）

3)(1-=-x

a

x f P P )2,1(-五、指数函数的单调性问题

1指数函数是减函数，则实数的取值范围是

.

x

a x f )1()(2

-=a 2已知是上的增函数，那么的取值范围是 .

()()3 1log 1a a x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩，，()-∞+∞，a 3 32⎡⎫

⎪⎢⎣

⎭，六、指数函数的图像

1若1,1a b ><-则函数x

y a b =+的图象必不经过（ B ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2已知函数，若的图象如图所示，则函数的图象是（ ）

))()(()(b a b

x a x x f >--=)(x f b a x g x

+=)(七、指数函数中的值域问题

1函数的值域是_____．121

+=

x y 2函数的值域是

( )

122

)2

1(-+=x x y ]4,0(八、指数函数中的底数问题

1若指数函数在上的最大值与最小值的差是，则底数x

a y =]1,1[-a 3=

a 2

12函数（且）在区间上的最大值为14，的值是

221x

x y a

a =+-0>a 1≠a ]1,1[-a 331==a a 或九、指数函数中的绝对值问题

1 指数函数，若有且只有两实数根，则实数的取值范围42)(-=x

x f m x f =)(m 2若关于的方程有实根，则实数的取值范围是________。

x m x x =⋅-+-+-|1||1|5425

m 4-≥m 十、指数函数的综合问题

1已知当其值域为时，求的取值范围。 ,3234+⋅-=x

x

y [1,7]x ]2,1[]0,( -∞2已知，求函数的最大值和最小值。

093109≤+⋅-x x

2)2

1

(4)

4

1

(1

+-=-x x y 习题1

等于 A.－

B.－

C.

D.

63

a a -⋅a -a a -a

2化简的结果是( )

x

x 3

-x --3 计算：

-1549)13(2

51

0----+4 计算： ab b a b a b a 21332

121231

)4()3()65(-

---⋅÷-⋅12

35()6

a -

b 45-

5

3

3

)21(a a

b -a 6计算： ；

12112

13

32

···a b a b ---⎛⎫7计算：2

1

3

32121231)4()3(6

5----⋅÷⋅-⋅⋅b a b a b a 8 计算：110

32

6

3441

031)3

2()32(28)67()23(--⋅+⋅+-⋅-9 计算：

=4

3

5

35

2

3

a b b a ⋅

4a

a