七年级数学全等三角形
八年级培优班数学全等三角形复习题
1．如图1，已知在等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于P ，则∠APE 的度数是 。
图1
图2
B
A
图
3
2．如图2，点E 在AB 上，AC ＝AD ，BC ＝BD ，图中有 对全等三角形。
3．如图3，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝60°，∠C ＝25°，则∠BED 等于 度。 4．如图4所示的2×2方格中，连接AB 、AC ，则∠1＋∠2＝ 度。
图4
C
B A
图5
A
B
D
图6
C
5．如图5，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。（ ）①AE ＝AD ； ②AB ＝AC ； ③OB ＝OC ； ④∠B ＝∠C 。 6．如图6，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝2
1
AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。
（1）求证：DF ＝BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG ＝DG 。
7．如图7，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB ＞AD ，下列结论正确的是（ ） －AD ＞CB －CD B. AB －AD ＝CB －CD
－AD ＜CB －CD －AD 与CB －CD 的大小关系不确定
图7
B
D
图9
A
B
图10
B
8．如图9，在△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB ＝80°，O 为△ABC 中一点，
∠OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，则线段AO 的长是 。
9．如图10，已知BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB 。 求证：（1）AP ＝AQ ；（2）AP ⊥AQ 。
11．如图11，在△ABC 中，∠C ＝60°，AC ＞BC ，又△ABC ′、△BCA ′、△CAB ′都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC ＝DC 。 （1）证明：△C ′BD ≌△B ′DC ； （2）证明：△AC ′D ≌△DB ′A ；
图
11
a a
c
丙?72?
50 乙
?
50甲a
?
507250???58c a
C
B A
12．如图12，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，若△ADB ≌EDB ≌EDC ，则∠C 的度数为 。
图12
C
B
13．如图13，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是 。
14．如图14，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于H 点，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH ≌△CEB 。
图14
图15
图16
C
15．如图15，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，要使AD ＝AE ，需要添加的一个条件是 。
16．有一腰长为5㎝，底边长为4㎝的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 个不同的四边形。
17．如图16，△ABF 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的， 若∠1：∠2：∠3＝28 ：5 ：3，则∠α的度数为 。
18．如图17，已知CE ⊥AD 于E ，BF ⊥
AD 于F ，你能说明△BDF 和△CDE 全等吗？若能，请你说明理由；若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是 ，来说明这两个三角形全等，并写出证明过程。
图17
B
C
19．如图19，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G 。试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明。
20．如图20，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，有下面四个论断：①AD ＝CB ；②AE ＝CF ；③∠B ＝∠D ；④AD ∥BC 。请用其中有一个作为条件，余下的一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。
21．如图21－①，小明剪了一个等腰梯形ABCD ，其中AD ∥BC ，AB ＝DC ；又剪了一个等边△EFG ，同桌的小华拿过来拼成如图②的形状，她发现AD 与FG 恰好完全重合，于是她用透明胶带将梯形ABCD 与△EFG 粘在一起，并沿EB 、EC 剪下。小华得到的△EBC 是什么三角形？请你作出判断并说明理由。
图19
G
E
图20
A
C
图21
②
①
F
D (G )
A (F )
22．如图22，在△ABC 与△DEF 中，给出以下六个条件：①AB ＝DE ；②BC ＝EF ；③AC ＝DF ；④∠A ＝∠D ；⑤∠B ＝∠F ；⑥∠A ＝∠D ，以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC 与△DEF 全等的是（ ） A.①⑤② B.①②③ C.④⑥① D.②③④
23．如图23（1），在△ABC 中，D 、E
分别是
AB 、AC 的中点，将△ADE 沿线段DE 向下折叠，得到图23（2），下列关于图23（2）的四个结论中，不一定成立的是（ ）
A.点A 落在BC 边的中点
B.∠B ＋∠1＋∠C ＝180° C ．△DBA 是等腰三角 ∥BC
24．如图24，已知MB ＝ND ，∠MBA ＝∠NDC ，下列不能判定△ABM ≌△CDN 的条件是（ ）
A.∠M ＝∠N ＝CD ＝CN ∥CN
25．如图25，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，BD ＝BE 。
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA ≌△BDC ，并给出证明，你添加的条件是： 。并给出证明。
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： （只要求写出
图22
F
E
B
图23
(2)
(1)
B
B
图24
D A
图25
B
C
一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）。 26．如图26，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AD ⊥BC 于D 点，E 在AD 上，且DE ＝CD ， 求证：BE ＝AC 。
27．已知：如图27，给出下列三个式子：①EC ＝BD ；②∠BDA ＝∠CEA ；③AB ＝AC ；请将其中的两个式子作为题设，一个式子作为结论，构成一个真命题（形式：如果……，那么……），并给出证明。
28．如图28，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知∠ADC ＝∠BCD ，AD ＝BC ，求证：AO ＝BO 。
图26
B
图
27
B
图
28
D
C
29．如图29，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下一个作为结论，写一个真命题，并加以证明。 ①AB ＝DE ；②AC ＝DF ；③∠ABC ＝∠DEF ；④BE ＝CF 。
30．如图30，已知△ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且△DEF 也是等边三角形。
（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的； （2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化想到得到？写出变化过程。
31．如图31，点B 在AE 上，∠CAB ＝∠DAB ，要使△ABC ≌△ABD ，可补充的一个条件是： （写一个即可）。并给出证明。
图29
F
B 图30
B C
图31
A
E
C
B
32．如图32，AC 交BD 于点O ，请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个为结论，写出一个真命题，并加以证明。 ①OA ＝OC ；②OB ＝OD ；③AB ∥DC 。
33．如图33，要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A 、B 两点间的距离。请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案。 （1）画出测量图案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）； （3）设计AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）。
34．如图34，在△ABC 中，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，AE ＝CE ，AB 与CF 有什么位置关系？证明你的
图34
D E
B
图32
O
A
B
结论。
35．如图35，OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线，OA ＝OC ，OB ＝OD 。求证：AB ＝CD 。
36．如图36，已知AB ＝AC ，（1）若CE ＝BD ，求证：GE ＝GD ；
（2）若DE ＝mBD （m 为正数），试猜想GE 与GD 有何关系。（只写结论，不证明）
37．复习“全等三角形”知识时，都是布置了一道作业题：
“如图37（1），已知在△ABC 中，AB ＝AC ，P 是△ABC 内任意一点，将AP 绕点A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP ＝∠BAC ，连接BQ 、CP ，则BQ ＝CP 。”
图35
C
A
B
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过图（2）的分析，证明了△ABQ ≌△ACP ，从而证得BQ ＝CP ，之后，他将点P 移到等腰三角形ABC 之外，原题中其他条件不变，发现“BQ ＝CP ”仍然成立，请你就图（2）给出证明。
38．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”“求证”（如图38），她们对各自所作的辅助线描述如下：
文文：“过点A 作BC 的中垂线AD ，垂足为D ”；彬彬：“作△ABC 的角平分线AD ”。 数学老师看了两位同学的辅助线作法后说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正。”
（1） 请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里； （2） 根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程。
39．将两块全等的含30°角的三角尺如图39（1）摆放在一起，它们的较短直角边长为3。
图37
(2)
(1)
Q
B
E
图39
(4)
(3)
(2)
(1)
l
l
（1）将△ECD 沿直线l 向左平移到图（2）的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′＝ ； （2）将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图（3）的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点C 旋转的度数＝ ；
（3）将△ECD 沿直线翻折到图（4）的位置，ED ′与AB 相交于F ，求证：AF ＝FD ′。
40．已知：点O 至△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且OB ＝OC 。 （1）如图
40（1）
，若点O 在边BC 上，求证：AB ＝AC ； （2）如图（2），若点O 在△ABC 的内部，求证：AB ＝AC ； （3）若点O 在△ABC 的外部，AB ＝AC 成立吗？请画图表示。
图40
(2)
(1)
B
B
41．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ） A.两个锐角相等 B.两条边对应相等 C.一条边与一个锐角对应相等 D.斜边与一个锐角对应相等
42．如图43，AD 是△ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ⊥DF ，则（ ） ＋CF ＞EF ＋CF ＝EF
＋CF ＜EF ＋CF 与EF 的大小关系不确定
图43
B
图44
A
图45
B
43．如图44，在△ABC 中，E 、D 分别是边AB 、AC 上的点，BD 、CE 交于F ，AF 的延长线交BC 于H 点，若∠1＝∠2，AE ＝AD ，则图中的全等三角形共有（ ）对。
44．如图45，将△ABC 绕着C 点按顺时针方向旋转20°，B 点落在B ′点位置，A 点落在A ′点位置，若AC ⊥A ′B ′，则∠BAC ＝ 。
45．如图46，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4。将矩形ABCD 沿AC 折叠，则重叠部分△AFC 的面积为 。
图
46
D
图47
A
B
图48
B C
46．如图47，设正△ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上的任意一
点，PA ＋PM 的最大值和最小值分别记为s 和t ，则s 2－t 2＝ 。
47．如图48，D 为等边△ABC 内一点，DB ＝DA ，BF ＝AB ，∠DBF ＝∠DBC ，则 ∠BFD 的度数为 °。
48．如图49，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、A ′C ′B ′的角平分线，且CD ＝C ′D ′，AB ＝A ′B ′，∠ADC ＝∠A ′D ′C ′。你能判断△ABC 与△A ′B ′C ′全等吗？如果能，请给出证明；如果不能，请说明理由。
图
49
B
C C'
B'
49．如图50，△ABC是正三角形，△A1B1C1的三条边A1B1、B1C1、C1A1交△ABC各边于C2、C3、A2、A3、B2、B3，已知A2C3＝C2B3＝B2A3，且C2C32＋B2B32＝A2A32，请你证明：A1B1⊥C1A1。
50．如图51，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFE的度数。图50
B1
图51
51．如图52，已知AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，∠ABC ＝∠AED ＝90°，求五边形ABCDE 的面积。
52．如图53，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠BAC ，交CD 于K ，交BC 于E ，F 是BE 上的一点，且BF ＝CE 。求证：FK ∥AB 。
图
53
F
E
C
A
55．如图55，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD 、△ACE 、△BCF 都是等边三角形，则四边形AEFD 的面积为 。
图55
E
F
D
A
C
B
56．如图56，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，∠MDN ＝60°，则△AMN 的周长＝ 。
57．如图57，已知四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°，求证：BC ＋DC ＝AC 。
58．如图58，ABCDEF 为一正六边形，问：风筝形ABCE 的面积是正六边形面积的几分这几？
图57
C
B'
A
B
图58
F C
59．如图59，△ABC 中阴影面积占总面积的分数是多少？
图59
C A B
60．如图60，一个等腰直角三角形XYZ 外接于正方形PQRS 。三角形XYZ 的面积是x 。请问：正方形PQRS 的面积是多少？
图60
Y
61．如图61，三个正六边形大小相同。X 、Y 、Z 表示六边形中阴影部分的面积。下面哪一个说法正确？（ ）
A 、.X 等于Y ，但不等于Z B.、X 等于Z ，但不等于Y
C.、Y 等于Z ，但不等于X D 、.X 等于Y ，也等于Z E 、X 、Y 、Z 不相同
图61
Z
Y
X
图63
63．如图63，外面的等边三角形面积为1，A 、B 、C 三点位于三条边的4
1
位置上。请问等边△ABC 的面积是多少？
49、提示：如图过A 3作A 3M ∥C 1A 1，过B 3作B 3M ∥AB 。连结C 2M 、A 2M 。 △MB 3C 2为正三角形。四边形MC 2C 3A 2是平行四边形 有MA 22＋A 3M 2＝A 2A 32； A 3M ⊥A 2M ； A 1B 1⊥C 1A 1。
图50
50、提示：连结AE 、BD
△ABE ≌△FCA
△ABD ≌△CFB
图52
F
△AEF；△BDF都等腰直角三角形。
51、提示：旋转△AED至△ABF处。△ACF≌△ACD
52、提示：过E作EG⊥AB于G。
△CKF≌△EGB ∠CFK＝∠B
F E