5.(2019·山东博兴一中高二调考)完成下列题目。
(1)若对于x ∈R,mx 2
-mx -1<0恒成立,求实数m 的取值范围;
答案：要使mx 2
-mx -1<0恒成立,若m =0,显然-1<0,满足题意;若m ≠0,则{m <0,Δ=m 2+4m <0⇒
-4(2)若对于x ∈[1,3],mx 2
-mx -1<5-m 恒成立,求实数m 的取值范围。
答案：当x ∈[1,3]时,mx 2
-mx -1<5-m 恒成立,
即当x ∈[1,3]时,m (x 2
-x +1)-6<0恒成立, ∵x 2-x +1=(x -12)2+3
4>0, 又m (x 2-x +1)-6<0,∴m <6
(x -12)2+
3
4
。
∵函数y =
6
(x -12)2+
34
在[1,3]上的最小值为6
7,
∴只需m <6
7即可。
综上所述,m 的取值范围是(-∞,6
7)。 专题2均值不等式有关的恒成立问题
6.(2019·北京工大附中高二月考)已知两个正实数x,y满足2
x +1
y
=1,且恒有x+2y>m,则实数m
的取值范围是。答案：(-∞,8)
解析：∵x>0,y>0,2
x +1
y
=1,∴x+2y=(x+2y)(2
x
+1
y
)=2+2+4y
x
+x
y
≥4+2√4y
x
·x
y
=8,(当且仅当
x=4,y=2时,取等号)。x+2y>m恒成立等价于8>m,故答案为(-∞,8)。
7.(2019·大连第二十四中学高二月考)已知a,b∈R*,a+b=1,若4
a +1
b
≥k恒成立,求k的最大值。
答案：解:已知a,b∈R*,且a+b=1,则4
a +1
b
=(4
a
+1
b
)(a+b)=5+4b
a
+a
b
≥5+2√4=9,当且仅当4b
a
=a
b
时等
号成立,又4
a +1
b
≥k恒成立,∴k≤9,即k的最大值为9。
8.(2019·德州第一中学高二月考)若实数x,y满足xy=1,则2x2+y2≥a恒成立,求a的最大值。答案：解:∵xy=1,∴2x2+y2≥2√2x2y2=2√2(当且仅当√2x=y时,取等号),∴a≤2√2,故a的最大值为2√2。
9.已知不等式(x+y)(1
x +a
y
)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值。
答案：解:右边是常数,只需满足左边的最小值≥9即可,(x+y)·(1
x +a
y
)=1+a+y
x
+ax
y
≥
1+a+2√a=(√a+1)2,
∴(√a+1)2≥9⇒√a≥2⇒a≥4,故a的最小值为4。
10.(2019·丹东四中高二段考)已知x>0,y>0,且2
x +1
y
=1,若x+2y>m2+2m恒成立,求实数m的取
值范围。
答案：解:∵x>0,y>0,且2
x +1
y
=1,
∴x+2y=(x+2y)(2
x +1
y
)=4+4y
x
+x
y
≥4+2√4y
x
·x
y
=8。
当且仅当4y
x =x
y
,即x=2y时取等号,
又2
x +1
y
=1,∴x=4,y=2,
∴(x+2y)min=8,要使x+2y>m2+2m恒成立,只需(x+2y)min>m2+2m,即8>m2+2m,解得-4专题3不等式存在解问题
11.(2019·北京朝阳区模拟)关于x的不等式x2+4x+3答案：解:不等式等价于x2+4x+3-a<0有解,则只需Δ=42-4(3-a)>0即可,解得a>-1。故实数a的取值范围为(-1,+∞)。
12.(2019·山东潍坊一中高二期中)若两个正实数x,y满足1
x +4
y
=1,且存在这样的x,y使不等
式x+y
4
答案：解:∵不等式x+y
4
