(安徽专用)高考数学 专题阶段评估模拟卷6 概率与统计 文
专题阶段评估(六) 概率与统计
【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·江西卷)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
A.08 C ．02
D ．01
2．(2013·全国新课标卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.1
2 B.1
3 C.14
D.16
3．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的1
4
，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )
A ．32
B ．0.2
C ．40
D ．0.25
4．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持的两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2
＝7.069，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”( )
附：
C ．99%
D ．99.9%
5．(2013·济南市模拟考试)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数x 甲、x 乙和中位数y 甲、y 乙进行比较，下面结论正确的是( )
A.x 甲＞x 乙，y 甲＞y 乙
B.x 甲＜x 乙，y 甲＜y 乙
C.x 甲＜x 乙，y 甲＞y 乙
D.x 甲＞x 乙，y 甲＜y 乙
6．连续抛掷两枚正方体骰子(它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记所得朝上的面的点数分别为x ，y ，过坐标原点和点P (x ，y )的直线的倾斜角为θ，则θ＞60°的概率为( )
A.14
B.34
C.12
D.16
7．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程y ∧
＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；
③线性回归方程y ∧
＝b ∧
x ＋a ∧
必过(x ，y )；
④在一个2×2列联表中，由计算得K 2
＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．
其中错误的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
本题可以参考独立性检验临界值表：
P (K 2
≥k )
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
10.828
8.由不等式组????
?
x －y ＋5≥0，y ≥t ，
0≤x ≤2，
围成的三角形区域内有一个内切圆，向该三角形区域
内随机投一个点，该点落在圆内的概率是关于t 的函数P (t )，则( )
A ．P ′(t )＞0
B ．P ′(t )＜0
C ．P ′(t )＝0
D ．P ′(t )符号不确定
9．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩
的中位数
C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
10．(2013·河南三市三模)在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2
＋2ax －b 2
＋π2
有零点的概率为( )
A ．1－π
8
B ．1－π4
C ．1－π2
D ．1－3π4
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分) 题 号 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷
总 分 二
16
17
18
19 20
21
得 分
11．高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．
12．(2012·山东卷)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5，22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．
13．(2013·浙江省名校联考)一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．
14．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．
15．若从集合
????
??
13，14，3，4中随机抽取一个数记为a ，从集合{－1，1，－2,2}中随机
抽取一个数记为b ，则函数f (x )＝a x
＋b (a ＞0，a ≠1)的图象经过第三象限的概率是________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知A 、B 、C 三个箱子中各装有两个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出一个球．
(1)若用数组(x ，y ，z )中的x 、y 、z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x ，y ，z )的所有情形，并回答一共有多少种；
(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖．那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．
17．(本小题满分12分)(2013·广东卷)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
(1)根据茎叶图计算样本均值．
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
18．(本小题满分12分)(2013·郑州市质量预测)某高校组织自主招生考试，共有2 000名优秀同学参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成8组：第1组[195,205)，第2组[205,215)，…，第8组[265,275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试．
(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中，参加面试的同学人数；
(2)面试时，每位同学抽取两个问题，若两个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若两个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A 类资格；其他情况下获B 类资格．现已知某中学有两人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为1
2，求恰有一名同学获得该高校B 类
资格的概率．
19．(本小题满分13分)(2013·长春市调研)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加
工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数如下表：
(1)
在单位时间内加工的合格零件的方差，并由此分析两组技工的加工水平；
(2)质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若2人加工的合格零件个数之和超过14，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．
20．(本小题满分13分)甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：
(2)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；
(3)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校的数学成绩有差异.
甲校乙校总计优秀
非优秀
总计
参考数据与公式：由列联表中数据计算K2＝
n ad－bc2
a＋b c＋d a＋c b＋d
.
临界值表
P(K2≥k0)0.100.050.010
k0 2.706 3.841 6.635
21．(本小题满分13分)设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax，g(x)＝b
x
.
(1)若a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；
(2)若a∈[1,4]，b∈[1,4]，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．
详解答案
专题阶段评估(六)
一、选择题
1．D 由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.
2．B 从1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为412＝13
.
3．A 设中间的长方形面积为x ，则其他的10个小长方形的面积为4x ，所以可得x ＋4x ＝1，得x ＝0.2；又因为样本容量为160，所以中间一组的频数为160×0.2＝32，故选A.
4．C 因为7.069与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．
5．B 从茎叶图看出乙地树苗高度的平均数大于甲地树苗高度的平均数，乙地树苗高度的中位数是35.5，甲地树苗高度的中位数是27.
6．A 基本事件总数为6×6＝36种．θ＞60°的必须是y x
＝tan θ＞3，则这样的基本事件有(1,2)，(1,3)，…，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,6)，共9种．
所以概率为936＝14
.
7．B ①根据方差的计算公式可知命题正确；②错，应为减少5个单位；③正确，这是回归直线方程满足的一个重要性质；④结合给出的数表，易知命题正确，故只有②是错误的．
8．C 若围成三角形，则只可能恒为等腰直角三角形，内切圆半径r ＝(7－t )－
2
2
(7－t )，∴P (t )＝
π? ??
??2－2227－t 2
12
7－t 2
＝π2
(2－2)2
，该值与t 无关，所以P ′(t )＝0. 9．C 由条形统计图知：
甲射靶5次的成绩分别为：4,5,6,7,8； 乙射靶5次的成绩分别为：5,5,5,6,9，
所以x 甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6；x 乙＝5＋5＋5＋6＋9
5＝6.
所以x 甲＝x
乙．
故A 不正确．
甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B 不正确．
s 2甲＝1
5[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝15×10＝2，s 2乙＝15
[(5－6)2
＋
(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝15×12＝125，因为2＜125
，所以s 2甲＜s 2
乙.故C 正确．
甲的成绩的极差为：8－4＝4，乙的成绩的极差为：9－5＝4， 故D 不正确．故选C.
10．B 函数f (x )＝x 2
＋2ax －b 2
＋π2
有零点，需Δ＝4a 2
－4(－b 2
＋π2
)≥0，即a 2
＋
b 2≥π2成立．而a ，b ∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a 2＋b 2≥π2的点(a ，b )如
图阴影部分所示，所求事件的概率为P ＝2π×2π－π3
2π×2π＝4π2
－π3
4π2
＝1－π
4
，故选B.
二、填空题
11．解析： 从56人中抽取一个容量为4的样本，用系统抽样抽取的间隔为56
4＝14，
又因为学号为6,34,48的同学在样本中，可知初次抽取的学号为6，还有一个同学的学号应为6＋14＝20.
答案： 20
12．解析： 设样本容量为n ，则n ×(0.1＋0.12)×1＝11， 所以n ＝50，故所求的城市数为50×0.18×1＝9. 答案： 9
13．解析： 列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P ＝
10
36＝518
.
答案：
518
14．解析： 记其中被污损的数字为x ，依题意得甲的5次综合测评的平均成绩是1
5(80×2
＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成绩是1
5(80×3＋90×2＋3＋3＋7
＋x ＋9)＝15(442＋x )，令90＞1
5(442＋x )，由此解得x ＜8，即x 的可能取值为0～7，因此
甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为810＝4
5
.
答案： 4
5
15．解析： (b ，a )的所有可能情况有：? ????－1，13，? ????－1，14，(－1,3)，(－1,4)；? ????1，13，
? ????1，14，(1,3)，(1,4)；…；? ????2，13，? ??
??2，14，(2,3)，(2,4)，共16种．由于函数f (x )的图象经过第三象限，因此，0＜a ＜1，b ＜－1或a ＞1，b ＜0，因此满足条件的(b ，a )有：(－1,3)，(－1,4)，? ????－2，13，? ????－2，14，(－2，3)，(－2,4)，共6种．根据古典概型的概率
计算公式可得P ＝616＝3
8
.
答案： 3
8
三、解答题
16．解析： (1)数组(x ，y ，z )的所有情形为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．
(2)记“所摸出的三个球的号码之和为i ”为事件A i (i ＝3,4,5,6)，
易知事件A 3的基本结果有1种，事件A 4的基本结果有3种，事项A 5的基本结果有3种，事件A 6的基本结果有1种，所以，P (A 3)＝18，P (A 4)＝38，P (A 5)＝38，P (A 6)＝1
8
.
所以所摸出的三个球的号码之和为4，为5的概率相等且最大． 故猜4或5获奖的可能性最大．
17．解析： (1)由茎叶图可知，样本数据为17,19,20,21,25,30，则x ＝1
6(17＋19＋
20＋21＋25＋30)＝22，故样本均值为22.
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，故优秀工人的频率为26＝1
3，该车间12
名工人中优秀工人大约有12×1
3
＝4(名)，故该车间约有4名优秀工人．
(3)记“恰有1名优秀工人”的事件A ，其包含的基本事件总数为4×8＝32，所有基本
事件的总数为12×112＝66，由古典概型概率公式，得P (A )＝3266＝16
33
.
所以恰有1名优秀工人的概率为16
33
.
18．解析： (1)设第i (i ＝1,2，…，8)组的频率为f i ，则由频率分布直方图知f 7＝1－(0.004＋0.01＋0.01＋0.02＋0.02＋0.016＋0.008)×10＝0.12.
所以成绩在260分以上的同学的概率P ≈f 7
2＋f 8＝0.14，
∴2 000×0.14＝280，
故这2 000名同学中，取得面试资格的约为280人．
(2)不妨设两名同学分别为M ，N ，且M 的笔试成绩在270分以上，则对于M ，答题的可能有M 11，M 10，M 01，M 00，对于N ，答题的可能有N 11，N 10，N 01，N 00，其中角标中的1表示正确，0表示错误，如N 10表示N 同学第一题正确，第二题错误．
将两名同学的答题情况列表如下：
表中AB 表示M 获A N 没有获得资格． 所以恰有一名同学获得该高校B 类资格的概率为816＝1
2
.
19．解析： (1)由甲组技工在单位时间内加工的合格零件平均数x 甲＝1
5(4＋5＋x ＋9
＋10)＝7，得x ＝7.
由乙组技工在单位时间内加工的合格零件平均数
x 乙＝1
5
(5＋6＋7＋y ＋9)＝7，得y ＝8.
甲组方差s 2甲＝15[(4－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2
]＝5.2.
乙组方差s 2乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2
]＝2.
∵x 甲＝x 乙，s 2
甲>s 2
乙，
∴两组技工水平基本相当，乙组更稳定些．
(2)从甲、乙两组中各随机抽取一名技工，加工的合格零件个数包含的基本事件为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,5)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(7,5)，(7,6)，(7,7)，
(7,8)，(7,9)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共25个．
而车间“质量合格”包含的基本事件为(7,8)，(7,9)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共11个，
因此，所求概率P ＝1125，即该车间“质量合格”的概率为11
25.
20．解析： (1)从甲校抽取110× 1 200
1 200＋1 000＝60(人)，
从乙校抽取110× 1 000
1 200＋1 000＝50(人)，
故x ＝10，y ＝7.
(2)估计甲校数学成绩的优秀率为15
60×100%＝25%，
乙校数学成绩的优秀率为20
50×100%＝40%.
(3)表格填写如图，
甲校 乙校 总计 优秀 15 20 35 非优秀 45 30 75 总计
60
50
110
K 2
的观测值k ＝
110×2
60×50×35×75
≈2.829＞2.706，
故在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两个学校的数学成绩有差异． 21．解析： (1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”， 则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有：
x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4
x
， 共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a ＞0，b ＞0时，ax ＋b x 在? ?
???0，
b a 上递减，在? ??
??
b a ，＋∞上递增； x －1x 和4x －1
x
在(0，＋∞)上递增，
∴对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1
x
，故事件A
包含的基本事件有4种，
∴P (A )＝46＝23，故所求概率是2
3
.
(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”，
∵a是从区间[1,4]中任取的数，b是从区间[1,4]中任取的数，∴点(a，b)所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．
要使x∈[1,2]时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，
需f(1)＋g(1)＝a＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a＋
b
2
≤8，
∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分．
∴P(B)＝
1
2
×
?
?
??
?
2＋
11
4
×3
3×3
＝
19
24
，
故所求概率是
19
24
.