论高等数学极限思想中所蕴涵的哲学思想
数学论文之极限
论述主题：高等数学中的极限思想
学院：计算机与通信工程学院
班级：计算机科学与技术1301
论述者：杨凌锋
参考文献：《百度文库》，《高等数学第三版》，《同济大学数学系论极限》
高等数学中的极限思想
在没接触高等数学之前，我所认知的数学解题方法大致可以分为三类：1.代数计算（对数据进行分析进行代数运算）；2.几何作图（通过对图像的分析研究问题）；3.从特殊到一般的特殊化方法（如数学归纳法）。
但是进入大学，学了高数之后，我有知道了一种数学中极为常用的思想方法——极限思想。
在我看来，极限思想贯穿了整个高等数学，它不仅是数学分析的重要概念之一，有是微积分理论的基础，因而想要学好高等数学，首要的是掌握极限思想。
对此，我对极限思想的作用和极限的一些基本解法做了一些了解和总结。
（一）极限思想的作用
()
lim ()
,lim ()1,lim ()v x x x u x u x v x →
→
→
→→∞其中（1()()1()()
lim ()
lim u x v x v x x u x e -→
→
=，证明过程要用到In e 七·利用洛比达法则求极限 如果函数式的极限出现了0,0∞
∞
等未定式时，可采用洛必达法则。
方法便是分子分母分别。
极限思想
极限思想极限的思想极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
1.极限思想的产生与发展（1）极限思想的由来.与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
?（2）极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。
16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
?起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。
牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS／Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。
浅谈数学中的哲学问题
33海外文摘OVERSEAS DIGEST 海外文摘2020年第15期总第814期No.15,2020Total of 8140引言数学在高校的学习生涯中占有重要地位，其内在的哲学思想凝结了人类智慧的结晶，不同观点间具对立又统一关系，为人类实际问题解决提供了正确的方向。
从某个角度而言，数学与哲学的关系源远流长，十分密切，从哲学的角度探讨数学中的辩证思维，在数学教学中自觉地渗透哲学思想，有助于提高教学的效果，有益于培养学生的哲学素养。
1哲学与数学相互对立与统一对于高等数学的定义，我们通常将其看做是初等数学的提升。
高等数学的对象，和它所采用的解题方法，较初等数学更为复杂。
有部分中学为了提升学生的逻辑思维能力，将较为高深的哲学思想，融入到中学数学当中，并将其作为中学和大学的过渡阶段。
这就要求我们以发展的眼光看问题，初等数学向高等数学的转换，也是学生自身素养螺旋式上升的过程。
微积分是高等数学的重要内容，要想学好这一部分，重在理解——对于概念的理解、定理的理解，都决定了对高数的理解深度和广度。
对于微积分的学习方法，可以从极限衍生出来的几个定理开始，要求达到合上书自己能推导的程度，然后认真研习证明题和计算题。
等到全部掌握极限理论之后，再去学后面的知识就非常简单了。
如莱布尼次对微积分基本定量证明时，同时也表明微分与积分之间互为拟运算，具矛盾概念性质，即呈对立状，又较为统一。
大区间不可求的量，可分割成多个小房间，对量的微元求出，再对微元的累积和求出，即积分，对量的宏观值获取，充分对同一问题中微分与积分的思想综合作用予以了体现。
微积分基本定理对微积分所研究内容的定点予以了构成，在微分与积分属开展高等数学课程重要矛盾点的观点下，对其进行求取，并非看作小问题来解决，而是需用相对统一的方案，来自微分中的定量，经分析，在积分中也可有相应定量推导出，反之相同。
二者表现为虽相互对应，同时又统一的关系，属相同事物呈现出的两个方面[1]。
高等数学中的极限理论
高等数学中的极限理论在高等数学中，极限理论是一门重要的数学概念和工具。
它在数学的各个领域中都有广泛的应用，包括微积分、数值分析、概率论等。
通过研究极限，我们可以更深入地理解数学中的各种概念和定理，也可以解决一些实际问题。
1. 极限的定义与性质极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数或数列在某一点或无穷远处的趋势。
在数学中，我们通常用极限来刻画一些无法直接计算的量或情况。
极限的定义可以用数列的极限来说明。
对于数列{an}，如果存在一个实数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε，那么我们就说数列{an}的极限是a，记作lim(an)=a。
极限具有一些重要的性质。
首先，极限是唯一的。
也就是说，如果一个数列的极限存在，那么它只能有一个极限值。
其次，如果一个数列的极限存在，那么它一定是有界的。
这意味着，无论数列的前面有多少项，我们总能找到一个上界和下界，使得数列的所有项都在这个上下界之间。
2. 极限的计算方法在实际计算中，我们常常需要用到一些方法来计算极限。
这些方法包括代数运算法则、夹逼定理、洛必达法则等。
代数运算法则是最基本的计算极限的方法之一。
根据代数运算法则，我们可以对极限进行四则运算、乘法法则、除法法则等。
通过这些法则，我们可以将复杂的极限计算化简为简单的运算。
夹逼定理是一种常用的计算极限的方法。
夹逼定理的基本思想是，如果一个函数在某一点附近被两个函数夹住，并且这两个函数的极限相等，那么这个函数的极限也等于这个共同的极限值。
洛必达法则是一种重要的计算极限的方法。
它适用于求解一些特殊的极限，例如0/0型和∞/∞型。
洛必达法则的核心思想是，如果一个函数的极限是一个不定型，那么我们可以对这个函数进行导数运算，然后再计算导函数的极限。
3. 极限的应用极限理论在数学的各个领域中都有广泛的应用。
在微积分中，极限是微积分的基础，它可以用来定义导数和积分。
挖掘哲学思想,提高教学效果——谈级数中对立与统一的辩证观点
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition）
Vol. 28 No. 6 Jun. 2012
挖掘哲学思想，提高教学效果
— ——谈级数中对立与统一的辩证观点
∞
∞
Σ Σ 下有 （－１）ｋ－１ｋ＝ｌｉｍ （－１）ｋ－１ｋｘｋ－１＝ｌｉｍ （１＋ｘ）－２＝ １ ，故此时该
ｋ＝１
ｘ＝１－ ｋ ＝ １
ｘ＝１－
４
级数收敛．由此可见，级数的收敛与发散之间既是对立关系，
又有统一关系．
２．３ 有限与无限的对立与统一
瑞士数学家伯努利（Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ，１６５４－１７０５）曾经说：“正
法国数学家努瓦利斯曾经说过“数学是朴素的哲学”，
而捷克的数学家、哲学家波尔达斯则说“没有哲学，难以得
知数学的深度”，这两句话充分表明了数学的本质是哲学，
数学与哲学之间是一个相互依存的关系．级数作为高等数学
的一个重要内容，是无限个常量或变量之和的数学模型，级
数是表示函数、研究函数性态以及进行数值计算的一种有
要讨论的问题．根据实际问题的需要，收敛性和发散性的也
有多种定义，每种定义中的收敛与发散概念是相互对立的，
而不同定义之间的收敛或发散，有时候却是统一的．我们知
道，级数的收敛或发散是依赖于所用的求和方法，在级数理
论中，有通常意义下的 Ｃａｕｃｈｙ 与广义 Ａｂｅｌ 两种求和法，其
中 Ｃａｕｃｈｙ 求和法即定义 ３ 中的方法，而广义 Ａｂｅｌ 求和的定
次用加号连接起来的表达式 ｕ１＋ｕ２＋…＋ｕｎ＋…，称为常数项无
数学中有限与无限转换的哲学意义及极限在该转换中作用
集
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师
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学
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Ｖ ｌ ３ Ｎｏ ４ ｏ－ ， ３ ． Ｄｅ ． ０ ｃ２ １ ｌ
Ｊ Ｈ ｎ ｌ ｆ ｉ ｉｇ ｅ ｃ ｅ ｓＣｏ ｌｇ ｏ ｌ ａ Ｊｎ ｎ Ｔ ａ ｈ ｒ ｌ ｅ ＇ ｏ ｅ
数 学 中有 限与无 限转换 的哲学意义 及 极 限在 该 转 换 中作 用
２数 学 中有限 与无 限转换 的哲 学意 义 ．
数学是探讨数与形运动规律的学科 。数学教学法是研究数学教学规律的。马克思主义
哲 学是研 究数 学 、 自然科 学 、社会 科 学和 思维科 学 的科 学 。
哲 学作 为方法 论 ，为数 学提供 有用 的认 识 工具和 探索 工具 ，在 现实 世 界中 的有 限与无
收 稿 日 期 ：２ １— — ０ ０ １８ １
作 者简 介：司桂荣 （９ ４ ） １６ 一 ，女，汉族，兴安盟广播 电视大学 ，副教授 。
第 ４期
司桂荣，李斯亚：数学中有限与无限转换的哲学意义及极限在该转换 中作 用
８ １
数 学 中，首先 建立 一个 数学 式 的模 型 ，在 这 个模 型中 首先剥 离 出任何 内容 的存 在 ，就好 像 是康 德 所说 的一种 先验 的直 观形 式相 似 的结 构 。 马克 思和 恩格 斯不 仅创 立 了马克 思主义 哲 学 ，对 数 学研 究和 发展起 到 了 巨大 的 指导 和推 动 作用 ，而 且他 们也直 接研 究过 数 学 。恩格 斯在 《 自然辩证 法 》 中指 出： “ 质 是按质 量 物 的相对 大 小分成 一系 列较 大 的，容 易分清 的组 。使 每 一组 的各 个组成 部分 相互 间 在物质 方 面 都 具有确 定 的、有 限 的 比值 ，但 对邻 近 的各个 组成 部 分则具 有在 数学 意义 下 的无 限大 或
关于高等数学中极限思想的研究
关于高等数学中极限思想的研究作者：程梓洁来源：《理科爱好者(教育教学版)》2019年第05期【摘要】极限是高等数学中一种基础且比较重要的知识，本文主要针对高等数学中极限思想的研究。
由于对极限思想概念难以把握和理解，特提出从了解内涵，熟悉方法，掌握其描述三个层次来理解极限思想并解决有关高等数学中的极限思想问题。
【关键词】极限思想;辩证思维;高等数学【中图分类号】G642; 【文献标识码】A; 【文章编号】1671-8437（2019）28-0010-021; ;引言高等数学中的极限思想是一种基本概念，在整个高等数学的学习过程中占有极其重要的地位。
极限思想为高等数学理论方面的学习和研究以及应用实践创造的拓宽作出了进一步的深化，加强了学生对高等数学的理论方面的掌握，便于学生解决复杂的数学问题。
极限思想有着不同于初等数学中的知识特征，同时其也是对高等数学实践应用方面研究的主要方法。
在整个高等数学的学习过程中有许多的重要概念都是通过极限思想定义而成的。
从高等数学中连续的思想到导数的概念，从积分论中一元函数的积分到重积分以及曲面积分全部都是由极限思想定义而成的[1]。
高等数学中的极限思想不仅是一个简单且易掌握的数学概念，它同时也是一种对客观世界数量变化处理的新思维、新方法。
作为学生，在小学到初高中学习的数学内容被称为初等数学，又称为常量数学。
在初等数学时期，从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年，初等数学的结束是由于高等数学逐渐产生。
在初高中数学的学习中，学生接触的都是常量计算，所以学生容易产生一种定式思维，而高等数学则是以一种运动的、变化的思想来解决和处理问题，极限思想就是处理这种问题最为有效且便捷的方法。
因此，高等数学中极限思想的掌握直接影响着数学的深入学习与发展。
2; ;正确了解无限的内涵极限思想是由于人类在社会实践中大脑因思考活动而抽象思维出的一种特殊的产物。
极限的思想可以追溯到古代。
如中国古代刘徽的割圆术就是建立在直观的图形研究基础上的一种原始的“不断靠近”的极限思想的应用;古希腊人发现的穷竭法同样也是蕴含了这种极限思想[2]。
浅析极限思想的产生与发展9(1)
毕业论文浅析极限思想的产生与发展题目：数学与信息科学学院学院：数学与应用数学专业：2011级1班班级：季满姓名：20110501005学号：曹志军指导教师：2015年5月20日浅析极限思想的产生和发展【摘要】极限思想是一种重要的数学思想，这个理论的完善历经几个世纪。
由远古的萌芽时期，到中世纪后随着微积分的创立和应用得到进一步发展，再到18世纪后随着微积分的严密化极限思想达到成熟，形成完善系统的极限理论，这期间布满了众多数学家和哲学家辛勤的汗水和孜孜追求的奋斗足迹。
极限思想的发展历程，充分体现了人类探索真理、追求创新的宝贵精神，充分体现了人类认识世界和改造世界的强烈愿望。
极限思想是一种重要的数学思想，是辩证法在数学中的完美体现。
本文阐述了对极限思想的辩证理解，阐述了通过极限这一工具，如何从有限认识了无限，从对事物的近似认识到精确认识，从事物的多样性变化中认识了统一性的变化，在直与曲的对立中认识了统一。
【关键词】极限思想；发展；辩证法；辩证统一The emergence and development of the limit idea【Abstract】limit thought is an important mathematical idea. It is formed through a long historical process. It is from ancient infancy to the further development with the creation and application of calculus in the middle ages. It forms a complete system limit theory with the further close of calculus which is after the eighteenth century. The process is filled with many sweats and the struggle footprints of mathematicians and philosophers. The development process of limit thought fully reflects the human search for truth and the precious spirit which is in pursuit of innovation. The development process of limit thought also fully reflects strong desire to understand the word and transform the world.Limit thought is an important mathematical idea. Dialectics is displayed perfectly in the mathematics. The paper describes the dialectical understanding about limit thought. We recognize the infinite from limited thought and the accurate understanding from approximate understanding through the limit thought. We recognize the unity changes from diversity changes and recognize straight and curved unity from the opposition.【Key Words】limit thought ；development ；dialectics ；dialectical unity目录1 引言 (1)2极限思想的发展分期 (1)2.1极限思想的萌芽时期 (1)2.2极限思想的发展时期 (2)2.3极限思想的完善时期 (2)3极限思想的本质探索 (3)3.1有限运算的规律不能用于无限运算 (3)3.2极限概念的代数化 (3)3.3极限概念的本质 (4)4极限思想的辩证理解 (4)4.1有限与无限的辩证统一 (4)4.2量变与质变的辩证统一 (5)4.3多样性与统一性的辩证统一 (5)4.4直与曲的辩证统一 (5)结论 (6)参考文献 (6)致谢 (7)1引言极限思想的萌芽时期可以追溯到2000多年前，其中著名的古希腊哲学家芝诺，提出了一个悖论，那就是运动不存在，从经验上来看，这个悖论的结论是荒谬的，但是由于当时人们的认识有限，特别是对极限缺乏认识，使得这个悖论当时没有人能够给出正确的解释，这也是人们第一次闯进极限这个领域。
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完善 的过程反 映了哲学 中否定之否 定规
律 。否 定 之 否 定 经 过 一 个 周 期 的运 动 回
到 了起 点 ， 义高 于起 点 。
率 ，毕竟是近似值 ，而不 是精确值 ，只
掌握 高 等数 学 有 着 极 其 重 要 的 意 义 。 关 键 词 ：高 等 数 学 ；极 限 ；哲 学思 想
高 等数 学属于 自然科学 ，但其 中蕴 涵着 丰富的哲学思想 。在教学 中 ，教师 如果能 充 分 挖 掘高 等 数 学 中 的哲 学 思 想 ，用哲学 的观点和思维方法来 指导高
教 育 理 论
— 于 论 高等 数 学 极 限思 想 中所 蕴 涵 的 哲
，
田
想
张
敏
张道 振
陈宇剑
（ 中 国人 民解 放 军 武 汉 军械 士 官 学 校 基 础 部 ，湖 北 武 汉 ４ ３ ０ ０ ７ ５ ）
摘
要 ：高等数 学 中重要 的概念均建立在极 限基础之 上 ，而极 限思想蕴涵着丰富的辩证 法思想 ，深 刻领悟这 些哲 学思想对
唯物主义思 想 ，提高学 生 的哲 学素 养 ，
还 可以使学生 从新 的角 度来 认识 数 学 、
与无 限 、近 似 与 精 确 的对 立 统 一 。例
如 ，对 于 数 列 ａ ＝ ｛ ｌ ／ ｎ｝ ，其 极 限 为 ０ 。数 列 中 的 每 一 项 ｎ 的 值 在 不 断 变
理解 数学 、感受数学 。
率 ，首 先在 曲线 上另取一 点 Ｑ，并 求割
线Ｐ ｐ的斜率 ；然后让点 Ｑ沿 曲线 无 限 地趋 近点 Ｐ，割线 的极限位 置 即是 曲线 在点 Ｐ处的切线 ，而割 线 Ｐ ９斜 率的极
限就是 切线 的斜 率。在 点 Ｑ沿 曲线 无 限 趋 近 点 Ｐ的 动 态 过 程 中 ，割 线 Ｐ （ ） 的 斜 率 在 不 断 地 发 生 变 化 ，越 来 越 接 近 切
一
运动变化的结果是一个数值 ，因此在极
限 思 想 中无 限 是 有 限 的发 展 ，有 限 是 无 限 的 结 果 ，是 对 立 统 一 的 。再 例 如 ，刚
、
量 变 引 起 质 变 规 律
度。为了排除 极 限概 念 中的直 观 痕迹 ， ｌ ８世纪 维 尔 斯 特 拉 斯 提 出 丫 极 限 的 精 确 定 义 ，即 ￡ 一 Ｎ 定 义 ，给 微 积 分 提 供 了严 密 的 理 论 基 础 。极 限概 念 不 断 发 展
极 限 思 想 体 现 了量 变 引 起 质 变 的 规
才所说的割线 斜 率 的极 限是切 线斜 率 ， 也体现 了过程与结果 、变 与不 变 的对立 统一 。割线斜率在不 断变 化 ，且不 断接 近切线斜率 ，但不管 多么接近于切 线斜
律 。量变引起质变规律揭示 了事物 发展 变化形式上具有 的特 点 ，当量 的变 化达 到一定程度会 引起 质的变化 。质变 不仅
学 方法 ，体现 了辩证法思想 。理解极 限
概 念 和 其 思 想 中所 蕴 涵 的哲 学 思 想 ，对
使之 收敛到极 限 ０ ，就 说这 个变 量为 无 穷小 。柯 两的极限概念仍然 是初步 的和
不 清 楚 的 ， 没 有 达 到 彻 底 严 密 化 的 程
掌握高等数学有着极其重要 的意义。
三 、否 定 之 否 定 规 律
任何事物的 内在矛盾都可 以归结为
肯 定 和 否定 两个 方 面 ，当 由肯 定 达 到 对
哲学 的深度 ，两者 相互依存 。还应 特别
指 出 ．如 果 既 没 有 数 学 又 无 哲 学 ，则 不
能认识任 何事 物。 ”数 学 与哲 学关 系 紧 密 ，因此在 高等数 学的教学 中 ，不能忽
有 无 限接 近 时 ，才转 化 为 精 确 值 ，这 个
求 曲线 Ｙ ＝ 厂（ ）在 点 Ｐ处 的切线 的斜
精确值是个不变量 ，充分 体现 了近 似与 精确 、变与不变 的对立统 一。
数学家波尔达斯指 出 ：“ 没来自哲学 ， 难 以得 知 数 学 的深 度 ，当 然 也 难 以 得 知
等 数 学 教学 ，不 仅 可 以 培 养 学 生 的 辩 证
二 、对 立 统 一 规 律
极 限 是 从 有 限 到 无 限 的 工 具 和 桥 梁 ，无 论 是 概 念 的 引 入 还 是 概 念 本 身 ， 都 体 现 了 变 与 不 变 、过 程 与 结 果 、有 限
量 的 极 限 是 变 量 所 能最 大 程 度 逼 近 的 一
极 限 是 一 种 研 究 变 量 变 化 趋 势 的数
化 ，这个 过程是动态的 ，项数也 是有 限 的 ，但是 ，当项数 ｎ无 限增 大时 ，ａ 无
限趋近于一个确 定 的常数 ０ ，这 个 无 限
做所有其 他值 的极限值 。特 别地 ，当一
个 变 量 的数 值 （ 绝 对值 ） 无 限地减 少 ，
视哲 学 思 想 的 渗 透 ，这 样 才 能 更 好 地 发
自身 的否 定 ，并 再 由否 定 达到 新 的肯 定 ，则称之为否定之否定 。高 等数学 的 理论 发展都符合否定之否定 的规律 。在 理论形成之初 ，理论得到 肯定 ，但 随着 研究的深入 ，理论就会不 完善 ，从而被 否定 ，进而 被研 究完 善得 到新 的肯 定 。
就极限 概念 而 言 ，１ ６世 纪 英 国 数 学 家
展数 学 ，保 持数学之树 常青 。当然 ，引 导学 生领 悟数学思维 中的哲学思 想和在
个常数 ，使得它们 的差 能够小 于任 何给
定的量 。 ”这是 极限 概念 的雒形 。１ ７世 纪 法 国数 学 家柯 两 首 次 较 完 整 地 阐 述 了
极限概念 。他用描述性语 言给 出极限概
念 ： 当一 个 变 量 逐 次所 取 得 的值 无 限 趋 近 一 个 定 值 ，最 终 使 变 量 的 值 和 该 定 值 之 差 要 有 多小 就有 多 小 ，这 个定 值 就 叫