平行四边形典型题型

、例题分析

例1、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为

A ．1

B ．2

C ．2

D ．3

例2、如图，梯形ABCD 中，AB DC ∥，90ADC BCD ∠+∠=，且2DC AB =，分别以DA AB BC ，，为边向梯形外作正方形，其面积分别为123S S S ，，，则123S S S ，，之间的关系是 ．

例3、已知：如图9，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ． （1）求证：BCD FDE △≌△．

（2）连结BD CF ，，判断四边形BCFD 的形状，并证明你的结论．

变式练习：

如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB CD ，的延长线分别交于E F ，． （1）求证：BOE DOF △≌△；

（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

例4、学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm ，如图所示．已知每个菱形图案的边长103cm ，其一个内角为60°．

A

B

C

D

F

E

O

A

B

C

D

1S

2S

3S

A

B

D

C

F D

O

C B E

A

60°

……

d

L

例5、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=，2AD =，42BC =，求DC 的长．

三、梯形辅助线专题训练

一、平移一腰——把梯形问题转化为平行四边形与三角形的问题

例1 已知，梯形ABCD 中，AB//CD ，AB 最长，AD=BC=12cm ，对角线AC 分中位线EG 为EF=10cm ，FG=4cm ，求∠B 的度数。

二、平移两腰——把分散的条件集中到一个三角形上

例2 在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=30°，∠C=60°，E 、M 、F 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，已知BC=7，MN=3，试求EF 的长。

三、平移对角线——把梯形化为三角形和平行四边形

例3 如图4，等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线BD ⊥AC ，中位线长8cm ，求梯形ABCD 的面积。

四、作梯形的高——把梯形化为矩形和三角形

例4 如图5，梯形ABCD 中，上底AD=3，腰DC=6，∠B=60°，∠C=45°，求梯形ABCD 的周长。

A

B C

D

五、构造全等三角形——把梯形面积转化为三角形面积

例5 已知直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的腰AB的长为b，求△CED的面积。

辅助线小结：

四、分层训练

1、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，□ABCD的周长为40，则S□ABCD为______．

2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线EF分别与BD、AC交于点G、H．若AD＝6，BC＝10，则GH的长是______．

3、如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，

23

AB BC

==

，，则图中阴影部分的面积为．

4、菱形周长为20 cm，它的一条对角线长6 cm，则菱形的面积为（）（A）6 （B）12 （C）18 （D）24

5、已知菱形ABCD的两条对角线之和为l，面积为S，则它的边长为（）A

B C

D

E

F

O

（A ）2421l S - （B ）221l S + （C ）S l 4212- （D ）S l +242

1

6、正方形具有菱形不一定具有的性质是（ ）

（A ）四边相等 （B ）对角线互相垂直 （C ）面积等于对角线乘积的一半 （D ）对角线相等

7、如图，矩形ABCD 中，O 是两对角线的交点AE ⊥BD ，垂足为E ．若OD ＝2 OE ，AE ＝3，则DE 的长为______．

8、顺次连结四边形各边中点所得四边形是矩形，则原图形一定是（ ）

（A ）菱形 （B ）对角线相等的四边形（C ）对角线垂直的四边形（D ）对角线垂直且互相平分的四边形

9、已知：如图，在□ABCD 中，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，E 在AD 上，BE ＝12 cm ，CE ＝5 cm ．求□ABCD 的周长和面积．

10、已知：如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论．

11、如图，在正方形ABCD 中,点Q 是CD 的中点,点P 在BC 上,且AP=PC+CD. 试探求:AQ 平分∠DAP.

A D Q

B P C

12、把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

13、如图所示，.四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．

D C A B G

H F E