2019-2020学年北京市东城区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2019-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）

1. 氢原子的电子和原子核中间距离约为0.00000000529cm,用科学记数法表示正确是（）

2. 下列因式分解正确的是（

）

A. α2 + h 2 = （α + b ）2

B. a 2 + b 2 = （a+ b ）（a — b ）

C. X 2 + 2% - 3 = （% + 3）（咒 _ 1）

D. （X + 3）0 - 3） = X 2 - 9

3. 在由相同的小正方形组成的3X4的网格中，有3个小正方形已经涂黑，请

你再涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形构成的图形为轴对称图形, 则还需要涂黑的小正方形序号是（

）

A. ①或②或⑥

B.③或⑥或⑦

C.④或⑤或⑧

D.①或③或⑨

4. 下列运算中正确的是（）

B. 2α"s ? a 3 = 2a 8

D. 6X 3÷(-3X 2) = 2x

5. 当X 为任意实数时，下列分式中一泄有意义的是（）

如图，在'ABC 中BC 的垂直平分线EF 交"8C 的平分线BD 于匕若

LBAC = 60% ZJlCE = 24% 那么乙BEF 的大小是（）

A. 320

B. 54°

当Q=-I 时，分式学() a~-a

V Z

A.等于0

B.等于1

C. 580

D. 60°

在Rt △力BC 中，乙C = 90。，AD 平分乙BMC 交BC 于点D, 点D 到AB 边的距藹为（）

① ≡

5 I

耳?

⑥

A. 18

B. 16

C. 14

D. 12

A. 529xl0^

B. 5.29xlO 8

C. 0.529x10』

D. 0.529*10"

A. (x 3)2 = X S

C. 3-2 = 1

X-I A.—

「 x~? 1

匕^+1

D. W

x+2

6. C.等于一 1

D.没有意义

若BC = 32,且 BD ： DC = 9： 7,则

9. 如图，'ABC 是等腰三角形，点O 是底边BC 上任意一点，OE 、OF 分別与

两边垂直，等腰三角形ABC 的腰长为5,而积为12,则OE+ OF 的值为（）?

A. 4

B. -

C. 15

D. 8

10. 如图，在△ ABC 中，乙BMC 的平分线交BC 于点D,过点D 作DE 丄AC. DF 丄AB 9 垂

直分别为E ，F,下面四个结论：（1）?AFE = ?AEF ?,②AD 垂直平分EF: ③S 泅” S“ED = BF: CE；④EF —立平行BC ?其中正确的个数有（）个

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

11.

因式分解：2X 3 一 18% =__?

12. _____________________________________________ 已知兀=1是分式方程±

=手的根，贝毗= ___________________________________

如图,AB, CD 相交于点O,AB = C6试添加一个条件使得△ AOD^ COB,

你添加的条件是 ______ ?（答案不惟一，只需写一个）

14. 如图,把长方形ABCD 沿EF 折叠后使两部份重合,若Zl = 70。，则乙DEG 等于 _________ o

15. 如图，等边△力EC 的边长为4, AD 是BC 边上的中线，M 是ΛD ±的动点，E 是AC 边上点，^AE = It EM+CM 的最小值为 _____________ ?

16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角J 这个三角形给岀了

（α+b∏n=lΛ 3, 4,.??）的展开式的系数规律（按“的次数由大到小的顺序）：

A. 1个

B.2个

C.3个

D.4个

13. A

1 1 (α + b)1 = a + b

1 2 1 (α + b)2 = α2 + 2αb + b 2

1 33 1 (a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab

2 + b 3

1 4 6 4 1 (a + b)4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b

2 + 4ab

3 + b 4

请依据上述规律，写出(χ-Ξ)2016展开式中含/O"项的系数是 ________________________

三、解答题(本大题共12小题，共68.0分)

18.如图，已知直线Gb 及乙PoQ,以点O 为圆心，"为半径作圆，交"OQ 两边于点M, M 再分

别以点M, N 为圆心，"为半径画弧，两弧交于点儿连结OA, MA, NA ,则?AMO =厶AN0, 请证明?

N 、Q

17.

x-3 (x+l)(x-l)

求A 、B 的值.

19?计算：√4 + (^)-1-2O17o.

20.如图，AC平分乙BSD, AB =AD.求证：BC = DC.

X 2-I

23.如图，在长方形纸片ABCD 中，AB = 12, BC = 5?点E 在AB 上，将厶

DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点F 处，求AE 的长.

21.化简：(α + b)2 + (α — b)(2α + b) 22.解方程 X x-3

1 XTT E

24?如图,△力3C 中,力CB = 90°.

(1) 作AMBC 的髙CD(尺规作图，不写作法?保留作图痕迹); (2) 在(1)的条件下，若AC = 8, BC = 6,求CD 的长.

26.为了美化环境，某地政府计划对辖区内60∕cτ∏2的丄地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均

每月的绿化面积是原讣划的1?5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化而积.

27?如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC 9点D, E 分別在边AB, AC 上，^AD=AE.连接BE, CD 9线段BE, CD 交于点F.

⑴判断"BE 与"CD 的数量关系，并说明理由

25.先化简,

再求值:

_ i ) α+2

α≡s

+2α 八

(2)求证：过点儿F的直线垂直平分线段BC

28.如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC y仙为底作顶角为120啲等腰三角形，顶角顶点分别为

D、E、F(点E、F在AB的同侧，点D在另一侧)

(1)如图1,若点Q是AB的中点，则?AED= ___________ :

(2)如图2,若点Q不是AB的中点

①求证：'DEF为等边三角形；

②连接C6若MDC = 90。, AB = 3.请直接写出EF的长.

答案与解析

1倍案：A

解析：

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10~n.其中ISIalV 10,"为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决左.

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a × 10",与较大数的科学记数法不

同的是英所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

解：0.00000000529 = 5.29 X 10^9,

故选A.

2.答案：C

解析：

本题考查因式分解的立义，正确理解因式分解的左义是答题的关键.

根据泄义逐一选项判断即可.

解：A.a2+b2≠(a + by,故此选项错误：

B.a2 +b2≠ (a + b)(a - b y) = a z— b2,故此选项错误；

C.X2+2X-3=(X +3)(X-1),是因式分解，故此选项正确：

D.(X +3)(X-3)=X2-9,是整式的乘法不是因式分解，故此选项错误.

故选C.

3倍案：B

解析：

本题主要考査轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义和性质是解题的关键，根据轴对称图形的左义解答即可.

解：根据题意可知，涂黑③或⑥或⑦时，构成的图形为轴对称图形.

故选B.

4?答案：C

解析：解：A、(%3)2 = %6＞故选项错误：

B、2a-^a3 = 2a~2,故选项错误;

U 3一2 = L故选项正确：

D、6X3÷ (—3以)=-2%,故选项错误.

故选：C.

A、原式利用幕的乘方运算法则汁算得到结果，即可做出判断：

B、原式利用同分母幕的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；

C、原式利用负指数幕法则汁算得到结果，即可做出判断：

D、原式利用单项式除以单项式法则汁算得到结果，即可做岀判断.

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

5.答案：C

解析:

本题考查了分式有意义的条件：分母不为零，分式有意义.这几个式子有意义的条件是：分式有意义，分母一定不等于零.

解：A当X=O时，分母为零，分式没有意义，故选项错误；

B?当x = ±l时，分母为零，分式没有意义，故选项错误：

C.无论X为何值，分母都不为零，分式有意义，故选项正确：

D当％ =-2时，分母为零，分式没有意义，故选项错误.

故选C.

6 答案：C

解析：解：* EF是BC的垂直平分线，.?. BE = CE,

???乙EBC = ?ECB.

???BD 是"3C 的平分线，

??? ?ABD =乙CBD, ?β? Z-A BD =乙DBC = Z-ECB >

V LBAC = 600 f ZJlCE = 24%

??? ?ABD =乙DBC = Z-ECB = ∣（1800 一 60° 一 24°） = 32。?

??? ZBEF = 90。一 32。= 58。，

故选：C.

由EF 是BC 的垂直平分线,得到EE = CE,根据等腰三角形的性质得到乙EBC =乙ECB,由加是"BC 的平分线，得^ABD = ?CBD.根据三角形的内角和即可得到结论.

本题主要考査线段垂直平分线的性质，角平分线的泄义，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.

7?答案:Λ

解析：

本题主要考查的是分式的值?先化简后计算是解题的关键?先将分式的分子和分母进行分解，然后再进行约分，最后将α = -l 代入讣算即可?

当Q = -I 时，原式=——=0.

— 1 — 1

故选A.

&答案：C

解析：解：过点D 作DE 丄力3于E, ??? BC = 32, BD ： CD = 9： 7, ?β? CD = 32 X — = 14?

9+7

V ZC = 900, DE 丄 AB. AD 平分乙

解: 原式=笞=兰,

α(α-1) a — 1

??? DE = CD = 14, 即D到AB的距离为14.

故选：C.

过点D作DE丄力3于E,根据比例求岀CD的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE = CD,得到答案.

本题主要考査的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

9.答案：B

解析：

本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键.

连接A0,根据三角形的而积公式即可得到IAB oE+1AC-OF = 12,根据等腰三角形的性质进而

求得OE+ OF的值.

解：连接AO,如图，

冷8(0E + 0F) = 12,

???OE + OF =二?

故选B.

io.答案:C

解析：

此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

由'ABC中，乙4的平分线交BC于点￡>,过点D作DE丄力C, DF丄AB t根据角平分线的性质，可WDE = DF, ^]RtΔ AFD^RtΔ AED(^HL)f推出AF =AE,继而证得(T)?AFE = ?AEF↑又由线段垂直平分线的判左，可得②力D垂直平分EF；然后利用三角形的而积公式求解即可得@S^FD:

SACED = BF: CE；无法判断EFIlBC、故④错误?

解：①???△>!BC中，"的平分线交BC于点D DE丄AC f DF丄AB.

??? DE = DF,乙AFD = ?AED= 90°,

??? AD = AD9

???Rt △ AFD^Rt △ AED(HL),

^AF =AE.

Λ ?AFE = Z-AEF.故正确；

②???DF = DE，AF = AE.

.?.点D在EF的垂直平分线上，点A在肋的垂直平分线上，

?"D垂直平分EF,故正确：

FD = IBF-DF, S^DE = ^CE-DE t DF = DE,

:? S ABFD：S“ED = BF： CE,故正确：

④???乙EFD不一淀等于乙BDF,

??. EF不一泄平行BC.故错误?

故选：C.

11.答案：2x(x + 3)(% — 3)

解析：

此题主要考査了提公因式法和运用公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键，本题比较基础，难度不大.先根据提公因式法提取公因式2x，再运用公式法进行因式分解即可.

解：2X3 - 18x = 2x(x z - 9) = 2x(X + 3)(% - 3).

故答案为2x(x + 3)(x-3).

12.答案：I

解析：

本题主要考查分式方程的解法，先将X的值代入已知方程即可得到一个关于k的方程，解此方程即可求岀R的值.

解：将兀=1代入2 =竺得，

x+1 X

1 3k

寸「

解得，k=?.

故答案为W

13.答案：AO = CO

解析：解：若添加40 = Co

^AB = CD9 AO = CO

???OD = OB

??? ?A0D =乙 C0B

.?.Δ i40D≤Δ COB(Si4S)?

故境40 = CO?

要使'AODW卜COB、已知AB = CD,乙AoD =乙CoB所以可以再添加一组边从而利用SAS来判左其全等，可加40 = CO或BO = D0?

本题考查三角形全等的判泄方法，判泄两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、A4S、HL.添加时注意：如3、SSA不能判左两个三角形全等，判左两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

14倍案：70。

解析：本题考查平行线的性质和折叠的性质?根据折叠的性质及乙1 = 70。可求出乙3FE的度数，再由平行线的性质即可得乙AEF, ?DEF,从而得厶GEF,最后由乙DEG =乙GEF—乙DEF计算即可得.

解：由折叠可得

MEF =乙GEF, 2?BFE + ?1 = 180%

??? ZI = 70°,

ΛZ BFE==55%

???ADllBC

??? Z-AEF + 乙BFE = 180% 乙DEF =乙BFE = 55。，

???乙GEF =乙QEF = 125。，

???乙DEG =乙GEF一乙DEF= 125° 一55° = 70°.

故答案为70。.

15倍案：√13

Δ 解析：解：连接与AD交于点M?则BE就是EM + CM的最小值，-

过B作BN丄AC于N,

?-?Δ ABC是等边三角形，

^AN = ^AC t S

???等边ZMBC的边长为4,

AC =AB = 4. AN = 2、

???4E = 1,

??? NE = 1, BN = y∕AB2 -AN2 = 2?z3>

???EM + CM的最小值为佰?

故答案为√π.

要求EM+ CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM, CM的值，从而找岀其最小值求解.

此题主要考查了等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用.得出M点位置是解题关键. 16?答案：—4032

解析:

本题考查多项式的有关知识、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题，属于中考常考题型.首先确?χ2014是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题.

解：(X - |)

2016

展开式中含严4项的系数，

7λ

2016 7

Z 7X2016

由(X-I) = /016 + 2O16%2015 ?：??? + (I)，

可知，展开式中第二项为-2016 ? X 2015 ? j = -4O32x 2014,

.?.(χ -才"6展开式中含/O"项的系数是-4032,

故答案为-4032.

_ AX-A^BX^B

(x+l)(x-l) t

_ U+B)x+(B-Λ) (x+l)Gr -l) Ar-3 =

(x+l)(x-D ,

解析：这是一道考查分式的混合运算及解二元一次方程组的题目，解题关键在于掌握分式的基本性质，化为同分母的进行计算.

18倍案：证明：由作法得OM = ON = a, MA =NA=b,

在△力OM 和△力ON 中 AO = AO

AM = AN. OM = ON

???△力OMW △力ON,

???Z-AMO =厶AN0? 解析：利用作法得到OM = ON = a, MA = NA = b,则利用“SSS"可判AOM^AAON,从而得到"MO = ?AN0.

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了全等三角形的判龙与性质.

19. 答案：解：原式=2 + 2-1

17?答案: 解:

O+l)(x-l)

B(x+1)

解得: “ =2

= -I e

=3?

解析：首先计算开方，乘方、然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求岀算式的值是多少即可. 此题主要考査了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从髙级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里而的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范国内仍然适用.

20.答案：证明：??+C平分乙％D,

乙 BAC =乙 DAC ?

XV AB =AD t AC =AC9

.?.?ABC^Δ ADC(SAS)f

???BC = CD.

解析：?ti SAS,t ADC,可得3C = DC.

本题考查了全等三角形的判泄和性质，证明△ ABC仝卜ADC是本题的关键.

21.答案：3α2 + ab.

解析：［分析］

先根据完全平方公式和多项式乘多项式法则讣算，再合并同类项即可得.

［详解］

解：原式=a2 + 2ab+ b2 + 2a z + ab — 2ab — b2 = 3a2 + ab.

［点睛］

本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式法则.

22.答案：解：(l)3 + x(x + 3)=兀2一9

解得：x = -4,

经检验X = -4是分式方程的解：

(2)x -l + 2(x+l) = 4

解得：χ = i,

经检验X = I是增根，分式方程无解.

解析：(1)分式方程去分母转化为整式方程，求岀整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解；

(2)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到X的值,经检验即可得到分式方程的解. 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验.

23.答案：解：由折叠性质可知：DF=力D = 5, EF = EA t EF丄BD.

在肮D中，由勾股圮理得：BD = ^AD2 +AB2 =13?

??? BF = BD-DF t

.?. FF = 13 - 5 = 8.

设AE = EF =x,则BE= 12-x.

在RtΔ BEF中，由勾股定理可知:EF2 + BF2 = BE2,即X2 + 64 = (12 - x)2, 解得：x = y.

.?. AE =—.

解析：由勾股立理可求得3D = 13,由翻折的性质可求得FE = 8, EF = EA, EF丄8D,设AE = EF = x, 则BE = 12-χt ^t?FEFφ,由勾股左理列方程求解即可.

本题主要考査的是翻折的性质、勾股泄理的应用，任Rt ABEF中，由勾股立理列出关于X的方程是解题的关键.

24.答案：解：(1)如图，线段CD即为所求；

(2) -AC = 8, BC = 6,

???AB = √62 + 82 = 10,

S =讐畔"8.

解析：本题考査的是作图-基本作图，熟知三角形髙线的作法是解答此题的关键.

(1) 以C 为圆心，以一宦长为半径作圆，圆与AB 交两点，再作这两点的垂直平分线即可 (2) 先根据勾股泄理求出AB 的长，再由三角形的而积公式即可得出结论. 25.

答案：解：原式=角一乎÷［沽一侖

α+l

a —1

--- — ----- ÷

a+1 a

a-1 a(a+2) a+1

(a+l)(a-1),

当Q = _扌时.原式=_ ?=-4

? 解析：首先计算括号里而的减法，然后再计算除法，最后再计算减法.化简

后，再代入"的值可得答案.

此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.

26?答案：解：设原计划每月绿化而积^Xkm 2.根据题意可得：

60 _ 60 X

l.Sx

解得：% = 10,

a (a+2)' 2

a+1

经检验得：% = 10是原方程的根，

答：原讣划每月绿化而积为IOZcm2.

解析：宜接利用实际平均每月的绿化而积是原计划的1?5倍，结果提前2个月完成任务，进而得出等式求出答案.

此题主要考査了分式方程的应用，正确得岀等量关系是解题关键.

27.答案：解：⑴"3E="CD:

在△ 4EE和△力CD中，

AB =AC

?A = ?A,

AE = AD

沁 ABEWbACD、

????ABE = ZJ4CD：

(2)连接AF.

-AB = AC9

????ABC =乙ACB,

由(1)可知MBE =乙ACD,

???LFBC =乙FCB,

???FB = FC,

-AB = AC9

???点A、F均在线段BC的垂直平分线上，

即直线AF垂直平分线段BC.

解析：本题考査了等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，解题的关键是能够从题目中整理出

全等三角形，难度不大.

⑴证得△ ABE^ MD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论：

(2)利用垂直平分线段的性质即可证得结论.

28.答案：(1)90。：

(2)①延长FC交AD于乩连接HE，如图2,