信号与系统第四版习题解答

《信号与系统》（第四版）习题解析

高等教育出版社

2007年8月

目录

第1章习题解析 (2)

第2章习题解析 (7)

第3章习题解析 (17)

第4章习题解析 (25)

第5章习题解析 (33)

第6章习题解析 (43)

第7章习题解析 (51)

第8章习题解析 (57)

第1章习题解析

1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？

(c) (d)

题1-1图

解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。

1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形

压缩，f (2

t

)表示将f ( t )波形展宽。]

(a) 2 f ( t - 2 ) (b) f ( 2t )

(c) f ( 2t

)

(d) f ( -t +1 )

题1-2图

解 以上各函数的波形如图p1-2所示。

图p1-2

1-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。

题1-3图

解 各系统响应与输入的关系可分别表示为

)()(t i R t u R R ⋅=

t

t i L

t u L L d )

(d )(= ⎰∞-=

t

C C i C

t u ττd )(1)(

1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。 S R

S L

S C

题1-4图

解 系统为反馈联接形式。设加法器的输出为x ( t )，由于

)()()()(t y a t f t x -+=

且

)()(,

d )()(t y t x t t x t y '==⎰

故有

)()()(t ay t f t y -='

即

)()()(t f t ay t y =+'

1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？

解 设T 为系统的运算子，则可以表示为

)()]([)(t f t f T t y ==

不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则

)()()]([111t y t f t f T == )()()]([222t y t f t f T ==

故有

)()()()]([21t y t f t f t f T =+=

显然

)()()()(2121t f t f t f t f +≠+

即不满足可加性，故为非线性时不变系统。

1-6 判断下列方程所表示的系统的性质。

(1) ⎰+=t

f t

t f t y 0d )(d )(d )(ττ

(2) )()(3)()(t f t y t y t y '=+'+'' (3) )(3)()(2t f t y t y t =+' (4) )()()]([2t f t y t y =+'

解 (1)线性；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。

1-7 试证明方程

)()()(t f t ay t y =+'

所描述的系统为线性系统。式中a 为常量。

证明 不失一般性，设输入有两个分量，且

)()()()(2211t y t f t y t f →→，

则有

)()()(111

t f t ay t y =+' )()()(222

t f t ay t y =+' 相加得

)()()()()()(212211

t f t f t ay t y t ay t y +=+'++' 即

[][])()()()()()(d d

212121t f t f t y t y a t y t y t

+=+++ 可见

)()()()(2121t y t y t f t f +→+

即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。

1-8 若有线性时不变系统的方程为

)()()(t f t ay t y =+'

若在非零f ( t )作用下其响应t t y --=e 1)(，试求方程

)()(2)()(t f t f t ay t y '+=+'

的响应。

解 因为f ( t ) →t t y --=e 1)(，由线性关系，则

)e 1(2)(2)(2t t y t f --=→

由线性系统的微分特性，有

t t y t f -='→'e )()(

故响应

t t t t y t f t f ----=+-=→'+e 2e )e 1(2)()()(2

第2章习题解析

2-1 如图2-1所示系统，试以u C ( t )为输出列出其微分方程。

题2-1图

解 由图示，有

t

u C R u i d d C C L +=

又

⎰-=

t

t u u L

i 0C S L d )(1 故

C

C C S )(1

u C R

u u u L ''+'=- 从而得

)(1

)(1)(1)(S C C C

t u LC

t u LC t u RC t u =+'+''

2-2 设有二阶系统方程

0)(4)(4)(=+'+''t y t y t y

在某起始状态下的0+起始值为

2)0(,1)0(='=++y y

试求零输入响应。

解 由特征方程

λ2 + 4λ + 4 =0

得 λ1 = λ2 = -2 则零输入响应形式为

t e t A A t y 221zi )()(-+=