专题十三解析几何解答题

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名师数学专题卷:专题十三《圆锥曲线与方程》 Word版含答案

名师数学专题卷:专题十三《圆锥曲线与方程》 Word版含答案

名师原创文科数学专题卷专题十三 圆锥曲线与方程考点39:椭圆及其性质(1-5题,13,14题) 考点40:双曲线及其性质(6-10题,15题) 考点41:抛物线及其性质(11,12题)考点42:直线与圆锥曲线的位置关系(17-22题) 考点43:圆锥曲线的综合问题(16题,17-22题)1、若椭圆22143:x C y +=的左焦点为F ,点P 在椭圆C 上,则PF 的最大值为( ) A .5B .2C .3D .72、点(,1)A a 在椭圆22142x y +=的内部,则a 的取值范围是( ) A.11a -<<B.a <a >C.22?a -<<D.a <<3、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ,短轴的一端点为M ,直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点.若4AF BF +=,点M 到直线l 的距离不小于45,则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎛ ⎝⎦B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C.⎫⎪⎪⎣⎭D.3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭4、已知点000(,)()P x y x a ≠±在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上.若点M 为椭圆C 的右顶点,且PO PM ⊥(O 为坐标原点),则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )A.0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.()0,1C.2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5、已知椭圆221369x y +=以及椭圆内一点(4,2)P ,则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A. 12-B .12C .-2D .2 6、已知双曲线E 的中心为坐标原点,(3,0)F 是双曲线E 的焦点,过点F 的直线l 与双曲线E 分别相交于,A B 两点,且AB 的中点为(12,15)N --,则双曲线E 的方程为( )A.22136x y -= B.22145x y -= C.22163x y -= D.22154x y -= 7、中心在原点,实轴在x 轴上,一个焦点在直线34120x y -+=上的等轴双曲线方程是( ) A.228x y -=B.224x y -=C.228y x -=D.224y x -=8、方程22123y xm m +=-+表示双曲线,则实数m 的取值范围是 ( ) A .32m -<< B .13m -<<C .34m -<<D .30m -<<9、过双曲线122=-y x 的右焦点且与右支有两个交点的直线,其倾斜角范围是( ) A.[0,π) B.πππ3π(,)(,)4224⋃ C.π3π(,)44 D.ππ(0,)(,π)22⋃ 10、已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>,若存在过右焦点F 的直线与双曲线 C 相交于,A B 两点且3AF BF =u u u r u u u r,则双曲线离心率的最小值为( )C.2D.11、如图,过抛物线28y x =焦点F 的直线l 与抛物线交于A , B 两点,与抛物线的准线交于C点,若B 是AC 的中点,则AB =( )A . 8B . 9C .10D .1212、若点A 的坐标为(3,2),F 是抛物线24y x =的焦点,点M 在抛物线上移动时,使MF MA +取得最小值的M 的坐标为( )A .(0,0)B .1(,1)2C .2)D .(1,2)13、椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>右焦点为F ,存在直线y t =与椭圆C 交于,A B 两点,使得ABF △为顶角是120︒的等腰三角形,则椭圆C 的离心率e =____________14、已知()4,2是直线L 被椭圆221369x y +=所截得的线段的中点,则L 的方程是__________.15、已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点,E 是双曲线的右顶点,过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点,若ABE △是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围为________.16、有下列命题:(1)双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点; (2)“102x -<<”是“22530x x -<-”的必要不充分条件; (3)若向量a r 与向量b r 共线,则向量,a b r r所在直线平行;(4)若A B C 、、三点不共线,O 是平面ABC 外一点,111333OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r,则点M 一定在平面ABC 上;其中是真命题的是_____(填上正确命题的序号)17、平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>右焦点的直线0x y +-=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. 1.求M 的方程;2.,C D 为M 上两点,若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ACBD 面积的最大值.18、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4,且过点(3,-.1.求双曲线的方程及其渐近线方程;2.若直线:2l y kx =+与双曲线C 有且只有一个公共点,求实数k 的值. 19、已知椭圆的焦点在x 轴上,焦距为4,并且经过点53(,)22- 1.求该椭圆的标准方程;2.该椭圆上是否存在一点,它到直线:100l x y --=的距离最小?最小距离是多少?20、已知抛物线()220y px p =>的焦点为,F A 是抛物线上横坐标为4,且位于x 轴上方的点, A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B ,OB 的中点为M . 1.求抛物线方程;2.过M 作MN FA ⊥,垂足为N ,求点N 的坐标;3.以M 为圆心,MB 为半径作圆M ,当(),0K m 是x 轴上一动点时,讨论直线AK 与圆M 的位置关系.21、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为2.直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点,M N .1.求椭圆C 的方程;2.当AMN △的面积为103时,求实数k 的值. 22、如图,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,点(2,1)在椭圆上.1.求椭圆C 的方程;2.设直线l 与圆22:2O x y +=相切,与椭圆C 相交于,P Q 两点,求证:以线段PQ 为直径的圆恒过原点.答案以及解析1答案及解析: 答案:C 解析:2答案及解析: 答案:D 解析:3答案及解析: 答案:A解析:如图,设左焦点为0F ,连接00,F A F B ,则四边形0AFBF 为平行四边形.∵4AF BF +=,∴04AFAF +=,∴2a =.设(0,)M b ,则4455b ≥,∴12b ≤<.∴离心率222222430,4c c a b b e a a a ⎛⎤--====∈ ⎥ ⎝⎦,故选A4答案及解析: 答案:C解析:因为PO PM ⊥,所以点P 在以线段OM 为直径的圆上,圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭,半径为2a ,所以圆的方程为22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.与椭圆方程联立得222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭,由题意知此方程在区间上(0,)a 上有解.又因为a 为此方程的一个根,所以方程对应的抛物线的对称要介于2a 与a 之间,即22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭.又因为椭圆中222a b c =+,所以221122a c <<,所以212e <<.故选C.5答案及解析: 答案:A 解析:6答案及解析:答案:B解析:设双曲线E 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>,由题意知223,9c a b =+=.设1122(,),(,)A x y B x y ,则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式作差得22212122221212()124()155y y b x x b b x x a y y a a -+-===-+-.又因为直线AB 的斜率是1501123--=--,所以2245b a =,代入229a b +=得224,5a b ==,所以双曲线E 的标准方程是22145x y -=.7答案及解析: 答案:A解析:在直线34120x y -+=中,令0y =得,4x =-,∴等轴双曲线的一个焦点坐标为()4,0-,∴4c =,∴221116822a c ==⨯=,故选A8答案及解析: 答案:A 解析:9答案及解析: 答案:C 解析:10答案及解析: 答案:C解析:因为过右焦点的直线与双曲线 C 相交于,A B 两点且3AF BF =u u u r u u u r,故直线与双曲线相交只能如图所示的情况, 即A 点在双曲线的左支,B 点在右支,设()()1122,,,A x y B x y ,右焦点()(),00F c c >,因为3AF BF =u u u r u u u r,所以()12212,32c x c x x x c -=--=,由图可知,12,x a x a ≤-≥, 所以12,33x a x a -≥≥, 故2134x x a -≥, 即24,2cc a a≥≥, 即2e ≥,故选C.11答案及解析: 答案:B 解析:12答案及解析: 答案:D解析:如图,已知24y x =,可知焦点(1,0)F ,准线:1x =-,过点A 作准线的垂线,与抛物线交于点M ,作根据抛物线的定义,可知BM MF =MF MA MB MA +=+取最小值,已知(3,2)A ,可知M 的纵坐标为2,代入24y x =中, 得M 的横坐标为1, 即(1,2)M . 故选:D13答案及解析:1 解析:14答案及解析: 答案:280x y +-= 解析:15答案及解析: 答案:()1,2解析:∵ABE △为等腰三角形,可知只需45AEF ∠<︒即可,即2b AF EF ac a<<⇒+,化简得220e e --<,又1,12e e >∴<<,∴该双曲线的离心率e 的取值范围为()1,2.16答案及解析: 答案:(1)(4) 解析:17答案及解析:答案:1.设()()()112200,,,,,,A x y B x y P x y则2211221x y a b +=,2222221x y a b+=,21211y y x x -=--.由此可得2212122121()1()b x x y ya y y x x +-=-=+-.因为1201202,2x x x y y y +=+=,0012y x =, 所以222a b =.又由题意知,M的右焦点为0), 故223a b -=. 因此226,3a b ==.所以M 的方程为22163x y +=. 2.由220163x y x y +-=+=⎧⎪⎨⎪⎩,解得33x y ⎧⎪==⎨-⎪⎪⎪⎩,或0x y ⎧==⎪⎨⎪⎩因此AB =. 由题意可设直线CD的方程为3y x n n ⎛=+-<< ⎝,设()()3344,,,C x y D x y .由22163y x n x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩,得2234260x nx n ++-=.于是3,4x =因为直线CD 的斜率为1,所以43CD x =-=由已知,四边形ACBD的面积12S CD AB =⋅=.当0n =时,S 取得最大值,. 所以四边形ACBD面积的最大值为3. 解析:18答案及解析: 答案:1.由题意得222249241a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2213a b ⎧=⎨=⎩ ∴双曲线的方程为2213y x -=,其渐近线方程为y =. 2.由22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(3)470k x kx ---=. 由题意得222301628(3)0k k k ⎧-≠⎨∆=+-=⎩∴27k =,∴k =当直线l 与双曲线C的渐近线y =平行,即k =时, 直线l 与双曲线C只有一个公共点,∴k =k =解析:19答案及解析:答案:1.由题意设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,则22222c a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩a b ==∴所求椭圆的标准方程为221106x y += 2.设直线m 的方程为0x y n -+= 由2211060x y x y n ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩,消去y 得228105300x nx n ++-=由0∆=解得4n =±由图像可知,当4n =-时,直线m 与椭圆的交点到l 的距离最近 直线m 与直线l间的距离d == ∴解析:20答案及解析:答案:1.抛物线()220y px p =>准线为2p x =-, 于是452p +=,所以2p =. 于是抛物线方程为24y x =.2.因为点A 的坐标是()4,4,由题意得()0,4B ,()0,2M ,又()1,0F ,所以43FA k =,MN FA ⊥,34MN k =-. 则FA 的方程为()413y x =-,MN 的方程为324y x -=- 解方程组()413324y x y x =--=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得8545x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩,所以84,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.3.由题意得,圆M 的圆心是点()0,2,半径为2.当4m =时,直线AK 的方程为4x =,此时,直线AK 与圆M 相离, 当4m ≠时,直线AK 的方程为()44y x m m =-- 即为()4440x m y m ---=圆心()0,2M 到直线AK 的距离d =,令2d >解得1m >.所以当1m >时,直线AK 与圆M 相离;当1m =时,直线AK 与圆M 相切;当1m <时,直线AK 与圆M 相交.解析:21答案及解析:答案:1.由题意得22222a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为22142x y +=. 2.由22(1)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=. 设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,则221122*********(1),(1),,1212k k y k x y k x x x x x k k-=-=-+==++,所以MN ===又因为点(2,0)A 到直线(1)y k x =-的距离d =,所以AMN △的面积12S MN d =⋅=3=,解得1k =±. 解析:22答案及解析:答案:1.由题意,得c =223a b -=, 又22411a b+=, 解得226,3a b ==. 所以椭圆的方程为22163x y +=; 2. ①若直线PQ 的斜率不存在,则直线PQ的方程为x =x =当x =P,Q .因为0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ,所以OP OQ ⊥.当x =OP OQ ⊥,即有②若直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程为y kx m =+,即0kx y m -+=.=2222m k =+;将直线PQ 方程代入椭圆方程,得222)(124260k x kmx m +-++=.设1122,),,()(P x y Q x y ,则有2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++, 因为12121212()()x x y y x x kx m O kx m P OQ ⋅++++==u u u r u u u r22222121222264(1(1()1212))()m km k x x km x x m k km m k k-=+++++⋅+-+++= 将2222m k =+代入上式可得0OP OQ ⋅=u u u r u u u r , 所以以线段PQ 为直径的圆恒过原点. 解析:。

2021高考数学(文)13 解析几何

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6m
9
∴y1+y2=-
,y1y2=-
,Δ =36m2-4(3m2+4)·(-9)=144(m2+
3m2+4
3m2+4
1)>0,
1 ∴S =S +S = 四边形 OCAD △OAD △OAC |OA|·
2
1
1
|y2|+ |OA|·|y1|= |OA|·|y1-y2|
2
2
×12×
y1+y2 2-4y1y2=
定点,请说明理由.
[解] (1)由题意知,Error!解得 Error! x2 y2
所以椭圆的方程为 + =1. 64
(2)当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+t,A(x1,y1),B(x2, y2),由 Error!消去 y 并整理得(3k2+2)x2+6ktx+3t2-12=0,
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晨鸟教育
3
1
由题设得 0<m< ,故 k<- .
2
2
(2)由题意得 F(1,0).设 P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=
(0,0).
由(1)及题设得 x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.
3
3 →3
又点 P 在 C 上,所以 m= ,从而 P ,- ,| |= .
[解] (1)因为⊙M 过点 A,B,所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A
在直线 x+y=0 上,且 A,B 关于坐标原点 O 对称,所以 M 在直线 y=x 上,故可
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晨鸟教育
设 M(a,a). 因为⊙M 与直线 x+2=0 相切, 所以⊙M 的半径为 r=|a+2|. 由已知得|AO|=2,又 MO⊥AO, 故可得 2a2+4=(a+2)2,解得 a=0 或 a=4. 故⊙M 的半径 r=2 或 r=6. (2)存在定点 P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值. 理由如下: 设 M(x,y),由已知得⊙M 的半径为 r=|x+2|,|AO|=2. 由于 MO⊥AO,故可得 x2+y2+4=(x+2)2,化简得 M 的轨迹方程为 y2=4x. 因为曲线 C:y2=4x 是以点 P(1,0)为焦点,以直线 x=-1 为准线的抛物线,

专题13 二次函数中代数+几何应用4种压轴题型全攻略(解析版)

专题13 二次函数中代数+几何应用4种压轴题型全攻略(解析版)

专题13二次函数中代数+几何应用4种压轴题型全攻略(1)【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一二次函数中求锐角三角比的问题】 (1)【考点二二次函数中由几何特性求系数(线段)取值范围的问题】 (2)【考点三二次函数中有关线段长度的计算问题】 (2)【考点四二次函数中有关图形面积的计算问题】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一二次函数中求锐角三角比的问题】【例题1】已知在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(2,2),对称轴是直线x=1,顶点为B.(1)求这条抛物线的表达式和点B的坐标;(2)点M在对称轴上,且位于顶点上方,设它的纵坐标为m,联结AM,用含m的代数式表示∠AMB的余切值;【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2.顶点B坐标为(1,3).(2)cot∠AMB=m﹣2.【详解】试题分析:(1)依据抛物线的对称轴方程可求得b的值,然后将点A的坐标代入y=﹣x2+2x+c可求得c 的值;(2)过点A 作AC ⊥BM ,垂足为C ,从而可得到AC=1,MC=m ﹣2,最后利用锐角三角函数的定义求解即可;试题解析:(1)∵抛物线的对称轴为x=1,∴x=﹣=1,即=1,解得b=2.∴y=﹣x 2+2x+c .将A (2,2)代入得:﹣4+4+c=2,解得:c=2.∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+2.配方得:y=﹣(x ﹣1)2+3.∴抛物线的顶点坐标为(1,3).(2)如图所示:过点A 作AC ⊥BM ,垂足为C ,则AC=1,C (1,2).∵M (1,m ),C (1,2),∴MC=m ﹣2.∴cot ∠AMB==m ﹣2.考点:二次函数的综合应用.【变式1】如图1,将矩形OABC 置于平面直角坐标系中,点A 的坐标为()40-,,点C 的坐标为()0(0)m m >,,点()1D m -,在边BC 上,将ABD △沿AD 折叠压平,使点B 落在坐标平面内,设点B 的对应点为点E .(1)如图2,当3m =时,抛物线过点A 、E 、C ,求抛物线解析式;m=时,点C的坐标为(0当3点A的坐标为(4,0)-,四边形∴==,AB OC== OA BC4BD∴=,3∴将ABD△沿AD折叠压平,点∴=,AE3由折叠得3DE DB ==,AED ∠90DEC AEO ∴∠+∠=︒,CE =90EAO AEO ∠+∠=︒ ,DEC EAO ∴∠=∠,90AOE ECD ∠=∠=︒ ,AOE ECD ∴△∽△,(1)求抛物线的解析式和顶点C 的坐标;(1)求该抛物线的表达式;(2)若点P 与点N 重合,连接【答案】(1)234y x x =-++2在抛物线234y x x =-++中,令解得11x =-,24x =,∴()1,0M -,()4,0N ,1(1)如图2,当3m =时,抛物线过点A 、E 、C ,求抛物线解析式;(2)若点E 横坐标坐标为1,抛物线2210(0y ax ax a =++≠且a 为常数)的顶点落在ADE V 的内部,范围.【答案】(1)2315344y x x =++(2)651035105a -<<-当3m =时,点C 的坐标为(0点E 横坐标坐标为1,1ON CM ∴==,2DM DC CM ∴=+=,AN OA =由折叠得90AED B ∠=∠=︒,90AEN DEM ∴∠+∠=︒,90AEN EAN ∠+∠=︒ ,(1)求抛物线的表达式,并写出点D (2)将直线BC 绕点B 顺时针旋转,交①求点E 的坐标;②二次函数2221y x bx b =++-的图象始终有一部分落在【答案】(1)2=23y x x --,(1,4D -(2)①()0,1E ;②42b -<<【分析】(1)待定系数法求解析式,进而化为顶点式,即可求解.∴,OCB CHD 都是等腰直角三角形,∴1245∠=∠=°,∴1801290BCD ∠=︒-∠-∠=︒,又∵CBE ABD ∠=∠∴3=4∠∠又BCD BOE ∠=∠,∴EOB DCB ∽,∴12EO OB CD BC ==,∴1EO =,∴()0,1E ;(1)当1230y y y ==,时,①求该抛物线的表达式;②将该抛物线向下平移2个单位,再向左平移(2)若20y =,且134y y y 、、中有且仅有一个值大于∴抛物线解析式为2y x bx=-+∵点()11A y -,,()31C y ,,()42D y ,在抛物线2y x bx =-+上,且使得1y 、3y 、4y 中有且仅有一个值大于0,当抛物线的对称轴在y 轴的左侧时,∵抛物线2y x bx =-+开口向下,∴10y >,30y <,40y <,∴()210b --->,210b -+<,2220b -+<,∴1b <-,当抛物线的对称轴在y 轴的右侧时,∵抛物线2y x bx =-+开口向下,∴10y <,30y <,40y >,∴()210b ---<,210b -+>,2220b -+≤,∴1b >-,1b >,2b ≤,∴12b <≤,综上得,1b <-或12b <≤.【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质,待定系数法求解二次函数的解析式以及二次函数与坐标(1)求抛物线的表达式和顶点(2)点P 是线段AB 上的一个动点,过点(3)在第(2)小题的条件下,点【答案】(1)223y x =-+(2)3,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)3∴224233PE x x =-++,()1PB x =--=∵PE PB =,∴2242133x x x -++=+,解得:11x =-(舍去)或232x =,∴3,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭;∴直线EC ED 、与y 轴的交点分别为(C ∴22351002222EC ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,EH ∴EC EH =,∴ECH ∆为等腰三角形,∵点F 到直线EC ED 、的距离相等,且点【考点四二次函数中有关图形面积的计算问题】【例题4】已知抛物线226y ax x =++与x 轴交于点A 、点B (点A 在点B 的左侧,点B 在原点O 右侧),与y 轴交于点C ,且OB OC =.直线BD 恰好平分ABC 的面积,∴点F 为AC 的中点,()06C ,,()20A -,,∴点F 的坐标为()1,3-,设直线BD 的解析式为y kx =+(1)求点A、B的坐标;⊥时,(2)联结AC、OB、BC,当AC OB①求抛物线表达式:②在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得()0,4A -,()8,0C ,(1)求抛物线的表达式;(2)将抛物线向左或向右平移,将平移后抛物线的顶点记为①如果DE AC ∥,求四边形ACDE 的面积;②如果点E 在直线DC 上,点Q 在平移后抛物线的对称轴上,当【答案】(1)243y x x =-+(2)①15,②(4142)-+,或(414--,②设DC 的解析式为y mx c =+,把D 330c m c =⎧⎨+=⎩,解得31c m =⎧⎨=-⎩,DC 的解析式为3y x =-+,点E 的纵坐标为1-,代入3y x =-+,解得,4x =,点E 的坐标为(41)-,,当DE EQ =时,DQE CDQ ∠=∠,因为点E 的坐标为(41)-,,点D 的坐标为所以224442DE =+=,点Q 在平移后抛物线的对称轴上,点Q 【点睛】本题考查了求二次函数解析式和二次函数平移,解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式,根据平移求出平移后的二次函数的顶点坐标.【变式3】如图1,抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -,()3,0B 两点,与y 轴交于点C .图1图2(1)求该抛物线的解析式;(2)若点E 是抛物线的对称轴与直线BC 的交点,点F 是抛物线的顶点,求EF 的长;(3)设点P 是(1)中抛物线上的一个动点,是否存在满足6PAB S =△的点P ?如果存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(请在图2中探讨)【答案】(1)24y x x =-,(4,0)A (2)(2,2)P 【分析】(1)将原点代入解析式求出a 即可求出表达式,并令0y =求出点A 坐标;(2)先求出顶点B 的坐标,表示出BP ,根据三角形面积公式列出等式,解得m 即可.【详解】(1)解:∵抛物线经过坐标原点O ,代入得440a -=,解得1a =,∴抛物线解析式为24y x x =-,∵抛物线与x 轴正半轴交于点A ,∴240x x -=,解得10x =(舍去),24x =,∴点(4,0)A ;(2)设PB 与OA 交于点H ,∵抛物线解析式为2y x =-∴顶点(2,4)-B ,∵(2,)P m ,∴4,2BP m AH =+=,∵6PAB S =△,【过关检测】1.如果函数2y x k =+的图象向左平移2个单位后经过原点,那么k =.【答案】4-【分析】按照平移的规律得平移后的解析式,再把原点代入求k 即可.【详解】解:函数2y x k =+的图象向左平移2个单位后的解析式为()22y x k =++,将()00,代入,解得4k =-,故答案为:4-.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移.解题的关键在于熟练掌握二次函数图象平移:左加右减,上加下减.2.已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线4x =,点1(1,)A y 、2(3,)B y 都在该抛物线上,那么1y 2y .(填“>”或“<”或“=”).【答案】>∵BP =PQ ,PC ⊥BQ ,∴BC =12BQ =12m 2,∠BPC =12∠BPQ ∴tan ∠BPC =tan 60°=212||m BC PC m =解得:m =±23(舍去负数),213m -=3,(1)求该抛物线的表达式;(2)若PE x ∥轴交AB 于点E ,若【答案】(1)234y x x =-++(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标;(2)抛物线与x 轴的另一个交点为C ,点M a ⎛ ⎝,位(0m >),使点M 落在ABC 内,求m 的取值范围;(3)对称轴与直线AB 交于点E ,P 是线段AB 上的一个动点(线于点Q ,当PE QD =时,求点Q 的坐标.【答案】(1)265y x x =-+,()34D -,如图2所示,当点P ∴()43Q -,;综上所述,点Q 的坐标为【点睛】本题主要考查了二次函数综合,一次函数与几何综合,平行四边形的性质,二次函数图象的平移(1)求抛物线的表达式以及点(2)已知点(2,)(0)P m m >,若【答案】(1)24y x x =-,A (2)(2,2)P∵抛物线解析式为24y x =-∴顶点(2,4)-B ,∵(2,)P m ,∴4,2BP m AH =+=,∵6PAB S =△,(1)求该抛物线的表达式;在抛物线234y x x =-++中,令解得11x =-,24x =,∴()1,0M -,()4,0N ,【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质、待定系数法求一次函数与二次函数、相似三角形的判定及性质以及正弦,熟练掌握相似三角形的判定及性质以及二次函数的性质是解题的关键.。

专练13(几何压轴大题)2020年中考数学考点必杀题 (四川专用)(解析版)

专练13(几何压轴大题)2020年中考数学考点必杀题  (四川专用)(解析版)

专练13(几何压轴大题)(30道)1.(2019·四川省初三)如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.(1)求证:直线CP是⊙O的切线;(2)若BC=2,sin∠BCP=,求点B到AC的距离;(3)在第(2)的条件下,求△ACP的周长.【答案】(1)证明见解析;(2)4;(3)20.【解析】解:(1)∵∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∵AC为⊙O的直径,∴∠ANC=90°,∴∠CAN+∠ACN=90°,2∠BAN=2∠CAN=∠CAB,∵∠CAB=2∠BCP,∴∠BCP=∠CAN,∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°,∵点D在⊙O上,∴直线CP是⊙O的切线;(2)如图,作BF⊥AC∵AB=AC,∠ANC=90°,∴CN=CB=,∵∠BCP=∠CAN,sin∠BCP=,∴sin∠CAN=,∴∴AC=5,∴AB=AC=5,设AF=x,则CF=5﹣x,在Rt△ABF中,BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2,在Rt△CBF中,BF2=BC2﹣CF2=2O﹣(5﹣x)2,∴25﹣x2=2O﹣(5﹣x)2,∴x=3,∴BF2=25﹣32=16,∴BF=4,即点B到AC的距离为4.(3)在Rt△BCF中,CF=∴AF=AC-CF=5-2=3,∵BF∥CP,∴,,∴CP=,BP=∴△APC的周长是AC+PC+AP=20.【点睛】此题是圆的综合题,主要考查了切线的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,构造出直角三角形Rt△ABF和Rt△CBF是解本题的关键.2.(2019·四川省成都市簇锦中学中考模拟)如图,四边形ABCD的顶点在⊙O上,BD是⊙O的直径,延长CD、BA交于点E,连接AC、BD交于点F,作AH⊥CE,垂足为点H,已知∠ADE=∠ACB.(1)求证:AH是⊙O的切线;(2)若OB=4,AC=6,求sin∠ACB的值;(3)若,求证:CD=DH.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.【解析】(1)证明:连接OA,由圆周角定理得,∠ACB=∠ADB,∵∠ADE=∠ACB,∴∠ADE=∠ADB,∵BD是直径,∴∠DAB=∠DAE=90°,在△DAB和△DAE中,,∴△DAB≌△DAE,∴AB=AE,又∵OB=OD,∴OA∥DE,又∵AH⊥DE,∴OA⊥AH,∴AH是⊙O的切线;(2)解:由(1)知,∠E=∠DBE,∠DBE=∠ACD,∴∠E=∠ACD,∴AE=AC=AB=6.在Rt△ABD中,AB=6,BD=8,∠ADE=∠ACB,∴sin∠ADB==,即sin∠ACB=;(3)证明:由(2)知,OA是△BDE的中位线,∴OA∥DE,OA=DE.∴△CDF∽△AOF,∴=,∴CD=OA=DE,即CD=CE,∵AC=AE,AH⊥CE,∴CH=HE=CE,∴CD=CH,∴CD=DH.【点睛】本题考查的是圆的知识的综合应用,掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键.3.(2019·四川省初三期末)在矩形ABCD中,AB=12,P是边AB上一点,把△PBC沿直线PC折叠,顶点B的对应点是点G,过点B作BE⊥CG,垂足为E且在AD上,BE交PC于点F,1)如图1,若点E是AD的中点,求证:△AEB≌△DEC,,2)如图2,①求证:BP=BF,②当AD=25,且AE,DE时,求cos∠PCB的值;③当BP=9时,求BE•EF的值.【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②;③108. 【解析】(1)在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,AB=DC,∵E是AD中点,∴AE=DE,在△ABE和△DCE中,,∴△ABE≌△DCE,SAS,,,2,①在矩形ABCD,∠ABC=90°,∵△BPC沿PC折叠得到△GPC,∴∠PGC=∠PBC=90°,∠BPC=∠GPC,∵BE⊥CG,∴BE∥PG,∴∠GPF=∠PFB,∴∠BPF=∠BFP,∴BP=BF,②当AD=25时,∵∠BEC=90°,∴∠AEB+∠CED=90°,∵∠AEB+∠ABE=90°,∴∠CED=∠ABE,∵∠A=∠D=90°,∴△ABE∽△DEC,∴,设AE=x,∴DE=25,x,∴,∴x=9或x=16,∵AE,DE,∴AE=9,DE=16,∴CE=20,BE=15,由折叠得,BP=PG,∴BP=BF=PG,∵BE∥PG,∴△ECF∽△GCP,∴,设BP=BF=PG=y,∴,∴y=,∴BP=,在Rt△PBC中,PC=,cos∠PCB==,③如图,连接FG,∵∠GEF=∠BAE=90°,∵BF∥PG,BF=PG=BP,∴▱BPGF是菱形,∴BP∥GF,∴∠GFE=∠ABE,∴△GEF∽△EAB,∴,∴BE•EF=AB•GF=12×9=108,【点睛】此题是四边形综合题,主要考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,折叠的性质,利用方程的思想解决问题是解本题的关键.4.(2019·绵阳市第二中学中考模拟)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过点A作AF,DE,垂足为F,,O经过点C,D,F,与AD相交于点G,,1)求证:△AFG,,DFC,,2)若正方形ABCD的边长为4,AE,1,求,O的半径.【答案】(1)详见解析;(2),O的半径为,【解析】,1)证明:在正方形ABCD中,∠ADC,90°,,,CDF+,ADF,90°,,AF,DE,,,AFD,90°,,,DAF+,ADF,90°,,,DAF,,CDF,∵四边形GFCD是,O的内接四边形,,,FCD+,DGF,180°,,,FGA+,DGF,180°,,,FGA,,FCD,,,AFG,,DFC,,2)解:如图,连接CG,,,EAD,,AFD,90°,,EDA,,ADF,,,EDA,,ADF,, ,即,,,AFG,,DFC,, ,,,在正方形ABCD中,DA,DC,,AG,EA,1,DG,DA,AG,4,1,3,,CG,,CDG,90°,,CG是,O的直径,,,O的半径为,【点睛】考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线.5.(2019·四川省中考模拟)已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(4,0),点B(0,3),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B′和折痕OP.设BP=t.(1)如图1,当∠BOP=30°时,求点P的坐标;(2)如图2,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,设AQ=m,试用含有t的式子表示m;(3)在(2)的条件下,连接OQ,当OQ取得最小值时,求点Q的坐标;(4)在(2)的条件下,点C′能否落在边OA上?如果能,直接写出点P的坐标;如果不能,请说明理由.【答案】(1)(√3,3);(2)m=13t2−43t+3;(3)Q(4,53);(4)点C′不能落在边OA上.【解析】解:(1)∵A(4,0),B(0,3),∴OA=4,OB=3,在Rt△OBP中,∵∠BOP=30°,∴PB=√3=√3=√3,∴点P的坐标为(√3,3),(2)由题意,得BP=t,PC=4﹣t,CQ=3﹣m,由折叠可知:∠OPB=∠OPB′,∠CPQ=∠C′PQ,又∵∠OPB+∠OPB′+∠CPQ+∠C′PQ=180°,∴∠OPB+∠CPQ=90°,又∵∠OPB+∠BOP=90°,∴∠OPB=∠CPQ,又∵∠OBP=∠C=90°,∴△OBP∽△PCQ,∴OBPC=BPCQ,∴34−t =t 3−m ,∴m =13t 2﹣43t +3;(3)∵OQ 2=OA 2+AQ 2=42+AQ 2=16+AQ 2,∴当AQ 最短时,OQ 最短,∵AQ =m =13t 2﹣43t +3=13(t ﹣2)2+53,∴当t =2时,AQ 最短,OQ 最短,此时点Q (4,53),(4)点C ′不能落在边OA 上,理由:假设点C ′能落在边OA 上,由折叠可得PB =PB ′=t ,PC =PC ′=4﹣t ,OB =OB ′=3,∠OPB =∠OPC ′,∠OB ′P =∠OBP =90°,∵BC ∥OA ,∴∠BPO =∠POC ′,∴∠OPC ′=∠POC ′,∴OC ′=PC ′=4﹣t ,∴B ′C ′=PC ﹣PB ′=(4﹣t )﹣t =4﹣2t ,在Rt △OB ′C ′中,∵B ′O 2+B ′C ′2=OC ′2,∴32+(4﹣2t )2=(4﹣t )2,整理,得3t 2﹣8t +9=0,∵△=(﹣8)2﹣4×3×9<0,∴该方程无实数解,∴点C ′不能落在边OA 上.【点睛】本题考查一次函数图象及性质,图形的折叠,三角形的相似,最短路径问题;借助三角形相似求m 与t 的关系,利用二次函数求最短距离,利用勾股定理和一元二次方程根的存在性判断点的位置关系是解决本题的关键.6.(2019·四川省中考模拟)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.已知是比例三角形,,,请直接写出所有满足条件的AC 的长;如图1,在四边形ABCD 中,AD //BC ,对角线BD 平分,BAC ADC.∠∠=求证:是比例三角形. 如图2,在的条件下,当ADC 90∠=时,求的值.【答案】当或或时,是比例三角形;证明见解析, ,【解析】()1ABC 是比例三角形,且,,当2AB BC AC =⋅时,得:,解得:,当2BC AB AC =⋅时,得:92AC =,解得:,当2AC AB BC =⋅时,得:,解得:负值舍去,所以当或或时,是比例三角形;()2AD//BC , ,又BAC ADC ∠∠=,∽, ,即2CA BC AD =⋅,AD //BC ,,平分,,ADB ABD ∠∠∴=,AB AD ∴=,2CA BC AB ∴=⋅,是比例三角形;如图,过点A 作AH BD ⊥于点H,AB AD =,,AD //BC ,ADC 90∠=,BCD 90∠∴=,BHA BCD 90∠∠∴==,又ABH DBC ∠∠=, ∽,,即,,又2AB BC AC ⋅=,,,【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题,理解比例三角形的定义,熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解题的关键,7.(2018·四川省中考模拟)如图,在Rt ABC 中,AB AC =,点D 为AC 延长线上一点,连接BD ,过A 作AM BD ⊥,垂足为M ,交BC 于点N如图1,若30ADB ∠=,,求AM 的长;如图2,点E 在CA 的延长线上,且AE CD =,连接EN 并延长交BD 于点F ,求证:=EF FD ; 在的条件下,当时,请求出的值.【答案】(1);(2)证明见解析;(3)【解析】解:在Rt ABC 中,AB AC =,是等腰直角三角形,,. 30ADB ∠=,6BD =∴,.根据等面积法可得:,36AM ∴⨯=⋅,.证明:作AH BC ⊥,垂足为H ,延长AH 交BD 于P ,连接CP ,如图3所示.是等腰直角三角形,,BP CP =,.AM BD ⊥,AH BC ⊥,90BMN AHN ∴∠=∠=,,NBM NAH PBH ∴∠=∠=∠.在和AHN 中,,BHP ∴≌,,CP AN ∴=.,,,在和中,,AEN ∴≌()CDP SAS ,E D ∴∠=∠,.过点F 作FQ AC ⊥于Q ,由可得,Q 是DE 的中点,过N 作NR AC ⊥于R ,如图4所示.设,, 3AC a ∴=,,4AD a =,////NR FQ AB ,ANR ∴∽∽,,. NRC 为等腰直角三角形,,//NR FQ ,ENR ∴∽,.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积、等腰直角三角形以及解含30度角的直角三角形,解题的关键是:利用面积法求出AM 的长;利用全等三角形的性质找出E D ∠∠=;,,,,,,,,,,,,a,,,,,,,AQ,RQ,,,8.(2017·四川省中考模拟)如图,AB 是,O 的直径,点C 为,O 上一点,AE 和过点C 的切线互相垂直,垂足为E ,AE 交,O 于点D ,直线EC 交AB 的延长线于点P ,连接AC ,BC ,PB :PC=1:2.(1)求证:AC 平分,BAD ;(2)探究线段PB ,AB 之间的数量关系,并说明理由;(3)若AD=3,求,ABC 的面积.【答案】(1)证明见试题解析;(2)AB=3PB ,理由见试题解析;(3)5.【解析】解:(1)连接OC ,,PE 是,O 的切线,,OC,PE ,,AE,PE ,,OC,AE ,,,DAC=,OCA ,,OA=OC ,,,OCA=,OAC ,,,DAC=,OAC ,,AC 平分,BAD ;(2)线段PB ,AB 之间的数量关系为:AB=3PB .理由:,AB 是,O 的直径,,,ACB=90°,,,BAC+,ABC=90°,,OB=OC ,,,OCB=,ABC ,,,PCB+,OCB=90°,,,PCB=,PAC ,,,P 是公共角,,,PCB,,PAC ,,,,=PB•PA ,,PB :PC=1:2,,PC=2PB ,,PA=4PB ,,AB=3PB ;(3)过点O 作OH,AD 于点H ,则AH=AD=,四边形OCEH 是矩形,,OC=HE ,,AE=+OC ,,OC,AE ,,,PCO,,PEA ,,,,AB=3PB ,AB=2OB ,,OB=PB ,,==,,OC=,,AB=5,,,PBC,,PCA ,,,,AC=2BC ,在Rt,ABC 中,,,222(2)5BC BC +=,,BC=,,AC=,,S △ABC =AC•BC=5.9.(2018·四川省中考模拟)已知:BD 为,O 的直径,O 为圆心,点A 为圆上一点,过点B 作,O 的切线交DA 的延长线于点F ,点C 为,O 上一点,且AB =AC ,连接BC 交AD 于点E ,连接AC .(1)如图1,求证:∠ABF=∠ABC;(2)如图2,点H为,O内部一点,连接OH,CH若∠OHC=∠HCA=90°时,求证:CH=DA;(3)在(2)的条件下,若OH=6,,O的半径为10,求CE的长.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).【解析】()1BD为的直径,∴∠=,BAD90∴∠+∠=,D ABD90是的切线,FBD∴∠=,90∴∠+∠=,FBA ABD90,=,AB ACC ABC∴∠=∠,∠=∠,C D;如图2,连接OC,∠=∠=,OHC HCA90∴,//AC OH,=,OB OC,,即,,90H BAD ∠=∠=,ABD ∴∽HOC ,,;由知,∽HOC ,,6OH =,的半径为10,,20BD =,16AD ∴=,在与中,,≌,BF BE ∴=,,90FBD BAD ∠=∠=,2AB AF AD ∴=⋅,,,,15BE ==,,BC 交于E ,,9721155AE DE CE BE ⋅⨯∴===. 【点睛】本题考查了切线的性质,圆周角定理,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行线的性质,勾股定理,射影定理,相交弦定理,正确的识别图形是解题的关键.10.(2019·四川省中考模拟)已知,在矩形ABCD 中,连接对角线AC ,将,ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到,EFG ,并将它沿直线AB 向左平移,直线EG 与BC 交于点H ,连接AH ,CG .(1)如图,,当AB=BC ,点F 平移到线段BA 上时,线段AH ,CG 有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你的猜想;(2)如图,,当AB=BC,点F平移到线段BA的延长线上时,(1)中的结论是否成立,请说明理由;(3)如图,,当AB=nBC(n≠1)时,对矩形ABCD进行如已知同样的变换操作,线段AH,CG有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你的猜想.【答案】(1) AH=CG,AH,CG ;(2) 仍然成立,理由详见解析;(3) AH=nCG,AH,CG.理由详见解析.【解析】(1)AH=CG,AH,CG.证明:延长AH与CG交于点T,如图,,由旋转和平移的性质可得:EF=AB,FG=BC,,EFG=,ABC.,四边形ABCD是矩形,AB=BC,,EF=GF,,EFG=,ABC=90°.,,CBG=90°,,EGF=45°.,,BHG=90°﹣45°=45°=,EGF.,BH=BG.在,ABH和,CBG中,AB=BC,,ABH=,CBG,BH=BG,,,ABH,,CBG(SAS).,AH=CG,,HAB=,GCB.,,HAB+,AGC=,GCB+,AGC=90°.,,ATC=90°.,AH,CG.(2)(1)中的结论仍然成立.证明:延长CG与AH交于点Q,如图,,由旋转和平移的性质可得:EF=AB,FG=BC,,EFG=,ABC.,四边形ABCD是矩形,AB=BC,,EF=GF,,EFG=,ABC=90°.,,ABH=90°,,EGF=45°.,,BGH=,EGF=45°.,,BHG=90°﹣45°=45°=,BGH.在,ABH和,CBG中,AB=BC,,ABH=,CBG,BH=BG,,,ABH,,CBG(SAS).,AH=CG,,HAB=,GCB.,,GCB+,CHA=,HAB+,CHA=90°.,,CQA=90°.,CG,AH.(3)AH=nCG,AH,CG.理由如下:延长AH与CG交于点N,如图,,由旋转和平移的性质可得:EF=AB,FG=BC,,EFG=,ABC.,四边形ABCD是矩形,AB=nBC,,EF=nGF,,EFG=,ABC=90°.,,EFG+,ABC=180°.,BH,EF.,,GBH,,GFE.,.,,,.,,ABH=,CBG,,,ABH,,CBG.,=n,,HAB=,GCB.,AH=nCG,,HAB+,AGC=,GCB+,AGC=90°.,,ANC=90°.,AH,CG.11.(2018·四川省中考模拟)如图,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠BEC=90°,点P为线段BE延长线上一点,连接CP,以CP为直角边向下作等腰直角△CPD,线段BE与CD相交于点F,,2)连接BD ,请你判断AC 与BD 有什么位置关系?并说明理由.【答案】,1,证明见解析,,2,AC ∥BD ,理由见解析,【解析】(1),,,ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形,且∠ACB ,,BEC ,90°,,,ECB ,,PCD ,45°,,CEB ,,CPD ,90°,,,BCE ,,DCP ,,,(2)AC ,BD ,理由:∵∠PCE ,,ECD ,,BCD ,,ECD ,45°,,,PCE ,,BCD ,,,,,PCE ,,DCB ,,,CBD ,,CEP ,90°,,,ACB ,90°,,,ACB ,,CBD ,,AC ,BD ,【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,判定两个三角形相似的方法有:①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;②三边成比例的两个三角形相似;③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;④有两个角相等的三角形相似.12.(2019·四川省中考模拟)如图,△ABC 内接于⊙O,2,BC AB AC ==,点为AC 上的动点,且.(1)求的长度;(2)在点D 运动的过程中,弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ,问AD •AE 的值是否变化?若不变,请求出AD •AE 的值;若变化,请说明理由.(3)在点D 的运动过程中,过A 点作AH⊥BD,求证:.【答案】(1) ,(2) 10AD AE ⋅=,,3,证明见解析.【解析】,1)过A 作AF ⊥BC ,垂足为F ,交⊙O 于G,∵AB=AC,AF ⊥BC,∴BF=CF=BC=1,在RtΔAFB 中,BF=1,∴AB=,,2,连接DG,∵AF⊥BC,BF=CF,∴AG为⊙O的直径,∴∠ADG=∠AFE=90°,又∵∠DAG=∠FAE,∴△DAG∽△FAE,∴AD,AF=AG,AE,∴AD•AE=AF•AG,连接BG,则∠ABG=90°,∵BF⊥AG,∴BF2=AF•FG,∵AF==3,∴FG=,∴AD•AE=AF•AG=AF•,AF+FG,=3×=10,,3,连接CD,延长BD至点N,使DN=CD,连接AN,∵∠ADB=∠ACB=∠ABC,∠ADC+∠ABC=180°,∠ADN+∠ADB=180°,∴∠ADC=∠ADN,∵AD=AD,CD=ND,∴△ADC≌△ADN,∴AC=AN,∵AB=AC,∴AB=AN,∵AH⊥BN,∴BH=HN=HD+CD.【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.13.(2019·四川省中考模拟)已知:如图,AB为⊙O的直径,AC与⊙O相切于点A,连接BC交圆于点D,过点D作⊙O的切线交AC于E.(1)求证:AE=CE(2)如图,在弧BD上任取一点F连接AF,弦GF与AB交于H,与BC交于M,求证:∠FAB+∠FBM=∠EDC.(3)如图,在(2)的条件下,当GH=FH,HM=MF时,tan∠ABC=,DE=时,N为圆上一点,连接FN交AB于L,满足∠NFH+∠CAF=∠AHG,求LN的长.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)【解析】解:(1)证明:如图1中,连接AD.∵AB是直径,∴∠ADB=∠ADC=90°,∵EA、ED是⊙O的切线,∴EA=ED,∴∠EAD=∠EDA,∵∠C+∠EAD=90°,∠EDC+∠EDA=90°,∴∠C=∠EDC,∴ED=EC,∴AE=EC.(2)证明:如图2中,连接AD.∵AC是切线,AB是直径,∴∠BAC=∠ADB=90°,∴∠BAD+∠CAD=90°,∠CAD+∠C=90°,∴∠BAD=∠C,∵∠EDC=∠C,∴∠BAD=∠EDC,∵∠DBF=∠DAF,∴∠FBM+∠F AB=∠FBM+∠DAF=∠BAD,∴∠F AB+∠FBM=∠EDC.(3)解:如图3中,由(1)可知,DE=AE=EC,∵DE=,∴AC=,∵tan∠ABC==,∴,∴AB=26,∵GH=FH,HM=FN,设HM=FM=a,GH=HF=2a,BH=a,∵GH•HF=BH•AH,∴4a2=a(26﹣a),∴a=6,∴FH=12,BH=8,AH=18,∵GH=HF,∴AB⊥GF,∴∠AHG=90°,∵∠NFH+∠CAF=∠AHG,∴∠NFH+∠CAF=90°,∵∠NFH+∠HLF=90°,∴∠HLF=∠CAF,∵AC∥FG,∴∠CAF=∠AFH,∴∠HLF=∠AFH,∵∠FHL=∠AHF,∴△HFL∽△HAF,∴FH2=HL•HA,∴122=HL•18,∴HL=8,∴AL=10,BL=16,FL=4,∵LN•LF=AL•BL,∴4•LN=10•16,∴LN= .【点睛】本题考查了圆的综合问题,涉及到的知识有:切线的性质;切线长定理;圆周角定理;相交弦定理;相似三角形性质与判定等,熟练掌握圆的相关性质是解题关键.14.(2019·四川省中考模拟)等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,点E是AD上的一点,连接CE,将线段EC绕点E顺时针旋转一定的角度,使得点C落在了点F处,且满足∠CEF=∠CAB,连接BF(1)如图,若∠BAC=60°,则线段AE与BF的数量关系为;(2)如图,若∠BAC=90°,求证:BF=AE:(写出证明过程)(3)如图.在(2)的条件下,连接FD并延长分别交CE、CA于点M,N,BC=8,FD=DE,求△DCN,△CMN的面积【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)【解析】解:(1)AE=BF,理由如下,连接CF,当∠BAC=60°时,由AB=AC,可得△ABC是等边三角形,∵∠CEF=∠CAB=60°,CE=FE,∴△CEF是等边三角形,∴∠ACB=∠ECF=60°,∴∠ACE=∠BCF,在△ACE和△BCF中,∴△ACE≌△BCF(SAS),∴AE=BF,(2)连接CF,当∠BAC=90°时,由AB=AC,可得△ABC是等腰直角三角形,∴,∵∠CEF=∠CAB=90°,CE=FE,∴△CEF是等腰直角三角形,∴,且∠ACB=∠ECF=45°,∴,∠ACE=∠BCF,∴△ACE∽△BCF,∴=,即BF=AE;(3)过点F作FG⊥BC于G,连接GE,由(2)可得∠FBC=∠EAC=45°,∴△BGF是等腰直角三角形,∴BG=FG,且BF=BG,又∵BF=AE,∴BG=AE,∵等腰直角三角形ABC中,AD=BD=BC=4,∴DG=DE,∵FD=DE,∴FD=DG,设DG=x,则GF=GB=4﹣x,DF=x,∴Rt△DGF中,x2+(4﹣x)2=(x)2,解得x1=1,x2=﹣(舍去),∴DG=DE=1,∴AD=BG=FG=4﹣1=3,∴BF==3,由∠FBC=∠ACD=45°,BD=CD,∠BDF=∠CDN,可得△BDF≌△CDN(ASA),∴BF=CN=3,∵Rt△ACD中,AC==4,∴AN=,∴△DCN的面积=×△ACD的面积=×8=6,过N作NH∥AD,交CE于H,∴△CNH∽△CAE,∴,即,∴NH=,由NH∥AD,可得,即,∴△CMN的面积=×△DCN的面积=×6=.【点睛】本题考查了三角形的综合问题,熟练掌握等腰三角形的性质,等边三角形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质;相似三角形的判定与性质等相关性质定理是解题关键.15.(2018·四川省中考模拟)已知:如图,在梯形ABCD中,AB,CD,,D,90°,AD,CD,2,点E在边AD上(不与点A,D重合),∠CEB,45°,EB与对角线AC相交于点F,设DE,x,,1)用含x的代数式表示线段CF的长;,2)如果把△CAE的周长记作C△CAE,,BAF的周长记作C△BAF,设,y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;,3)当∠ABE的正切值是时,求AB的长.【答案】,1,CF=,,2,y=,0,x,2,,,3,AB=2.5.【解析】(1)∵AD=CD.∴∠DAC=∠ACD=45°,∵∠CEB=45°,∴∠DAC=∠CEB,∵∠ECA=∠ECA,∴△CEF∽△CAE,∴,在Rt△CDE中,根据勾股定理得,CE= ,∵CA=,∴,∴CF=;(2)∵∠CFE=∠BFA,∠CEB=∠CAB,∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA,∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB,∴∠ECA=∠ABF,∵∠CAE=∠ABF=45°,∴△CEA∽△BFA,∴(0<x<2),(3)由(2)知,△CEA∽△BFA,∴,∴,∵∠ABE的正切值是,∴tan∠ABE=,∴x=,∴AB=x+2=.16.(2019·四川省中考模拟)感知:如图①,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,点P在BC边上,当∠APD=90°时,可知△ABP∽△PCD.(不要求证明)探究:如图②,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当∠B=∠C=∠APD时,求证:△ABP∽△PCD.拓展:如图③,在△ABC中,点P是边BC的中点,点D、E分别在边AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=6,CE=4,则DE的长为______.【答案】探究,成立;拓展:,【解析】感知:∵∠APD=90°,∴∠APB+∠DPC=90°,∵∠B=90°,∴∠APB+∠BAP=90°,∴∠BAP=∠DPC,∵AB∥CD,∠B=90°,∴∠C=∠B=90°,∴△ABP∽△DCP,探究:∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠CPD,∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD,∵∠B=∠APD,∴∠BAP=∠CPD,∵∠B=∠C,∴△ABP∽△PCD,拓展:同探究的方法得出,△BDP∽△CPE,∴,∵点P是边BC的中点,∵CE=4,∴,∴BD=,∵∠B=∠C=45°,∴∠A=180°,∠B,∠C=90°,即AC⊥AB且AC=AB=6,∴AD=AB,BD=6,=,AE=AC,CE=6,4=2,在Rt△ADE中,DE=,故答案是:,【点睛】此题是相似综合题.主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角定理.解本题的关键是△ABP∽△PCD,17.(2019·四川省中考模拟)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点P为AB边上的动点(P与A、B 不重合),将△BCP沿CP翻折,点B的对应点B1在矩形外,PB1交AD于E,CB1交AD于点F.(1)如图1,求证:△APE∽△DFC;(2)如图1,如果EF=PE,求BP的长;(3)如图2,连接BB′交AD于点Q,EQ:QF=8:5,求tan∠PCB.【答案】(1)见解析;(2)BP=2.4;(3)tan∠PCB=.【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=∠ABC=∠BCD=90°∴∠APE+∠AEP=90°,∠DCF+∠DFC=90°,∵折叠∴∠ABC=∠PB1C=90°,∴∠B1EF+∠B1FE=90°,又∵∠B1EF=∠AEP,∠B1FE=∠DFC,∴∠DFC=∠APE,且∠A=∠D,∴△APE∽△DFC(2)∵PE=EF,∠A=∠B1=90°,∠AEP=∠B1EF,∴△APE≌△B1FE(AAS),∴AE=B1E,AP=B1F,∴AE+EF=PE+B1E,∴AF=B1P,设BP=a,则AP=3﹣a=B1F,∵折叠∴BP=B1P=a,BC=B1C=4,∴AF=a,CF=4﹣(3﹣a)=a+1∴DF=AD﹣AF=4﹣a,在Rt△DFC中,CF2=DF2+CD2,∴(a+1)2=(4﹣a)2+9,∴a=2.4即BP=2.4(3)∵折叠∴BC=B1C,BP=B1P,∠BCP=∠B1CP,∴CP垂直平分BB1,∴∠B1BC+∠BCP=90°,∵BC=B1C,∴∠B1BC=∠BB1C,且∠BB1C+∠PB1B=90°∴∠PB1B=∠PCB,∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠B1BC=∠B1QF,∴∠B1QF=∠BB1C,∴QF=B1F∵EQ:QF=8:5,∴设EQ=8k,QF=5k,∴B1F=5k,EF=EQ+QF=13k,在Rt△B1EF中,B1E==12k,如图,过点Q作HQ⊥B1E于点H,又∵∠PB1C=90°,∴HQ∥B1F∴△EHQ∽△EB1F,∴==∴==∴EH=,HQ=∴B1H=∴tan∠PCB=tan∠PB1B==【点睛】本题是相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,灵活运用这些性质进行推理是解本题关键.18.(2019·四川省中考模拟)如图,在等边△ABC中,点E,F分别是边AB,BC上的动点(不与端点重合),且始终保持AE=BF,连接AF,CE相交于点P.过点A作直线m∥BC,过点C作直线n∥AB,直线m,n相交于点D,连接PD交AC于点G.(1)求∠APC的大小;(2)求证:△APD∽△EAC;(3)在点E,F的运动过程中,若,求的值.【答案】(1)∠APC=120°;(2)证明见解析;(3).【解析】(1)解:∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB,∠B=∠CAE=60°,∵AE=BF,∴△ABF≌△CAE(SAS),∴∠BAF=∠ACE,∴∠CPF=∠ACP+∠CAP=∠BAF+∠CAP=∠CAB=60°,∴∠APC=120°.(2)证明:∵m∥BC,n∥AB,∴∠DAC =∠ACB =60°,∠ACD =∠BAC =60°,∴△ADC 是等边三角形,∴∠ADC =60°,∵∠APC +∠ADC =180°,∴A ,P ,C ,D 四点共圆,∴∠ACP =∠ADP ,∠APD =∠ACD =60°∵∠APD =∠CAE =60°,∠ACE =∠ADP ,∴△APD ∽△EAC .(3)解:作DH ⊥AC 于H .∵,∴可以假设PG =k ,DG =4k ,∵∠ADG =∠ADP ,∠DAG =∠DP A =60°,∴△DAG ∽△DP A ,∴DA 2=DG •DA =20k 2,∵DA >0,DA ∴=,1,2AH AD DH ∴===,在Rt △DGH 中,GH k ,∴AG =AH =GH =k ﹣k ,AC =2k∴.【点睛】三角形综合题,考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,四点共圆等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题19.(2018·四川省中考模拟)如图,已知△ABC 中,∠ACB =90°,AC =8,cos A =,D 是AB 边的中点,E 是AC 边上一点,联结DE ,过点D 作DF ⊥DE 交BC 边于点F ,联结EF .(1)如图1,当DE ⊥AC 时,求EF 的长;(2)如图2,当点E 在AC 边上移动时,∠DFE 的正切值是否会发生变化,如果变化请说出变化情况;如果保持不变,请求出∠DFE 的正切值;(3)如图3,联结CD 交EF 于点Q ,当△CQF 是等腰三角形时,请直接写出BF 的长.【答案】(1);(2)不变;(3)或3或.【解析】,1,∵,∴∵∴∵是边的中点∴∵DE AC ⊥∴∴∴∴844CE =-=∵在Rt AED 中,222AE DE AD +=∴∵DF DE ⊥∴又∵∴四边形DECF 是矩形∴4DF EC ==∵在Rt EDF 中,∴,2)不变过点作DH AC ⊥,DG BC ⊥,垂足分别为点,由(1)可得,∵DH AC ⊥,DG BC ⊥∴又∵,∴四边形DHCG 是矩形∴90HDG ∠=︒∵∴ 即又∵∴EDH FDG ∽∴∵ ∴34DE tan DFE DF ∠== ,3,1° 当时,易证90DFE QFC ∠+∠=︒,即90DFC ∠=︒又∵,D 是AB 的中点∴∴2° 当FQ FC =时,易证FQC DEQ DCB ∽∽∵在Rt EDF 中,34DE tan DFE DF ∠== ∴设=3DE k ,则4DF k =,当FQ FC =时,易证3DE DQ k ==,∴53CQ k =-∵DEQ DCB ∽∴∴∴∵FQC DCB ∽∴∴ 解得 ∴71251755117117FC =⨯= ∴3° 在BC 边上截取BK=BD=5,由勾股定理得出当时,易证CFQ EDQ BDK ∽∽∴设=3DE k ,则,∴∵EDQ BDK ∽∴∴∴5CQ FC == ∵CQF BDK ∽∴∴ 解得∴∴20.(2019·四川省中考模拟)如图,在正方形ABCD 中,边长为4,∠MDN =90°,将∠MDN 绕点D 旋转,其中DM 边分别与射线BA 、直线AC 交于E 、Q 两点,DN 边与射线BC 交于点F ;连接EF ,且EF 与直线AC 交于点P .(1)如图1,点E 在线段AB 上时,①求证:AE =CF ;②求证:DP 垂直平分EF ;(2)当AE =1时,求PQ 的长.【答案】(1)见解析;(2)【解析】,1,①证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴DA ,DC ,∠ADC ,∠DAE ,∠DCF ,90°,∴∠ADC ,∠MDN ,90°,∴∠ADE ,∠CDF ,∴△ADE≌△CDE,ASA,,∴AE,CF,②∵△ADE≌△CDE,ASA,,∴DE,DF,∵∠MDN,90°,∴∠DEF,45°,∵∠DAC,45°,∴∠DAQ,∠PEQ,∵∠AQD,∠EQP,∴△AQD∽△EQP,∴ ,∴,∵∠AQE,∠PQD,∴△AQE∽△DQP,∴∠DDP,∠QAE,45°,∴∠DPE,90°,∴DP⊥EF,∵DE,DF,∴PE,PF,∴DP垂直平分线段EF,,2)解:作QH⊥AD于H,QE⊥AB于G,在Rt△ADE中,DE∵∠QAH,∠QAG,45°,∴HO,QE,AH,EQ,设QH,x,∵×4×x+×1×x,×1×4,∵x,,∴AQ,,DQ,,,EQ,,∵△AQD∽△EQP,∴AQ•PQ,DQ•EQ,∴PQ,, ,【点睛】考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题.21.(2019·四川省中考模拟)如图,正方形ABCD的边长为+1,对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAC分别交BC,BD于E,F,,1)求证:△ABF∽△ACE,,2)求tan∠BAE的值;,3)在线段AC上找一点P,使得PE+PF最小,求出最小值.【答案】,1)证明见解析;(2,tan∠EAB,,1,,3,PE+PF的最小值为,【解析】(1)证明:,四边形ABCD是正方形,,,ACE=,ABF=,CAB=45°,,AE平分,CAB,,,EAC=,BAF=22.5°,,△ABF,△ACE.(2)解:如图1中,作EH,AC于H.,EA平分,CAB,EH,AC,EB,AB,,BE=EB,,,HCE=45°,,CHE=90°,,,HCE=,HEC=45°,,HC=EH,,BE=EH=HC,设BE=HE=HC=x,则EC=x,,BC=+1,,x+x=+1,,x=1,在Rt△ABE中,,,ABE=90°,,tan,EAB=﹣1.(3)如图2中,作点F关于直线AC的对称点H,连接EH交AC于点P,连接PF,此时PF+PE的值最小.作EM,BD于M.BM=EM=,,AC2+,,OA=OC=OB=AC=,,OH=OF=OA•tan,OAF=OA•tan,EAB= •(﹣1)=,,HM=OH+OM=,在Rt△EHM中,EH=..,PE+PF的最小值为..【点睛】本题考查正方形的性质,相似三角形的判定,勾股定理,最短问题等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会利用轴对称解决最短问题,属于中考常考题型.22.(2019·四川省中考模拟)阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,在正方形ABCD中,点E是边BC的中点,点F是线段AE上一点,BF 的延长线交射线CD于点G,若AB=6,AF=4EF,求CG的值与,AFB的度数.他的做法是:过点E作EH,AB交BG于点H,得到,BAF,,HEF(如图2).(1)CG等于多少,,AFB等于多少度;参考小明思考问题的方法,解决下列问题;(2)如图3,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD 于点G,若AF=3EF,求的值;(3)如图4,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,BF和DE相交于点G,且AB=kAD,,DAG=,BAC,求出的值(用含k的式子表示)【答案】(1)CG=3,∠AFB=90°;(2);(3).【解析】(1)过点E作EH∥CD交BG于点H,∴△BEH∽△BCG,∴,∵点E是边BC的中点,∴BC=2BE,∴CG=2HE,∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∴EH∥AB,∴△EFH∽△AFB,∴,∵AF=4EF,∴AB=4EH,∴CG=AB=3,∵CD=6,∴CG=BE,在△ABE和△BCG中,,∴△ABE≌△BCG,∴∠BAE=∠CBG,∵∠ABF+∠CBG=90°,∴∠BAE+∠ABF=90°,∴∠AFB=90°,(2)如图3,同(1)方法得出,CG=2HE,同(1)的方法得出,,∵AF=3EF,∴AB=3EH,∴EH=AB,∴CG=2EH=AB,∴;(3)延长AG交DC于M,延长DE交AB的延长线于N,∵∠DAG=∠BAC,∠ADM=∠ABC,∴△ADM∽△ABC,∴=k,∵点E是边BC的中点,∴,∵DC∥AB,点E是边BC的中点,∴AB=DC=BN,∵DC∥AB,∴,,∴,又AB=AN,∴DF=DM,又,∴.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.23.(2018·四川省中考模拟)在矩形ABCD中,AD=3,CD=4,点E在CD上,且DE=1.(1)感知:如图①,连接AE,过点E作EF丄AE,交BC于点F,连接AE,易证:△ADE≌△ECF(不需要证明);(2)探究:如图②,点P在矩形ABCD的边AD上(点P不与点A、D重合),连接PE,过点E作EF⊥PE,交BC于点F,连接PF.求证:△PDE和△ECF相似;(3)应用:如图③,若EF交AB于点F,EF丄PE,其他条件不变,且△PEF的面积是6,则AP的长为_____.【答案】3﹣【解析】证明,感知,如图①,∵四边形ABCD为矩形,∴∠D=∠C=90°,∴∠DAE+∠DEA=90°,∵EF⊥AE,∴∠AEF=90°,∴∠DEA+∠FEC=90°,∴∠DAE=∠FEC,∵DE=1,CD=4,∴CE=3,∵AD=3,∴AD=CE,∴△ADE≌△ECF,ASA,,探究,如图②,∵四边形ABCD为矩形,∴∠D=∠C=90°,∴∠DPE+∠DEP=90°,∵EF⊥PE,∴∠PEF=90°,∴∠DEP+∠FEC=90°,∴∠DPE=∠FEC,∴△PDE∽△ECF,应用,如图③,过F作FG⊥DC于G,∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥CD,∴FG=BC=3,∵PE⊥EF,∴S△PEF=PE•EF=6,∴PE•EF=12,同理得,△PDE∽△EGF,∴=,∴=,∴EF=3PE,∴3PE2=12,∴PE=±2,∵PE>0,∴PE=2.在Rt△PDE中,由勾股定理得,PD==,∴AP=AD,PD=3,.故答案为3,,点睛:本题考查了矩形、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定,难度适中,运用类比的方法解决问题,从感知、探究和应用,逐渐引导学生利用全等或相似解决问题,如果图形中没有全等或相似的三角形,要作辅助线构建,此类题培养了学生的思维能力.24.(2018·四川省中考模拟)(问题背景)在平行四边形ABCD中,∠BAD=120°,AD=nAB,现将一块含60°的直角三角板(如图)放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,其60°角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB、AD于点E、F(不包括线段的端点).(发现)如图1,当n=1时,易证得AE+AF=AC;(类比)如图2,过点C作CH⊥AD于点H,(1)当n=2时,求证:AE=2FH;(2)当n=3时,试探究AE+3AF与AC之间的等量关系式;(延伸)将60°角的顶点移动到平行四边形ABCD 对角线AC 上的任意点Q ,其余条件均不变,试探究:AE 、AF 、AQ 之间的等量关系式(请直接写出结论).【答案】【发现】:见解析;【类比】:(1)见解析;(2);【延伸】.【解析】如图1,当n =1时,AD =AB ,∴,ABC D 是菱形,∴AB =BC ,∵四边形ABCD 是平行四边形,∠BAD =120°,∴∠D =∠B =60°,∴△ABC ,△ACD 都是等边三角形,∴∠B =∠CAD =60°,∠ACB =60°,BC =AC ,∵∠ECF =60°,∴∠BCE +∠ACE =∠ACF +∠ACE =60°,∴∠BCE =∠ACF ,在△BCE 和△ACF 中,∵ ,∴△BCE ≌△ACF ,ASA,,∴BE =AF ,∴【类比】,,1)如图2,当n =2时,2AD AB =,设,由题意得:2CD x CH =,,∴24AD AB x ==,∴∵CH AD ⊥,由勾股定理得:,AC ===∴222AC CD AD +=,∴∴∴30CAD ∠=︒,∴∵60ECF ∠=︒,∴∴ACE HCF ∽,∴∵2AC CH =,∴2AE FH =;,2)如图3,当n =3时,3AD AB =,过C 作CN ⊥AD 于N ,过C 作CM ⊥AB 于M ,交AD 于H ,∴∴∵∴CFN AEC ∠=∠,∵90M CNF ∠=∠=︒,∴CFN CEM ∽,∴∵∴3CM CN =,∴∵3EM FN =,设CN a FN b ==,,则33CM a EM b ==,, ∵∴∴2HC a HM a HN ===,,,∴∴AC ===, ∴∴【延伸】如图4,AD nAB =,过Q 作QG ∥AD ,作QH ∥AB ,则四边形AGQH 是平行四边形,且AH =nAG , 过C 作CN ⊥AD 于N ,过C 作CM ⊥AB 于M ,交AD 于P ,同理可得:QFN QEM ∽,∴∵∴QM nQN =,∴∵EM nFN =,设 则QM na EM nb ==,,∵∴30APM QPD ∠=∠=︒,∴22PQ a PM na a PN ==-=,,,∴)22AM na a AP AM =-=,,∴∴()21n nAE nAFAQ-+ +==【点睛】本题是四边形的综合题,考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质,勾股定理,面积法等知识,本题比较复杂,运用了类比的方法解决问题,学会添加常用铺助线,属于中考压轴题.25.(2018·四川省中考模拟)如图所示,CD为,O的直径,AD,AB,EC分别与,O相切于点D,E,C(AD<BC),连接DE并延长与与直线BC相交于点P,连接OB.(1)求证:BC=BP;(2)若DE•OB=40,求AD•BC的值;(3)在(2)条件下,若S△ADE:S△PBE=16:25,求S△ADE和S△PBE.【答案】(1)证明见解析;(2)20;(3).【解析】,,,1)证明:如图1中,连接EC,∵BC,BE是⊙O的切线,∴BC=BE,∴∠BCE=∠BEC,∵CD是直径,∴∠CED=∠CEB=90°,∴∠ECB+∠P=90°,∠CEB+∠CEB+∠PEB=90°,∴∠P=∠PEB,∴BE=PB,∴BC=BP,,2)解:如图2中,连接OA,CE,EC交OB于K,∵BC=BE,OC=OE,∴OB垂直平分线段EC,∴∠OKC=∠OCB=90°,CK=EK,∵OC=OD,∴OK=DE,∵△OCK∽△OBC,∴OC2=OK•OB=DE•OB=20,∵AD,AE是切线,∴AD=AE,∵OD=OE,OA=OA,∴△AOD≌△AOE,∴∠AOD=∠AOE,同法证明,∠BOE=∠BOC,∴∠AOB=90°,∵∠AOD+∠BOC=90°,∠BOC+∠CBO=90°,∴∠AOD=∠CBO,∵∠ADO=∠BCO=90°,∴△ADO∽△OCB,∴AD•BC=OD•OC=OC2=20,,3)如图2中,∵S△ADE,S△PBE=16,25,AD∥PB,∴△ADE∽△BPE,∴,设DE=4k,PE=5k,∵△CDE∽△PDC,∴CD2=DE•DP,∴80=36k2,∴k=,∴DE=,PE=,EC=,∴S △ECP =•EC•PE=,∵BC=BP,∴S △PEB =S △PEC =,∴S △ADE =•S △PEB =,【点睛】本题考查相似三角的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、三角形的中位线定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题.26.(2018·四川省中考模拟)如图,已知在ABP △中,C 是BP 边上一点,PA 是的切线,是的外接圆,AD 是的直径,且交BP 于点E .求证:PAC PBA ∠=∠;过点C 作CF AD ⊥,垂足为点F ,延长CF 交AB 于点G ,若8AG AB ⋅=,AF ::3,①求CF 的长;②求cos ACE ∠的值.【答案】(1)见解析;(2) ①;②.【解析】如图1,连接BD ,∵是直径,90ABD ∴∠=,,CAD DBP ∠=∠,90ABP CAD ∴∠+∠=是的切线,90PAD ∴∠=,90PAC CAD ∴∠+∠=,;(2)①如图2,连接BD ,是直径,90ABD ∴∠=,CF AD ⊥,90AFG ABD ∴∠==∠,,∽,,,8AG AB ⋅=,8AF AD ∴⋅=,::3,设,3FD a ∴=,,,(舍负取正),,连接CD ,是直径,90ACD ∴∠=,90CAF ADC ∴∠+∠=,CF AD ⊥,90AFC ∴∠=,90CAF ACF ∴∠+∠=,,90ACD AFC ∠=∠=,∽AFC △,,28AC AF AD ∴=⋅=,在Rt ACF中,根据勾股定理得,CF==;②∽,FAG,,∴=,AB△中,,在Rt ABD根据勾股定理得,,22∴+=,BD BD232,.,.【点睛】本题考查了切线的性质,同角的余角相等,圆的有关性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数,求出AF和BD是解本题的关键.27.(2018·四川省中考模拟)如图,正方形ABCD的边长为4,O是AD的中点,动点E在线段AB上,连接EO并延长交射线CD于点F,过O作EF的垂线交射线BC于点G,连接EG、FG.如图1,判断的形状,并说明理由;如图1,设,的面积为y,求y关于x的函数关系式;将点A沿直线EO翻折,得到点如图2,请计算在点E运动的过程中,点G运动路径的长度并分别求出当点G位于路径的起点和终点时,的值?【答案】(1)等腰三角形,证明见解析;(2);(3).【解析】等腰三角形.证明:四边形ABCD是正方形,∴,分,AB CD//在和DOF中,。

高中数学解析几何解答题(有答案)

高中数学解析几何解答题(有答案)

高中数学解析几何解答题(有答案)解析几何解答题1、椭圆G:的两个焦点为F1、F2,短轴两端点B1、B2,已知F1、F2、B1、B2四点共圆,且点N(0,3)到椭圆上的点最远距离为(1)求此时椭圆G的方程;(2)设斜率为k(k0)的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F,Q为EF的中点,问E、F两点能否关于过点P(0,)、Q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.解:(1)根据椭圆的几何性质,线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分,故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心…………………1分故该椭圆中即椭圆方程可为………3分设H(x,y)为椭圆上一点,则…………… 4分若,则有最大值…………………5分由(舍去)(或b2+3b+927,故无解)…………… 6分若…………………7分由所求椭圆方程为………………… 8分(1)设,则由两式相减得……③又直线PQ直线m直线PQ方程为将点Q()代入上式得,……④…………………11分由③④得Q()…………………12分而Q点必在椭圆内部,由此得 ,故当时,E、F两点关于点P、Q的直线对称14分2、已知双曲线的左、右顶点分别为,动直线与圆相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为 .(Ⅰ)求的取值范围,并求的最小值;(Ⅱ)记直线的斜率为,直线的斜率为,那么,是定值吗?证明你的结论.解:(Ⅰ)与圆相切, ……①由 ,得 ,,故的取值范围为 .由于,当时,取最小值 .6分(Ⅱ)由已知可得的坐标分别为,由①,得,为定值.12分3、已知抛物线的焦点为F,点为直线与抛物线准线的交点,直线与抛物线相交于、两点,点A关于轴的对称点为D.(1)求抛物线的方程。

(2)证明:点在直线上;(3)设,求的面积。

.解:(1)设,,,的方程为.(2)将代人并整理得,从而直线的方程为,即令所以点在直线上(3)由①知,因为,故,解得所以的方程为又由①知故4、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率为,点(2,3)、在该椭圆上,线段的中点在直线上,且三点不共线.(I)求椭圆的方程及直线的斜率;(Ⅱ)求面积的最大值.解:(I)设椭圆的方程为,则,得, .所以椭圆的方程为.…………………3分设直线AB的方程为 (依题意可知直线的斜率存在),设,则由,得,由,得,,设,易知,由OT与OP斜率相等可得,即,所以椭圆的方程为,直线AB的斜率为 (6)分(II)设直线AB的方程为,即,由得,,.………………8分点P到直线AB的距离为 .于是的面积为……………………10分设,,其中 .在区间内,,是减函数;在区间内,,是增函数.所以的最大值为 .于是的最大值为18.…………………12分5、设椭圆的焦点分别为、,直线:交轴于点,且.(Ⅰ)试求椭圆的方程;(Ⅱ)过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点(如图所示),若四边形的面积为,求的直线方程.解:(Ⅰ)由题意, -------1分为的中点------------2分即:椭圆方程为 ------------3分(Ⅱ)当直线与轴垂直时,,此时,四边形的面积不符合题意故舍掉;------------4分同理当与轴垂直时,也有四边形的面积不符合题意故舍掉;------------5分当直线,均与轴不垂直时,设 : ,代入消去得: ------------6分设 ------------7分所以,------------8分所以,------------9分同理 ------------11分所以四边形的面积由,------------12分所以直线或或或 ---------13分6、已知抛物线P:x2=2py(p0).(Ⅰ)若抛物线上点到焦点F的距离为.(ⅰ)求抛物线的方程;(ⅱ)设抛物线的准线与y轴的交点为E,过E作抛物线的切线,求此切线方程;(Ⅱ)设过焦点F的动直线l交抛物线于A,B两点,连接,并延长分别交抛物线的准线于C,D两点,求证:以CD为直径的圆过焦点F.解:(Ⅰ)(ⅰ)由抛物线定义可知,抛物线上点到焦点F的距离与到准线距离相等,即到的距离为3;,解得.抛物线的方程为.4分(ⅱ)抛物线焦点,抛物线准线与y轴交点为,显然过点的抛物线的切线斜率存在,设为,切线方程为.由,消y得,6分,解得.7分切线方程为.8分(Ⅱ)直线的斜率显然存在,设:,设,,由消y得.且.∵ ,直线:,与联立可得,同理得.10分∵焦点,,,12分以为直径的圆过焦点.14分7、在平面直角坐标系中,设点,以线段为直径的圆经过(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;(Ⅱ)过点的直线与轨迹交于两点,点关于轴的对称点为,试判断直线是否恒过一定点,并证明你的结论. 解:(I)由题意可得,2分所以,即 4分即,即动点的轨迹的方程为 5分(II)设直线的方程为 , ,则 .由消整理得,6分则,即 .7分.9分直线12分即所以,直线恒过定点 .13分8、已知椭圆的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求面积的最大值.解:(Ⅰ)因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周所以,1分又椭圆的离心率为,即,所以,2分所以, .4分所以,椭圆的方程为 .5分(Ⅱ)方法一:不妨设的方程,则的方程为 . 由得,6分设,,因为,所以,7分同理可得,8分所以,,10分,12分设,则,13分当且仅当时取等号,所以面积的最大值为 .14分方法二:不妨设直线的方程 .由消去得,6分设,,则有,.①7分因为以为直径的圆过点,所以 .由,得 .8分将代入上式,得 .将①代入上式,解得或(舍).10分所以(此时直线经过定点,与椭圆有两个交点),所以.12分设,则 .所以当时,取得最大值 .14分9、过抛物线C: 上一点作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点。

寒假专题突破练高二数学专题13双曲线(含答案解析)

寒假专题突破练高二数学专题13双曲线(含答案解析)

专题13 双曲线1.双曲线定义 2.双曲线标准方程 3.双曲线的简单几何性质(1)范围;(2)对称性;(3)顶点;(4)渐近线;(5)离心率.例1 设圆C 与两圆(x +5)2+y 2=4,(x -5)2+y 2=4中的一个内切,另一个外切.(1)求C 的圆心轨迹L 的方程; (2)已知点M (355,455),F (-5,0),且P 为L 上动点.求|MP |+|FP |的最小值.变式1 设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点,P 是C 上一点,若|PF 1|+|PF 2|=6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°,则双曲线C 的离心率为________.例2 已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为52,则C 的渐近线方程为( )A .y =±14xB .y =±13xC .y =±12xD .y =±x变式2 双曲线x 24-y 2=1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.255D.455例3 已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 是双曲线右支上一点,当|PF 1→|2|PF 2→|取得最小值时,该双曲线离心率的最大值为________.变式3 已知双曲线x 2a2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是________.A 级1.已知双曲线x 2a 2-y 23=1(a >0)的离心率为2,则a 等于( )A .2 B.62C.52D .12.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0),离心率等于32,则C 的方程是( )A.x 24-y 25=1 B.x 24-y 25=1 C.x 22-y 25=1 D.x 22-y 25=13.双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m 的值为( ) A .-14B .-4C .4D.144.已知中心在原点,对称轴为坐标轴且经过点P (1,3),离心率为2的双曲线的标准方程为( ) A.x 24-y 24=1 B.y 24-x 24=1 C.x 28-y 28=1 D.y 28-x 28=1 5.双曲线x 24-y 212=1的焦点到渐近线的距离为( )A .23 B .2 C.3 D .16.双曲线x 24+y 2k =1的离心率e ∈(1,2),则k 的取值范围是________.7.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为2x +y =0,一个焦点为(5,0),则a =________;b =______________.B 级8.已知方程x 2m 2+n -y 23m 2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( ) A .(-1,3) B .(-1,3) C .(0,3)D .(0,3)9.双曲线x 2-y 2m=1的离心率大于2的充分必要条件是( )A .m >12B .m ≥1C .m >1D .m >210.已知F 1,F 2是双曲线E :x 2a2-y 2b 2=1的左,右焦点,点M 在E 上,MF 1与x 轴垂直,sin ∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为( )A.2 B.32C.3D .211.已知椭圆x 24+y 2a 2=1与双曲线x 2a -y 22=1有相同的焦点,则实数a =________.12.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点.若在C 上存在一点P ,使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为________.13.如图,F 1,F 2是椭圆C 1:x 24+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形,求C 2的离心率.详解答案典型例题例1 解 (1)两圆的圆心分别为A (-5,0),B (5,0),半径为2,设圆C 的半径为r .由题意得|CA |=r -2,|CB |=r +2或|CA |=r +2,|CB |=r -2, 两式相减得|CA |-|CB |=-4或|CA |-|CB |=4,即||CA |-|CB ||=4. 则C 的轨迹为双曲线,其中2a =4,c =5,b 2=1,∴圆C 的圆心轨迹L 的方程为x 24-y 2=1.(2)由(1)知F 为双曲线L 的左焦点,则F ′(5,0)为右焦点. 若P 在L 右支上,由于|FP |=|PF ′|+4,|MP |+|FP |=|MP |+|PF ′|+4≥|MF ′|+4=6;若P 在L 左支上,|MP |+|FP |≥|MF |=4;所以,|MP |+|FP |的最小值为4. 变式13解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|, 则|PF 1|-|PF 2|=2a , 又∵|PF 1|+|PF 2|=6a , ∴|PF 1|=4a , |PF 2|=2a .又在△PF 1F 2中,∠PF 1F 2=30°, 由正弦定理得,∠PF 2F 1=90°, ∴|F 1F 2|=23a ,∴双曲线C 的离心率e =23a 2a=3.例2 C 变式2 C例3 3解析 |PF 1→|2|PF 2→|=|PF 1|2|PF 2|=|PF 2|+2a 2|PF 2|=|PF 2|+4a 2|PF 2|≥4a ,当且仅当|PF 2|=2a 时等号成立.显然,|PF 1|≥c +a ,又|PF 1|=|PF 2|+2a , 则|PF 2|≥c -a ,所以2a ≥c -a ,即3a ≥c ,故e ≤3,即离心率的最大值为3. 变式3 [2,+∞)解析 双曲线的渐近线方程为y =±b a x ,由题意知ba ≥3,则b ≥3a ,b 2≥3a 2,c 2-a 2≥3a 2,c 2≥4a 2,故e ≥2.强化提高1.D [由题意得e =a 2+3a=2,∴a 2+3=2a ,∴a 2+3=4a 2, ∴a 2=1,∴a =1.]2.B [由题意知:c =3,e =c a =32,∴a =2.b 2=c 2-a 2=9-4=5,故所求双曲线方程为x 24-y 25=1.]3.A [由双曲线方程mx 2+y 2=1,知m <0,则双曲线方程可化为y 2-x 2-1m=1,则a 2=1,a =1,又虚轴长是实轴长的2倍,∴b =2,∴-1m=b 2=4,∴m =-14,故选A.]4.D [由于离心率为2,∴e 2=c 2a2=a 2+b 2a 2=1+b 2a 2=2,即a =b ,∴双曲线为等轴双曲线,故设所求双曲线的标准方程为x 2-y 2=λ(λ≠0),又点P (1,3),在双曲线上,则λ=1-9=-8,∴所求双曲线的标准方程为y 28-x 28=1.故选D.]5.A 6.(-12,0) 7.1 2解析 由2x +y =0得y =-2x , 所以b a=2.又c =5,a 2+b 2=c 2,解得a =1,b =2.8.A [∵方程x 2m 2+n-y 23m 2-n=1表示双曲线,∴(m 2+n )·(3m 2-n )>0,解得-m 2<n <3m 2,由双曲线性质,知c 2=(m 2+n )+(3m 2-n )=4m 2(其中c 是半焦距),∴焦距2c =2×2|m |=4,解得|m |=1,∴-1<n <3,故选A.] 9.C [由x 2-y 2m=1知,a =1,b =m ,∴c 2=a 2+b 2=1+m ,e 2=c 2a2=1+m ,由e >2,得1+m >2,∴m >1.]10.A [如图,因为MF 1与x 轴垂直,所以|MF 1|=b 2a .又sin ∠MF 2F 1=13,所以|MF 1||MF 2|=13,即|MF 2|=3|MF 1|.由双曲线的定义得2a =|MF 2|-|MF 1|=2|MF 1|=2b 2a,所以b 2=a 2,所以c 2=b 2+a 2=2a 2,所以离心率e =ca=2.]11.1解析 由双曲线x 2a -y 22=1可知a >0,且焦点在x 轴上.根据题意知4-a 2=a +2,即a 2+a-2=0,解得a =1或a =-2(舍去),故实数a =1. 12.3+1解析 在Rt △PF 1F 2中,设|PF 2|=m , 则|PF 1|=3m ,|F 1F 2|=2m , ∴2a =(3-1)m,2c =2m , ∴e =ca=23-1=3+1. 13.解 |F 1F 2|=23.设双曲线的方程为x 2a2-y 2b 2=1.∵|AF 2|+|AF 1|=4,|AF 2|-|AF 1|=2a , ∴|AF 2|=2+a ,|AF 1|=2-a . 在Rt △F 1AF 2中,∠F 1AF 2=90°, ∴|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2, 即(2-a )2+(2+a )2=(23)2,∴a =2,∴e =ca=32=62.感谢您的下载!快乐分享,知识无限!由Ruize收集整理!。

高考数学 专题13 抛物线解答题解法荟萃(解析版)

专题13 抛物线解答题解法荟萃一.【学习目标】1.掌握抛物线的定义;2.掌握焦点三角形的应用和几何意义;3.掌握抛物线方程的求法;4.掌握直线与抛物线的位置关系;5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。

二.【知识点】 1.抛物线的定义平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离______的点的轨迹叫做抛物线,定点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程、图形及几何性质 标准y 2=2px (p >0) y 2=-2px (p >0) x 2=2py (p >0) x 2=-2py (p >0)方程图 形焦点 )0,2(p F 准线x =p 2范围 ① x ≥0,y ∈R ② x ≤0,y ∈R③ x ∈R ,y ≥0 ④ x ∈R ,y ≤0对称轴 ⑤________ ⑥_________ 顶点 O (0,0) O (0,0) 离心率 e =1e =1开口⑦____ ⑧____⑨____ ⑩____3.抛物线y 2=2px (p >0)上一点P (x 0,y 0)到焦点)0,2(pF 的距离|PF |=x 0+p 2.三.【方法总结】1.求抛物线标准方程的实质是求p 值,常用的方法是待定系数法,若开口不定时,可以设抛物线方程为y 2=mx(m≠0)或x 2=ny(n≠0).2.利用抛物线定义可知,抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质,应用起来非常方便.如:已知AB 是抛物线y 2=2px(p>0)的焦点弦,且A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),点F 是抛物线的焦点(如图),可以证明:(1)y 1y 2=-p 2,x 1x 2=p 24. (2)|AB|=x 1+x 2+p.(3)1|AF|+1|BF|为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. (5)以AF(或BF)为直径的圆与y 轴相切. (6)∠CFD =90°. 四.【题型方法】(一)抛物线的轨迹方程 (二)定点问题(三)直线与抛物线涉及的面积问题 (四)直线与抛物线中涉及的角的问题 (五)定值问题 (六)范围问题(七)抛物线与向量的综合 (八)最值问题 五.【题型举例】(一)抛物线的轨迹方程例1. 已知曲线()2C:2y x =+上有一点A ,定点()B 2,0,求线段AB 中点P 的轨迹方程。

高考数学解析几何解答题专项练习题(附解析)

高考数学解析几何解答题专项练习题(附解析)各科成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径,大伙儿一定要在平常的练习中不断积存,查字典数学网为大伙儿整理了解析几何解答题专题训练题,期望同学们牢牢把握,不断取得进步!1.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+OB,求的值.解(1)直线AB的方程是y=22x-p2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+ p2=0,因此x1+x2=5p4.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,因此p=4,从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4,知4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-22,y2=42,从而A(1,-22),B(4,42).设OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22),又y23=8x3 ,因此[22(2-1)]2=8(4+1),即(2-1)2=4+1,解得=0,或=2.2.已知圆心为C的圆,满足下列条件:圆心C位于x 轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为23,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在如此的直线l,使得直线OD 与MC恰好平行?假如存在,求出l的方程;假如不存在,请说明理由.解(1)设圆C:(x-a)2+y2=R2(a0),由题意知|3a+7|32+42=R,a2+3=R解得a=1或a=138,又S=13,a=1,R=2.圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2)当斜率不存在时,直线l为x=0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),又l与圆C相交于不同的两点,联立得y=kx+3x-12+y2=4,消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0,=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-200,解得k 1-263或k1+263.x1+x2=-6k-21+k2,y1+y2=k(x1+x2)+6=2k+61+k2,OD=OA+OB=(x1+x2,y1+y2),MC=(1,-3),假设OD∥MC,则-3(x1+x2)=y1+y2,36k-21+k2=2k+61+k2,解得k=34-,1-2631+263,+,假设不成立,不存在如此的直线l.3.已知A(-2,0),B(2,0),点C,点D满足|AC|=2,AD=12(AB+AC).(1)求点D的轨迹方程;(2)过点A作直线l交以A,B为焦点的椭圆于M,N两点,线段MN 的中点到y轴的距离为45,且直线l与点D的轨迹相切,求该椭圆的方程.解(1)设C ,D点的坐标分别为C(x0,y0),D(x,y),则AC=(x0+2,y0),AB=(4,0),则AB+AC=(x0+6,y0),故AD=12(AB+AC)=x02+3,y02.又AD=(x+2,y),故x02+3=x+2,y02=y.解得x0=2x-2,y0=2y.代入|AC|=x0+22+y20=2,得x2+y2=1,即所求点D的轨迹方程为x2+y2=1.(2)易知直线l与x轴不垂直,设直线l的方程为y=k(x+2),①设椭圆方程为x2a2+y2a2-4=1(a24).②将①代入②整理,得(a2k2+a2-4)x2+4a2k2x+4a2k2-a4+4a2=0.③因为直线l与圆x2+y2=1相切,故|2k|k2+1=1,解得k2=13.故③式可整理为(a2-3)x2+a2x-34a4+4a2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-a2a2-3.由题意有a2a2-3=245(a24),解得a2=8,经检验,现在0.故椭圆的方程为x28+y24=1.4.已知点F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a0)的左、右焦点,P是椭圆C上的一点,且|F1F2|=2,F1PF2=3,△F1PF2的面积为33.(1)求椭圆C的方程;(2)点M的坐标为54,0,过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A,B两点,关于任意的kR,MAMB是否为定值?若是,求出那个定值;若不是,说明理由.解(1)设|PF1|=m,|PF2| =n.在△PF1F2中,由余弦定理得22=m2+n2-2mncos3,化简得,m2+n2-mn=4.由S△PF1F2=33,得12mnsin3=33.化简得mn=43.因此(m+n)2=m2+n2-mn+3mn=8.m+n=22,由此可得,a=2.又∵半焦距c=1,b2=a2-c2=1.因此,椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)由已知得F2(1,0),直线l的方程为y=k(x-1),由y=kx-1,x22+y2=1消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-12k2+1.∵MAMB=x1-54,y1x2-54,y2=x1-54x2-54+y1y2=x1-54x2-54+k2(x1-1)(x2-1)=(k2+1)x1x2-k2+54(x1+x2)+2516+k2=(k2+1)2k2-22k2+1-4k2k2+542k2+1+2516+k2=-4k2-22k2+1+2516=-716.由此可知MAMB=-716为定值.5.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为4,以原点为圆心,实半轴长为半径的圆和直线x-y+6=0相切.(1)求双曲线E的方程;(2) 已知点F为双曲线E的左焦点,试问在x轴上是否存在一定点M,过点M任意作一条直线交双曲线E于P,Q两点(P在Q点左侧),使FPFQ 为定值?若存在,求出此定值和所有的定点M的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)由题意知|6|12+-12=a,a=3.又∵2c=4,c=2,b=c2-a2=1.双曲线E的方程为x23-y2=1.(2)当直线为y=0时,则P(-3,0),Q(3,0),F(-2,0),FPFQ=( -3+2,0)(3+2,0)=1.当直线不为y=0时,可设l:x=ty+m(t3),代入E:x23-y2=1,整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t3).(*)由0,得m2+t23.设方程(*)的两个根为y1,y2,满足y1+y2=-2mtt2-3,y1y2=m2-3t2-3,FPFQ=(ty1+m+2,y1)(ty2+m+2,y2)=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=t2-2m2-12m-15t2-3.当且仅当2m2+12m+15=3时,FPFQ为定值,解得m1=-3-3,m2=-3+3(舍去).死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

中考数学几何图形复习专题13 二次函数区间及最值问题(学生版)

专题13 二次函数区间及最值问题1.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(–3,5),B(0,5).抛物线y=-x2+bx+c交x轴于C(1,0),D(-3,0)两点,交y轴于点E.(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;(2)当-4≤x≤0时,求y的最大值与最小值的积;(3)连接AB,若二次函数y=-x2+bx+c的图象向上平移m(m>0)个单位时,与线段AB有一个公共点,结合函数图象,直接写出m的取值范围.本号资料皆*来源于微信公众号:数学第@@六感对于整个函数图像来说,最值在顶点处取到,而对于函数图像的一部分来说,则未必。

常见的两种类型分别为:一是给定区间,对称轴不确定;二是给定对称轴,区间不确定。

一般步骤是根据已知,画出函数图像,再根据给定的区间或对称轴进行分类讨论,根据题意建立方程求解。

难点是有时分类讨论次数较多,计算比较繁琐,容易出错。

2.已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线1x =,图象与x 轴交于点()1,0-.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若把抛物线的图象沿x 轴平移m 个单位,在自变量x 的值满足23x ≤≤的情况下,与其对应的函数值y 的最小值为-2,求m 的值.3.如图,抛物线22y x x c =-++与x 轴正半轴,y 轴正半轴分别交于点,A B ,且,OA OB =点G 为抛物线的顶点. 本号资料皆*来源于微信公众#号:数学第六感()1求抛物线的解析式及点G 的坐标;()2点,M N 为抛物线上两点(点M 在点N 的左侧) ,且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点Q 为抛物线上点,M N 之间(含点,M N )的一个动点,求点Q 的纵坐标Q y 的取值范围.4.如图,已知二次函数y =ax 2+3x +12的图像经过点A (-1,-3).(1)求a 的值和图像的顶点坐标.(2)若横坐标为m 的点B 在该二次函数的图像上.①当点B 向右平移4个单位长度后所得点B ′也落在该二次函数图像上时,求m 的值; ②若点B 到x 轴的距离不大于3,请根据图像直接写出m 的取值范围.5.如图,抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()1,0A -,点()3,0B ,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的表达式;(2)在对称轴上找一点Q ,使ACQ 的周长最小,求点Q 的坐标;(3)P 是第四象限内抛物线上的动点,求BPC △面积S 的最大值及此时P 点的坐标.6.如图,抛物线2y x mx =+与直线y x b =-+交于点A (2,0)和点B .。

2021高考数学(理)13 解析几何 含解析

专题限时集训(十三) 解析几何1.(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C :x 22+y 2=1的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:∠OMA =∠OMB . [解] (1)由已知得F (1,0),l 的方程为x =1. 由已知可得,点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1,22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-22.又M (2,0),所以AM 的方程为y =-22x +2或y =22x - 2. (2)证明:当l 与x 轴重合时,∠OMA =∠OMB =0°.当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,所以∠OMA =∠OMB . 当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为y =k (x -1)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1<2,x 2<2,直线MA ,MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1x 1-2+y 2x 2-2.由y 1=kx 1-k ,y 2=kx 2-k 得 k MA +k MB =2kx 1x 2-3k (x 1+x 2)+4k(x 1-2)(x 2-2).将y =k (x -1)代入x 22+y 2=1,得 (2k 2+1)x 2-4k 2x +2k 2-2=0. 所以x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2k 2-22k 2+1.则2kx 1x 2-3k (x 1+x 2)+4k =4k 3-4k -12k 3+8k 3+4k2k 2+1=0.从而k MA +k MB =0,故MA ,MB 的倾斜角互补.所以∠OMA =∠OMB . 综上,∠OMA =∠OMB .2.(2019·全国卷Ⅱ)已知点A (-2,0),B (2,0),动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为-12.记M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C 于P ,Q 两点,点P 在第一象限,PE ⊥x 轴,垂足为E ,连接QE 并延长交C 于点G .①证明:△PQG 是直角三角形; ②求△PQG 面积的最大值.[解] (1)由题设得y x +2·y x -2=-12,化简得x 24+y 22=1(|x |≠2),所以C 为中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆,不含左、右顶点.(2)①证明:设直线PQ 的斜率为k ,则其方程为y =kx (k >0). 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ,x 24+y 22=1得x =±21+2k 2. 记u =21+2k2,则P (u ,uk ),Q (-u ,-uk ),E (u,0). 于是直线QG 的斜率为k 2,方程为y =k2(x -u ). 由⎩⎪⎨⎪⎧y =k 2(x -u ),x 24+y 22=1,得(2+k 2)x 2-2uk 2x +k 2u 2-8=0.①设G (x G ,y G ),则-u 和x G 是方程①的解,故x G =u (3k 2+2)2+k 2,由此得y G =uk 32+k 2.从而直线PG 的斜率为uk 32+k 2-uk u (3k 2+2)2+k 2-u=-1k .所以PQ ⊥PG ,即△PQG 是直角三角形.②由①得|PQ |=2u 1+k 2,|PG |=2uk k 2+12+k 2,所以△PQG 的面积S =12|PQ ||PG |=8k (1+k 2)(1+2k 2)(2+k 2)=8⎝ ⎛⎭⎪⎫1k +k 1+2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k +k 2.设t =k +1k ,则由k >0得t ≥2,当且仅当k =1时取等号. 因为S =8t1+2t 2在[2,+∞)单调递减,所以当t =2,即k =1时,S 取得最大值,最大值为169.因此,△PQG 面积的最大值为169.3.(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :x 24+y 23=1交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,m )(m >0).(1)证明:k <-12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP →+F A →+FB →=0.证明:|F A →|,|FP →|,|FB →|成等差数列,并求该数列的公差.[解] (1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 214+y 213=1,x 224+y 223=1.两式相减,并由y 1-y 2x 1-x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23·k =0. 由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ,于是k =-34m .①由题设得0<m <32,故k <-12.(2)由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3),则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0).由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m <0. 又点P 在C 上,所以m =34,从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-32,|FP →|=32.于是|F A →|=(x 1-1)2+y 21=(x 1-1)2+3⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 214=2-x 12.同理|FB →|=2-x 22.所以|F A →|+|FB →|=4-12(x 1+x 2)=3.故2|FP →|=|F A →|+|FB →|,即|F A →|,|FP →|,|FB →|成等差数列.设该数列的公差为d ,则 2|d |=||FB →|-|F A →||=12|x 1-x 2| =12(x 1+x 2)2-4x 1x 2.② 将m =34代入①得k =-1.所以l 的方程为y =-x +74,代入C 的方程,并整理得7x 2-14x +14=0. 故x 1+x 2=2,x 1x 2=128,代入②解得|d |=32128.所以该数列的公差为32128或-32128.4.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C :y =x 22,D 为直线y =-12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B .(1)证明:直线AB 过定点;(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,52为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.[解] (1)证明:设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ,-12,A (x 1,y 1),则x 21=2y 1.由于y ′=x ,所以切线DA 的斜率为x 1,故y 1+12x 1-t=x 1.整理得2tx 1-2y 1+1=0.设B (x 2,y 2),同理可得2tx 2-2y 2+1=0. 故直线AB 的方程为2tx -2y +1=0. 所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12.(2)由(1)得直线AB 的方程为y =tx +12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =tx +12,y =x 22可得x 2-2tx -1=0.于是x 1+x 2=2t ,x 1x 2=-1,y 1+y 2=t (x 1+x 2)+1=2t 2+1, |AB |=1+t 2|x 1-x 2|=1+t 2×(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2(t 2+1). 设d 1,d 2分别为点D ,E 到直线AB 的距离,则d 1=t 2+1,d 2=2t 2+1. 因此,四边形ADBE 的面积S =12|AB |(d 1+d 2)=(t 2+3)t 2+1. 设M 为线段AB 的中点,则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ,t 2+12. 由于EM →⊥AB →,而EM →=(t ,t 2-2),AB →与向量(1,t )平行,所以t +(t 2-2)t =0. 解得t =0或t =±1.当t =0时,S =3;当t =±1时,S =4 2. 因此,四边形ADBE 的面积为3或4 2.1.(2020·德州一模)已知抛物线E :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,圆M 的方程为:x 2+y 2-py =0,若直线x =4与x 轴交于点R ,与抛物线交于点Q ,且|QF |=54|RQ |.(1)求出抛物线E 和圆M 的方程;(2)过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点,与圆M 交于C ,D 两点(A ,C 在y 轴同侧),求证:|AC |·|DB |是定值.[解] (1)设Q (4,y 0),由|QF |=54|RQ |, 得y 0+p 2=54y 0,即y 0=2p .将点(4,2p )代入抛物线方程,可得p =2.∴抛物线E :x 2=4y ,圆M 的方程为:x 2+y 2-2y =0. (2)证明:抛物线E :x 2=4y 的焦点F (0,1), 设直线l 的方程为y =kx +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 联立⎩⎨⎧x 2=4y ,y =kx +1,得x 2-4kx -4=0.则Δ=16(k 2+1)>0,且x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4.由圆的方程可得圆M 的圆心坐标为M (0,1),半径为1,圆心就是焦点. 由抛物线的定义可知|AF |=y 1+1,|BF |=y 2+1.则|AC |=|AF |-1=y 1,|BD |=|BF |-1=y 2,|AC |·|BD |=y 1y 2=(kx 1+1)(kx 2+1)=k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=-4k 2+4k 2+1=1. 即|AC |·|DB |是定值1.2.(2020·株洲模拟)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(0,-3),离心率为12.(1)求椭圆E 的方程;(2)设点A ,F 分别为椭圆的右顶点、右焦点,经过点F 作直线交椭圆于C ,D 两点,求四边形OCAD 面积的最大值(O 为坐标原点).[解] (1)∵离心率为12,∴e =c a =12.∵椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(0,-3),∴3b 2=1,即b 2=3. 又a 2=b 2+c 2,∴a 2=4. 故椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)设直线CD 的方程为x =my +1,C (x 1,y 1),D (x 2,y 2), 联立⎩⎪⎨⎪⎧x =my +1,x 24+y 23=1,消去x ,得(3m 2+4)y 2+6my -9=0,∴y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4,Δ=36m 2-4(3m 2+4)·(-9)=144(m 2+1)>0,∴S 四边形OCAD =S △OAD +S △OAC =12|OA |· |y 2|+12|OA |·|y 1|=12|OA |·|y 1-y 2|=12×2×(y 1+y 2)2-4y 1y 2=12m 2+13m 2+4,令t =m 2+1≥1,则S =12t 3t 2+1=123t +1t. 令f (t )=3t +1t ,易知f ′(t )=3-1t 2.由f ′(t )>0得t >33, 由f ′(t )<0得0<t <33.又t ≥1,∴f (t )在[1,+∞)上为增函数,∴f (t )min =f (1)=4. ∴S ≤124=3.即四边形OCAD 的面积的最大值为3.3.(2020·石景山区一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F (1,0),离心率为22.直线l 过点F 且不平行于坐标轴,l 与C 有两交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(1)求椭圆C 的方程;(2)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;(3)延长线段OM 与椭圆C 交于点P ,若四边形OAPB 为平行四边形,求此时直线l 的斜率.[解] (1)由题意可知,c =1,e =c a =22,∵a 2=b 2+c 2,∴a =2,b =1, ∴椭圆的方程为x 22+y 2=1.(2)证明:设直线l 的方程为y =k (x -1)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 联立⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),x 22+y 2=1,消去y 得,(2k 2+1)x 2-4k 2x +2k 2-2=0,则x 1+x 2=4k 22k 2+1.∵M 为线段AB 的中点,∴x M =x 1+x 22=2k 22k 2+1,y M =k (x M -1)=-k2k 2+1,∴k OM =y M x M=-12k ,∴k OM ·k l =-12k ×k =-12为定值.(3)若四边形OAPB 为平行四边形,则OA →+OB →=OP →, ∴x P =x 1+x 2=4k 22k 2+1,y P =y 1+y 2=k (x 1+x 2)-2k =-2k 2k 2+1,∵点P 在椭圆上,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 22k 2+12+2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-2k 2k 2+12=2, 解得k 2=12,即k =±22,∴当四边形OAPB 为平行四边形时,直线l 的斜率为k =±22.4.(2020·汉中模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),椭圆上的点到焦点的最小距离为2-2且过点P (2,1).(1)求椭圆C 的方程;(2)若过点M (3,0)的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ,若点P 关于x 轴的对称点为P ′,判断直线P ′Q 是否经过定点,如果经过,求出该定点坐标;如果不经过,说明理由.[解] (1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧(2)2a 2+12b 2=1,a -c =2-2,a 2=b 2+c 2,解得⎩⎨⎧a =2,b =2,c = 2.故椭圆C 的方程为x 24+y 22=1. (2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).将直线与椭圆的方程联立得:⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -3),x 24+y 22=1,消去y ,整理得(2k 2+1)x 2-12k 2x +18k 2-4=0.由根与系数之间的关系可得:x 1+x 2=12k 22k 2+1,x 1·x 2=18k 2-42k 2+1.∵点P 关于y 轴的对称点为P ′,则P ′(x 1,-y 1).∴直线P ′Q 的斜率k =y 2+y 1x 2-x 1. 方程为:y +y 1=y 2+y 1x 2-x 1(x -x 1),即y =y 2+y 1x 2-x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x -x 1-x 2-x 1y 2+y 1y 1=y 2+y 1x 2-x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x -(y 2+y 1)x 1+(x 2-x 1)y 1y 2+y 1 =y 2+y 1x 2-x 1⎝⎛⎭⎪⎫x -x 1y 2+x 2y 1y 2+y 1 =y 2+y 1x 2-x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x -x 1k (x 2-3)+x 2k (x 1-3)k (x 2-3)+k (x 1-3) =y 2+y 1x 2-x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x -2x 1x 2-3(x 1+x 2)x 1+x 2-6 =y 2+y 1x 2-x 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x -2×18k 2-42k 2+1-3×12k 22k 2+112k 22k 2+1-6=y 2+y 1x 2-x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x -43. ∴直线P ′Q 过x 轴上定点⎝ ⎛⎭⎪⎫43,0.。

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