二次函数复习专题讲义
二次函数复习ppt课件
3.求下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 - 2x + 3 y= -2x2 - 4x - 6
解:y=x2-2x+1+2 =(x-1)2+2
y
o
x
a <0,b 0<,c 0. =
y
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第 四象限
y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
二次函数复习
6.二次函数的应用
1. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
x
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
y
-1 0 1
x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
二次函数复习全部讲义(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二次函数性质二次函数的图象与性质的是二次函数重点内容，而与二次函数的图象与性质密切相关，是图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、对称性。
这些内容是中考二次函数重点考查内容，关于这些知识点的考查常以下面的题型出现。
一、确定抛物线的开口方向、顶点坐标例1、对于抛物线21(5)33y x =--+，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下，顶点坐标(53)，B ．开口向上，顶点坐标(53)， C ．开口向下，顶点坐标(53)-，D ．开口向上，顶点坐标(53)-，二、求抛物线的对称轴例2、二次函数322-+=x x y 的图象的对称轴是直线 。
三、求二次函数的最值例3、若一次函数(1)y m x m =++的图像过第一、三、四象限,则函数2y mx mx =-（ ） A.有最大值4m B.有最大值4m - C.有最小值4m D.有最小值4m- 四、根据图象判断系数的符号例4、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＜0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＞0，c ＜0五、比较函数值的大小例5、若A （1,413y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+- 的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y << 六、二次函数的平移例6、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A. 2(1)3y x =---B. 2(1)3y x =-+-C. 2(1)3y x =--+D. 2(1)3y x =-++例7将抛物线23x y =绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（ ）A.1)1(32---=x yB. 1)1(32-+-=x yC.1)1(32+--=x yD. 1)1(32++-=x y例8在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4)且过B(3,0).(1) 求该二次函数解析式;(2) 将该函数向右平移几个单位,可使得平移后所得图象经过原点,并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.（1）把二次函数2339424y x x =-++代成2()y a x h k =-+的形式． （2）写出抛物线2339424y x x =-++的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如2y ax =的抛物线经过怎样的变换得到的？（3）如果抛物线2339424y x x =-++中，x 的取值范围是03x ≤≤，请画出图象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情境（如喷水、掷物、投篮等）．七、求代数式的值例9、已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式22008m m -+的值为（ ）A ．2006 B ．2007C ．2008D ．2009八、求与坐标轴的交点坐标例10、抛物线 y=x 2+x-4与y 轴的交点坐标为 ． 例11、如图是二次函数2)1(2++=x a y 图像的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 。
高考数学一轮专项复习讲义(新高考用)-幂函数与二次函数(含解析)
幂函数与二次函数目录01考情透视.目标导航 (2)02知识导图.思维引航 (3)03考点突破.题型探究 (4)知识点1：幂函数 (4)知识点2：二次函数 (5)解题方法总结 (7)题型一：幂函数的定义及其图像 (10)题型二：幂函数性质的综合应用 (12)题型三：由幂函数的单调性比较大小 (15)题型四：二次函数的解析式 (18)题型五：二次函数的图象、单调性与最值 (22)题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 (24)题型七：二次方程实根的分布及条件 (27)题型八：二次函数最大值的最小值问题 (29)04真题练习.命题洞见 (34)05课本典例.高考素材 (35)06易错分析.答题模板 (38)易错点：解二次型函数问题时忽视对二次项系数的讨论 (38)答题模板：含参二次函数在区间上的最值问题 (38)考点要求考题统计考情分析（1）幂函数的定义、图像与性质（2）二次函数的图象与性质2020年天津卷第3题，5分2020年江苏卷第7题，5分从近五年全国卷的考查情况来看，本节内容很少单独命题，幂函数要求相对较低,常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，多以选择题、填空题出现.复习目标：（1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.（2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).知识点1：幂函数1、幂函数的定义一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质3、常见的幂函数图像及性质：函数y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=图象定义域R R R {|0}x x ≥{|0}x x ≠值域R {|0}y y ≥R {|0}y y ≥{|0}y y ≠奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在R 上单调递增在(0)-∞，上单调递减，在(0+)∞，上单调递增在R 上单调递增在[0+)∞，上单调递增在(0)-∞，和(0+)∞，上单调递减公共点(11)，【诊断自测】若幂函数()y f x =的图象经过点()2，则()16f ＝（）A 2B ．2C ．4D ．12【答案】C 【解析】设幂函数()y f x x α==，因为()f x 的图象经过点(2，所以22α=12α=，所以()12f x x =，所以()1216164f ==.故选：C 知识点2：二次函数1、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程.（3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标.2、二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2b x a=-，顶点坐标为24(,24b ac b a a --.（1）单调性与最值①当0a >时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a-=；②当0a <时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a-+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a-=（2）与x 轴相交的弦长当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，212121212||||()4||M M x x x x x x a ∆=-=+-=.3、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，令02p q x +=：（1）若2b p a-≤，则(),()m f p M f q ==；（2）若02b p x a <-<，则(),()2b m f M f q a=-=；（3）若02b x q a ≤-<，则(),()2b m f M f p a =-=；（4）若2b q a-≥，则(),()m f q M f p ==.【诊断自测】下列四个图象中，有一个图象是函数()()()32214803f x x ax a x a =-+-+≠的导数的图象，则()2f -的值为（）A ．173B ．173-C ．83D ．83-【答案】D【解析】函数3221()(4)83f x x ax a x =-+-+，求导得222()24()4f x x ax a x a '=-+-=--，于是函数()y f x '=的图象是开口向上，对称轴为x a =的抛物线，①②不满足，又0a ≠，即函数()y f x '=的图象对称轴不是y 轴，④不满足，因此符合条件的是③，函数()y f x '=的图象过原点，且0a >，显然(0)0f '=，从而2a =，321()283f x x x =-+，所以3218(2)(2)2(2)833f -=⨯--⨯-+=-.故选：D解题方法总结1、幂函数()a y x a R =∈在第一象限内图象的画法如下：①当0a <时，其图象可类似1y x -=画出；②当01a <<时，其图象可类似12y x =画出；③当1a >时，其图象可类似2y x =画出．2、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120c x x a =<3、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2b x a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示.根的分布图像限定条件12m x x <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩12x m x <<()0f m <12x x m <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩在区间(,)m n 内没有实根0∆<12120x x mx x m∆==≤=≥或02()0b m af m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩2()0b naf n∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f mf n≤⎧⎨≤⎩在区间(,)m n内有且只有一个实根()0()0f mf n>⎧⎨<⎩()0()0f mf n<⎧⎨>⎩在区间(,)m n内有两个不等实根2()0()0bm naf mf n∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.题型一：幂函数的定义及其图像【典例1-1】（2024·山东日照·二模）已知幂函数图象过点()2,4，则函数的解析式为（）A ．2xy =B ．2y x =C ．2log y x =D ．sin y x =【答案】B 【解析】设幂函数的解析式为y x α=，由于函数过点()2,4，故42α=，解得2α=，该幂函数的解析式为2y x =；故选：B【典例1-2】已知幂函数pq y x =（,Z p q ∈且,p q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（）A ．p ，q 均为奇数，且0p q>B ．q 为偶数，p 为奇数，且0p q <C ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q>D ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q<【答案】D 【解析】因为函数p q y x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且在(0,)+∞上单调递减，所以p q <0，因为函数p qy x =的图象关于y 轴对称，所以函数pq y x =为偶函数，即p 为偶数，又p 、q 互质，所以q 为奇数，所以选项D 正确，故选：D.【方法技巧】确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.【变式1-1】已知函数()()11m f x m x +=-为幂函数，则()()2222f a a f a a -+-=（）A ．0B ．1-C ．2aD ．64a a -【答案】A【解析】由题意有11m -=，可得()32,m f x x ==，其定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，则函数()f x 为奇函数，所以()()22220f a a f a a -+-=.故选：A.【变式1-2】（多选题）（2024·新疆喀什·一模）若函数()231y m m x =--是幂函数，则实数m 的值可能是（）A ．2m =-B ．2m =C ．1m =-D ．1m =【答案】BC【解析】()231y m m x =--是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-.故选：BC.【变式1-3】给出幂函数：①()f x x =；②2()f x x =；③()3f x x =；④()f x =()1f x x=．其中满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭的函数的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由题，满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.故选：A题型二：幂函数性质的综合应用【典例2-1】已知幂函数()()21n m x f x =-的图象经过点()2,8，下面给出的四个结论：①()3f x x -=；②()f x 为奇函数；③()f x 在R 上单调递增；④()()211f a f +<，其中所有正确命题的序号为（）A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②③【答案】B【解析】对于①：由幂函数的定义可知211m -=，解得1m =，将点()2,8代入函数()nf x x =得28n =，解得3n =，所以()3f x x =，故①错误；对于②：因为定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以()f x 为奇函数，故②正确；对于③：由幂函数的图象可知，()f x 在R 上单调递增，故③正确；对于④：因为211a +≥，且()f x 在R 上单调递增，所以()()211f a f +≥，故④错误，综上可知，②③正确，①④错误.故选：B.【典例2-2】已知幂函数()()212223a a f x a x +-=-在()0,∞+上单调递减，函数()3xh x m =+，对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,2x ∈使得()()12f x h x =，则m 的取值范围为.【答案】268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数()()212223a a f x a x+-=-是幂函数，则231a -=，2a =±，()f x 在()0,∞+上单调递减，则21202a a +-<，可得2a =-，()221f x x x -∴==，()f x \在[]1,3上的值域为1,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()h x 在[]1,2上的值域为[]3,9m m ++，根据题意有918126399m m m m +≥≥-⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+≤≤-⎪⎪⎩⎩，m ∴的范围为268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故答案为：268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【方法技巧】紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.【变式2-1】已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭.若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=.【答案】1-【解析】因为幂函数()f x x α=在(0,)+∞上递减，所以12,1,2α=---，又幂函数()f x x α=为奇函数，可知α为奇数，即1α=-.故答案为：1-【变式2-2】已知函数()()3222332ln34ln31x x f x x x --=-+-+-+，则满足()()832f x f x +->的x 的取值范围是．【答案】(),2-∞【解析】由题意得()()()32223322ln 31x x f x x x --=-+-+-+，设()3332ln 3x xg x x x -=+-+，则()()21f x g x =-+，()g x 的定义域为R ，且()()3332ln 3x xg x x x g x --=-+--=-，所以()g x 为奇函数，3,3,3,2ln 3x x y x y y y x -===-=都是增函数，所以()g x 是增函数，()f x 的图象是由()g x 的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以()f x 图象的对称中心为()2,1，所以()()42f x f x +-=．易知()f x 在R 上单调递增，因为()()()()8324f x f x f x f x +->=+-，所以()()834f x f x ->-，所以834x x ->-，解得2x <，故答案为：(),2∞-．【变式2-3】已知幂函数()223mm f x x --=（其中，m ∈Z ）为偶函数，且()f x 在()0,∞+上单调递减，则m的值为.【答案】1【解析】因为函数幂函数()f x 在()0,∞+上单调递减，所以2230m m --<，解得13m -<<，又m ∈Z ，所以0m =或1或2，当0m =或2时，()331f x x x -==定义域为{}0x x ≠，且()()()3311f x f x x x -==-=--，此时函数()f x 为奇函数，不符合题意；当1m =时，()441f x x x -==定义域为{}0x x ≠，且()()()4411f x f x x x -===-，此时函数()f x 为偶函数，符合题意；综上所述，1m =.故答案为：1.【变式2-4】已知函数()13f x x =，则关于t 的表达式()()222210f t t f t -+-<的解集为.【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可知，()f x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()1133f x x x f x -=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数()13f x x =在函数(),-∞+∞上单调递增，由()()222210f t t f t -+-<，得()()22221f t t f t -<--，即()()22212f t t f t -<-，所以22212t t t -<-，即23210t t --<，解得113t -<<，所以关于t 的表达式()()222210f t t f t -+-<的解集为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式2-5】满足1133(1)(32)m m --+<-的实数m 的取值范围是（）.A ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．23,1,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．23(,1),32⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】幂函数13y x -=在(0,)+∞为减函数，且函数值为正，在(,0)-∞为减函数，且函数值为负，1133(1)(32)m m --+<-等价于，320132m m m ->⎧⎨+>-⎩或10132m m m +<⎧⎨+>-⎩或32010m m ->⎧⎨+<⎩，解得2332m <<或m ∈∅或1m <-，所以不等式的解集为23(,1),32⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.故选：D.题型三：由幂函数的单调性比较大小【典例3-1】（2024·天津红桥·二模）若132()3a =，122log 5b =，143c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c<<【答案】C 【解析】112221log log 152b =>=，111121411214321631[()()()818122()()]333c a ==>===，而1312()3a =<，所以a ，b ，c 的大小关系为b a c >>.故选：C【典例3-2】设232555322555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,，，则,,a b c 大小关系是.【答案】a c b＞＞【解析】因为()25f x x =在()0,∞+单调增，所以22553255⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c >，因为()25xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞单调减，所以32552255⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即,c b >综上，a c b ＞＞.故答案为：a c b ＞＞.【方法技巧】在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较．【变式3-1】（2024·河北衡水·三模）已知1log 14a <，114a⎛⎫< ⎪⎝⎭，141a <，则实数a 的取值范围为（）A ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,1C ．()1,+¥D ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由1log 14a<，得1a >或10a 4<<，由114a⎛⎫< ⎪⎝⎭，得0a >，由141a <，得01a <<，∴当1log 14a <，114a⎛⎫< ⎪⎝⎭，141a <同时成立时，取交集得10a 4<<，故选：A.【变式3-2】已知πe a =，e πb =，eπc =，则这三个数的大小关系为．（用“<”连接）【答案】c b a<<【解析】由ln πa =，ln eln πb =，令ln ()xf x x=且[e,)x ∈+∞，则21ln ()0x f x x -'=≤，所以()f x 在[e,)x ∈+∞上递减，则ln e ln ππeln πe π>⇒>，即ln ln a b >，所以b a <，由e πb =，πe ]c =，只需比较π与π的大小，根据x y =与y x =，相交于(2,2),(4,4)两点，图象如下，由2π4<<，结合图知ππ>，故πe e []πb c ==>，综上，c b a <<.故答案为：c b a<<【变式3-3】已知幂函数()f x的图象过点()()()1122121,,,,,024P x y Q x y x x ⎛<< ⎝⎭是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（）A ．()()1122x f x x f x >B ．()()1221x f x x f x <C ．()()1221f x f x x x >D ．()()1212f x f x x x <【答案】D【解析】设幂函数()f x x α=，因为()f x的图象经过点124⎛ ⎝⎭，则124α⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得32α=，所以()32f x x =.因为函数()32f x x =在定义域()0,∞+内单调递增，则当120x x <<时，()()120f x f x <<，所以()()1122x f x x f x <，且()()1221f x f x x x <，故选项A,C 错误；又因为函数()12f x x x=单调递增，则当120x x <<时，()()1212f x f x x x <，且()()2112x f x x f x <，故选项D 正确，选项B 错误.故选：D.【变式3-4】（2024·高三·河北邢台·期中）已知函数()()2231mm f x m m x+-=--是幂函数，且在()0,∞+上单调递减，若,a b ∈R ，且0,a b a b <<<，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】B【解析】由211m m --=得2m =或1m =-，2m =时，3()f x x =在R 上是增函数，不合题意，1m =-时，3()-=f x x ，在(0,)+∞上是减函数，满足题意，所以3()-=f x x ，0,a b a b <<<，则0b a >->，()()f a f b ->，3()f x x =-是奇函数，因此()()f a f a -=-，所以()()f a f b ->，即()()0f a f b +<，故选：B.题型四：二次函数的解析式【典例4-1】（2024·高三·海南海口·开学考试）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,3，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，则()f x ＝.【答案】243x x -+【解析】因为()()22f x f x -=+对x ∈R 恒成立，所以()y f x =的图象关于2x =对称.又()y f x =的图象在x 轴上截得的线段长为2，所以()0f x =的两根为211-=或213+=，所以二次函数()f x 与x 轴的两交点坐标为()1,0和()3,0，因此设()()()13f x a x x =--.又点()4,3在()y f x =的图象上，所以33a =，则1a =，故()()()21343f x x x x x =--=-+.故答案为：243x x -+【典例4-2】写出同时满足下列条件①②③的一个函数()f x =．①()f x 是二次函数；②(1)xf x +是奇函数；③()f x x在(0,)+∞上是减函数．【答案】22x x-+【解析】因为()f x 是二次函数，所以令2()2f x x x =-+，()0x ≠，令()()()23(1)121g x xf x x x x x x ⎡⎤=+=-+++=-+⎣⎦，()()()3g x x x g x -=---=-，故满足条件②；令()222()x f x h x x x xx+===-+-在(0,)+∞上是减函数，满足条件③，故答案为：22x x-+【方法技巧】求二次函数解析式的三个技巧(1)已知三个点的坐标，选择一般式．(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，选择顶点式．(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，选择零点式．【变式4-1】已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠）的图象关于y 轴对称，且与直线y x =相切，写出满足上述条件的一个函数()f x =．【答案】214x +（答案不唯一）【解析】已知()()20f x ax bx c a =++≠，∵()f x 的图象关于y 轴对称，∴对称轴02bx a=-=，∴0b =，∴()2f x ax c =+，联立2y ax c y x⎧=+⎨=⎩，整理得2ax c x +=，即20ax x c -+=，∵()f x 的图象与直线y x =相切，∴140ac ∆=-=，∴14ac =，当1a =时，14c =.∴满足条件的二次函数可以为()214f x x =+．故答案为：214x +.【变式4-2】已知二次函数f (x )满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，二次函数的解析式是．【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】法一(利用“一般式”解题)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得4,4,7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用“顶点式”解题)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0).因为f （2）＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为2(1)122x +-==，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝21(82a x -+.因为f （2）＝－1，所以21(2812a -+=-，解得a ＝－4，所以f (x )＝214(82x --+＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)()84a a a a----=.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.故答案为：f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【变式4-3】已知函数2()(2)(0)f x mx m x n m =+-+>，当11x -≤≤时，都有()1f x ≤恒成立，则1=3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【答案】79-【解析】因为当11x -≤≤时，都有()1f x ≤恒成立，所以(0)1(1)1f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即121n n ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，所以1131n n -≤≤⎧⎨-≤≤-⎩，解得1n =-，所以(0)1,(1)1f f =-=，由()f x 图象可知，要满足题意，则图象的对称轴为直线x =0，所以20m -=，解得m =2，所以2()21f x x =-，所以117=21399f ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：79-【变式4-4】已知()f x 是二次函数，()20f -=，且()2422x x f x +≤≤，则()10f =.【答案】36【解析】法一：由()20f -=，可设()()()()2222f x x ax b ax a b x b =++=+++，则由()2f x x ≥得()22220ax a b x b ++-+≤，所以0a ≥且2(22)8a b ab +-≤，整理后即为2244844a b ab a b +≤++-，由()242x f x +≤得()()22142440a x a b x b -+++-≤，若210a -=则必有420a b +=，此时与2(22)8a b ab +-≤矛盾，所以210a -≤且()()2(42)42144a b a b +≤--，整理后为2244844a b ab a b +≤--+，与2244844a b ab a b +≤++-相加即得2244a b ab +≤，即2(2)0a b -≤，所以2a b =，所以()()()222(2)f x x ax a a x =++=+，又由于在原不等式中令2x =可得()424f ≤≤，所以()24f =，由此解得14a =.所以()()21(2),10364f x x f =+=.法二：()()2241202(2)22x x f x f x x x +≤≤⇒≤-≤-，令()()2g x f x x =-，则()()24,20g g -==，设()()()()20g x a x x m a =--≠.若2m ≠，则()()()()'22122202x x g x g a m =⎡⎤--=-'=-≠⎢⎥⎣⎦，于是()20a m ->时，存在02x <使得()()2001202x g x --<，矛盾；()20a m -<时，存在02x >使得()()2001202x g x --<，矛盾；故2m =，令2x =-，则()116244a g a =-=⇒=.于是()()22112(2)2(2)44f xg x x x x x =+=-+=+，进而()1036f =.故答案为：36.题型五：二次函数的图象、单调性与最值【典例5-1】已知()1()()f x x a x b =---，并且m 、n 是方程()0f x =的两根，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是（）A ．m a b n <<<B ．a m n b <<<C ．a m b n <<<D ．m a n b<<<【答案】A【解析】设()()()g x x a x b =---，又()1()()f x x a x b =---，分别画出这两个函数的图象，其中()f x 的图象可看成是由()g x 的图象向上平移1个单位得到，如图，由图可知：m a b n <<<．故选：A ．【典例5-2】（2024·高三·江苏苏州·期中）满足2{}{,}x m x n y y x m x n ≤≤==≤≤的实数对m ，n 构成的点(,)m n 共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】C【解析】由2{}{,}x m x n y y x m x n ≤≤==≤≤，又20y x =≥，则0m ≥，所以2y x =在[,]m n 单调递增，故值域为[(),()]f m f n ，即,m n 是2x x =的两根，解得120,1x x ==，当0m n ==时，点(,)m n 为(0,0)，当1m n ==时，点(,)m n 为(1,1)，当0,1m n ==时，点(,)m n 为(0,1).故选：C【方法技巧】解决二次函数的图象、单调性与最值常用的方法是数形结合.【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）若函数2()(2)1f x x m x =--+在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则实数m 的取值范围为（）A ．19,13,22⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B ．19,23,22⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．19,13,22⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．19,23,22⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】C【解析】令()()221g x x m x =--+，则21,22102m g -⎧≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,22102m g -⎧≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,22102m g -⎧≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,2210,2m g -⎧≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭⎩解得392m ≤≤或112m -≤≤，即实数m 得取值范围为1[,1][3,]229- .故选：C ．【变式5-2】（2024·高三·山东济宁·期中）函数()f x =的单调递增区间为（）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1)-∞-C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由题意，令223t x x =--=()()2310x x -+≥，即1x ≤-或32x ≥，根据二次函数性质知：223t x x =--在(,1]-∞-上递减，在3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭上递增又y 在定义域上递增，故()f x 3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭.故选：C【变式5-3】（2024·广东珠海·模拟预测）已知函数()221f x x mx x =+-+在区间[)2,+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是.【答案】[)2,-+∞【解析】二次函数()()221f x x m x =+-+的图象开口向上，对称轴为直线22m x -=-，因为函数()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，则222m --≤，解得2m ≥-.因此，实数m 的取值范围是[)2,-+∞.故答案为：[)2,-+∞.【变式5-4】若函数()2224,02,0x x x f x x x ⎧-+>=⎨≤⎩在区间()1,32a a --上有最大值，则实数a 的取值范围是.【答案】[0,1)【解析】令()224g x x x =-+，0x >，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，又(1)2(1)f f ==-，作出函数()f x的大致图象，由于函数()2224,02,0x x x f x x x ⎧-+>=⎨≤⎩在区间()1,32a a --上有最大值，结合图象，由题意可得321111a a ->⎧⎨-≤-<⎩，解得01a ≤<，所以实数a 的取值范围是[0,1)，故答案为：[0,1)题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题【典例6-1】已知函数2()2(0)f x x ax a =->．(1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．【解析】（1）当3a =时，不等式5()7f x -<<，即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ，所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃．（2）(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥，若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥，所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．【典例6-2】已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．【解析】函数()222211y x ax x a a =++=++-的图象为对称轴为x a =-，开口向上的抛物线，当12a -≤时，即12a ≥-时，此时2x =离对称轴更远，所以当2x =时有最大值，最大值为45a +，由已知454a +=，故14a =-，当12a ->时，即12a <-时，此时=1x -离对称轴更远，所以当=1x -时有最大值，最大值为22a -，由已知224a -=，故1a =-，所以14a =-或1a =-.【方法技巧】“动轴定区间”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果得到最终答案.【变式6-1】已知函数()2f x x ax =+，其中a 是实数．(1)()f x 在区间[]1,2-上的最大值记为()M a ，求()M a 的表达式；(2)()f x 在区间[]1,2-上的最小值记为()m a ，求()m a 的表达式；(3)若()()3M a m a -=，求实数a 的值．【解析】（1）()222()24a x a f x x ax =+=+-，对称轴为2a x =-，当122a -≤，即1a ≥-时，()(2)42M a f a ==+，当122a ->，即1a <-时，()(1)1M a f a =-=-，综上，()42,11,1a a M a a a +≥-⎧=⎨-<-⎩.（2）当12a-≤-，即2a ≥时，函数()f x 在区间[]1,2-上单调递增，()(1)1m a f a =-=-，当22a-≥，即4a ≤-时，函数()f x 在区间[]1,2-上单调递减，()(2)42m a f a ==+，当122a -<-<，即42a -<<时，()2()24a a m a f =-=-，综上，()242,4,4241,2a a am a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩.（3）当4a ≤-时，()1M a a =-，()42m a a =+，由()()3M a m a -=，得()1423a a --+=，解得2a =-（舍）；当41a -<<-时，()1M a a =-，()24a m a =-，由()()3M a m a -=，得2134a a -+=，即2480a a --=，解得2a =-2=+a ；当12a -≤<时，()42M a a =+，()24a m a =-，由()()3M a m a -=，得()24234aa ++=，即2840a a ++=，解得4a =--4a =-+当2a ≥时，()42M a a =+，()1m a a =-，由()()3M a m a -=，得()()4213a a +--=，解得0a =（舍），综上，2a =-4-+题型七：二次方程实根的分布及条件【典例7-1】若关于x 的一元二次方程()23180x a x a +-++=有两个不相等的实根12,x x ，且121,1x x <>．则实数a 的取值范围为．【答案】2a <-【解析】令函数2()(31)8f x x a x a =+-++，依题意，()0f x =的两个不等实根12,x x 满足121,1x x <>，而函数()f x 图象开口向上，因此(1)0f <，则21(31)180a a +-⨯++<，解得2a <-，所以实数a 的取值范围为2a <-.故答案为：2a <-【典例7-2】方程()2110mx m x --+=在区间()0,1内有两个不同的根，m 则的取值范围为．【答案】3m >+【解析】令()()211f x mx m x =--+，图象恒过点()0,1，方程()211mx m x --+=0在区间()0,1内有两个不同的根，()()2010********Δ0m m m m m f m m >⎧⎧⎪>-⎪⎪<<⎪⎪∴⇒>⎨⎨⎪⎪>-->⎪⎪⎩>⎪⎩，解得3m >+故答案为：3m >+【方法技巧】结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.【变式7-1】（2024·四川雅安·模拟预测）已知关于x 的方程()20,x bx c b c R ++=∈在[]1,1-上有实数根，且满足033b c ≤+≤，则b 的取值范围是．【答案】[]0,2【解析】问题等价于()()2,g x bx c h x x =+=-在[]1,1-上有公共点．()[]330,3g b c =+∈ ，设(3,0),(3,3)C D ，(3)3g b c =+，点(3,(3))g 在线段CD 上，()y g x ∴=的图象是过线段CD 和抛物线AB 弧上各一点的直线(如图)，其中()()()()1,1,1,1,3,0,3,3A B C D ---．∴[]max min 2;00,2.BD CO b k b k b ====⇒∈故答案为：[0,2]．【变式7-2】关于x 的方程2(3)0x m x m +-+=满足下列条件，求m 的取值范围．(1)有两个正根；(2)一个根大于1，一个根小于1；(3)一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内；(4)一个根小于2，一个根大于4；(5)两个根都在(0,2)内．【解析】（1）令2()(3)f x x m x m =+-+，设()0f x =的两个根为12,x x .由题得()12122300Δ340x x m x x m m m ⎧+=->⎪⎪=>⎨⎪=--≥⎪⎩，解得01m <≤.（2）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根大于1，一个根小于1，则(1)220f m =-<，解得1m <（3）若方程2(3)0x m x m +-+=一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内，则(2)100(0)0(4)540f m f m f m -=->⎧⎪=<⎨⎪=+>⎩，解得405m -<<（4）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根小于2，一个根大于4，则(2)320(4)540f m f m =-<⎧⎨=+<⎩，解得45<-m （5）若方程2(3)0x m x m +-+=的两个根都在(0,2)内，则()()()22320003022Δ340f m f m m m m ⎧=->⎪=>⎪⎪-⎨<-<⎪⎪=--≥⎪⎩，解得213m <≤题型八：二次函数最大值的最小值问题【典例8-1】已知函数2()f x x ax b =++在区间[0,4]上的最大值为M ，当实数a ，b 变化时，M 最小值为．【答案】2【解析】22()4(4)4[(4)]f x x x a x b x x a x b =-+++=---+-，上述函数可理解为当横坐标相同时，函数2()4g x x x =-，[0x ∈,4]与函数()(4)h x a x b =-+-，[0x ∈,4]图象上点的纵向距离，则M 即为函数2()4g x x x =-与函数()(4)h x a x b =-+-图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，作出函数(),()g x h x图象，如图，由图象可知，当函数()h x 的图象刚好为=2y -时此时4,2a b =-=，M 取得最小值为2.故答案为：2【典例8-2】已知函数(),,f x ax b a b =-∈R ，若对任意的[]00,4x ∈，使得()0f x M ≥，求实数M 的取值范围是．【答案】1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2,t x t ==，则()()[]()2,0,2f x g t at t b t ==-+-∈，取三点控制得()()()012g M g M g M ⎧≥⎪≥⎨⎪≥⎩，进而142b M a b M a b M⎧≥⎪-+-≥⎨⎪-+-≥⎩，化简得33444442b Ma b M a b M ⎧≥⎪-+-≥⎨⎪-+-≥⎩，可得8344442M b a b a b ≤+-+-+-+-，即()()83444422M b a b a b ≤+-+---+-=，解得14M ≤．故答案为：1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【方法技巧】解决二次函数最大值的最小值问题常用方法是分类讨论、三点控制、四点控制.【变式8-1】二次函数()f x 为偶函数，()11f =，且()232f x x x +≤恒成立．(1)求()f x 的解析式；(2)R a ∈，记函数()()21h x f x ax =-+在[]0,1上的最大值为()T a ，求()T a 的最小值．【解析】（1）依题设()2f x ax c =+，由()11f =，得1a c +=，()232f x x x +≤，得()23210a x x a -++-≥恒成立，∴30Δ44(1)(3)0a a a ->⎧⎨=---≤⎩，得()220a -≤，所以2a =，又1a c +=，所以1c =-，∴()221f x x =-；（2）由题意可得：()222h x x ax =-，[]0,1x ∈，若0a ≤，则()222h x x ax =-，则()h x 在[0,1]上单调递增，所以()()122T a h a ==-；若0a >，当12a≥，即2a ≥时，()h x 在[0,1]上单调递增，()()122T a h a ==-当12a <，只须比较222a a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()122h a =-的大小，由()22202a a -->，得：21a <<，此时()22a T a =，02a <≤时，2222a a -≤，此时()22T a a =-，综上，()222,2,22222,2a a aT a a a a -≥⎧⎪⎪=<<⎨⎪⎪-<⎩，2a ≥时，()2T a ≥，22a <<时，()62T a -<<，2a ≤时，()6T a -，综上可知：()T a的最小值为6-【变式8-2】已知函数()(2)||(R)f x x x a a =-+∈，(1)当1a =-时，①求函数()f x 单调递增区间；②求函数()f x 在区间74,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域；(2)当[3,3]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()g a ，求()g a 的最小值．【解析】（1）当1a =-时，函数()(2)|1|f x x x =--，当1x >时，函数2()(2)(1)32f x x x x x =--=-+，此时，函数()f x 在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，当1x ≤时，函数2()(2)(1)32f x x x x x =--=-+-，此时，函数()f x 在(],1-∞上单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为(],1-∞和3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；因为函数()f x 单调递增区间为(],1-∞和3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，所以函数()f x 在区间[]4,1-上单调递增，在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间37,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以min 3()min (4),()2f x f f ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，max 7()max (1),()4f x f f ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为(4)(42)(14)30f -=--+=-，1((2)()43331222f -=-=-，(1)(12)(11)0f =--=，3()(2)()167771444f ==---，所以函数()f x 在区间74,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]30,0-；（2）由已知可得，()()()()()()()22222,222,x x a x a x a x a f x x x a x a x a x a ⎧-+=+--≥-⎪=⎨--+=-+-+<-⎪⎩，当3a -≥时，即3a ≤-时，2()(2)2f x x a x a =-+-+，对称轴为2522a x -=≥，当232a-≥时，即4a ≤-时，函数()f x 在区间[3,3]-上单调递增，所以()(3)3g a f a ==--，当52322a -≤<时，即43a -<≤-时，函数()f x 在区间23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间2,32a -⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以242244()()a a g a f a ++=-=，当2a -≤时，即2a ≥-时，若[3,2]x ∈-，()0f x ≤，若[2,3]x ∈，()0f x >，因为当(]2,3x ∈时，2()(2)2f x x a x a =+--，对称轴为222ax -=≤，所以函数()f x 在区间(]2,3上单调递增，所以()(3)3g a f a ==+，当23a <-<，即32a -<<-时，此时25222a -<<，函数()f x 在区间23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间2,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间(],3a -上单调递增，所以()()2244max 3,max 3,24a a a g x f f a ⎧⎫⎧⎫-++⎛⎫==+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭若24434a a a +++≥，即2a -≤<-时，()3g a a =+，若24434a a a +++<，即3a -≤<-时，244()4a a g a ++=，综上所述，23,44(),443,4a a a a g a a a a ⎧+≥-⎪++⎪=-<<-⎨⎪--≤-⎪⎩，函数()3g a a =--在区间(],4-∞-上单调递减，函数244()4a a g a ++=在区间(4,--上单调递减，函数()3g a a =+在区间)⎡-+∞⎣上单调递增，所以min 33()(g a g -=-=-=【变式8-3】（2024·高三·江苏南通·开学考试）记函数()2f x x ax =-在区间[]0,1上的最大值为()g a ，则()g a 的最小值为（）A．3-B1-C ．14D ．1【答案】A【解析】以下只分析函数()2f x x ax =-在[]0,1x ∈上的图象及性质，分类讨论如下：①当0a ≤时，函数()22=f x x ax x ax =--在区间[]0,1上单调递增，即()()11g a f a ==-，此时()g a 单调递减，()()min 01g a g ==；②当01a <≤时，()222,1=,0x ax a x f x x ax ax x x a ⎧-<≤=-⎨-≤<⎩，所以()()2max 1,max 1,24a a g a f f a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫==-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，易知当0222a <≤-时，()2114a a g a a -≥⇒=-，当221a <≤，()22144a a a g a -<⇒=，此时()()()()2min22222212223224g a g ===--=-③当1a >时，()22=f x x ax ax x =--，即()()2max 1,max 1,24a a g a f f a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫==-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，易知当12a <≤时，()22144a a a g a -≤⇒=，当2a <，()2114a a g a a ->⇒=-，此时()()min 114g a g ==；而113224>>-()g a 的最小值为322-.故选：A1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【解析】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选：D2．（2023年天津高考数学真题）设0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<【答案】D【解析】由 1.01x y =在R 上递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选：D3．（2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））函数13y x =的图象是A ．B．C ．D ．【答案】B【解析】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；由特殊点（8，2），11(,)82，可排除C．故选B．1．画出函数y的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.【解析】xyx≥==<y∴=设()f x y==()f x的定义域为R.()()f x f x-===，()y f x∴==.当[0,)x∈+∞时，y=设任意的12,[0,)x x∈+∞，且12x x<，则12y y-= 12,[0,)x x∈+∞，且12,x x≥12120,0,0x x y y>-<∴-<即12y y<. y∴[0,)+∞上为增函数.当(,0]x∈-∞时，y=设任意的12,(,0]x x ∈-∞，且12x x <，则12y y -===12,(,0]x x ∈-∞，且12,0x x <>，21120.0x x y y ->∴->即12y y >.y ∴(,0]-∞上是减函数.2．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v ，（单位：3/cm s ）与管道半径r （单位：cm ）的四次方成正比.（1）写出气体流量速率v ，关于管道半径r 的函数解析式；（2）若气体在半径为3cm 的管道中，流量速率为3400/cm s ，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率v 的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm ，计算该气体的流量速率（精确到31/cm s ）.【解析】（1）设比例系数为k ，气体的流量速率v 关于管道半径r 的函数解析式为4v kr =.（2）将3r =与400v =代入4v kr =中，有44003k =⨯.解得40081k =，所以，气体通过半径为r 的管道时，其流量速率v 的表达式为440081v r =.（3）当=5r 时，43400250000530868181/s v cm =⨯=≈.所以，当气体81通过的管道半径为5cm 时，该气体的流量速率约为33086/cm s .3．试用描点法画出函数2()f x x -=的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.【解析】21()f x x =.列表：x…-3-2-1123…()f x …1914111419…描点，连线.图象如图所示.定义域：{|0}x x ≠，值域：{|0}y y >.2()f x x -=在(,0)-∞上是增函数，在(0,)+∞上是减函数.证明如下：设任意的12,(,0)x x ∈-∞，且12x x <.则()()()()222121211222222212121211x x x x x x f x f x x x x x x x +---=-==.22121212210,0,0,0x x x x x x x x <<∴+<>-> .。
二次函数复习讲义(整理)
二次函数复习讲义(整理)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1二次函数知识点复习知识点1.二次函数的定义1、一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的 次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．2、当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数． 练习（1）下列函数中，二次函数的是（ ）A ．y=ax 2+bx+cB 。
2)1()2)(2(---+=x x x yC 。
xx y 12+= D 。
y=x(x —1) 练习（2）如果函数1)3(232++-=+-mx xm y m m 是二次函数，那么m 的值为知识点2.二次函数的图像及性质1、已知一个二次函数，确定它的图象名称、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、极值。
已知条件中含二次函数开口方向或对称轴、顶点坐标、增减范围、极值，求解析中待定系数的取值。
（1）、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. （2）、二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点（3）、对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（ ，）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（ ， ）。
二次函数c bx ax y ++=2用配方法或公式法（求h 时可用代入法）可化成：k h x a y +-=2)(的形式，其中h= ,k=练习（３）抛物线1822-+-=x x y 的图象的开口方向是_____, 顶点坐标是_ ___. 练习（４）若抛物线232)1(2-++-=m mx x m y 的最低点在x 轴上，则m 的值为 （4）、二次函数 c bx ax y ++=2的对称轴为直线x=－2ba运用抛物线的对称性求对称轴，由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.若抛物线上有两点A （m,n ）、B(p,n)的纵坐标相等,则它的对称轴为直线x=－2pm +练习（５）已知A 、B 是抛物线243y x x =-+上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可）（5）增减性：二次函数 c bx ax y ++=2的增减性分对称轴左右两侧描述（数形结合理解它的增减性）若0>a ，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而减小，若0<a ，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而减小，练习（６）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”）练习（７）二次函数542+-=mx x y ，当2-<x 时，y 随x 的增大而减小；当2->x 时，y 随x 的增大而增大。
二次函数复习讲义
AB F ED C二次函数复习讲义一、知识框架二、具体问题讲解（一）解析式的获取问题 1. 列取例1：正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，F 是CD 上一点，且AE=AF ，设⊿AEF 的面积为y ，EC 的长为x ，求y 与x 的函数关系式，写出自变量的取值范围。
例2：某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可售出20件。
现需降价处理，经过市场调查：每件服装每降价2元，每天可多售出1件。
在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x 元，每天售出服装的利润为y 元，确定y 与x 之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围。
例3：如图，在⊿ABC 中，∠B=900，AB=12cm ，BC=24cm ，动点P 从点A 开始沿着AB 向B 以2cm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿着BC 向C 以4cm/s 的速度移动（不与点C 重合）。
假设P 、O 分别从A 、B 同时出发，设运动的时间为x s ，四边形APQC 的面积为ycm 2. ⑴求y 与x 之间的关系式，并确定自变量的取值范围；⑵四边形APQC 面积能否成为172cm 2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由。
练：1.在半径为4米的圆中，挖一个半径为xcm 的圆，剩下的圆环面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式为 2.国家决定对某种药品价格分两次降价，若设平均每次的降价率为x ，该药品的原价为18元，降价后的药价为y 元，则y 与x 的函数关系式为 。
3.如图，一矩形场地，两边长分别是80m 、60m ，先欲在场地内修两条宽为xm 的小路，剩余局部的面积为ym 2，则y 与x 之间的关系式为 。
4.某市园丁居民小区要在一块一边靠墙（墙长为15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD 。
花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成。
如下列图，若设花园BC 边的边长为xm ，花园的面积为Sm 2.则S 与x 的函数关系式为 ；自变量的取值范围为 。
二次函数复习讲义
二次函数复习讲义一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是指一个变量的二次多项式方程所定义的函数。
其一般形式可表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 二次函数的对称轴和顶点二次函数的对称轴是与抛物线对称的直线，由x = -b/2a表示。
抛物线的顶点坐标即为对称轴的交点。
二、性质与变换1. 平移变换二次函数可通过平移变换进行移动。
设二次函数为f(x)，平移的规则如下：a）水平平移：f(x + h)表示将抛物线沿x轴正方向移动h个单位；b）垂直平移：f(x) + k将抛物线沿y轴正方向移动k个单位。
2. 拉伸与压缩变换二次函数可通过拉伸或压缩变换进行缩放。
设二次函数为f(x)，变换的规则如下：a）水平拉伸或压缩：f(mx)表示将抛物线的横坐标压缩到原来的1/m倍；b）垂直拉伸或压缩：m*f(x)表示将抛物线的纵坐标拉伸到原来的m 倍。
3. 顶点形式与标准形式的转换二次函数可以通过顶点形式和标准形式之间的转换来说明抛物线的性质。
顶点形式可表示为：f(x) = a(x - h)^2 + k其中，(h, k)为抛物线的顶点坐标。
标准形式可表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，(h, k)为对称轴的交点。
三、特殊二次函数1. 平方函数平方函数是一种特殊的二次函数，其形式为：f(x) = x^2平方函数的图像是一条开口向上的抛物线，其顶点在(0, 0)处。
2. 平移后的二次函数对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，进行平移变换可以得到新的二次函数g(x) = a(x - h)^2 + k。
3. 开口向上与开口向下的二次函数当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
专题六二次函数十大考点中考题型归纳2022年中考数学一轮专题复习讲义
专题六 二次函数考点题型归纳考点一：求二次函数的解析式1．根据下列已知条件，求二次函数的解析式．(1)已知二次函数的顶点在原点，且过另一点(2，－4)，则二次函数的解析式为；(2)已知二次函数的顶点在y 轴上，且纵坐标为2，过另一点(1，4)，则二次函数的解析式为 ；(3)已知二次函数的顶点在x 轴上，且横坐标为2，过另一点(1，－4)，则二次函数的解析式为；(4)已知二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，则二次函数的解析式为；(5)已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则二次函数的解析式为 ；(6)已知二次函数图象经过点A(3，0)，对称轴为直线x ＝1，与y 轴正半轴交于点C ，且OC ＝2，则二次函数的解析式为；(7)将抛物线y ＝4x 2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为． 考点二：二次函数的图像与性质1.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴交于点(－3，0)，其对称轴为直线x ＝－12，结合图象分析下列结论：①abc>0；②3a ＋c>0；③当x<0时，y 随x 的增大而增大；④一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1＝－13，x 2＝12；⑤b 2－4ac4a <0；⑥若m ，n(m<n)为方程a(x ＋3)(x －2)＋3＝0的两个根，则m<－3且n>2，其中正确的结论有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2. 在同一平面直角系中，若抛物线42)12(2-+-+=m x m x y 与n x n m x y ++-=)3(2关于y 轴对称，则m= ,n= .3. 如图，抛物线是二次函数1322-+-=a x ax y 的图像，那么a 的值为 。
4. 在同一直角坐标系XOY 中，一次函数ax y =与二次函数a ax y -=2的图像可能是（ ）5.已知（﹣3，y 1），（1，y 2），（5，y 3）是抛物线y ＝﹣2x 2﹣4x +m 上的点，则（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＝y 2＞y 3D ．y 1＞y 2＝y 36.已知二次函数y ＝﹣（x ﹣k ）2+h ，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，则函数中k 的取值范围是（ ） A ．k ≥2B ．k ≤2C ．k ＝2D ．k ≤﹣27.如图，点A 、B 在y ＝x 2的图象上．已知A 、B 的横坐标分别为﹣2、4，直线AB 与y 轴交于点C ，连接OA 、OB ． （1）求直线AB 的函数表达式； （2）求△AOB 的面积；（3）若函数y ＝x 2的图象上存在点P ，使△PAB 的面积等于△AOB 的面积的一半，则这样的点P 共有 个．考点三：根据二次函数图像判断a 、b 、c 关系式与0的关系1.如图，已知点A （﹣1，0）和点B （1，1），若抛物线y ＝x 2+c 与线段AB 有公共点，则c 的取值范围是（ ） A ．﹣1≤c ≤0B ．﹣1≤c ≤C ．﹣1≤c ≤D ．0≤c ≤2.已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中： ①2a ﹣b ＜0；②abc ＜0；③a +b +c ＜0；④a ﹣b +c ＞0；⑤4a +2b +c ＞0． 其中正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.对称轴为直线x ＝1的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）如图所示，现有结论：①abc ＜0，②b 2＞4ac ，③3a +c ＞0，④ac ﹣bc +c 2＜0．其中结论正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点四：二次函数中平移、旋转问题⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧︒︒=--=：得到抛物线绕原点旋转：得到抛物线绕顶点旋转：轴对称得到抛物线沿：轴翻折后得到抛物线沿：）对称得到抛物线，关于点（个单位得到抛物线轴向右平移沿：已知抛物线76543221180)6180).5).4y ).312).2:3).14)1(.1C C C x C C C x x y C 2. 已知抛物线C 1：222--=ax ax y 的顶点M ，直线l ：a x y -=2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 。
二次函数中的线段最值问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数
例题精讲【例1】．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y 轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PM⊥BC于点M，求线段PM的最大值．解：过P点作PQ∥y轴交BC于Q，如图，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则B（3，0），A（﹣1，0），当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，3）代入得，，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵OB＝OC＝3，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，∵PQ∥y轴，∴∠PQM＝45°，∵PM⊥BC，∴△PMQ为等腰直角三角形，∴PM＝PQ，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则Q（t，﹣t+3），∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∴PM＝（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，PM的最大值为．变式训练【变1-1】．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0）、C（0，﹣2），直线L：y＝﹣x ﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A、D两点，P为抛物线上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线L下方时，过点P作PN∥y轴交L于点N，求PN的最大值．（3）当点P在直线L下方时，过点P作PM∥x轴交L于点M，求PM的最大值．解：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c得，，∴∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）设P（m，m2﹣m﹣2），∵PN∥y轴，N在直线AD上，∴N（m，﹣m﹣），∴PN＝﹣m﹣﹣m2+m+2＝﹣m2+m+．∴当m＝时，PN的最大值是；（3）设P（m，m2﹣m﹣2），∵PM∥x轴，M在直线AD上，M与P纵坐标相同，把y＝m2﹣m﹣2，代入y＝﹣x﹣中，得x＝﹣m2+2m+2∴M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2）∴PM＝﹣m2+2m+2﹣m＝﹣m2+m+2∴当m＝时，PM的最大值是．【变1-2】．如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．解：（1）抛物线y＝﹣+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），C（0，2）．∴，解得：，故抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+2；（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设P（m，﹣m+2）；则Q（m，﹣m2+m+2），则PQ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，此时PQ的最大值为2．【例2】．已知：如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．（1）求此函数的关系式；（2）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标；（3）在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？解：（1）如图1，∵OA＝OC＝3，∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴将A（﹣3，0），C（0，﹣3），分别代入抛物线y＝x2+bx+c，得，解得．故此抛物线的函数关系式为：y＝x2+2x﹣3；（2）如图，连接AP，BP，BC，AC，AC与抛物线对称轴交于点P′，∵抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵B是抛物线与x轴的另一个交点，A（﹣3，0），∴B（1，0），∴BC＝＝＝，∵点A，B关于抛物线对称轴对称，∴AP＝BP，∴PB+PC的最小值即为PA+PC的最小值，此时PA+PC+BC最小，即△BCP的周长最小，∴当P、A、C三点共线时，△BCP的周长最小，即P在P′所在的位置，设直线AC的解析式为y＝kx+b1，∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，∴当x＝﹣1时，y＝﹣2，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；（3）如图3，设N（t，t2+2t﹣3），则M（t，﹣t﹣3），∴MN＝﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，∵﹣1＜0，∴当t＝﹣，即点N的坐标为（﹣，）时，线段MN的长度最大，最大值为．变式训练【变2-1】．如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；（3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值．解：（1）∵B点坐标为（1，0），∴OB＝1，又∵OA＝OC＝3OB，∴OA＝OC＝3，∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），将A，B，C三点代入解析式得，，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）由（1）知抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4，∴D点的坐标为（﹣1，﹣4），∴|AD|＝＝2，|AC|＝＝3，|CD|＝＝，∵|AD|2＝|AC|2+|CD|2，∴△ACD是直角三角形，S△ABC＝|AC|•|CD|＝×＝3；（3）设直线AC的解析式为y＝sx+t，代入A，C点坐标，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，如右图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHE＝∠OCA＝45°，设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），∴PH＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，∴PE＝PH•sin∠PHE＝（﹣x2﹣3x）×＝﹣（x+）2+，∴当x＝﹣时，PE有最大值为，此时P点的坐标为（﹣，﹣）．【变2-2】．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由二次函数顶点C（1，4），设y＝a（x﹣1）2+4，将B（3，0）代入得：4a+4＝0，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，答：二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3，∴D（0，3），设直线BD解析式为y＝kx+3，将B（3，0）代入得：3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BD解析式为y＝﹣x+3，设P（m，﹣m+3），则M（m，﹣m2+2m+3），∴PM＝﹣m2+2m+3+m﹣3＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝时，PM取最大值，最大值为；（3）存在点Q，使△BDQ中BD边上的高为，理由如下：过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，如图：设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，∵OB＝OD，∴∠OBD＝45°，∴∠BGE＝45°＝∠QGH，∴△QGH是等腰直角三角形，当△BDQ中BD边上的高为时，即QH＝HG＝，∴QG＝2，∵点Q在第一象限，QG＝|﹣x2+3x|，∴﹣x2+3x＝2，解得x＝1或x＝2，∴Q（1，4）或（2，3），综上可知存在满足条件的点Q，坐标为（1，4）或（2，3）．1．已知抛物线的顶点A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x轴分别交于C，D两点．（1）求直线OB和该抛物线的解析式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，AE∥x轴交x轴于点E，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G，当点P运动时，求tan∠PCD+tan∠PDC的值．解：（1）设直线OB的解析式为y＝kx，∵B（﹣2，3），∴﹣2k＝3，∴k＝﹣，∴直线OB的解析式为y＝﹣x，∵抛物线的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4．将B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，解得：a＝﹣1，∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．（2）设M（t，﹣t2﹣2t+3），MN＝s，则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为﹣（t﹣s），∵，∴x1＝﹣2，x2＝，∵点M是直线OB的上方抛物线上的点，∴﹣2＜t＜，∵MN∥x轴，∴﹣t2﹣2t+3＝﹣（t﹣s），∴s＝﹣+2＝﹣，∵﹣2＜t＜，∴当t＝﹣时，MN的最大值为；（3）解：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，∴tan∠PCD+tan∠PDC＝，＝，＝，＝1﹣t+t+3，＝4．2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，把点B（3，0）代入y＝kx+3中，得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．∵MN∥y轴，∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为x＝2，∴点（1，0）在抛物线的图象上，∴1＜m＜3．∵线段MN＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m＝﹣+，∴当m＝时，线段MN取最大值，最大值为．（3）假设存在．设点P的坐标为（2，n）．当m＝时，点N的坐标为（，），∴PB＝＝，PN＝，BN＝＝．△PBN为等腰三角形分三种情况：①当PB＝PN时，即＝，解得：n＝，此时点P的坐标为（2，）；②当PB＝BN时，即＝，解得：n＝±，此时点P的坐标为（2，﹣）或（2，）；③当PN＝BN时，即＝，解得：n＝，此时点P的坐标为（2，）或（2，）．综上可知：在抛物线的对称轴l上存在点P，使△PBN是等腰三角形，点P的坐标为（2，）、（2，﹣）、（2，）、（2，）或（2，）．3．已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0），（1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式；（2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M 的坐标；（3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长．解：（1）由抛物线的顶点D的坐标（﹣1，4）可设其解析式为y＝a（x+1）2+4，将点C（﹣3，0）代入，得：4a+4＝0，解得a＝﹣1，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）连接BC，交DH于点M，此时△ABM的周长最小，当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，解得x＝﹣3或x＝1，则A（1，0），C（﹣3，0），当x＝0时，y＝3，则B（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（0，3），C（﹣3，0）代入得，解得：，∴直线BC解析式为y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，所以点M坐标为（﹣1，2）；（3）由题意知E（m，﹣m2﹣2m+3），F（m，m+3），则EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，线段EF最长．4．在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A，B，C，D四点的坐标；②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B（0，﹣2m）；∵y＝﹣（x﹣m）2+2，∴抛物线的顶点为D（m，2），令x＝0，则y＝﹣m2+2，∴C（0，﹣m2+2）．①当m＝2时，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．②由上可知，直线AB的解析式为：y＝2x﹣4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，∴△PAB的面积为：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，∵﹣1＜0，∴当t＝1时，△PAB的面积的最大值为3．此时P（1，1）．（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①∵y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，∴需要分两种情况：当m≥﹣m2+2≥﹣2m时，可得≤m≤1+，当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，可得﹣3≤m≤1﹣，∴m的取值范围为：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣．②当≤m≤1+时，∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，∴当m＝1时，BC的最大值为3；当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，即﹣3≤m≤1﹣，∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，当m＝﹣3时，点M与点C重合，BC的最大值为13．∴当m＝﹣3时，BC的最大值为13．5．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，且CO ＝BO，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；（3）如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）在抛物线y＝ax2+bx+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∴CO＝3，∵CO＝BO，∴BO＝3，∴B（3，0），∵A（﹣1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点D坐标为（1，4），∴当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴E（1，2），∴DE＝2；（3）∵PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，当＝时，△PCF∽△CDE，由D（1，4），C（0，3），E（1，2），利用勾股定理，可得CE＝＝，DE＝4﹣2＝2，设点P坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F坐标为（t，﹣t+3），∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，CF＝＝t，∴＝，∵t≠0，∴t＝2，当t＝2时，﹣t2+2t+3＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P坐标为（2，3）．6．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m 的代数式表示n，并求出n的最大值．解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：；（2）∵AP⊥PM，∴∠APM＝90°，∴∠APB+∠CPM＝90°，∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠CPM，∵∠B＝∠PCM＝90°，∴△MCP∽△PBA，∴＝，即＝，∴3n＝m（3﹣m），∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3），∵﹣＜0，∴当m＝时，n的值最大，最大值是．7．已知二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象和x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，过直线BC 的下方抛物线上一动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D．（1）求直线AC的解析式；（2）求△PQD周长的最大值；（3）当△PQD的周长最大时，在y轴上有两个动点M、N（M在N的上方），且MN＝1，求PN+MN+AM的最小值．解：（1）对于二次函数y＝x2﹣x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，令y＝0，得x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2，∴A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2．（2））∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，OB＝OC＝2，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PE⊥x轴，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠QDP＝∠EBD＝45°，∵PQ∥AC，∴∠PQC＝∠ACQ，∴∠PQD，∠PDQ是定值，∴PD最长时，△PDQ的最长最大，设P（m，m2﹣m﹣2），则D（m，m﹣2），∴PD＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，∵﹣1＜0，∴m＝1时，PD的值最大，PD最大值为1，此时P（1，﹣2），D（1，﹣1），∴直线PQ的解析式为y＝﹣2x，由，解得，∴Q（，﹣），∴PD＝1，PQ＝，DQ＝，∴△PDQ的最长的最大值为1++．（3）如图2中，作PP′∥y轴，使得PP′＝MN＝1，连接AP′交y轴于M，此时PN+NM+AM的值最小．由（2）可知P（1，﹣2），∴P′（1，﹣1），∵A（﹣1，0），∴直线AP′的解析式为y＝﹣x﹣，∴M（0，﹣），N（0，﹣），∴AM＝＝，PN＝＝，∴AM+MN+PN的最小值为+1．8．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、Q的坐标；（3）在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．解：（1）∵点C的横坐标为3，∴y＝×3+＝2，∴点C的坐标为（3，2），把点C（3，2）代入抛物线，可得2＝9a﹣9a﹣4a，解得：a＝，∴抛物线的解析式为y＝；（2）设点P（m，0），Q（m+1，0），由题意，点D（m，m+）m，E（m，），G（m+1，m+1），F（m+1，），∵四边形DEFG为平行四边形，∴ED＝FG，∴（）﹣（m+）＝（）﹣（m+1），即＝，∴m＝0.5，∴P（0.5，0）、Q（1.5，0）；（3）设以D、E、F、G为顶点的四边形面积为S，由（2）可得，S＝（）×1÷2＝（﹣m2+m+）＝，∴当m＝时，S最大值为，∴以D、E、F、G为顶点的四边形面积有最大值，最大值为．9．如图所示，二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过点A（0，1），B（﹣3，），A点在y 轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C．（1）求直线AB的解析式和二次函数的解析式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），是否存在点N，使得BM与NC 相互垂直平分？若存在，求出所有满足条件的N点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，∴，∴，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+1；把A（0，1），B（﹣3，）代入y＝ax2﹣x+c得，，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣x+1；（2）设点N的坐标为（m，﹣m2﹣m+1）（﹣3＜m＜0），则点M的坐标为（m，﹣m+1），∴MN＝﹣m2﹣m+1﹣（﹣m+1）＝﹣m2﹣m+1＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，MN取最大值，最大值为；（3）假设存在，设点N的坐标为（m，﹣m2﹣m+1）（﹣3＜m＜0），连接BN、CM，如图所示．若要BM与NC相互垂直平分，只需四边形BCMN为菱形即可．∵点B坐标为（﹣3，），点C的坐标为（﹣3，0），∴BC＝．∵四边形BCMN为菱形，∴MN＝﹣m2﹣m＝BC＝，解得：m1＝﹣2，m2＝﹣1．当m＝﹣2时，点N的坐标为（﹣2，），∴BN＝＝，BC＝，BN≠BC，故m＝﹣2（舍去）；当m＝﹣1时，点N的坐标为（﹣1，4），∴BN＝＝，BC＝，BN＝BC，∴点N（﹣1，4）符合题意．故存在点N，使得BM与NC相互垂直平分，点N的坐标为（﹣1，4）．10．如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行x轴交直线BC点F，求△DEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P 是抛物线上一点，且位于抛物线对称轴的右侧，是否存在以点P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C∴点C坐标为（0，﹣3）∴直线BC解析式为：y＝x﹣3∵点B（3，0），点C（0，﹣3）∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵DF∥AB，∴∠EFD＝45°＝∠OBC，∵DE⊥BC，∴∠EFD＝∠EDF＝45°，∴DE＝EF，∴DF＝EF，∴EF＝DE＝DF，∴△DEF周长＝DE+EF+DF＝（1+）DF，设点D（a，a2﹣2a﹣3），则F（a2﹣2a，a2﹣2a﹣3）∴DF＝a﹣a2+2a＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣）2+∴当a＝时，DF有最大值为，即△DEF周长有最大值为（1+）×＝，（3）存在，如图1，过点M作GH⊥OC，过点P作PH⊥GH，连接MN，PM，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4∴点M（1，4）∵以点P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形，∴PM＝MN，∠PMN＝90°，∴∠PMH+∠NMG＝90°，且∠PMH+∠MPH＝90°，∴∠NMG＝∠MPH，且MN＝PM，∠H＝∠NGM＝90°，∴△MNG≌△PMH（AAS）∴GM＝PH＝1，∴点P的纵坐标为﹣3，∴﹣3＝x2﹣2x﹣3∴x＝0（不合题意舍去），x＝2，∴点P的横坐标为2，如图2，过点P作GH⊥AB，过点N作NG⊥GH，过点M作MH⊥GH，易证：△NGP≌△PHM，可得NG＝PH，GP＝MH，设点P横坐标为a，（a＞1）∴NG＝PH＝a，∴点P纵坐标为﹣4+a，∴﹣4+a＝a2﹣2a﹣3∴x＝（不合题意舍去），x＝综上所述：点P的横坐标为2或11．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值；（2）在抛物线上是否存在点Q，使得△BDQ中BD边上的高为．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，则C（2，﹣3），设直线AC的表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1，设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，∴当x＝时，PE的最大值＝；（2）存在，点Q的坐标为：（﹣1，0）或（4，5）；令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，即D（0，﹣3），由B（3，0），D（0，﹣3）得到直线BD的解析式是y＝x﹣3，如上图，过点Q作QE⊥BD交BD的延长线于点E，则QE＝2，过点Q作QN⊥x轴于点N，交BD于点H，由直线BD的表达式知，∠HBN＝45°＝∠QHE，则QH＝QE＝＝4，设点Q（m，m，m2﹣2m﹣3），则点H（m，m﹣3），则QH＝|y Q﹣y H|＝4，即m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）＝±4，解得m＝﹣1或4，∴Q的坐标为：（﹣1，0）或（4，5）；（3）存在，点F的坐标为（1，0）或（﹣3，0）或（4+，0）或（4﹣，0），理由：设点F的坐标为（x，0），点G的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），而点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（2，﹣3），①当AC为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：，解得（舍去），故点F的坐标为（1，0）；②当AF为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得解得，即点F的坐标为（4+，0）或（4﹣，0）；③当AG为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得，解得（舍去），故点F的坐标为（﹣3，0），综上，点F的坐标为（1，0）或（﹣3，0）或（4+，0）或（4﹣，0）．12．已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与直线y＝﹣x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式及点M的坐标．（2）点P为直线BC上方抛物线上一点，设d为点P到直线CB的距离，当d有最大值时，求点P的坐标．（3）若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，A'F，当△FA'C 是直角三角形时，直接写出点F的坐标．解：（1）直线y＝﹣x+3过点B和点C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣2a＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，函数的对称轴为：x＝1，当x＝1时，y＝4，故点M（1，4）；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，过点P作PD⊥BC于点D，OC＝OB＝3，则∠DPH＝∠CBA＝45°，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），d＝PD＝PH＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵＜0，故d有最大值，此时x＝，则点P（，）；（3）点A关于y轴的对称点A'（1，0），设点F（m，3﹣m），而点C（0，3），A′C2＝10，A′F2＝（m﹣1）2+（3﹣m）2，FC2＝2m2，由题目知，∠A′CF≠90°，则当△FA'C是直角三角形时，分以下两种情况：当CF为斜边时，即10+（m﹣1）2+（3﹣m）2＝2m2，解得：m＝；当A′C为斜边时，同理可得：m＝2，故点F的坐标为：（，）或（2，1）．13．如图①，已知抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣4的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求点C的坐标及a的值；（2）如图②，抛物线C2与C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移4个单位，得到抛物线C3．C3与x轴交于点B、E，点P是直线CE上方抛物线C3上的一个动点，过点P 作y轴的平行线，交CE于点F．①求线段PF长的最大值；②若PE＝EF，求点P的坐标．解：（1）顶点C为（﹣1，﹣4）．∵点B（1，0）在抛物线C1上，∴0＝a（1+1）2﹣4，解得，a＝1；（2）①∵C2与C1关于x轴对称，∴抛物线C2的表达式为y＝﹣（x+1）2+4，抛物线C3由C2平移得到，∴抛物线C3为y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5，∴E（5，0），设直线CE的解析式为：y＝kx+b，则，解得，∴直线CE的解析式为y＝x﹣，设P（x，﹣x2+6x﹣5），则F（x，x﹣），∴PF＝（﹣x2+6x﹣5）﹣（x﹣）＝﹣x2+x﹣＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，PF有最大值为；②若PE＝EF，∵PF⊥x轴，∴x轴平分PF，∴﹣x2+6x﹣5＝﹣x+，解得x1＝，x2＝5（舍去）∴P（，）．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M 和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M 和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．15．已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的对称轴为x＝4，C为顶点，且A（2，0），C（4，﹣2）【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物线C于点N．①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围．解：【问题背景】A（2，0），对称轴为x＝4，则点B（6，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6），将点C的坐标代入上式得：﹣2＝a（4﹣2）•（4﹣6），解得：a＝，故抛物线的表达式为：…①；【尝试探索】①点C′（4，2），由点B、C′的坐标可得，直线BC′的表达式为：y＝﹣x+6…②，四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2，设点N的坐标为：（x，k2﹣4k+6），则点M（k，﹣k+6），即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2，解得：k＝3或3，故k的值为：；②联立①②并解得：x＝0或6，故抛物线C与直线BC′围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0≤k≤6，MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k，∵0，故MN有最大值，最大值为；【拓展延伸】由点A、C′的坐标得，直线AC′表达式为：y＝x﹣2…③，联立①③并解得：x＝2或8，即封闭区间对应的x取值范围为：2≤x≤8，（Ⅰ）当t＝2时，矩形过点A，此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时，此时y＝H′E′＝4，即x2﹣4x+6＝4，解得：x＝4（舍去4﹣2），即x＝4+2，则t＝3+4+2＝7+2，故t的取值范围为：2≤t≤．。
如何抓住讨论点来处理二次函数(不等式)含参(导数)问题 讲义--高三数学一轮复习专题
专题：如何抓住讨论点来处理二次函数（不等式）含参（导数）问题 知识梳理：1. 含参的二次函数（不等式）的讨论问题要关键点是：（1）参数影响了开口方向，要讨论（2）参数影响了两个根的大小，要讨论（十字相乘，判别式∆）（3）除了要考虑以上两个讨论点外，参数在导数问题上还要优先考虑恒大于0或恒小于0两种情况，如果能用十字相乘法分解，则一定要结合定义域，优先考虑含参括号恒大于或小于0情况，不能分解用整体法考虑二次函数恒大于0或小于0的情况，典型例题：例1：(2021·山东省枣庄市第三中学高三学情调查)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．例2：已知函数R a x a x x a x f ∈+-+=,)12(21ln 2)(2 （1）求f(x)的单调区间 （2）设函数x x a x x f x g 8)12(21)()(2+-+-=，若g(x)存在两个极值点21,x x a x x x 24)2121<+-练习：1、 解不等式：x 2－(a 2＋a )x ＋a 3>0.2、解关于x的不等式axx－1<1(a>0)．3、(2020·全国Ⅲ卷节选)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2，讨论f(x)的单调性．专题：如何抓住讨论点来处理二次函数（不等式）含参（导数）问题知识梳理：1.含参的二次函数（不等式）的讨论问题要关键点是：（1）参数影响了开口方向，要讨论（2）参数影响了两个根的大小，要讨论（十字相乘，判别式 ）（3）除了要考虑以上两个讨论点外，参数在导数问题上还要优先考虑恒大于0或恒小于0两种情况，如果能用十字相乘法分解，则一定要结合定义域，优先考虑含参括号恒大于或小于0情况，不能分解用整体法考虑二次函数恒大于0或小于0的情况，知识梳理：例1：(2021·山东省枣庄市第三中学高三学情调查)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0，即(ax－2)(x＋1)≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1. ③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a； 当2a＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a <－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1； 当－2<a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 例2：已知函数R a x a x x a x f ∈+-+=,)12(21ln 2)(2 （1）求f(x)的单调区间（2）设函数xx a x x f x g 8)12(21)()(2+-+-=，若g(x)存在两个极值点21,x x ，证明：a x x x g x g 24)()(2121<+-- (1)解:f'(x )=+x - (2a +1)== .… … … … … … … … … … … … 1分①若a ≤0,当 0<x <1时 ,f'(x ) <0:当x>1时 ,f'(x ) >0.所以f (x )在(0,1)上单调递减 ,在(1,+∞)上单调递增. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 2分②若 0<a < ,由 f'(x ) >0,得 0<x <2a 或x >1:由f'(x ) <0,得 2a <x <1. 所以f (x )在(0,2a ) ,(1,+∞)上单调递增 ,在(2a ,1)上单调递减. … … … … … … … … … … … … … … 3分③若a =,f'(x ) ≥0恒成立 ,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增.… … … … … … … … … … … … … … 4分④若a > ,由 f'(x ) >0,得 0<x <1或x >2a :由f'(x ) <0,得 1<x <2a . 所以f (x )在(0,1) ,(2a ,+∞)上单调递增 ,在(1,2a )上单调递减. … … … … … … … … … … … … … … 5分(2)证明:g (x ) =f (x ) -x 2 +(2a -1)x +=2a 1n x -2x + , g'(x )=-2- = .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (6)分①当a ≤4时 ,g'(x ) ≤0恒成立 ,g (x )不可能有两个极值点.… … … … … … … … … … … … … … … … … … 7分②当a>4时 ,由 g'(x ) =0得两个根x 1 ,x 2 ,因为x 1 +x 2 =a >0,且x 1x 2 =4,所以两根x 1 ,x 2均为正数 , 故 g (x )有两个极值点.不妨设x 1<x 2 ,由 x 1x 2 =4知 0<x 1<2,x 2>2. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8分=2a . -2-=2a . -4, +4<2a 等价于 2a .<2a ,即 -x 2 +21n x 2<21n2.… … … … … … … … 10分令h (x )= -x +21n x (x >2) ,h'(x )= - -1+= 3<0,所以h (x )在(2,+∞)上单调递减 ,又h (2) =21n2,所以当x >2时 ,h (x ) <21n2.故 +4<2a 成立.… … … … … … … 12分 练习：1、 解不等式：x 2－(a 2＋a )x ＋a 3>0.解 原不等式化为(x －a )(x －a 2)>0.①当a 2－a >0，即a >1或a <0时，解不等式，得x >a 2或x <a ； ②当a 2－a <0，即0<a <1时，解不等式，得x <a 2或x >a ； ③当a 2－a ＝0，即a ＝0或a ＝1时，解不等式，得x ≠a . 综上，当a >1或a <0时，不等式的解集为{x |x >a 2或x <a }； 当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0或a ＝1时，不等式的解集为{x |x ≠a }．2、解关于x 的不等式ax x －1<1(a >0)． 解 ax x －1<1⇔(a －1)x ＋1x －1<0⇔[(a －1)x ＋1](x －1)<0. ①当a ＝1时，容易解得x <1.②当a >1时，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a －1(x －1)<0，解得11－a <x <1. ③当0<a <1时，11－a －1＝a 1－a >0，所以11－a>1， 原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －11－a (x －1)>0，解得x <1或x >11－a . 综上知，当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1或x >11－a ； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x <1}；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |11－a <x <1.3.(2020·全国Ⅲ卷节选)已知函数f (x )＝x 3－kx ＋k 2，讨论f (x )的单调性． 解 由题意，得f ′(x )＝3x 2－k ，当k ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当k ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝± k 3， 令f ′(x )＜0，得－ k 3＜x ＜k 3， 令f ′(x )＞0，得x ＜－ k 3或x ＞k 3， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－k 3，k 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－∞，－k 3，⎝⎛⎭⎫k 3，＋∞上。
二次函数复习(共36张PPT)
y=ax2+bx+c的图 方程ax2+bx+c=0
象和x轴交点
的根
b2-4ac
有两个交点
方程有两个不相等的 b2-4ac>0
实数根
只有一个交点
方程有两个相等的 b2-4ac=0
实数根
没有交点
方程没有实数根 b2-4ac<0
函数的图象
y
.
. ox
y
o
x
y
o
x
根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数 值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0
(4)函数的自变量x的取值范围：任意实数
当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范
围.
二次函数的一般形式:
• 函数y＝ax2＋bx＋c
– 其中a、b、c是常数 – 切记：a≠0 – 右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
向上
直线X=-h
（-h，k）
a ＜ 0 向下
图象的平移规律：
对于抛物线y=a(x+h)2+k的平移有以下规律： (1)、平移不改变 a 的值； (2)、h决定图象沿x轴方向左右平移，左+右— (3)、k决定图象沿y轴方向上下平移，上+下—
知识运用
（坐1标）是抛物线,图(y0象=,0过)x32 第2的开口向一象、,限对上二称；轴是
二次函数 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
y = ax 2
a ＞ 0 向上 直线X=0 a ＜ 0 向下 （或y轴）
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二次函數【知識清單】 ※一、網路框架※二、清單梳理1、一般の，形如2(0,,,)y a x b x c a a b c =++≠是常数の函數叫二次函數。
例如222212,26,4,5963y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函數。
注意：係數a不能為零，,b c 可以為零。
2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ⎧=≠⎧⎪⎪⎪><⎨⎪><>⎧⎪⎨⎪<<>⎩⎩最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。
在对称轴右边（即）,随的增大而增大。
增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。
在对称轴右边（即）,随的增大而减小。
二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩=++≠⎧><⎪⎪-⎪⎨⎪⎪=⎪⎩--><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。
开口方向：，开口向上；，开口向下。
图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪<>⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪<<>⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边（即-）,随的增大而减小。
在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。
当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。
在对称轴右边（即-）,随的增大而减小。
待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2、二次函數の三種解析式（運算式）①一般式：2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数②頂點式：2()(,,0)y a x h k a h k a =-+≠为常数，且，頂點座標為(,)h k③交點式：1212()()(0,,)y a x x x x a x x x =--≠其中是抛物线与轴的交点的横坐标 3、二次函數の圖像位置與係數,,a b c 之間の關係①a ：決定拋物線の開口方向及開口の大小。
當0a >時，開口方向向上；當0a <時，開口方向向下。
||a 決定開口大小，當||a 越大，則拋物線の開口越小；當||a 越小，則拋物線の開口越大。
反之，也成立。
②c ：決定拋物線與y 軸交點の位置。
當0c >時，拋物線與y 軸交點在y 軸正半軸（即x軸上方）；當0c <時，拋物線與y 軸交點在y 軸負半軸（即x 軸下方）；當0c =時，拋物線過原點。
反之，也成立。
③ a b 和：共同決定拋物線對稱軸の位置。
當02b a ->時，對稱軸在y 軸右邊；當02ba-<時，對稱軸在y 軸左邊；當02ba-=（即當0b =時）對稱軸為y 軸。
反之，也成立。
④特別：當1x =時，有y a b c =++；當1x =-时，有y a b c =-+。
反之也成立。
4、二次函數2()y a x h k =-+の圖像可由拋物線2y ax =向上（向下），向左（向右）平移而得到。
具體為：當0h >時，拋物線2y ax =向右平移h 個單位；當0h <時，拋物線2y ax=向左平移h -個單位，得到2()y a x h =-；當0k >時，拋物線2()y a x h =-再向上平移k 個單位，當0k <時，拋物線2()y a x h =-再向下平移k -個單位，而得到2()y a x h k =-+の圖像。
5、拋物線2(0)y ax bx c a =++≠與一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠の關係：①若拋物線2(0)y a x b x c a =++≠與x軸有兩個交點，則一元二次方程20(0)a xb xc a ++=≠有兩個不相等の實根。
②若拋物線2(0)y a x b x c a =++≠與x軸有一個交點，則一元二次方程20(0)a xb xc a ++=≠有兩個相等の實根（即一根）。
③若拋物線2(0)y a x b x c a =++≠與x 軸無交點，則一元二次方程20(0)a xb xc a ++=≠沒有實根。
6、二次函數2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数の圖像與性質關係式 2(0)y ax bx c a =++≠2()(0)y a x h k a =-+≠圖像形狀拋物線頂點座標 24(,)24b ac b a a-- (,)h k對稱軸2bx a=-x h =增 減 性0a >在圖像對稱軸左側，即2bx a<-或x h <，y 隨x の增大而減小；在圖像對稱軸右側，即2bx a>-或x h >，y 隨x の增大而增大；0a <在圖像對稱軸左側，即2bx a<-或x h <，y 隨x の增大而增大；在圖像對稱軸右側，即2bx a>-或x h >，y 隨x の增大而減小；最大值最小值0a >當2b x a =-時，24=4ac b y a -最小值當x h =時，=k y 最小值0a <當2b x a =-時，24=4ac b y a-最大值當x h =時，=k y 最大值【考點解析】考點一：二次函數の概念【例1】下列函數中是二次函數の是（ ）2.81A y x =+ .81B y x =-- 8.C y x =23.4D y x=- 【解析】根據二次函數の定義即可做出判斷，A 中281y x =+符合2(0)y ax bx c a =++≠の形式，所以是二次函數，,B C 分別是一次函數和反比例函數，D 中右邊234x-不是整式，顯然不是二次函數。
【答案】A【例2】已知函數2234(2)3(1)m m y mm x mx m -+=--++是二次函數，則m =_____。
【解析】根據二次函數の定義，只需滿足兩個條件即可“二次項係數不為零，且x の最高次數為2”。
故有2220342m m m m ⎧-≠⎪⎨-+=⎪⎩，解得0212m m m m ≠≠⎧⎨==⎩且或，綜上所述，m 取1。
【答案】1 【針對訓練】 1、若函數22(2)m y m xmx -=-+是二次函數，則該函數の運算式為__________y =。
考點二：待定係數法在求解二次函數解析式中の應用【例1】已知點()8,a 在二次函數2ax y =の圖象上，則a の值是（）2.A 2.-B .C 2± 2.±D【解析】因為點()8,a 在二次函數2ax y =の圖象上，所以將點()8,a 代入二次函數2ax y =中，可以得出3a 8=，則可得2=a ， 【答案】.A【例2】（2011，泰安）若二次函數c bx ax y ++=2のx 與y の部分對應值如下表，則當1-=x 時，y の值為（ ）x7- 6- 5-4-3-2-y27- 13- 3- 3 5 35.A 3.-B 13.-C 27-【解析】設二次函數の解析式為()k h x a y +-=2，因為當4-=x 或2-時，3=y ，由拋物線の對稱性可知3-=h ，5=h ，所以()532++=x a y ，把()3,2-代入得，2-=a ，所以二次函數の解析式為()5322++-=x y ，當3=x 時，27-=y 。
【答案】C 【針對訓練】1、(2002年太原)過()0,1-,()0,3,()2,1三點の拋物線の頂點座標是（ ）.A ()2,12.(1,)3B()5,1.-C 14.(2,)3D2、無論m 為何實數，二次函數2x y =()m x m +--2の圖象總是過定點（ ）()3,1.A ()0,1.B ()3,1.-C ()0,1-D【例3】（2010，石家莊一模）如圖所示，在平面直角坐標系中，二次函數c bx ax y ++=2の圖象頂點為()2,2.--A ，且過點()2,0B ，則y 與x の函數關係式為（ ）.A 22+=x y.B ()222+-=x y .C ()222--=x y.D ()222-+=x y【解析】設這個二次函數の關係式為()222-+=x a y ，將()2,0B 代入得()22022-+=，解得：1=a ，故這個二次函數の關係式是()222-+=x y ，【答案】D【針對訓練】 1、二次函數212y x bx c =++の頂點為(2,1)-，則二次函數の解析式為________.【例4】二次函數2y x bx c =++過點(3,0)(1,0)-、，則二次函數の解析式為______。
考點三：二次函數の圖像與性質の綜合應用（與係數,,a b c の關係）【例1】（2012，蘭州）已知二次函數b x a y -+=2)1()0(≠a 有最小值1，則a 、b の大小關係為（ ）.A b a > .B b a < .C b a = .D 不能確定【考點】涉及二次函數頂點座標和最值【解析】因為二次函數b x a y -+=2)1()0(≠a 有最小值1，所以0>a ，1=-b ，1-=b ，所以b a >。
【答案】.A 【針對訓練】1、二次函數1422--=x x y の最小值是 。
2、（2013，蘭州）二次函數3)1(22+--=x y の圖象の頂點座標是（ ）.A )31(，.B )31(，- .C )31(-， .D )31(--，3、拋物線)2(--=x x y の頂點座標是（ ）.A )11(--，.B )11(，- .C )11(， .D )11(-，【例2】（2012，蘭州）拋物線3)2(2-+=x y 可以由拋物線2x y =平移得到，則下列平移過程正確の是（ ）.A 先向左平移2個單位，再向上平移3個單位 .B 先向左平移2個單位，再向下平移3個單位 .C 先向右平移2個單位，再向下平移3個單位 .D 先向右平移2個單位，再向上平移3個單位【考點】涉及函數平移問題【解析】拋物線2x y =向左平移2個單位可得到拋物線2)2(+=x y ，再向下平移3個單位可得到拋物線3)2(2-+=x y 。