§1.2直角三角形(第1课时)
2016-2017年直角三角形边角关系1.2§1-230度,45度,60度角的三角函数值（总结）
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. [生]在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，AD ＝BE ，BE 是已知的，设BE=a 米，则AD ＝a 米，如何求CD 呢? [生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一 半，即AC ＝2CD ，根据勾股定理，(2CD)2＝CD 2+a 2. CD ＝33a.则树的高度即可求出.[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=aCDAD CD =，则CD=atan30°，岂不简单. 你能求出30°角的三个三角函数值吗?Ⅱ.讲授新课1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°. [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝21. sin30°表示在直角三角 形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ，所以sin30°＝212=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝2323=a a .0.34(m).工会党支部工作总结[工会党支部工作总结] xxxx年，我们工会党支部在师直党工委的正确领导下，认真学习贯彻“三个代表”重要思想，学习党的十六届四中全会精神，自觉用“三个代表”重要思想指导工作，进一步加强党支部的建设，在工作中较好的发挥了政治核心和战斗堡垒作用，工会党支部工作总结。
2直角三角形第1课时-初中八年级下册数学(教案)(北师大版)
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：勾股定理的理解与应用。
-重点内容：
a.直角三角形的定义及其性质。
b.勾股定理的概念及其证明。
c.运用勾股定理求解直角三角形边长。
d.勾股数的概念及其识别。
举例解释：
-在讲解直角三角形的定义时，要强调直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
-通过图形和实际例证，让学生深刻理解勾股定理的意义，并能熟练运用定理求解边长。
-通过具体的例子，如计算直角三角形的斜边长度，突出勾股定理在实际问题中的应用。
2.教学难点
-难点内容：
a.勾股定理的证明过程理解。
b.在实际问题中灵活运用勾股定理。
教学过程中，教师应通过直观演示、实际操作、问题解决等方式，反复强调和练习上述重点内容，确保学生能够透彻理解直角三角形的性质和勾股定理的应用，同时针对难点内容采取小组讨论、个别辅导等教学方法，帮助学生逐一突破难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《直角三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过测量直角三角形边长的情况？”（如测量墙角到地面的距离）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的性质、勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
1.2(1)直角三角形全等的判定
(C 1)(A 1)A 1A C BB 1C B 1CB ADC BA(C 1)(A 1)A C BB 11.2直角三角形全等的判定（1）教案 灌云县鲁河中学 贾永亮 222236教学目标：1、 能证明直角三角形全等的“HL ”判定定理2、 逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力 教学重点：直角三角形全等的判定及其应用 教学难点：引导学生探寻证明方法 教学过程：一、自学质疑：1、三角形全等的条件有哪些？(SAS, ASA, AAS, SSS)2、你认为具备这样条件的两个直角三角形全等吗？为什么？3、还有其它条件能证明两个直角三角形全等吗？(HL)二、交流展示：1、你能从基本事实出发，证明斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？2、证明这些结论你有没有困难？说说你准备如何解决这些困难？证明；斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为“HL ”） 分析:师引导学生找出证明方法，师强调如何证明三点在一条直线上 已知：如图， 求证：__________________________________ 证明：三、互动探究：如图，若∠C=90°，∠A=30°， 那么BC=21AB 。
你能证明吗？ 分析：可用上题图形，利用等边三角形，也可以取斜边上的中线。
还可以作∠BCD =∠B 如下图：FED CB AFED CB A用文字表示为：直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。
说明不能作为判定定理, 可作为结论,用于填空和选择四、精讲点拨：例1、如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE = BF。
求证：（1）AE=CF（2）AB∥CD简单由学生完成五、纠正反馈：10P练习1、2六、迁移应用：若AC=4，DF=7，补例2、已知：如图，AC=BF，DF=DC，AD⊥BC（1）求∠ABC（2）求AF。
分析：利用“HL”证明△BDF≌△ADC，再利用对应边相等求出相关结论。
1.2.1直角三角形全等的判定 第1课时
怀文中学2012—2013学年度第一学期教学设计初 三 数 学（1.2直角三角形全等的判定 第1课时）设计：胡娜 审校：解卫民 时间：8月27日教学目标：1．使学生能熟练地应用判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等．2．使学生掌握斜边、直角边公理及其应用．教学重点：“HL ”判定定理的证明及应用；教学难点：逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力． 作业布置：习题1.2 1，2教学过程： 一、自主探究我们已经学习过有关直角三角形的相关知识和全等三角形的判定方法，请你写出这些定理。
直角三角形的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 全等三角形判定定理：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．简写（ ） （2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．简写（ ） （3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．简写（ ） （4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．简写（ ）二、自主合作1.操作：同桌各画一个Rt △ABC ，使∠C ＝90°，直角边AC 的长为2cm ，斜边AB 的长为3cm ．把△ABC 剪下，两位同学比较一下，看看两人剪下的两个直角三角形是否可以重合．2．你从中得到了什么结论？你能证明吗？3.证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简写为“H L ”） 已知，在△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠ACB=∠A ＇C ＇B ＇=90°，AB= A ＇B ＇，AC= A ＇C ＇， 求证：△ABC ≌△A ＇B ＇C ＇三、自主展示例1：如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 相交于点O ， BE =CD .求证：AB =AC四、自主拓展1．已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，BE=CF ，则下列说法正确的（ ）个 （1）AD 平分∠EDF ； （2）△EBD ≌△FCD ； （3）BD=CD ； （4）AD ⊥BC ． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2．如图，有一个直角△ABC ，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB ，P 、Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线Ax 上运动，当AP= 时,才能使ΔABC≌ΔPQA..3．如图,在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于 D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为4．如图，在△ABC 中，已知D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，DE ＝DF . 求证：AB=AC五、自主评价在本节课中，我们用基本事实又证明了哪些定理。
湘教版初中数学八年级下册1.2 第1课时 勾股定理
湘教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！湘教版初中数学和你一起共同进步学业有成！1.2 直角三角形的性质和判定第1课时 勾股定理学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理. 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力.3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习. 重点：勾股定理的内容及证明. 难点：勾股定理的证明. 学习过程：一.预习新知（阅读教材，并完成预习内容.） 1正方形A 、B 、C 的面积有什么数量关系？2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系.(1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？(2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积.(3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？(4)对于更一般的情形将如何验证呢？二.课堂展示 方法一；如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明.S 正方形＝_______________＝____________________方法二；已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c. 求证：a 2＋b 2=c 2.分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.左边S=______________右边S=_______________ 左边和右边面积相等，即化简可得.方法三：以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于21c 2. 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_________________b归纳：勾股定理的具体内容是 .三.随堂练习1.如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ； (2)若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； (3)三边之间的关系：2.完成书上P69习题1、2四.课堂检测1.在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a ∶b=3∶4，c=10则=________.ABC S △2.已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= .（已知a 、b ，求c ） ⑵a= .（已知b 、c ，求a ） ⑶b= .（已知a 、c ，求b ）3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________.4.已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或255.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A 、56 B 、48 C 、40 D 、32五.小结与反思相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
八年级数学北师大版初二下册--第一单元 1.2 直角三角形课件
作业：
1，下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A 2，3，4
B 1.5, 2，3
C 9, 12, 15
D 7， 8， 9
2，在△ABC中，三边长分别是8,15,17，则这个三角形是＿＿
它的面积是＿＿。
3，若三角形的三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n=＿＿时，此三 角形是直角三角形。
4， 在△ABC中，BC=6,AC=5,BC边上中线长为4，则S△ABC=____ 5，已知：在△ABC中，AB=15cm,AC=20cm,BC=25cm
??? 那么这个三角形是直角三角形吗
你知道吗
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13)
* * * * * *据说*,古埃*及人*曾用*下面*的方*法画*直角：
他们用13个等距离的结把一根绳
子分成等长的12段，一个工匠同时握
住绳子的第1个结和第13个结，两个
(13) (1)
* * (2) * * (3)
(12) (11)
助手分别握住第4个结和第8个结，拉 紧绳子，就会得到一个直角三角形,其
(10) 直角在第4个结处. (9)
* * * (4)
* * * * * (5) (6)
(7) (8)
你想知道这是什么道理吗?
探究1
动
分别以下列两组数据为三
手
角形的边长，画出两个三角形.
画
（单位：cm）
一 画
（1） a＝6， b＝8， c＝10； （2） a＝5， b＝12， c＝13
（3） a＝4， b＝6， c＝8；
（4） a＝6， b＝7， c＝8．
北师大版八年级数学下册《直角三角形》三角形的证明PPT(第1课时)
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知识点二：直角三角形的边的关系
B
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方
和等于斜边的平方.
A
C
关于勾股定理的证明，可以欣赏“16页的读一读”， 并可以上网搜索，诸如美国第二十任总统的证法、赵 爽弦图法等
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那 么这个三角形是直角三角形．
一项指标.现测得AB=4 cm,BC=3 cm,AD=13 cm,CD=12 cm, ∠ABC=90°,根据这些条件,能否得出∠ACD等于90°?请说明理由.
解:能.理由:在Rt△ABC中,
∵AB=4 cm,BC=3 cm,∠ABC=90°,
∴AC=
=5(cm).
在△ACD中,∵AD=13 cm,CD=12 cm,AC=5 cm,
你来给出完整的 证明过程吧，试 一试
例题讲解 例1 如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC 于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 解：由题意可知， ∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°. ∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠BAE＝ ∠BAC＝40°. ∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. ∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
原命题都存在逆命题 ，
但是互逆命题的真假 无法保证
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫 做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
定理
“两直线平行，内错角相等”
北师大版数学八年级下册：1.2 直角三角形 同步练习(附答案)
2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A．120°B．90°C．60°D．30°2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为（）A．35°B．55°C．56°D．65°第2题图第3题图3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，数轴上点A表示的实数是．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶57．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A．2，4，5 B．6，8，11C．5，12，12 D．1，1，28．如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.求阴影部分的面积．9．下列定理中，没有逆定理的是（）A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两个底角相等C．全等三角形的周长相等D．等边三角形的三个角都相等10．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等，两直线平行C．直角都相等D．全等三角形的面积相等11．在Rt△ABC中，已知其中两边分别为6和8，则其面积为．12．已知下列命题：①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有（）A．1个B．2个C．3个D．0个13．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC 一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是（）A．BC＝EC B．EC＝BEC．BC＝BE D．AE＝EC第14题图第15题图15．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为（）A．3 3 B．6 C．3 2 D.2116．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．17．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm.(杯壁厚度不计)18．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x →利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积19．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．第2课时直角三角形全等的判定1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是（）A．HL B．ASAC．AAS D．SAS第1题图第2题图2．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠BAC＝90°C．BD＝AC D．∠B＝45°3．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．75°第3题图第4题图4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.若BD＝3，CE＝5，则DE＝8．5．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD.求证：∠ABC＝∠BAD.6．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角分别对应相等B．两条直角边分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和斜边分别对应相等7．如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是．(填序号)①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF.8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，且DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是（）11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB的长为．第12题图第13题图13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝时，△ABC和△PQA全等．14．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．15．如图1，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F.若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于点M.(1)求证：AE＝CF，MD＝MB；(2)当E，F两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．参考答案：2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)A．120°B．90°C．60°D．30°2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为(B)A．35°B．55°C．56°D．65°第2题图第3题图3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D)A．1 B．2 C．3 D．44．如图，数轴上点A5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°.∴∠ACD＝∠B.(2)∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE.又∵在Rt△AFC中，∠CFA＝90°－∠CAF，在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE，∴∠AED＝∠CFE.又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE.6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶57．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是(D)A．2，4，5 B．6，8，11C．5，12，12 D．1，1，28．如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.求阴影部分的面积．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝AC2＋BC2＝5.在△ABD中，∵AD＝13，BD＝12，AB＝5，∴AB2＋BD2＝AD2.∴△ABD是直角三角形，∠ABD＝90°.∴S阴影＝S△ABD－S△ABC＝12AB·BD－12BC·AC＝30－6＝24.9．下列定理中，没有逆定理的是(C)A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两个底角相等C．全等三角形的周长相等D．等边三角形的三个角都相等10．下列命题的逆命题是真命题的是(B)A．对顶角相等B．同位角相等，两直线平行C．直角都相等D．全等三角形的面积相等11．在Rt△ABC中，已知其中两边分别为6和8，则其面积为12．已知下列命题：①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有(A)A．1个B．2个C．3个D．0个13．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC 一定是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB 于点E，则下列结论一定成立的是(C)A．BC＝EC B．EC＝BEC．BC＝BE D．AE＝EC第14题图第15题图15．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6 C．3 2 D.2116．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为17．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计)18．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x →利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，∴152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9.∴AD＝AB2－BD2＝152－92＝12.∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.19．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．解：(1)当a＝19时，设b＝k，则c＝k＋1，观察有如下规律：192＋k2＝(k＋1)2.解得k＝180.∴b＝180，c＝181.(2)当a＝2n＋1时，设b＝k，则c＝k＋1，根据勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k ＋1)2，解得k＝2n(n＋1)．∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.第2课时直角三角形全等的判定1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是(A)A ．HLB ．ASAC ．AASD ．SAS第1题图 第2题图2．如图，已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，下列能使△ABD ≌△ACD 的条件是(A) A ．AB ＝AC B ．∠BAC ＝90° C ．BD ＝ACD ．∠B ＝45°3．如图，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝CD ，∠1＝40°，则∠2＝(B) A ．40° B ．50° C ．60°D ．75°第3题图 第4题图4．如图，点D ，A ，E 在直线l 上，AB ＝AC ，BD ⊥l 于点D ，CE ⊥l 于点E ，且BD ＝AE.若BD ＝3，CE ＝5，则DE ＝8．5．如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC ＝BD.求证：∠ABC ＝∠BAD.证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠ACB ＝∠BDA ＝90°. 在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎨⎧AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL)． ∴∠ABC ＝∠BAD.6．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是(A)A．两个锐角分别对应相等B．两条直角边分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和斜边分别对应相等7．如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是①②③．(填序号)①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF.8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，且DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.证明：∵EF⊥AC，∴∠F＋∠C＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°.∴∠A＝∠F.又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC＝90°，∴△FBD≌△ABC(AAS)．∴AB＝BF.9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？解：∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴△ADC和△BEC为直角三角形．∵点C是路段AB的中点，∴AC＝BC.∵小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，∴CD＝CE.∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．∴BE＝AD＝50米．答：小红到路段AB的距离是50米．10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是(A)11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(D)A．3对B．4对C．5对D．6对12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB第12题图 第13题图13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，BC ＝5，线段PQ ＝AB ，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP ＝5或10时，△ABC 和△PQA 全等．14．如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE ＝CF.(1)求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF ； (2)若∠CAE ＝30°，求∠ACF 的度数．解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°， ∴∠CBF ＝∠ABE ＝90°. 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，⎩⎨⎧AE ＝CF ，AB ＝CB ，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)． (2)∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴∠CAB ＝∠ACB ＝45°.∴∠BAE ＝∠CAB －∠CAE ＝45°－30°＝15°. 由(1)知Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF ＝∠BAE ＝15°.∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝15°＋45°＝60°.15．如图1，E ，F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F.若AB ＝CD ，BF ＝DE ，BD 交AC 于点M.(1)求证：AE ＝CF ，MD ＝MB ；(2)当E ，F 两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．解：(1)证明：在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BF ＝DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL)． ∴AF ＝CE.∴AF －EF ＝CE －EF ，即AE ＝CF. ∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠DEM ＝∠BFM ＝90°.在△DEM 和△BFM 中，⎩⎨⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠DME ＝∠BMF ，DE ＝BF ，∴△DEM ≌△BFM(AAS)． ∴MD ＝MB.(2)AE ＝CF ，MD ＝MB 仍然成立．证明： 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BF ＝DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL)． ∴AF ＝CE.∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，即AE ＝CF.在△DEM 和△BFM 中，⎩⎨⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠DME ＝∠BMF ，DE ＝BF ，∴△DEM ≌△BFM(AAS)． ∴MD ＝MB.。
湘教版八年级数学下册1.2 直角三角形的性质和判定(II)1 第3课时 勾股定理的逆定理
第3课时 勾股定理的逆定理1．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；(重点)2．灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题．(难点)一、情境导入古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？ 二、合作探究探究点一：勾股定理的逆定理 【类型一】 勾股数判断下列几组数中，一定是勾股数的是( )A ．1，2， 3B ．8，15，17C ．7，14，15 D.35，45，1解析：选项A 不是，因为2和3不是正整数；选项B 是，因为82＋152＝172，且8、15、17是正整数；选项C 不是，因为72＋142≠152；选项D 不是，因为35与45不是正整数．故选B.方法总结：勾股数必须满足：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a 2＋b 2＝c 2，但是2.5、6.5不是正整数，所以它们不是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． 【类型二】 判断三角形的形状已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足(a －7)2＋(b －24)2＋(c －25)2＝0.试判断△ABC 的形状．解析：可先确定a ，b ，c 的值，然后再结合勾股定理的逆定理进行判断． 解：由平方数的非负性，得a －7＝0，b －24＝0，c －25＝0.∴a ＝7，b ＝24，c ＝25.又∵a 2＝72＝49，b 2＝242＝576，c 2＝252＝625，∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 是直角三角形．方法总结：此题主要依据“若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0”这一性质来确定a ，b ，c 的值．该知识点在解题时会经常用到，应注意掌握．变式训练：见《课堂点睛》本课时练习【类型三】 利用勾股定理逆定理解决与角有关的问题在如图的方格中，△ABC 的顶点A 、B 、C 都是方格线的交点，则三角形ABC 的外角∠ACD 的度数等于()A．130°B．135°C．140°D．145°解析：∵AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，∴AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝45°＋90°＝135°.故选B.方法总结：在网格图中求三角形的角度时可以运用勾股定理和一些特殊角的边角关系来解答，比如在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，45°的直角三角形中两直角边相等．变式训练：见《课堂点睛》本课时练习【类型四】运用勾股定理的逆定理解决面积问题如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积．解析：连接AC，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ABC和△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．解：连接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10，在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12×6×8＋12×10×24＝144.方法总结：将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等．变式训练：见《课堂点睛》本课时练习探究点二：勾股定理逆定理的实际应用如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海．解析：已知走私艇的速度，求出走私艇的距离即可得出走私艇所用的时间，即可得出走私艇何时能进入我国领海．所以现在的问题是得出走私艇的距离，根据题意，CE即为走私艇所走的路程，可知，△ABE 和△EBC 均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．解：设MN 与AC 相交于E ，则∠BEC ＝90°，∵AB 2＋BC 2＝52＋122＝132＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°，由于MN ⊥CE ，所以走私艇C 进入我国领海的最短距离是CE ，由S △ABC ＝12AB ·BC ＝12AC ·BE ，得BE ＝6013(海里)，由CE 2＋BE 2＝BC 2，即CE 2＋(6013)2＝122，得CE ＝14413(海里)，∴14413÷13＝144169≈0.85(h)＝51(min)，9时50分＋51分＝10时41分． 答：走私艇C 最早在10时41分进入我国领海．方法总结：本题考查了对题意的准确把握和使用勾股定理解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出几何图形． 变式训练：见《课堂点睛》本课时练习 三、板书设计1．勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形2．利用勾股定理逆定理求角和线段的长3．利用勾股定理逆定理解决实际问题学生在练习的过程中很容易受到固定思维模式的限制，往往不找最长边而总是按照先后顺序来解题，这样很容易发生错误，再就是利用勾股定理的逆定理进行有关的证明不是很得法，需在以后的学习中逐步训练提高.。
北师版八年级数学下册1.2 直角三角形3 第1课时 勾股定理及其逆定理
1．2直角三角形第1课时勾股定理及其逆定理1．掌握“直角三角形的两个锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”这两个定理，并学会运用．2．会证明勾股定理及其逆定理．3．了解逆命题和逆定理的概念，能写出一个命题的逆命题并判断其真假．自学指导：阅读教材P14～16，完成下列问题．知识探究1．定理：直角三角形的两个锐角互余．定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．2．你还记得勾股定理吗？请把勾股定理的内容写下来：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．3．定理：如果三角形两边的平方等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．4．什么叫互逆命题、逆命题？什么叫互逆定理、逆定理？解：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．5．你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？请你举出一些互逆定理的例子．解：它的逆命题是：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数也相等．这个命题是真命题，它的逆命题不是真命题．例子：“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”等．自学反馈1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是(B)A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为(A)A．－1－ 5B．1－ 5C．－ 5D．－1＋ 53．下列命题中，是真命题的是(B)A．同位角相等B．邻补角一定互补C．相等的角是对顶角D．有且只有一条直线与已知直线垂直4．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的有(B)A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个活动1 小组讨论例1 已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c.求证：a 2＋b 2＝c 2.证明：延长CB 至D ，使BD ＝b ，作∠EBD ＝∠A ，并取BE ＝c ，连接ED ，AE.则△ABC ≌△BED.∴∠BDE ＝90°，ED ＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．∴四边形ACDE 是直角梯形．∴S 梯形ACDE ＝12(a ＋b)(a ＋b)＝12(a ＋b)2. ∵∠ABE ＝180°－(∠ABC ＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，AB ＝BE ＝c ，∴S △ABE ＝12c 2.∵S 梯形ACDE ＝S △ABE ＋S △ABC ＋S △BED ， ∴12(a ＋b)2＝12c 2＋12ab ＋12ab ，即12a 2＋ab ＋12b 2＝12c 2＋ab. ∴a 2＋b 2＝c 2.利用割补法证明勾股定理．例2 判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形．(1)a ＝15，b ＝8，c ＝17；解：∵152＋82＝225＋64＝289，172＝289，∴152＋82＝172，即a 2＋b 2＝c 2.∴这个三角形是直角三角形．(2)a ＝13，b ＝14，c ＝15.解：∵132＋142＝169＋196＝365，152＝225，∴132＋142≠152，即a 2＋b 2≠c 2.∴这个三角形不是直角三角形．例3 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假．(1)四边形是多边形；解：原命题是真命题．逆命题：多边形是四边形，是假命题．(2)两直线平行，同旁内角互补；解：原命题是真命题．逆命题：同旁内角互补，两直线平行，是真命题．(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0.解：原命题是假命题．逆命题：如果a＝0，b＝0，那么ab＝0，是真命题．活动2跟踪训练1．以下列各组数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是(D)A．6，8，10 B．5，12，13C．9，40，41 D．5，6，72．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，在满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是(A) A．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5B．a∶b∶c＝1∶2∶ 3C．a∶b∶c＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶33．如果直角三角形的三条边分别为2，4，a，那么a的取值可以有(C)A．0个B．1个C．2个D．3个4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示三个正方形的面积，S1＝81，S3＝225，则S2＝144．5．一个直角三角形两条直角边的比是3∶4，斜边的长为10 cm，则这个直角三角形的面积是24cm2，斜边上的高为4.8cm.活动3课堂小结这节课我们了解了勾股定理及其逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解了逆命题的概念．会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力．。