2021届新课标高考总复习数学第一章集合、常用逻辑用语与不等式 第一节集合课件
2021高考文科数学一轮总复习课标通用版课件：第1章 集合与常用逻辑用语 1-3
＝
无极值点．
(1)若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数 a 的取值范围；
(2)已知“p∧q”为真命题，并记为 r，且 t：
，
若 r 是綈 t 的必要不充分条件，求正整数 m 的值．
【解】 (1)若 p 为真，则 3a≤9，得 a≤2. 若 q 为真，则函数 f(x)无极值点， ∴f′(x)＝x2＋3(3－a)x＋9≥0 恒成立， 得 Δ＝9(3－a)2－4×9≤0，解得 1≤a≤5. ∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题， ∴p 与 q 只有一个命题是真命题．
D．命题“若 α＝π3 ，则 cosα＝21”的逆否命题是：“若 cosα≠21，则 α≠π3 ”．
假
真
3.全称量词与存在量词
量词名 称
常见量词
表示符 号
全称量 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀
词
存在量 存在一个、至少有一个、有一个、某个、
∃
词
有些、某些等
4.全称命题与特称命题 全称命题(∀x∈M，p(x))
表 对所有的 x∈M，p(x)成立 述
对一切 x∈M，p(x)成立 方
对每一个 x∈M，p(x)成立 法
【反思·升华】 判断一个含有逻辑联结词命题的真假，应先对该命题进行分解，判断 出构成它的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．
[强化训练 1.1] 已知命题 p：若 x>y，则－x<－y；命题 q：若 x>y，则 x2>y2.在命题① p∧q；②p∨q；③p∧(綈 q)；④(綈 p)∨q 中，真命题是( )
01 集合与常用逻辑用语
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
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1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2．理解全称量词与存在量词的意义． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
高考数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语 第1节 集合课件 文
12/11/2021
所以 a 的取值为 0 或98.]
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解析答案
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3．已知 a，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b,0}，则 a2 019＋b2 019 为( )
A．1 B．0 C．－1 D．±1 C [由已知得 a≠0，则ba＝0， 所以 b＝0，于是 a2＝1，即 a＝1 或 a＝－1，又根据集合中元素 的互异性可知 a＝1 应舍去，因此 a＝－1，故 a2 019＋b2 019＝(－1)2 019 ＋02 019＝－1.]
(3)正确． (4)错误．当 A＝∅时，B，C 可为任意集合． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
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2．(教材改编)若集合 A＝{x∈N|x≤ 10}，a＝2 2，则下列结论
正确的是( )
A．{a}⊆A
B．a⊆A
C．{a}∈A
D．a∉A
()
(4)若 A∩B＝A∩C，则 B＝C．
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()
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[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是 错误的．
(2)错误．集合 A 是函数 y＝x2 的定义域，即 A＝(－∞，＋∞)； 集合 B 是函数 y＝x2 的值域，即 B＝[0，＋∞)；集合 C 是抛物线 y ＝x2 上的点集．因此 A，B，C 不相等．
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01
栏 目
02
(lán mù)
导 航
03
课前知识全通关
课堂 题型全突破 (kètáng)
高考数学(新课标人教)一轮总复习课件：第1章集合与常用逻辑用语第1节集合
第一章集合与常用逻辑用语第1节集合I-1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系I I I I I I I I I : : 1I I I : •: I I I I I I >2.能用自然语言、图形语言、集合语言（列| 1II举法或描述法）描述不同的具体问题. I I I ' I、3・理解集合之间包含与相等的含义，能识别I I I I给定集合的子集. I I I ' I I-4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.II I ' I I I • 5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求•［要点梳理］:；1)冨囂两w旳、——e ---- e --------•(2)兀素与集合的关系有 _____ 和刖术法Wl^nn)#示符号为--- 或—-•(3)集合的表示方法有 _________________ 、和• (4)常见集合的符号表不• 2.集合间的关系• 3.集合的运算•质疑探究：对于集合力、右AD B Q AC\B,那么&与B之间有什么关系？•提示：因为力QB匸力UB ,从而有力QB二&UB,所以必有力二B• 4・集合的运算性质•并集的性质：时• &U0=A A=A； >4U B=BU>4； /IU 8=&o _________A Q B•交集的性质：• A(10=0； (A^A=A； AP\ B=B^A；A A^ B =/4o •补集的性质：•［基础自测］二爲瞽〃丁23,4,5,6},帖{山4},则• A / /•C * 创 C B・{1,3,5}J {3,5,6} D. {2,4,6}•［解析］・・・〃二{123,4,5,6},〃二{12 4} •・・JM二{3,5,6} . 5 5 7•［答案］C•2・(2015 -福建宁德质检)已知集合力={0,1} ,3={ — 1,0, a+2},若力匸3,贝II日的值为( )•A. —2 B. -1•C・0 D・1•［解析］U：A Q B, Aa + 2 = 1 z:.a= -1 •故选B.•［答案］B• 3・（2014 -重庆高考）已知集合力={3,4,5,12,13}, 8={2,3, 5,8,13},则AHB=•［解析］由集合交集的定义知,AHB = {3,5,13}・•［答案］{3,5,13}• 4.已知集合/4={x|a —1 +a}, B —{x|x 2—5x+4^0},若>4 A 8=0,贝实数日的 取值范围是 ____________ .•又・.•集合力中日・1 +a.• V >4 D 8 = 0 z a + 1 <4Sa - 1 >1 z .*.2<a<3. •［答案］(2,3)•解析］ x<1. 集合B 中 z x 2-5x+4^0 ・・・x$4或5.给出下列命题：①空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集.②a在集合4中，可用符号表示为a^A.③N匚N*UZ④(AnB)^(AUB), (UA)UA = (/.其中真命题的是 _______ .(写出所有真命题的序号)•［解析］对于①,两元素集合不一定是三元素集合的子集,所以①不正确;对于②,元素与集合的关系是属于和不属于的关系,日在集合力中，应表示为日三力,所以②不正确; 对于③,由正整数集、自然数集、整数集的关系知，N* cNcZ,所以③不正确；对于④ /由交集、并集、补集白勺意义知④正确・•［答案］④典例透析•层级提高•考向一集合的基本概念•例1 ⑴(2013 •山东高考)已知集合力= {0,1,2},则集合B={x—y\x^A, y^A}中元素的个数是()•A. 1 B・ 3•C・5 D・9•(2)已知集合A={a+29 (a+1)2, a2+3a+3} ,且力，贝ij2 015a的值为•思路点拨（1）弄清B的元素是怎么构成的.⑵讨论力中哪个元素可以为1.［解析］(1)®当x=0时，y=0丄2,此时x-y的值分别为0, -1, -2；②当兀=1时，y=0,l,2,此时x—y的值分别为1,0, -1；③当兀=2时，y=0,l,2,此时x-y的值分别为2,1,0.综上可知，兀一y的值可能为一2, —1Q丄2,共5个，故选C.塚心二 H Z +e g + e co+务、SL汕© • 心、L #(L +e )g + e e +%、圮绎 H e汕㊀• •L-n^K 、Luco +e e +%汕•・«微如粋心・ l ^l [nI «r (L +e )lrp L H e +•互动探究1本例(1)中，集合力不变，试确定集合8={(x, y)\x^A, ye>4}中元素的个数为 题意,得集合B 中的元素为点(0,0),(0,1), (0,2) , (1,0) , (1,1) , (1,2) , (2,0), (2,1) , (2,2)共9个・ •故集合3中元素的个数为9.•解•［答案］9•拓展提咼(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么°(2)对于含有字母的集曰' 集合是否满足互异性.在求出字母的值后，要注意检验活学活用1 (1)(2015•山东高考信息卷)已知集合A = {x\x —2x+o〉0},且叫4,则实数Q的取值范围是( )A. (―°°, 1] B・[1, +°°)C. [0, +°°)D. (―°°, 1)(2)若集合A = {xhx2-3x+2 = 0}的子集只有两个，则实数'【解析］(1)因为1胡，故当尸1时，有宀2卄炖，即卩―2X1+Q W0,解得aWl.(2)丁集合A的子集只有两个，.・.4中只有一个元素.当时，才=|符合要求.当Q HO时，△=(_3)2_4Q X2=0,・・・°=2.故a=0或鲁.［答案］(1)A (2)0或舟考向二集合间的基本关系例 2 (1)(2015-临沂模拟)已知集合A={x\ax=l}, B={x\x — 1=0},若A^B,则a的取值构成的集合是()A. {-1}B. {1}C. {-1,1}D. {-1,0,1}(2)已知集合A= {xl—2CxC7}, B= {x\m+ l<x<2m— 1}, 若BUA则实数加的取值范围是_____________ ・思路点拨（1）题中B集合是确定的，4集合可以是空集，也可以是一元素集合，由此容易确定答案.（2）若BUA,则B =0或BH0,要分两种情况进行讨论.［解析］⑴由题意，得3={ — 1,1},因为A^B,所以当4=0时，。
高考数学全程一轮复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第一节集合课件
解析：A＝{(x，y)|xy＝1}，B＝{(x，y)|x∈Z，y∈Z}，则A∩ B＝{(1，1)，(－1，
－1)}，真子集个数为22－1＝3.
(2)已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，则a2
024＝(
)
A．－1 B．0 C．1 D．2
023＋b2
答案：A
2 =1
2 =b
a
巩固训练4 [2024·九省联考]已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x
－3|≤m}，若A∩ B＝A，则m的最小值为________．
答案：5
解析：由A∩ B＝A，故A⊆B，
由 x − 3 ≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，
4≤m+3
m≥1
故有ቊ
，解得ቊ
，即m≥5，
−2 ≥ −m + 3
m≥5
≥2
2
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪ 1， + ∞ ．
题后师说
判断集合间关系的常用方法
巩固训练 2
(1)若集合 A 满足{1，2}⊆A {1，2，3，4，5}，则集合 A 所有可能
)
的情形有(
D．9 种
C．7 种
B．5 种
A．3 种
答案：C
解析：由{1，2}⊆A {1，2，3，4，5}，可知集合 A 必有元素 1，2，即至少有两
a
解析：由题意A＝B可知，两集合元素全部相等，得到ቊ
或ቊ
，又根
ab = b
ab = 1
a = −1
a=1
据集合元素的互异性，可知a≠1，解得a＝1(舍)，ቊ
和ቊ
(舍)，所以a
b=0
b=1
＝－1，b＝0，则a2 023＋b2 024＝(－1)2 023＋02 024＝－1.
高三数学(文 新课标)一轮复习课件：第一章 集合与常用逻辑用语 ppt
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
1
2．常用逻辑用语 (1)理解命题的概念．
(2)了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题
与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． (3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． (4)了．解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． (5)理解全称量词和存在量词的意义．
第一章 集合与常用逻辑用语
考纲链接
1．集合 (1)集合的含义与表示 ①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系． ②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． (2)集合间的基本关系 ①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． ②在具体情境中，了解全集与空集的含义． (3)集合的基本运算 ①理解两．个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． ③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
＝∅，则实数 a 的取值范围为________．
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
19
解：(1)因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，a≠0， 所以 a＋b＝0，ba＝－1，从而 b＝1， 所以 a＝－1，b＝1，所以 b－a＝2.故填 2. (2)由 A＝∅知方程 ax2＋3x－2＝0 无实根， 当 a＝0 时，x＝23不合题意，舍去；
(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定 ．
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
2
• 1.1 集合及其运算
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
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1．集合的基本概念
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 不等关系及简单不等式的解法课件 文
∴b-a=a2-a+1=
ln
,则
(2)令 f(x)=
1 2
3
- 2 + 4>0,∴b>a.∴c≥b>a.
1-ln
f'(x)= 2 .
∵当x>e时,f'(x)<0,∴f(x)在(e,+∞)内单调递减.
∵e<a<b,∴f(a)>f(b), 即ln > ln.∴bln a>aln b.∴ab>ba.
<
(∈R, > 0).
2
知识梳理
考点自诊
2.不等式的性质
(1)对称性:a>b⇔b<a.
(2)传递性:a>b,b>c⇒ a>c
.
(3)可加性:a>b⇔a+c
b+c;a>b,c>d⇒a+c
b+d.
>
>
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac >
bc;a>b,c<0⇒ac <
bc;
a>b>0,c>d>0⇒ac >
所以-π<α-β<π.
又 α<β,所以 α-β<0,所以-π<α-β<0.
2
(2)由 3≤xy ≤8,4≤ ≤9,可知 x>0,y>0,
1
1
1
4
3
3
且 ≤ 2 ≤ ,16≤ 2 ≤81,可得 2≤ 4 ≤27,故 4 的最大值是
8
3
2
12/11/2021
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式1-4一元二次不等式与几类重要不等式的解法课件
() ()
解：(1)×； (2)√； (3)×； (4)×； (5)×.
不等式 2x2－x－3>0 的解集为
()
A. x|－1＜x＜32 C. x|x＜－1或x＞32
B. {x|x＜－3 或 x＞1} D. {x|x＜－1 或 x＞1}
判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
(1)－x2＋x>0 的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).
()
(2)若二次不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(x1，x2)，则必有 a<0. (3)不等式 ax2＋bx＋c>0 恒成立，则 a>0 且 Δ<0.
() ()
(4)ax<b 的解集是ab，＋∞.
(2020 年江苏淮阴中学高二期末)不等式
x2－x－4 x－1 >1
的解集为
()
A. {x|x<－1 或 x>3}
B. {x|x<－1 或 1<x<3}
C. {x|－1<x<1 或 x>3}
D. {x|－1<x<1 或 1<x<3}
解：原不等式可化为x2－x－x－1 4－1>0，即x2－x－2x1－3>0，等价于(x＋1)(x－1)(x－3)>0.
(3)解关于 x 的不等式 ax2－2≥2x－ax(a∈R).
解：原不等式可化为 ax2＋(a－2)x－2≥0(a∈R)， 即(ax－2)(x＋1)≥0(a∈R). 当 a＝0 时，原不等式可化简为 x＋1≤0， 原不等式的解集为{x|x≤－1}； 当 a≠0 时，原不等式的解集由2a和－1 的大小决定，当 a>0 时，2a>－1；当－2<a<0 时， 2a<－1；当 a=－2 时，2a=－1；当 a<－2 时，2a>－1.
2021年新高考数学一轮总复习：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
2021年新高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语、不等式第一节集合新课程标准考向预测1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.命题角度1.集合的基本概念2.集合间的基本关系3.集合的基本运算核心素养数学抽象、数学运算[知识梳理]1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .AB ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中至少存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A .[常用结论](1)子集的性质：A ⊆A ，∅⊆A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅，∁U (∁U A )＝A ，∁A A ＝∅，∁A ∅＝A . (5)子集的个数：含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集．(6)等价关系：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B .[基础自测]一、走进教材1．(必修1 P 12练习T 2改编)已知集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3，4,5}，则A ∩B ＝( ) A ．{3} B ．{5} C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5,7}解析：选C 因为A ∩B ＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}，故选C.2．(必修1 P 12A 组T 5(2)改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤10}，a ＝22，则下面结论中正确的是( )A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A解析：选D 因为22不是自然数，所以a ∉A .3．(必修1 P 15A 组T 6改编)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |0<x ≤4}，则A ∪B ＝( )A ．[－1,4]B ．(0,3]C ．(－1,0]∪(1,4]D ．[－1,0]∪(1,4]解析：选A A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以A ∪B ＝{x |－1≤x ≤4}． 二、走出误区常见误区：①忽视集合的互异性致误；②集合的表示方法理解不到位致误；③集合运算中端点取值把握不准致误；④忘记空集的情况致误．4．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m＝3，故m ＝－32.答案：－325．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为________． 解析：法一：将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数．答案：96．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－3<x <1}，B ＝{x |x ＋1≥0}，则∁U (A ∪B )＝________. 解析：因为B ＝{x |x ≥－1}，A ＝{x |－3<x <1}，所以A ∪B ＝{x |x >－3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－3}．答案：{x |x ≤－3}7．已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 解析：易得M ＝{a }．因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M ，所以N ＝∅或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝±1.答案：0或1或－1[题组练透]1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B a ∈{1,2,3}，b ∈{4,5}，则M ＝{5,6,7,8}，即M 中元素的个数为4.故选B. 2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2.故选C.3．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0D ．0或98解析：选D 当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.故选D.4．已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________． 解析：因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5<k ≤6. 答案：(5,6][解题技法]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．考点二 [师生共研过关]集合的基本关系[例1] (1)设全集U ＝R ，则集合M ＝{0,1,2}和N ＝{x |x ·(x －2)·log 2x ＝0}的关系可表示为( )(2)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． [解析] (1)∵N ＝{x |x ·(x －2)·log 2x ＝0}＝{1,2}，M ＝{0,1,2}， ∴N 是M 的真子集，故选A. (2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}． 若B ⊆A ，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)A (2)(－∞，1][对点变式]1.(变条件)若本例(1)中M 不变，则满足N M 的集合N 的个数为( )A ．2B ．3C ．7D ．8解析：选C 因M ＝{0,1,2}，则N ＝{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，∅.2.(变条件)若本例(2)中，把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，则m 的取值范围为________．解析：若A ⊆B ，由⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1，m ≥3得m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞)[解题技法]1．集合间基本关系的2种判定方法和1个关键2．根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．[跟踪训练]1．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P解析：选C 因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，故选C.2．(2019·江西上饶重点中学六校第二次联考)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝[0,3a －1]，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选C 由题意可得3a －1≥1，解得a ≥23，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞.故选C.3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2. ②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)． 答案：[－2,2)考点三[定向精析突破]集合的基本运算考向(一) 集合的运算[例2] (1)(2019·沈阳市质量监测)已知全集U ＝{1,3,5,7}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则如图所示阴影区域表示的集合为( )A ．{3}B ．{7}C ．{3,7}D ．{1,3,5}(2)若集合A ＝{x |2x 2－9x ＞0}，B ＝{y |y ≥2}，则A ∩B ＝________，(∁R A )∪B ＝________. [解析] (1)由题图可知，阴影区域为∁U (A ∪B )，由并集的概念知，A ∪B ＝{1,3,5}，又U ＝{1,3,5,7}，于是∁U (A ∪B )＝{7}，故选B.(2)因为A ＝{x |2x 2－9x ＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＞92或x ＜0，所以∁RA ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤92，又B ＝{y |y ≥2}，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞92，(∁R A )∪B ＝[0，＋∞)． [答案] (1)B (2)⎝⎛⎭⎫92，＋∞ [0，＋∞)[解题技法]集合基本运算的方法技巧考向(二) 根据集合运算结果求参数[例3] (1)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,2] B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(2)(2019·江西南昌外国语学校适应性测试)已知集合M ＝{x |0<x <5}，N ＝{x |m <x <6}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6[解析] (1)∵A ∩B ≠∅，∴A ，B 有公共元素．作出数轴，如图所示，可得a >－1，即a 的取值范围是(－1，＋∞)．(2)因为M ∩N ＝{x |0<x <5}∩{x |m <x <6}＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝5，因此m ＋n ＝8.故选B.[答案] (1)D (2)B[解题技法]根据集合的运算结果求参数值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围． 考向(三) 集合的新定义问题[例4] 定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合⎝⎛⎭⎫BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，16，14，13，12，1，则⎝⎛⎭⎫B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，16，14，13，12，1，2，共有7个元素．[答案] B[解题技法]解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．[跟踪训练]1．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,3,4,5}，B ＝{2,3,6,7}，则B ∩(∁U A )＝( )A ．{1,6}B ．{1,7}C ．{6,7}D ．{1,6,7}解析：选C ∵ U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,3,4,5}，∴ ∁U A ＝{1,6,7}．又B ＝{2,3,6,7}，∴ B ∩(∁U A )＝{6,7}．故选C.2．(2019·内蒙古呼和浩特期中调研)已知集合A ＝{3,1,2}，B ＝{1，a }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值集合是( )A ．{3}B ．{2}C ．{3,2}D ．{3,1,2}解析：选C ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴a ＝3或2.∴实数a 的取值集合是{3,2}．故选C. 3．(多选)已知全集U ＝R ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为M ，集合N ＝{x |x 2－x ＜0}，则下列结论正确的是( )A ．M ∩N ＝NB ．M ∩(∁U N )≠∅C ．M ∩N ＝UD ．M ⊆(∁U N )解析：选AB 由题意知M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |0＜x ＜1}，∴M ∩N ＝N .又∁U N ＝{x |x ≤0或x ≥1}，∴M ∩(∁U N )＝{x |x ≤0}≠∅，M ∪N ＝{x |x ＜1}＝M ，M ⃘(∁U N )，故选A 、B.4．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ⊗Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P ⊗Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0；当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝12.故P ⊗Q＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，12，该集合中共有3个元素．故选B.[课时过关检测]A 级——夯基保分练1．(2019·天津高考)设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x <3}，则(A ∩C )∪B ＝( )A ．{2}B ．{2,3}C ．{－1,2,3}D ．{1,2,3,4}解析：选D ∵ A ∩C ＝{－1,1,2,3,5}∩{x ∈R |1≤x <3}＝{1,2}，∴ (A ∩C )∪B ＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．故选D.2．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1}解析：选D A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，所以∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．故选D.3．已知集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，则集合A ∩B 的子集的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A 由x 2－5x ＋4<0，得1<x <4，则集合B ＝{x |1<x <4}．又知A ＝{1,2,3}，所以A ∩B ＝{2,3}，故集合A ∩B 的子集个数为22＝4.故选A.4．已知全集U ＝{x ∈Z |0<x <8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为( )A ．M ∩(∁U N )B ．∁U (M ∩N )C ．∁U (M ∪N )D ．(∁U M )∩N解析：选C 由已知得U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，N ＝{2,6}，M ∩(∁U N )＝{2,3,5}∩{1,3,4,5,7}＝{3,5}，M ∩N ＝{2}，∁U (M ∩N )＝{1,3,4,5,6,7}，M ∪N ＝{2,3,5,6}，∁U (M ∪N )＝{1,4,7}，(∁U M )∩N ＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，故选C.5．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x 216＋y 29＝1，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪x 4＋y3＝1，则M ∩N ＝( ) A ．∅ B ．{(4,0)，(3,0)} C ．[－3,3]D ．[－4,4]解析：选D 由题意可得M ＝{x |－4≤x ≤4}，N ＝{y |y ∈R }，所以M ∩N ＝[－4,4]．故选D.6．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a ＝( )。
2024版新教材高考数学全程一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第一节集合课件
)
A．R
B．{x|y＝x2－1}
C．{(x，y)|y＝x2－1} D．∅
答案：D
解析：因为集合A的代表元素是实数，而集合B的代表元素是图象上的点，故
A∩ B＝∅.
关键能力·题型突破
题型一 集合的含义与表示
例 1 (1)[2023·山东师大附中模拟]已知集合A＝{2，3，4}，B＝
{x∈N|x2＋2x－3<0}，则A ∪ B中元素的个数是(
故选C.
(2)[2023·河北石家庄二中模拟]已知集合A＝{x|x2 ＝2x}，集合B＝
{x∈Z|－2<x<2}，则A∪ B＝(
)
A．{0，2}
B．{－1，0，1，2}
C．{x|0≤x<2} D．{x|－2<x≤2}
答案：B
解析：易知A＝{x|x＝0或x＝2}，B＝{－1，0，1}，
A∪ B＝{－1，0，1，2}．
故选C.
题后师说
集合基本运算的求解策略
巩固训练3
(1)[2023·山东青岛模拟]已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝
{1，2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∪(∁U B)＝(
)
A．{3，6}
B．{2，4}
C．{1，2，4，5，6} D．{3，5，7}
答案：C
解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，
)
A．2
B．3
C．4
D．5
答案：C
x2
解析：由
4
y2
+ ＝1知－2≤x≤2.又x∈N，则集合A＝{0，1，2}．又A⊆C⊆{0，
3
1，2，3，4}，则满足条件的集合C可以为{0，1，2}，{0，1，2，3}，{0，1，2，