解椭圆方程
椭圆方程的求法
椭圆方程的求法椭圆是圆锥曲线中的重头戏，在高考试题中常以压轴题的身份出现，就说明了一切.对于这一曲线，许多学生不明白，看起来多么惹人爱，做起来咋就那么多的坑.椭圆解答题中第（1）问，常常是求椭圆的方程，竟然做不出来，让人倍感伤心.这里整理部分常见求椭圆方程问题，希望能给大家带来帮助.题组一：直接法直接法指根据椭圆定义或结合椭圆方程特点利用待定系数法求椭圆方程，这类问题相对比较简单，只是在具体运算中注意一下，不要出现计算迂回，浪费时间.例1.若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是__________.解析 因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.答案 x 225＋y 216＝1练习1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212＝1解析：椭圆长轴长为6，即2a ＝6，得a ＝3， ∵两焦点恰好将长轴三等分， ∴2c ＝13·2a ＝2，得c ＝1，因此，b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，所以此椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.练习2.已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1解析 由题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将A (c ，y 1)代入椭圆方程得c 2a 2＋y 21b 2＝1，由此求得y 21＝b 4a 2，所以|AB |＝3＝2b 2a，又c ＝1，a 2－b 2＝c 2，可解得a ＝2，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.练习3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1解析 由题意可得c a ＝23，4a ＝12，解得a ＝3，c ＝2，则b ＝32－22＝5，所以椭圆C的方程为x 29＋y 25＝1.答案 D练习4.已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.求椭圆C 的方程；解：由已知得⎩⎨⎧6a 2＋2b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝4.故椭圆C 的方程为x 212＋y24＝1.练习5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.求椭圆C 的方程； 解：因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，所以4a 2＋1b 2＝1.所以a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.练习6.设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3.求椭圆C 1的方程；解 由e ＝32，知c a ＝32，所以c ＝32a ，因为△MF 1F 2的周长是4＋23，所以2a ＋2c ＝4＋23，所以a ＝2，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 1的方程为：x 24＋y 2＝1.练习7.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.求椭圆的方程；解：设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.练习8.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且|FB |·|AB |＝6 2.求椭圆的方程；解：设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.练习9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，，F 为其右焦点.求椭圆C 的方程；解：因为c a ＝12，所以a ＝2c ，b ＝3c ，设椭圆方程x 24c 2＋y 23c 2＝1，又点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆上，所以14c 2＋34c 2＝1，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.练习10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点(1,2A 在椭圆C 上.求椭圆C 的标准方程； 解 设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为(1,2A 在椭圆C 上，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.练习11.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2，以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点.求椭圆E 的标准方程；解 由题意，得椭圆E 的焦点在x 轴上.设椭圆E 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，∴椭圆E 的标准方程为x 22b 2＋y 2b2＝1.∵椭圆E经过点(1,2，∴12b 2＋12b 2＝1，解得b 2＝1. ∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.有时题目中没有给出椭圆的任何特征，需要我们将其中的条件进行转化，发现椭圆的定义特征，或者对轨迹方程进行整理后找到椭圆方程，这类问题比较隐蔽，关键在于对已知条件的准确转化.例2.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1【答案】D解：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8， 所以a ＝8，c ＝4，b ＝a 2－c 2＝43，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.练习1.已知A (－2，0)，B (2，0)，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为－34.求动点C 的轨迹方程；解：设C (x ，y ).由题意得k AC ·k BC ＝y x ＋2·y x －2＝－34(y ≠0).整理，得x 24＋y 23＝1(y ≠0).故动点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0).练习2.已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，求曲线E 的方程；解：设点P (x ，y )，由题意，可得（x －1）2＋y 2|x －2|＝22，得x 22＋y 2＝1.∴曲线E 的方程是x 22＋y 2＝1.练习3.已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点F (1，0)，P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程；解 设PF 的中点为S ，切点为T ，连接OS ，ST ，则|OS |＋|SF |＝|OT |＝2.取F ′(－1，0)，连接F ′P ，则|F ′P |＋|FP |＝2(|OS |＋|SF |)＝4.所以点P 的轨迹是以F ′，F 为焦点、长轴长为4的椭圆，其中，a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.求椭圆方程中有一类比较复杂的问题是题目给出椭圆的特点，但是将基本元素的关系设置在一些较复杂的情境中，如向量、内切圆、三角形面积等等，这些条件的介入，增加了解题难度，此时应该对题目中的条件合理转化，做好准确“翻译”，巧用妙用已知条件，求出基本元素，找到椭圆方程.例3若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( )A.x 212＋y 220＝1 B.x 24＋y 212＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 28＋y 212＝1解析 (1)法一 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1消去y ，得3x 2－5x ＝0，故得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43，则 |AB |＝⎝⎛⎭⎫0－532＋⎝⎛⎭⎫－2－432＝553.法二 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553.练习1.已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.求椭圆E 的方程；解：由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0).设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎨⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x24＋y 2＝1. 练习2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，12F PF S=，且椭圆的离心率为12.求椭圆方程.解：由已知，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，① |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝4c 2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝4c 2，② 12|PF 1||PF 2|sin 60°＝3，即|PF 1||PF 2|＝4，③ 联立①②③解得a 2－c 2＝3.又c a ＝12，∴c 2＝1，a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.练习3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3，设过点F 2的直线l 与被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3.求椭圆C 的标准方程；解：由内切圆的性质，得12×2c ×b ＝12×(2a ＋2c )×b 3，得c a ＝12.将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，所以2b 2a ＝3.又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.练习4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线x ＋y －2＝0相切.求椭圆C 的标准方程；解：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a ＝|0＋0－2|2，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1， 则椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.练习5.椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为椭圆E 上的动点(不与A 1，A 2重合)，且直线P A 1与P A 2的斜率的乘积为－34.求椭圆E 的方程； 解 设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 20a2＋y 20b2＝1.整理，得x 20－a 2＝－a 2y 20b2.由题意，得y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝－34.整理，得x 20－a 2＝－43y 20. ∴－a 2y 20b 2＝－43y 20，又y 0≠0，即a 2＝43b 2. ∵c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.练习6.如图所示，已知圆G ：(x －2)2＋y 2＝49是椭圆T ：x 216＋y 2b2＝1(0<b <4)的内接△ABC的内切圆，其中A 为椭圆T 的左顶点，且GA ⊥BC . 求椭圆T 的标准方程；解：设08(,)3B y ，y 0>0，AB 与圆G 切于点D ，BC 交x 轴于点H ，连接DG ，如图.由题意得△ADG ∽△AHB ，即GD AG ＝HBAB ，得236＝y 04009＋y 20.解得y 20＝59. ∵点08(,)3B y 在椭圆T 上， ∴64916＋y 20b 2＝49＋59b 2＝1，解得b 2＝1. 故椭圆T 的标准方程为x 216＋y2＝1.法无定法，贵在得法！题目千变万化，但是源头始终如一，只要解题时能够抓住题眼，明确目标，合理规划计算方法，解题能力会不断上升！题组一：例1.若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是__________.练习1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212＝1练习2.已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1练习3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1练习4.已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.求椭圆C 的方程；练习5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.求椭圆C 的方程； 练习6.设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3.求椭圆C 1的方程；练习7.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.求椭圆的方程.练习8.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且|FB |·|AB |＝6 2.求椭圆的方程.练习9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，，F 为其右焦点.求椭圆C 的方程.练习10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点(1,2A 在椭圆C 上.求椭圆C 的标准方程. 练习11.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2，以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点.求椭圆E 的标准方程. 题组二：例2.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1练习1.已知A (－2，0)，B (2，0)，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为－34.求动点C 的轨迹方程.练习2.已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，求曲线E 的方程.练习3.已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点F (1，0)，P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程. 题组三：例3若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( )A.x 212＋y 220＝1 B.x 24＋y 212＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 28＋y 212＝1练习1.已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.求椭圆E 的方程.练习2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，12F PF S，且椭圆的离心率为12.求椭圆方程.练习3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3，设过点F 2的直线l 与被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3.求椭圆C 的标准方程.练习4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线x ＋y －2＝0相切.求椭圆C 的标准方程.练习5.椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为椭圆E 上的动点(不与A 1，A 2重合)，且直线P A 1与P A 2的斜率的乘积为－34.求椭圆E 的方程.练习6.如图所示，已知圆G ：(x －2)2＋y 2＝49是椭圆T ：x 216＋y 2b 2＝1(0<b <4)的内接△ABC 的内切圆，其中A 为椭圆T 的左顶点，且GA ⊥BC .求椭圆T 的标准方程.。
椭圆轨迹方程的求法
从课本看椭圆轨迹的求法一、待定系数法由不对称的两点确定椭圆方程时，由于焦点的位置不确定，一般可以用椭圆方程的一般形式，不必考虑焦点位置，直接用待定系数求解即可。
【例1】求经过两点)21,0(),31,31(-Q P 的椭圆的标准方程。
【答案】1415122=+y x 【解析】由于椭圆的焦点位置不确定，可以设椭圆方程的一般形式122=+ny mx 椭圆经过)21,0(),31,31(-Q P 两点，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+14199n n m ，解之得⎩⎨⎧==45n m 故所求椭圆的标准方程为1415122=+y x . 二、定义利用定义求椭圆方程，关键在于从题干中寻找“动点到两定点的距离和为常数”，找准这一关系式，则确定了标准方程中的a ，c 。
【例2】一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 【答案】2213627x y += 【解析】设动圆圆心为),(y x M ，半径为R ，设已知圆的圆心分别为1O 、2O ， 将圆方程化解得()2234x y ++=，()223100x y -+=当⊙M 与1O 外切时，有12O M R =+，①当⊙M 与2O 内切时，有210O M R =-，② 将①②两式的两边分别相加，得1212O M O M +=，由椭圆的定义知，M 的轨迹是以1O 、2O 为焦点的椭圆则有3,6==c a ．从而所求椭圆方程为2213627x y +=. 【例3】如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点(1,0)B 是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程。
【答案】13422=+y x 【解析】因为1l 是线段BP 的垂直平分线，所以||||QB QP =即42QA QB AP AB +==>=由椭圆定义可知Q 点的轨迹是椭圆，且3,1,2===b c a ，所以曲线C 的方程为13422=+y x . 三、直接法直接法是将题干中的几何关系直接转化，化简，在处理时要注意几何关系有意义的前提条件，最后判断方程的曲线，曲线的方程是否一一对应。
椭圆型方程
§1
差分逼近的基本概念
考虑二阶微分方程边值问题
d 2u Lu 2 qu f , a x b, dx u (a) , u (b) , (1.1) (1.2)
其中 q，f 为 [ a , b ] 上的连续函数， q 0, , 为给定常数. 将其分成等分，分点为
称
uh 收敛到边值问题的解 u .
对于差分方程
Lhvi fi , i 1, 2,3,L , N 1,
定义1.3
v0 vN 0 , 如果存在与网格 I h 及右端 fh 无关的常数
数 M 和 h0 , 使 || vh || M || f h ||R ,
0 h h0
称差分方程关于右端稳定.
第二章
椭圆形方程的有限差分法
有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的两种主要数值
方法.
有限差分法：从定解问题的微分或积分形式出发，用数值 微商或数值积分导出相应的线性代数方程组. 有限元方法：从定解问题的変分形式出发，用RitzGalerkin 方法导出相应的线性代数方程组，但基函数要按
特定方式选取.
取 x(1) x0 a, x(2) x1 , 得
2
(2.9) (2.10)
W (a) W ( x1 ) 2 qudx
d2 du hi 1 hi dx 2 ( p dx ) 12 i
d 3u 2 p O ( h ) dx 3 i
于是得逼近方程 (2.1)~(2.2) 的差分方程：
ui 1 ui ui ui 1 2 p 1 Lhui pi 1 i h h h h i i 1 i 1 i 2 2 i i 1, 2,, N 1 ui 1 ui qiui fi , hi hi 1 u0 , uN
求椭圆的标准方程式
求椭圆的标准方程式首先，我们来看一下椭圆的定义。
椭圆的定义可以通过一个动点到两个固定点的距离之和等于常数的轨迹来描述。
这两个固定点称为焦点，它们之间的距离称为焦距，常数称为椭圆的长轴长度。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，这就是椭圆的定义。
接下来，我们来推导椭圆的标准方程式。
设椭圆的两个焦点分别为F1（-c,0）和F2（c,0），椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，即。
PF1 + PF2 = 2a。
设椭圆上一点P（x，y），则。
PF1 = √((x+c)²+y²)。
PF2 = √((x-c)²+y²)。
代入椭圆的定义式，得。
√((x+c)²+y²) + √((x-c)²+y²) = 2a。
整理得。
[(x+c)²+y²] + [(x-c)²+y²] + 2√((x+c)²+y²)√((x-c)²+y²) = 4a²。
化简得。
2x² + 2y² + 2c² 2c² + 2√((x²-c²)²+y²) = 4a²。
化简得。
x²/a² + y²/b² = 1。
这就是椭圆的标准方程式。
在求椭圆的标准方程式时，我们还可以通过椭圆的焦点、长轴、短轴等参数来确定椭圆的标准方程式。
对于一个已知焦点、长轴、短轴的椭圆，我们可以根据焦点的坐标、长轴的长度、短轴的长度来求出椭圆的标准方程式。
在实际问题中，求椭圆的标准方程式是解析几何中的一个重要问题。
通过求椭圆的标准方程式，我们可以更好地理解椭圆的性质，进而应用到实际问题中。
比如在工程中，我们可以利用椭圆的性质设计出更加合理的结构；在物理学中，椭圆的运动规律也有着重要的应用价值。
椭圆方程的公式
椭圆方程的公式椭圆方程是数学中一个非常重要的概念，它在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍椭圆方程的公式及其应用。
一、椭圆方程的定义椭圆方程是一个二元二次方程，其一般形式为：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E、F均为实数，且A、C不同时为0。
二、椭圆方程的标准形式椭圆方程可以通过变量替换和平移来化为标准形式：(x-x0)^2/a^2 + (y-y0)^2/b^2 = 1其中(x0,y0)为椭圆中心点坐标，a、b为椭圆长轴和短轴的长度。
三、椭圆方程的参数椭圆方程的参数包括中心坐标、长轴和短轴长度、离心率等。
1. 中心坐标：椭圆的中心坐标为(x0,y0)。
2. 长轴和短轴长度：长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
3. 离心率：椭圆的离心率为e，e的值介于0和1之间，表示椭圆长轴与短轴长度之比。
四、椭圆方程的性质1. 对称性：椭圆方程具有关于x轴和y轴的对称性。
2. 焦点和直径：椭圆方程有两个焦点F1和F2，它们之间的距离为2c，c^2=a^2-b^2。
椭圆的长轴是过焦点F1和F2的直径。
3. 弦和法线：椭圆方程上任意一点P的切线与椭圆长轴的夹角是β，法线与椭圆长轴的夹角是α。
弦是连接椭圆上任意两点的线段，弦的中垂线与长轴的夹角是β/2，法线与弦的夹角是α-β/2。
五、椭圆方程的公式1. 椭圆方程的离心率公式：e=sqrt(1-b^2/a^2)2. 椭圆焦点的坐标公式：F1(x0-c,y0)，F2(x0+c,y0)3. 椭圆长轴和短轴长度公式：a^2=c^2+b^2b^2=a^2-c^24. 椭圆周长公式：C=4aE(e)其中E(e)是第二类椭圆积分，可以用级数或逼近公式计算。
5. 椭圆面积公式：S=πab六、椭圆方程的应用椭圆方程在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用，以下是一些例子：1. 圆轨道的近似：当椭圆的离心率e足够小时，它近似为一个圆，因此可以用椭圆方程来描述圆形轨道。
椭圆方程的推导
椭圆方程的推导椭圆是一种常见的二维几何图形，它在数学、物理和工程等领域中有广泛的应用。
椭圆方程是描述椭圆的数学方程，它可以用来确定椭圆的形状、位置和大小。
在本文中，我们将对椭圆方程进行推导，并详细介绍其相关概念和性质。
椭圆的定义首先，我们来定义椭圆。
椭圆是平面上所有到两个给定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个给定点称为焦点，连接两个焦点的线段称为主轴，主轴的中点称为椭圆的中心。
椭圆上的点到焦点的距离之和等于常数称为椭圆的离心率，用e表示。
离心率e的取值范围为0到1，当e=0时，椭圆退化成一个点；当e=1时，椭圆退化成一条线段。
椭圆方程的一般形式椭圆方程的一般形式为：其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。
椭圆方程的推导要推导椭圆方程，我们需要从椭圆的定义出发。
假设椭圆的焦点分别为F1和F2，中心为C，离心率为e，半长轴长度为a，半短轴长度为b。
设椭圆上的一点P的坐标为(x, y)。
根据椭圆的定义，我们可以得到以下两个关系式：1.PF1 + PF2 = 2a2.PF1 / PF2 = e根据距离公式，PF1和PF2的表达式分别为：PF1 = sqrt((x - h - e)^2 + (y - k)^2) PF2 = sqrt((x - h + e)^2 + (y -k)^2)将上述关系式代入PF1 + PF2 = 2a，得到：sqrt((x - h - e)^2 + (y - k)^2) + sqrt((x - h + e)^2 + (y - k)^2) = 2a为了简化表达式，我们引入一个新的变量c，定义为c = sqrt(a^2 - b^2)。
将c代入上式，得到：sqrt((x - h - e)^2 + (y - k)^2) + sqrt((x - h + e)^2 + (y - k)^2) =2sqrt(a^2 - c^2)我们再次利用距离公式，对上式两边进行平方，得到：(x - h - e)^2 + (y - k)^2 + 2sqrt((x - h - e)^2 + (y - k)^2) * sqrt((x - h + e)^2 + (y - k)^2) + (x - h + e)^2 + (y - k)^2 = 4(a^2 - c^2)将上式进行整理，得到：2x^2 + 2y^2 - 2h(x + e) - 2k(y + e) = 4(a^2 - c^2)进一步整理，得到椭圆方程的一般形式：(x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1其中，a^2 = (a^2 - c2)，b2 = a^2 - (a^2 - c^2) = c^2。
椭圆标准方程推导过程
椭圆标准方程推导过程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设F1(-c,0),F2(c,0)（c＜a),点P(x,y),则PF1＋PF2=2a，即√((x＋c)²＋y²)＋√((x－c)²＋y²)=2a，整理得(x＋c)²＋y²＋(x－c)²＋y²＋2√((x＋c)²＋y²)√((x－c)²＋y²)=4a ²，即2x²＋2y²＋2√((x²＋2cx＋c²)＋y²)√((x²－2cx＋c²)＋2y²)=4a²，整理得x²＋y²＋√((x²＋y²)＋2cx＋c²)√((x²＋y²)－2cx＋c²)=2a²，整理得(x²＋y²)²＋2a²cx＋a⁴＝a²(x²＋y²)，即x²＋y²＋2a²cx＋a⁴＝a²(x²＋y²)，整理得x²(a²－c²)＋y²a ²＝a²(x²＋y²)，即(x²/a²)＋(y²/b²)＝1，其中b²=a²－c²。
椭圆的标准方程为(x²/a²)＋(y²/b²)＝1。
其中，a为椭圆长半轴长，b为椭圆短半轴长，c为椭圆的焦点之间的距离。
推导过程如上所示，通过数学推导可以得到椭圆的标准方程。
这个标准方程的形式简洁明了，能够直观地反映出椭圆的形状特征。
椭圆型方程
(1.5)
注 此方程组尽管是高阶方程组，但每个方程未知数
最多有3个易于求解.
④ 对方程组 (1.4)～(1.5) 的解分析需要考虑以下几个问题：
(a) 解是否惟一？ (b) 当网格无限加密时，即 h 0 时，差分解 ui
是否收敛到真解 u (xi ) ? (c) 在何种度量下收敛？ (d) 收敛速度如何？ 为了解决如上问题，需要给出如下说明：
于是在 xi 将方程 (1.1) 写成
u (xi1) 2u (xi ) u (xi1) h2
q(xi )
u (xi )
f
(xi )
R
i(u),
(1.3)
其中
R
i(u)
h2 12
d
4u(x) dx4
i
O(h3 ).
舍去 R i(u) 得逼近方程 (1.1) 的差分方程为：
du dx
i
hi1 2
hi
d 2u dx2
i
O(h2
)
(2.3)
p(
x i
1
)
2
u(xi ) u(xi1) hi
p
du dx i1
2
hi2 24
p
d 3u
dx3
i1
2
O(h3)
p
du dx
取 x(1) x0 a, x(2) x1 , 得
2
(2.7) (2.8)
(2.9) (2.10)
W (a) W (x1 ) 2
x1
椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是数学中重要的一类偏微分方程，它在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
本文将对椭圆型偏微分方程的定义、性质及求解方法进行探讨。
一、椭圆型偏微分方程的定义及性质椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的一类，其主要特点是其二阶导数的符号确定，即二阶导数的符号一致。
一个一般的椭圆型偏微分方程可以表示为：\[Lu = \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\frac{{\partial^2u}}{{\partialx_i\partial x_j}} + \sum_{i=1}^{n}b_i(x)\frac{{\partial u}}{{\partial x_i}} + c(x)u = f(x)\]其中，\(L\)是椭圆算子，\(\frac{{\partial^2u}}{{\partial x_i\partialx_j}}\)是二阶偏导数，\(a_{ij}(x)\)、\(b_i(x)\)、\(c(x)\)是给定函数，\(f(x)\)是已知的源项函数。
对于椭圆型偏微分方程，有以下一些性质：1. 解的正则性：解的导数有界，满足一定的光滑性条件。
2. 最大值原理：在定义域上的解在边界上取得其最大（或最小）值时，只能在边界上取得。
3. 边值问题的唯一性：给定边界条件，边值问题有唯一解。
二、椭圆型偏微分方程的求解方法椭圆型偏微分方程的求解可以使用多种方法，下面介绍其中的两种常见方法：有限差分法和变分法。
1. 有限差分法有限差分法是将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程，通过对离散方程的求解得到近似解。
该方法将解域进行网格划分，利用差分代替导数，将方程离散化。
通过求解离散方程组，得到近似解。
有限差分法简单易实现，但对于复杂的几何形状或边界条件的问题可能需要较高的计算资源。
2. 变分法变分法通过泛函的极值问题来求解椭圆型偏微分方程。
将方程转化为泛函的极值问题后，通过极值问题的变分推导和变分运算得到数学模型的解。
椭圆的方程练习题
椭圆的方程练习题椭圆的方程练习题椭圆是一个几何学中的重要概念，它在数学、物理和工程学等领域中都有广泛的应用。
椭圆的方程是描述椭圆形状的数学表达式，通过解椭圆的方程，我们可以了解椭圆的性质和特点。
下面，我们来做一些椭圆的方程练习题，加深对椭圆的理解。
练习题一：给定椭圆的方程为x^2/4 + y^2/9 = 1，求椭圆的焦点坐标和长轴、短轴的长度。
解析：首先，我们可以通过方程的形式得知，椭圆的中心坐标为(0,0)。
然后，我们可以通过方程的系数来求得椭圆的长轴和短轴的长度。
根据方程的形式，我们可以得知长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
所以，我们可以得到a=2和b=3。
接下来，我们可以通过焦点的坐标公式来求得焦点的位置。
对于椭圆而言，焦点的坐标为(c,0)和(-c,0)，其中c^2=a^2-b^2。
代入a=2和b=3，我们可以得到c=√5。
因此，椭圆的焦点坐标为(√5,0)和(-√5,0)。
练习题二：给定椭圆的焦点坐标为(2,0)和(-2,0)，离心率为1/2，求椭圆的方程。
解析：根据椭圆的定义，离心率e的定义为焦点与中心之间的距离与长轴长度之比。
所以，我们可以得到2e=1/2，即e=1/4。
根据焦点和离心率的定义，我们可以得到焦点与顶点之间的距离为a=2/e=8。
所以，椭圆的长轴长度为2a=16。
接下来，我们可以得到椭圆的中心坐标为(0,0)。
最后，我们可以得到椭圆的方程为x^2/64 + y^2/48 = 1。
练习题三：给定椭圆的方程为(x-3)^2/16 + (y+1)^2/9 = 1，求椭圆的焦点坐标和离心率。
解析：通过方程的形式，我们可以得知椭圆的中心坐标为(3,-1)。
然后，我们可以通过方程的系数来求得椭圆的长轴和短轴的长度。
根据方程的形式，我们可以得知长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
所以，我们可以得到a=4和b=3。
接下来，我们可以通过焦点的坐标公式来求得焦点的位置。
对于椭圆而言，焦点的坐标为(c,0)和(-c,0)，其中c^2=a^2-b^2。
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解椭圆方程
椭圆方程是一种特殊的多项式方程，可以用来描述多个二维物体之间的关系。
椭圆方程的一般形式为：Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0。
其中，A、B、C、D、E和F是实数系数。
椭圆方程的解决方法有很多种，其中最常用的是椭圆曲线的改造。
这一方法可以将椭圆方程转化为一般形式：Bx2+Cy2+Dxy+Ey+F = 0。
将系数A和D的和与系数C的积相比，如果C大于A和D的和，则可以将原方程转化为椭圆曲线，此时可以使用变量变换求解。
还有一种椭圆方程的解决方法是利用椭圆曲线方程组。
可以使用两个椭圆方程组，将整个椭圆曲线方程降为二次方程可以去求解。
尽管有许多解椭圆方程的方法，但最重要的是要理解椭圆方程，然后根据具体情况选择最合适的解椭圆方程方法。
椭圆方程是以一种特定的方式描述二维物体之间的关系，是经典的几何问题的基础。
只有理解了它的特征和特性，才能更好地解决几何问题，以此来实现更大的创造性。