定义法求椭圆的标准方程
高中数学破题致胜微方法(椭圆的基本性质)：3.定义法求椭圆的方程含答案
今天我们研究用定义法求椭圆的方程。
根据椭圆的定义,确定22,a b 的值，再结合焦点的位置, 直接写出椭圆方程。
先看例题例：已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,23M 在椭圆上,求椭圆C 的方程；故椭圆方程为：12322=+y x归纳整理：中心在原点, 焦点分别在x 轴上, y 轴上的椭圆标准方程分别为 22221(0)x y a b a b +=>>22221(0)y x a b a b +=>>利用椭圆定义，求解椭圆方程，首先要明确焦点的位置。
选择合适的方程。
如果不能确定焦点位置，需要分类讨论。
再看一个例题，加深印象例：已知椭圆中心在原点，以坐标轴为对称轴， 椭圆上的点到两焦点的距离之和为10，短轴长为8 ,求椭圆方程.解：焦点在x 轴上，设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>的情况.这是本题的关键。
焦点在y轴上，设椭圆标准方程为22221(0) y xa ba b+=>>由题意,确定长轴、短轴、焦距可得：a=5，b=4，c=3椭圆方程为221 1625x y+=总结：椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹叫做椭圆．根据椭圆的焦点坐标位置，222bac-=，写出方程的对应形式。
练习：1。
一束光线从点1(1,0)F-出发，经直线:230l x y-+=上一点D反射后,恰好穿过点2(1,0)F．求以1F、2F为焦点且过点D的椭圆C的方程.2。
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3),且点F（2,0）为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆C的方程;(Ⅱ)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.答案2a =12||||PF PF '+=12||F F '2292(1)(0)2255--+-= ∴2a =1c =，211b =-=．∴椭圆C 的方程为2212x y +=．2.。
求椭圆的标准方程式
求椭圆的标准方程式首先，我们来看一下椭圆的定义。
椭圆的定义可以通过一个动点到两个固定点的距离之和等于常数的轨迹来描述。
这两个固定点称为焦点，它们之间的距离称为焦距，常数称为椭圆的长轴长度。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，这就是椭圆的定义。
接下来，我们来推导椭圆的标准方程式。
设椭圆的两个焦点分别为F1（-c,0）和F2（c,0），椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，即。
PF1 + PF2 = 2a。
设椭圆上一点P（x，y），则。
PF1 = √((x+c)²+y²)。
PF2 = √((x-c)²+y²)。
代入椭圆的定义式，得。
√((x+c)²+y²) + √((x-c)²+y²) = 2a。
整理得。
[(x+c)²+y²] + [(x-c)²+y²] + 2√((x+c)²+y²)√((x-c)²+y²) = 4a²。
化简得。
2x² + 2y² + 2c² 2c² + 2√((x²-c²)²+y²) = 4a²。
化简得。
x²/a² + y²/b² = 1。
这就是椭圆的标准方程式。
在求椭圆的标准方程式时，我们还可以通过椭圆的焦点、长轴、短轴等参数来确定椭圆的标准方程式。
对于一个已知焦点、长轴、短轴的椭圆，我们可以根据焦点的坐标、长轴的长度、短轴的长度来求出椭圆的标准方程式。
在实际问题中，求椭圆的标准方程式是解析几何中的一个重要问题。
通过求椭圆的标准方程式，我们可以更好地理解椭圆的性质，进而应用到实际问题中。
比如在工程中，我们可以利用椭圆的性质设计出更加合理的结构；在物理学中，椭圆的运动规律也有着重要的应用价值。
高三数学椭圆的定义及标准方程
x
2
y
2
1
x
y
1
4.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离之和为8， 则动点P的轨迹是 线段F1F2 . 5.椭圆mx2+ny2=-mn(m<n<0)的焦点是 0,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n m.
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的丹凤眼爬在桌子边儿上看她收拾这一切的耿兰说：“兰儿走哇，和娘一起掰苞米去！”耿兰跨起自己的小竹篮子，高高兴兴地：“好啊，俺 们这就走。俺长大了，能帮娘干活儿了。今儿个，俺要多拿几个苞米回来！”耿老爹家的三亩水田就在门前往走南二十余步之后，再往西拐不 远的小河边上。娘儿俩没用多长时间就走到了。这两天，郭氏已经把地边上的苞米都掰完了，而地里边的苞米掰起来就有些费劲了。郭氏得先 进到地里把苞米掰下来，积攒一些之后再一次一次地抱出来堆放在地边上。耿兰则听话地坐在地埂上，用小手将残留在苞米棒子上的苞米叶子 摘干净了以后，再一个一个地装进娘的背篓内。约莫半上午时分，一群喜鹊飞来了。只见它们就好似商量好了一般，呼呼啦啦地落在还没有掰 了苞米穗子的苞米杆儿上。于是，这些苞米杆儿就一起整齐地摇晃了起来。而且，这些喜鹊在郭氏的面前一边荡着苞米杆儿“秋千”，一边还 在“喳喳喳”地叫个不停呢。老话说：“喜鹊叫，喜事到！”郭氏心里一动：莫不是？赶快抬头向不远处的大路张望去，但张望一会儿，却很 失望地没有看到一个人影唉，想什么呢，继续干活儿哇忽然，董妞儿上气不接下气地跑来了。她人还没有跑到地边儿上，就喘息着喊了起来： “婶儿，快，快回家！书信，俺叔的书信，有人，送来了”郭氏楞了一下，马上就明白了：望眼欲穿的书信终于等回来了！一瞬间，狂喜使她 一句话也说不出来，只知道顺手扔掉刚掰下来的苞米，发疯似的跑出了苞米地儿。出了苞米地儿以后，她一边继续往东朝南北大路跑去，一边 回头对还楞在地边儿上的耿兰喊：“娘先回去了，你和妞儿姐姐也快回来！”郭氏一跑上南北大路，远远地就望见一个肩膀上搭着白色褡裢的 陌生男人正站在自家的院门儿前和刘氏说话呢。郭氏努力定定神儿，大口喘息片刻，然后撩起衣襟擦擦脸，再抬手往两耳后理理头发，有些失 态地小跑着快步往家门口走去了。远远地看到郭氏回来了，刘氏隔着老远就高兴地喊起来：“弟妹，耿兄弟托这位大哥捎书信回来啦！”郭氏 赶快紧走几步从衣袋里掏出钥匙开了门，前言不搭后语地说：“这位大哥，你看，这，辛苦你了。快，快进屋啊！”把客人让进堂屋后，郭氏 急忙拿起抹布擦擦桌椅，说：“这位大哥你坐下，俺给你烧水泡茶去！”客人忙说：“弟妹别忙着烧水泡茶，俺不渴。俺自己介绍一下哇，俺 姓张，比耿兄弟大一岁，老家离这里并不太远。刚才路过镇里的大街，已经喝了两杯热茶了。”“那，你是打北面过来的？”“是啊，老家在 你们镇的西北方向。这镇子规模不小啊，挺热闹呢。对啦，耿兄弟说了，是叫‘三六九镇’？”“噢，是叫‘三六九镇’。娃娃们和他爹可好 哇！”张老乡从褡裢的夹层里
椭圆方程的几种常见求法
椭圆方程的几种常见求法XX 陈长松对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2， ∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ，∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且82,162==c a ，481664222=-=-=c a b ，故所求轨迹方程为：1486422=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),16(21--P P ，求该椭圆的方程． 分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式： 22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),16(21--P P ，∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ． 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出b a ,的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３ 设动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆12422=+y x 于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段 AB 外一点，且满足1=•PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标一样，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式1=•PB PA 即可求解．解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ，由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０ ∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号， ∴PB PA •=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y ∵)41(2)41(2222x x y y y A A B A --=--=-= 1)41(222=--x y ，即)22(13622<<-=+x y x 为所求． 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４ ABC ∆的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（x ，y ），由3032⨯=+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去x 轴上的两顶点，方程为)0(13610022≠=+y y x ． （２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（),00y x ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(13610002020≠=+y y x ∵ Ｇ为ABC ∆的重心 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3300y y x x 代入得：)0(132490022≠=+y y x 其轨迹是中心为原点，焦点在x 轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。
椭圆方程的几种常见求法
椭圆方程的几种常见求法河南 陈长松对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32，∴1621=+MC MC ，∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C2为焦点的椭圆， 且82,162==c a ，481664222=-=-=c a b ， 故所求轨迹方程为：1486422=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式： 22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ．∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ． 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出的值b a ,：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３ 设动直线垂l 直于x 轴，且交椭圆于12422=+y x Ａ、Ｂ两点，Ｐ是上线段l AB 外一点，且满足1=∙PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线垂直l 于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式即可求解1=∙PB PA ．解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ，由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号， ∴PB PA ∙=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y∵)41(2)41(2222x x y y y A A B A --=--=-= 1)41(222=--x y ，即)22(13622<<-=+x y x 为所求． 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４ ABC ∆的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC 边所在直线为轴x ，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（x ，y ），由3032⨯=+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去轴上的x 两顶点，方程为)0(13610022≠=+y y x ． （２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（),00y x ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(13610002020≠=+y y x ∵ Ｇ为的重心ABC ∆ ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3300y y x x 代入得：)0(132490022≠=+y y x 其轨迹是中心为原点，焦点在轴上x 的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。
椭圆的定义及标准方程
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1．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，则椭圆
C 的方程是( )
A.x32＋y42＝1
B．x42＋
y2 ＝1 3
C.x42＋y32＝1
D．x42＋y2＝1
解析： 依题意，所求椭圆的焦点位于 x 轴上，
且 c＝1，e＝ac＝12⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆 C 的方程是x42＋y32＝1.
答案： C
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2．已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的一个焦点是圆 x2＋y2－6x＋8＝0 的圆心， 且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为( )
A．(－3,0) B．(－4,0) C．(－10,0) D．(－5,0)
解析： ∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标是(3,0)， ∴c＝3.又 b＝4，∴a＝ b2＋c2＝5. ∵椭圆的焦点在 x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．故选 D. 答案： D
2 A.3
B．1
4 C.3
D．53
解析：(1)设椭圆 E：ax22＋by22＝1(0<b<1)，知 a＝1，
因为|AF1|＋|AF2|＝2a＝2，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2，
与焦点有关 的线段注意 定义的应用
两式相加得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，
所以|AF2|＋|BF2|＝4－(|AF1|＋|BF1|)＝4－|AB|.
的点到焦点距离的最大值为 a＋c，最小值为 a－c. (2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2ab2，通径是最短的焦点弦． (3)P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2 为椭圆的两焦点，则
求椭圆标准方程的两种方法
易错点提示：本题是求动点的轨迹，所以求出轨迹方程后要注意叙述轨迹，并注意 附加条件的补充。
一、定义法求椭圆标准方程
例5、如图，在圆C：(x 1)2 y2 25内有一点A(1,0),Q为圆C上任意一点，线段 AQ的垂直平分线与C, Q的连线交于点M，当点Q在圆上运动时，求点M的轨迹方程。
所求椭圆的标准方程为：
x2 y2 1. 10 6
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
方法总结：首先明确我们要求的轨迹是椭圆，而后判断椭圆焦点所在的坐标轴，进 而求出 a , b 的值，带入椭圆的标准方程即可。
一、定义法求椭圆标准方程
变式训练1 （人教A版2-1第42页练习2）写出适合条件的椭圆的标准方程：
(1)a 4,b 1,焦点在x轴上； （2）a 4, c 15 ,焦点在y轴上； （3）a b 10, c 2 5.
参考答案：
(1) x2 y2 1; 16
(2) y 2 x2 1; 16
x2 (3)
y2
1或
y2
x2
1
36 16
36 16
一、定义法求椭圆标准方程
2、x2 y2 1( y 0) 25 9
3、x2 y2 1 9 25
谢谢观看
点 ( 5 , 3) ，求它的标准方程。
22
解析：因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知：
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10,
2
2
2
2
所以，a 10.
又因为c 2，所以，b2 a2c2 10 4 6
椭圆定义及标准方程
椭圆定义及标准方程椭圆定义及标准方程椭圆是一种广为人知的几何图形，可以用来描述天文学、宇航学、力学等领域的许多轨迹。
它的特点是自身的短轴大于长轴，形态有点像一个橄榄果，因此也称为橄榄式椭圆。
在几何上，椭圆可以通过标准方程的形式来定义。
首先，我们需要明确椭圆的结构，即椭圆的焦点、长轴和短轴。
焦点是椭圆周围的两个特殊点，椭圆的点都在连接焦点的线段对称；长轴是椭圆主要轴线，从一个焦点到另一个焦点的距离；短轴就是椭圆的副轴，它是从一个焦点到圆周上任意一点的距离。
椭圆的标准方程都是指圆心坐标为(0, 0)的情况，即椭圆的圆心也是其中心点O。
根据椭圆的结构，可以推出椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$是长轴长度，$b$是短轴长度。
若要表示一般性的椭圆，需要使用一般性的椭圆方程：$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$，其中$x_0, y_0$是椭圆中心点的坐标。
可以通过改变$x_0, y_0$的值，将椭圆移动到任意位置。
在代数形式中，椭圆的标准方程可以定义为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，而一般性的椭圆方程为：$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$。
总结，椭圆可以用标准方程来定义。
如果椭圆的圆心为(0, 0)，那么标准方程就是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，如果椭圆的圆心不在原点，则一般性的椭圆方程为：$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$。
椭圆的定义和标准方程对于理解和记忆椭圆有至关重要的作用，因此需要用心去学习。
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定义法求椭圆的标准方程
1、焦点在坐标轴上，且a 2＝13，c 2＝12的椭圆的标准方程为( )
A ．2211312
x y += B ． 2222
1113252513x y x y +=+=或 C ．22113x y += D ．22
22y 111313
x y x +=+=或 2、设B (－4，0)，C (4，0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为( )
A ．221(0)259x y y +=≠
B ．()22
10259
y x y +=≠ C ．()22101616x y y +=≠ D ．()22
10169
y x y +=≠
为____．
此椭圆的标准方程为________．
5、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3，2)；
(2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
参考答案
（三）定义法求椭圆的标准方程
1、答案D解析显然，此题中并没有讲明椭圆的焦点在哪个轴上，题中也没有条件能够得出相应的信息，所以本题中椭圆的标准方程应有两种情况，所以可以先排除选项A 和C，又由于a2＝13，c2＝12，∴b2＝a2－c2＝13－12＝1.
2、答案A解析由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.由椭圆的定义可知，点A的轨迹是椭圆的一部分，且2a＝10，2c＝8，即a＝5，c＝4，所以b2。