求椭圆的方程
椭圆的标准方程怎么求
椭圆的标准方程怎么求椭圆是解析几何中的一个重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
椭圆的标准方程是求解椭圆特征的重要方法之一。
接下来，我们将介绍椭圆的标准方程是如何求解的。
首先，我们需要了解椭圆的定义和性质。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆还有一个重要的性质是，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
椭圆还有一个短轴长度2b，满足b^2 = a^2 c^2，其中c是焦距。
接下来，我们来推导椭圆的标准方程。
假设椭圆的长轴与x轴重合，焦点在原点上方，且椭圆的中心与原点重合。
设椭圆的焦点坐标为(F1, 0)和(-F2, 0)，椭圆上一点P的坐标为(x, y)。
根据椭圆的定义，我们有PF1 + PF2 = 2a，即√(x F1)^2 + y^2 + √(x+ F2)^2 + y^2 = 2a。
化简得x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，这就是椭圆的标准方程。
如果椭圆的长轴与y轴重合，推导过程和上面类似，最终得到的标准方程为y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1。
当椭圆的中心不在原点时，我们可以通过平移坐标系的方法将椭圆的中心平移到原点，然后再根据上面的方法求解标准方程。
最后，我们来举一个具体的例子来求解椭圆的标准方程。
假设椭圆的焦点坐标为(3, 0)和(-3, 0)，离心率为2/3。
首先，我们可以计算出椭圆的长轴长度为6，根据离心率的定义可得椭圆的短轴长度为2√5。
然后，代入椭圆的标准方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1中，得到椭圆的标准方程为x^2/36 + y^2/20 = 1。
通过上面的介绍，我们可以得出椭圆的标准方程求解方法。
当我们了解了椭圆的定义和性质后，可以根据椭圆的焦点坐标和离心率来求解标准方程。
希望这篇文章对你有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆方程的求法
椭圆方程的求法椭圆是圆锥曲线中的重头戏，在高考试题中常以压轴题的身份出现，就说明了一切.对于这一曲线，许多学生不明白，看起来多么惹人爱，做起来咋就那么多的坑.椭圆解答题中第（1）问，常常是求椭圆的方程，竟然做不出来，让人倍感伤心.这里整理部分常见求椭圆方程问题，希望能给大家带来帮助.题组一：直接法直接法指根据椭圆定义或结合椭圆方程特点利用待定系数法求椭圆方程，这类问题相对比较简单，只是在具体运算中注意一下，不要出现计算迂回，浪费时间.例1.若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是__________.解析 因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.答案 x 225＋y 216＝1练习1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212＝1解析：椭圆长轴长为6，即2a ＝6，得a ＝3， ∵两焦点恰好将长轴三等分， ∴2c ＝13·2a ＝2，得c ＝1，因此，b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，所以此椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.练习2.已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1解析 由题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将A (c ，y 1)代入椭圆方程得c 2a 2＋y 21b 2＝1，由此求得y 21＝b 4a 2，所以|AB |＝3＝2b 2a，又c ＝1，a 2－b 2＝c 2，可解得a ＝2，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.练习3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1解析 由题意可得c a ＝23，4a ＝12，解得a ＝3，c ＝2，则b ＝32－22＝5，所以椭圆C的方程为x 29＋y 25＝1.答案 D练习4.已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.求椭圆C 的方程；解：由已知得⎩⎨⎧6a 2＋2b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝4.故椭圆C 的方程为x 212＋y24＝1.练习5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.求椭圆C 的方程； 解：因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，所以4a 2＋1b 2＝1.所以a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.练习6.设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3.求椭圆C 1的方程；解 由e ＝32，知c a ＝32，所以c ＝32a ，因为△MF 1F 2的周长是4＋23，所以2a ＋2c ＝4＋23，所以a ＝2，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 1的方程为：x 24＋y 2＝1.练习7.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.求椭圆的方程；解：设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.练习8.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且|FB |·|AB |＝6 2.求椭圆的方程；解：设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.练习9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，，F 为其右焦点.求椭圆C 的方程；解：因为c a ＝12，所以a ＝2c ，b ＝3c ，设椭圆方程x 24c 2＋y 23c 2＝1，又点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆上，所以14c 2＋34c 2＝1，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.练习10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点(1,2A 在椭圆C 上.求椭圆C 的标准方程； 解 设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为(1,2A 在椭圆C 上，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.练习11.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2，以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点.求椭圆E 的标准方程；解 由题意，得椭圆E 的焦点在x 轴上.设椭圆E 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，∴椭圆E 的标准方程为x 22b 2＋y 2b2＝1.∵椭圆E经过点(1,2，∴12b 2＋12b 2＝1，解得b 2＝1. ∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.有时题目中没有给出椭圆的任何特征，需要我们将其中的条件进行转化，发现椭圆的定义特征，或者对轨迹方程进行整理后找到椭圆方程，这类问题比较隐蔽，关键在于对已知条件的准确转化.例2.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1【答案】D解：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8， 所以a ＝8，c ＝4，b ＝a 2－c 2＝43，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.练习1.已知A (－2，0)，B (2，0)，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为－34.求动点C 的轨迹方程；解：设C (x ，y ).由题意得k AC ·k BC ＝y x ＋2·y x －2＝－34(y ≠0).整理，得x 24＋y 23＝1(y ≠0).故动点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0).练习2.已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，求曲线E 的方程；解：设点P (x ，y )，由题意，可得（x －1）2＋y 2|x －2|＝22，得x 22＋y 2＝1.∴曲线E 的方程是x 22＋y 2＝1.练习3.已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点F (1，0)，P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程；解 设PF 的中点为S ，切点为T ，连接OS ，ST ，则|OS |＋|SF |＝|OT |＝2.取F ′(－1，0)，连接F ′P ，则|F ′P |＋|FP |＝2(|OS |＋|SF |)＝4.所以点P 的轨迹是以F ′，F 为焦点、长轴长为4的椭圆，其中，a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.求椭圆方程中有一类比较复杂的问题是题目给出椭圆的特点，但是将基本元素的关系设置在一些较复杂的情境中，如向量、内切圆、三角形面积等等，这些条件的介入，增加了解题难度，此时应该对题目中的条件合理转化，做好准确“翻译”，巧用妙用已知条件，求出基本元素，找到椭圆方程.例3若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( )A.x 212＋y 220＝1 B.x 24＋y 212＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 28＋y 212＝1解析 (1)法一 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1消去y ，得3x 2－5x ＝0，故得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43，则 |AB |＝⎝⎛⎭⎫0－532＋⎝⎛⎭⎫－2－432＝553.法二 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553.练习1.已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.求椭圆E 的方程；解：由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0).设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎨⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x24＋y 2＝1. 练习2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，12F PF S=，且椭圆的离心率为12.求椭圆方程.解：由已知，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，① |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝4c 2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝4c 2，② 12|PF 1||PF 2|sin 60°＝3，即|PF 1||PF 2|＝4，③ 联立①②③解得a 2－c 2＝3.又c a ＝12，∴c 2＝1，a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.练习3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3，设过点F 2的直线l 与被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3.求椭圆C 的标准方程；解：由内切圆的性质，得12×2c ×b ＝12×(2a ＋2c )×b 3，得c a ＝12.将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，所以2b 2a ＝3.又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.练习4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线x ＋y －2＝0相切.求椭圆C 的标准方程；解：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a ＝|0＋0－2|2，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1， 则椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.练习5.椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为椭圆E 上的动点(不与A 1，A 2重合)，且直线P A 1与P A 2的斜率的乘积为－34.求椭圆E 的方程； 解 设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 20a2＋y 20b2＝1.整理，得x 20－a 2＝－a 2y 20b2.由题意，得y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝－34.整理，得x 20－a 2＝－43y 20. ∴－a 2y 20b 2＝－43y 20，又y 0≠0，即a 2＝43b 2. ∵c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.练习6.如图所示，已知圆G ：(x －2)2＋y 2＝49是椭圆T ：x 216＋y 2b2＝1(0<b <4)的内接△ABC的内切圆，其中A 为椭圆T 的左顶点，且GA ⊥BC . 求椭圆T 的标准方程；解：设08(,)3B y ，y 0>0，AB 与圆G 切于点D ，BC 交x 轴于点H ，连接DG ，如图.由题意得△ADG ∽△AHB ，即GD AG ＝HBAB ，得236＝y 04009＋y 20.解得y 20＝59. ∵点08(,)3B y 在椭圆T 上， ∴64916＋y 20b 2＝49＋59b 2＝1，解得b 2＝1. 故椭圆T 的标准方程为x 216＋y2＝1.法无定法，贵在得法！题目千变万化，但是源头始终如一，只要解题时能够抓住题眼，明确目标，合理规划计算方法，解题能力会不断上升！题组一：例1.若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是__________.练习1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212＝1练习2.已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1练习3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1练习4.已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.求椭圆C 的方程；练习5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.求椭圆C 的方程； 练习6.设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3.求椭圆C 1的方程；练习7.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.求椭圆的方程.练习8.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且|FB |·|AB |＝6 2.求椭圆的方程.练习9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，，F 为其右焦点.求椭圆C 的方程.练习10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点(1,2A 在椭圆C 上.求椭圆C 的标准方程. 练习11.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2，以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点.求椭圆E 的标准方程. 题组二：例2.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1练习1.已知A (－2，0)，B (2，0)，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为－34.求动点C 的轨迹方程.练习2.已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，求曲线E 的方程.练习3.已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点F (1，0)，P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程. 题组三：例3若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( )A.x 212＋y 220＝1 B.x 24＋y 212＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 28＋y 212＝1练习1.已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.求椭圆E 的方程.练习2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，12F PF S，且椭圆的离心率为12.求椭圆方程.练习3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3，设过点F 2的直线l 与被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3.求椭圆C 的标准方程.练习4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线x ＋y －2＝0相切.求椭圆C 的标准方程.练习5.椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为椭圆E 上的动点(不与A 1，A 2重合)，且直线P A 1与P A 2的斜率的乘积为－34.求椭圆E 的方程.练习6.如图所示，已知圆G ：(x －2)2＋y 2＝49是椭圆T ：x 216＋y 2b 2＝1(0<b <4)的内接△ABC 的内切圆，其中A 为椭圆T 的左顶点，且GA ⊥BC .求椭圆T 的标准方程.。
题型求椭圆的标准方程
题型一、求椭圆的标准方程例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)-、(0,2)，并且椭圆经过点35(,)22-； （3）焦距为6，1a b -=； （4）椭圆经过两点35(,)22-，。
例2、（1）与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为______________．（2）已知椭圆的焦点为1F （-1，0）和2F （1，0），P 是椭圆上的一点，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则该椭圆的方程为题型二、椭圆的几何性质的应用例3、（1）椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（ ）A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍（2）如图，A 、B 、C 分别为椭圆22221x y a b+=（a>b>0）的顶点和焦点，若∠ABC=900，则该椭圆的离心率为例4、已知点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P 使1260F PF ∠=︒.()1求椭圆离心率e 的取值范围；()2求12PF F △的面积 答案：（1）)1,21[ （2）233b题型三、直线与椭圆的综合应用例5．设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF例6、已知1F 、2F 分别为椭圆1C :22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点,其中1F 也是抛物线22:4C x y =的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点,且15||3MF =(1)求椭圆1C 的方程;(2)已知点(1,3)P 和圆O :222x y b +=,过点P 的动 直线l 与圆O 相交于不同的两点,A B ,在线段AB 上取一点Q ,满足:AP PB λ=-,AQ QB λ=,(0λ≠且1λ≠±). 求证:点Q 总在某定直线上.例7、已知动点P 与双曲线x 2－y 2=1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－31。
椭圆的标准公式
椭圆的标准公式椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，连接焦点的线段称为椭圆的主轴，主轴的长度为2a。
椭圆的形状由这两个焦点之间的距离和椭圆的长轴短轴决定。
而椭圆的标准公式可以帮助我们准确地描述椭圆的形状和位置。
对于椭圆而言，我们可以通过椭圆的中心、长轴和短轴的长度来确定其标准公式。
椭圆的标准公式如下所示：椭圆的标准方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a为长轴的长度的一半，b为短轴的长度的一半。
在标准方程中，椭圆的中心坐标(h, k)决定了椭圆在平面坐标系中的位置，a和b决定了椭圆的形状。
当a>b时，椭圆的长轴水平，短轴垂直，椭圆沿着x轴拉长；当a<b时，椭圆的长轴垂直，短轴水平，椭圆沿着y轴拉长。
椭圆的标准公式可以帮助我们快速准确地确定椭圆的形状和位置。
通过观察标准方程中的参数，我们可以直观地了解椭圆的中心、长轴、短轴的长度，从而对椭圆有一个清晰的认识。
在实际问题中，椭圆的标准公式也有着重要的应用。
例如在工程设计中，我们需要绘制椭圆形的零件，可以通过标准公式确定椭圆的参数，从而进行精确的设计和加工。
在物理学和天文学中，椭圆轨道是一种常见的轨道形式，通过标准公式可以描述椭圆轨道的形状和位置，为科学研究提供了重要的工具。
总之，椭圆的标准公式是描述椭圆形状和位置的重要工具，通过标准公式我们可以准确地了解椭圆的中心、长轴、短轴的长度，从而在实际问题中得到应用。
希望本文对椭圆的标准公式有所帮助，让读者对椭圆有一个更清晰的认识。
椭圆方程的几种常见求法
椭圆方程的几种常见求法对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C1：，C2：，动圆在圆C1内部且和圆C1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（，），半径为，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C1，∴，圆Ｍ外切于圆C2 ，∴，∴，∴动圆圆心Ｍ的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且，，故所求轨迹方程为：．评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：＝１（，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为＝１（．∵椭圆经过两点，∴解得，故所求的椭圆标准方程为．评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３设动直线垂直于轴，且交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是上线段AB外一点，且满足，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线垂直于轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式即可求解．解：设Ｐ（，），Ａ（，），Ｂ（，），由题意：＝＝，＋＝０∴,，∵Ｐ在椭圆外，∴－与－同号，∴=（－）（－）＝∵，即为所求．评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC边所在直线为轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（，），由，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去轴上的两顶点，方程为．（２）设Ａ（，），Ｇ（，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是∵Ｇ为的重心∴代入得：其轨迹是中心为原点，焦点在轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。
求椭圆标准方程的两种方法
易错点提示：本题是求动点的轨迹，所以求出轨迹方程后要注意叙述轨迹，并注意 附加条件的补充。
一、定义法求椭圆标准方程
例5、如图，在圆C：(x 1)2 y2 25内有一点A(1,0),Q为圆C上任意一点，线段 AQ的垂直平分线与C, Q的连线交于点M，当点Q在圆上运动时，求点M的轨迹方程。
所求椭圆的标准方程为：
x2 y2 1. 10 6
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
方法总结：首先明确我们要求的轨迹是椭圆，而后判断椭圆焦点所在的坐标轴，进 而求出 a , b 的值，带入椭圆的标准方程即可。
一、定义法求椭圆标准方程
变式训练1 （人教A版2-1第42页练习2）写出适合条件的椭圆的标准方程：
(1)a 4,b 1,焦点在x轴上； （2）a 4, c 15 ,焦点在y轴上； （3）a b 10, c 2 5.
参考答案：
(1) x2 y2 1; 16
(2) y 2 x2 1; 16
x2 (3)
y2
1或
y2
x2
1
36 16
36 16
一、定义法求椭圆标准方程
2、x2 y2 1( y 0) 25 9
3、x2 y2 1 9 25
谢谢观看
点 ( 5 , 3) ，求它的标准方程。
22
解析：因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知：
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10,
2
2
2
2
所以，a 10.
又因为c 2，所以，b2 a2c2 10 4 6
椭圆的公式标准方程
椭圆的公式标准方程椭圆是一种常见的二次曲线，其形状类似于一个被拉伸的圆。
椭圆是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
椭圆的公式标准方程是描述椭圆特征的数学表达式，本文将详细介绍椭圆的公式标准方程及其相关知识。
首先，我们来了解一下椭圆的基本概念。
椭圆是一个平面上的封闭曲线，其上的每个点到两个焦点的距离之和是一个常数。
椭圆的形状可以用离心率来描述，离心率是焦点到中心距离与长轴长度之比的绝对值。
椭圆的公式标准方程是一般二次曲线方程的特殊形式，具有以下表达式：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)代表椭圆中心的坐标，a表示椭圆长轴的长度的一半，b表示椭圆短轴的长度的一半。
椭圆的公式标准方程中的变量解释如下：1. (x, y)为平面上任意一点的坐标；2. (h, k)表示椭圆中心的坐标；3. a表示椭圆长轴的长度的一半；4. b表示椭圆短轴的长度的一半。
通过椭圆的公式标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要信息。
首先，椭圆中心的坐标为(h, k)，这个点是椭圆的对称中心。
其次，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，离心率为c/a，其中c表示焦点到中心的距离。
椭圆的公式标准方程也可以表示成另一种形式：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = r²其中，r表示椭圆上任意一点到椭圆中心的距离。
我们可以通过一些具体的例子来理解椭圆的公式标准方程的应用。
以一个常见的例子为椭圆方程(x-2)²/9 + (y-3)²/4 = 1。
我们可以通过这个方程来确定椭圆的特征。
首先，椭圆的中心坐标为(2, 3)，即椭圆的中心在坐标系中的位置为(2, 3)。
其次，椭圆的长轴长度为2×3 = 6，所以椭圆的长轴长度为12。
短轴长度为2×2 = 4，所以椭圆的短轴长度为8。
椭圆的标准方程公式
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x²/a²+y ²/b²=1，（a>b>0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y²/a²+x²/b²= 1，（a>b>0）。
其中a²-c²=b²，推导：PF1+PF2>F1F2（P为椭圆上的点F为焦点）。
不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。
顶点：焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）；短轴顶点：（0，b），（0，-b）；焦点在Y轴时：长轴顶点：（0，-a），（0，a）；短轴顶点：（b,0），（-b，0）。
扩展资料
椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。
离心率范围：0<e<1。
离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。
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求椭圆的方程
椭圆是大家非常熟悉的几何图形，可以说是几何学中最重要的图
形之一。
在实际生活中，椭圆可以用在许多场合，比如设计农业园艺
的果园形状，制作一些装饰品等等。
然而，要求给出椭圆的方程，可
能对一些人来说是一个很有挑战性的问题。
下面我们就来简单了解一
下求椭圆的方程的方法。
一、直线和椭圆相交的情况
当一条直线和椭圆相交时，我们必须先求出这条直线的方程。
方
程求出之后，将其代入椭圆的方程中，得到一个关于x和y的二次方程，化简之后，我们就能得到椭圆的方程了。
二、两条直线和椭圆相交的情况
当存在两条直线和椭圆相交时，我们需要先求出这两条直线的方程。
这两条直线的方程代入椭圆的方程可以得到一个以y为自变量的
二次方程。
这时我们要将这个方程转化成标准的二次方程，并求出其
判别式，这样就能求出椭圆的方程了。
三、通过点和切线的方法求椭圆的方程
这种方法的前提是我们已经知道椭圆上的一个点和与该点相切的
一条直线的方程。
根据切线的性质，我们可以求得切点处的切线斜率。
再根据椭圆的定义，可以得到经过该点的法线斜率。
我们已知切线斜
率和法线斜率，根据两点式就可以算出该法线与椭圆的交点坐标。
将
该点代入椭圆标准方程求得的结果为：(x-x0)²/a²+(y-y0)²/b²=1。
四、通过椭圆焦点、中心点和离心率求椭圆方程
椭圆的标准方程是根据其焦点、中心点和离心率推导出来的。
首先，我们要求出椭圆的中心点，这可以通过椭圆上的两点和中垂线来
求解。
然后，我们要求出椭圆的一组焦点，这可以通过椭圆的离心率
和中心点来求解。
最后，我们根据中心点和一组焦点的坐标，可以推
导出椭圆的标准方程：(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1。
五、利用线性代数方法求椭圆方程
线性代数方法求椭圆的方程需要使用矩阵的概念，它使用二次型的方法得出椭圆方程。
该方法不涉及几何构造，而是将椭圆看做一个矩阵的特征向量，从而得出椭圆的方程。
这种方法需要一定的线性代数基础，但是它的计算快速和精确度高。
最后，要说明的是，求椭圆的方程是一项非常基础和重要的数学工作，它的意义比单纯地完成一道问题要大得多。
只有通过深入的研究，我们才能更好地掌握几何学知识，从而更加高效地应用到实际生活中。