静平衡与动平衡

静平衡与动平衡
1. 质量中心（质点定义）
此点周围的静态质量力矩为零。

可用下列关系表示：
m r i i
∑=0 式中，i m --各部分质量，i r --每部分质量与质点之间的距离矢量。

计算实例：
我们可看出：1132575gr mm m r ==⋅⋅⨯
2217575 gr mm m r ==⋅⋅⨯
2. 惯性轴（定义）
围绕其周围质量力矩之和为零的一条直线。

根据定义可得出如下公式：
m r i i
∑=0 式中，i m --各部分质量，i r --各部分质量与惯性轴的垂直距离。

从惯性轴的定义可得出惯性轴与不平衡量的如下关系：如果一物体的惯性轴与旋转轴是重叠在一起，则此物体的不平衡量为零。

也就是说当一物体的质量平均分布在旋转轴也就是惯性轴的周围，则此物体处于平衡状态。

3. 不平衡量的定义
质量在旋转轴周围分布不均。

当一个旋转件的质量没有均匀的分布在旋转轴周围，就产生了不平衡量。

从这个定义可清楚看出没有确定旋转轴，不平衡量就无从谈起。

此旋转轴只是质量均匀分布在其周围的假设中的一根轴。

如下图所示：
平衡位置 不平衡位置 每个转子可分成很多不同的部分（垂直旋转轴的方向），每个部分有自己单独的不平衡量，我们将局部不平衡量（每个部分的）的表达式定义如下：
j j i r m U ⋅=∑
式中，i U --i 部分的不平衡量（用垂直旋转轴方向的矢量来表示），j m --I 部分每个足够小的块的质量，j r --每小块与旋转轴之间的距离，符号∑表示矢量的叠加。

从每部分的不平衡量的定义可清楚看出不平衡量是静态质量根据与旋转轴之间的距离计算出来的力矩。

总不平衡量是局部不平衡量之和，可用下述数学公式表示：
{}i t U U =
旋转体的不平衡量可看作是垂直旋转轴各自平行截面的不平衡量的矢量之和。

旋转轴
旋转轴
即上式中，t U --总不平衡量，i U --相互平行截面的不平衡量。

上图所指的每个矢量可看作旋转体单个截面的不平衡量。

4. 静不平衡量（定义）
如果不平衡量完全等同一个矢不平衡量，其矢不平衡量与转子质点所处同一截面(惯性轴平行旋转轴)。

对于轴向尺寸较小的盘状转子即宽径比(B/D)小于0.2的零件，例如齿轮、盘形凸轮、带轮、链轮及叶轮等，它们的质量可以视为分布在同一平面内。

如图所示，红色小块为偏心质量，由于偏心质量的存在，转子在运转过程中必然产生惯性力，从而在转动副中引起附加动压力。

刚性转子的静平衡就是利用在刚性转子上加减平衡质量的方法，使其质心回到回转轴线上，从而使转子的惯性力得以平衡的一种平衡措施。

惯性轴 旋转体质点
旋转轴
5. 偶不平衡量（定义）
如果总不平衡量由处于两个不同平面的不平衡矢量组成，并且它们大小相等，相位相反(惯性轴通过质点斜切旋转轴)。

根据其定义，偶不平衡量的单位应是2gr mm mm gr mm U d ⎡⎤⋅=⋅⋅=⋅⎣⎦。

这里Us 和 Ud (两截面的不平衡量)的数值相等。

6. 动不平衡量
可以证明总不平衡量{}
i t U U =(局部不平衡量之和)总是等于任意两平面的两个不平衡矢量之和，两不平衡矢量之和12U U +称为动不平衡量(1U 和2U 的大小取决于所选择的平面)。

质点
惯性轴
旋转轴
上述的论断是基于如下考虑：不可能知道刚性转子的每个截面的不平衡量，并且它可随意的被两个轴承支撑进行任意旋转。

每个轴承受到一个力，两个轴承所受的力平衡了所有不知道的离心力（惯性力），此离心力是由于分布在转子上的质量的不均匀性而造成的。

作用在轴承的负载是它们与轴之间位置（距离）的函数，也就是说动不平衡量1U 和2U 的大小取决于其所在的平面与轴之间的相对
位置。

请注意平衡机称为动平衡机，因为它们能测出旋转体的动不平衡量（要测出分布在局部不平衡量基本上是不可能的）。

当转子的宽径比(B/D )大于0.2时，其质量就不能视为分布在同一平面内了。

这时，其偏心质量分布在几个不同的回转平面内，如下图所示。

此时，即使转子的质心位于回转轴上，也将产生不可忽略的惯性力矩，这种状态只有在转子转动时才能显示出来的不平衡状态称为动不平衡。

动平衡不仅平衡各偏心质量产生的惯性力，而且还要平衡这些惯性力所形成的惯性力矩，即不仅要使各偏心质量产生的惯性力的合力为零，而且要使合成的惯性力矩为零。

7. 静平衡的计算
已知盘形不平衡转子其偏心质量分别为m 1、m 2、m 3，向径分别为r 1、r 2、r 3，所产生的惯性力分别为F 1、F 2、F 3，据平面力系平衡的原理，所加的平衡质量m b 及其向径r b 可由下式求得。

8.动平衡的计算
如下图所示的长转子，具有偏心质量分别为m1、m2、m3，并分别位于平面1、2、3上，其回转半径分别为r1、r2、r3，方位如下图所示。

当转子以等角速度回转时，它们产生的惯性力F1、F2、F3形成一空间力系。

由理论力学可知，一个力可以分解为与它相平行的两个分力。

根据该转子的结构，选定两个相互平行的平面作平衡基面，则分布在三个平面内的不平衡质量完全可以用集中在两平衡基面内的各个不平衡质量的分量来代替，代替后所引起的平衡效果是相同的。

同样仿照静平衡计算，在两个相互平行的平衡基面上做力封闭多边形，可用下式计算，便可求出在两个平衡基面上所加的平衡质量m b'、m b"及向径r b'、r b"。

9. 总不平衡量的相等条件
转子的总的不平衡量为各局部的不平衡量之和，是根据矢量法则合成的，如果符合下列条件，我们就可以说两个转子a 和b 的动不平衡量ta U 和tb U 相等。

1) 它们有位于质量中心的相等合成矢量（静不平衡量）及相等的力偶矢量（偶不平衡量），或者：
2) 它们在两个相同的平面上有相同的两个动不平衡矢量。

法则1之所以等同法则2是因为动不平衡12U U +在矢量上就是静不平衡量
与偶不平衡量之和。

10. 动平衡
转子的动平衡是指将动不平衡量减少至零或达到可接受的水平。

动不平衡量可由12U U +确定，所以必须对两个平面进行配重。

因为动不平
衡量等于总的不平衡量（合成不平衡量），而此总不平衡量可根据任意两个平面进行计算出来，因此两个平衡平面（我们增加或减少质量的平面）可以任意选择。

需要指出的是：上述规则只对刚性转子有效，即质量的分布（局部不平衡量）不随着速度的改变而改变。

11. 动不平衡的示例
a) 静不平衡量的平衡
1）一个平面的平衡
2）两个平面的平衡
b)偶不平衡量的平衡
1）在两远距离的平面进行平衡2）在狭窄的平面进行平衡
可以清楚看出，经过平衡后，对于任意一平面，静不平衡的矢量和力矩的合成矢量均为零。

从上述例子可看出，根据所选择的平面不同，可以有不同的方法对其进行平衡，为了使配重最小化，有两条规则应该遵循：
(1) 被平衡的两平面的距离尽可能的大；
(2) 所选择的平衡半径尽可能的大。

特别指出：对两个平面进行动平衡配重之后，物体所有的不平衡量（每个截面的不平衡量）并没有为零，而是相当于所有不平衡量的值在两个平面上进行了对应的平衡。

12.常用术语
静平衡：只在一个平面上进行不平衡量的测量和纠正
动平衡：在两个不同平面进行不平衡量的测量和纠正
平衡平面：一个截面（或平面），垂直于旋转轴，并在其上进行配重的操作
13.确定刚性转子的平衡平面个数（1或2）的标准
从上面的论述可清楚看出一个物体的总不平衡量等于动不平衡量（位于两个任意平面的不平衡量）；只有在特殊的情况下，总不平衡量才等于一个平面的不平衡量（静不平衡量），也就是说，理论上我们要进行平衡，必须在两个平面进行配重。

但在实际应用中，我们只对一个平面进行不平衡量的配重，也可达到所需要的要求。

是否选择1或2个平面，可根据下面的图表来表示。

在下图中，l和d分别表示转子的长度和旋转直径。

可根据下表来决定是进行静平衡或动平衡，也就是选择1或2个平面进行配重。

工作速度(RPM) l
d
所选择平面数
< 200 无要求 1 200 - 1200 < 0.5 1 200 - 1200 > 0.5 2 1200 - 3600 < 0.15 1 1200 -3600 > 0.15 2
> 3600
> 0.05
盘状的转子
2
1。