《线性代数》教案
线性代数电子教案
线性代数电子教案一、引言1.1 课程介绍线性代数的定义和意义课程目标和学习内容1.2 电子教案的特点互动性和趣味性自主学习和协作学习1.3 软件使用说明软件安装和运行功能介绍和操作指南二、行列式2.1 行列式的定义和性质行列式的概念行列式的计算规则2.2 行列式的计算方法按行(列)展开拉普拉斯展开2.3 克莱姆法则克莱姆法则的原理克莱姆法则的应用三、矩阵3.1 矩阵的定义和运算矩阵的概念和表示矩阵的加法和数乘3.2 矩阵的逆矩阵的逆的定义和性质矩阵的逆的计算方法3.3 矩阵的特殊类型单位矩阵对角矩阵零矩阵四、向量空间4.1 向量空间的概念向量空间的基本性质向量空间的子空间4.2 向量的线性相关性线性相关的定义和判定线性无关的性质和应用4.3 基底和坐标基底的概念和选择向量的坐标表示和转换五、线性方程组5.1 线性方程组的解法高斯消元法克莱姆法则5.2 齐次线性方程组齐次线性方程组的解集自由变量和特解5.3 非齐次线性方程组非齐次线性方程组的解法常数变易法和待定系数法六、特征值和特征向量6.1 特征值和特征向量的定义矩阵的特征值和特征向量的概念特征多项式的定义和求解6.2 特征值和特征向量的计算特征值和特征向量的求解方法矩阵的对角化6.3 特征值和特征向量的应用矩阵的相似对角化实对称矩阵和正交矩阵七、二次型7.1 二次型的定义和标准形二次型的概念二次型的标准形7.2 配方法和正定性配方法的应用二次型的正定性判定7.3 惯性定理和二次型的几何意义惯性定理的表述和证明二次型在几何上的意义八、向量空间的同构8.1 向量空间的同构概念同构的定义和性质同构的判定条件8.2 线性变换和矩阵线性变换的概念和性质线性变换与矩阵的关系8.3 线性变换的图像和核线性变换的图像线性变换的核（值域）九、特征空间和最小二乘法9.1 特征空间的概念特征空间的定义和性质特征空间的维数9.2 最小二乘法原理最小二乘法的定义和目标最小二乘法的应用9.3 最小二乘法在线性回归中的应用线性回归问题的最小二乘解回归直线的性质和分析十、线性代数在实际应用中的案例分析10.1 线性代数在工程中的应用结构力学中的矩阵方法电路分析中的节点电压和回路电流10.2 线性代数在计算机科学中的应用计算机图形学中的矩阵变换机器学习中的线性模型10.3 线性代数在其他学科中的应用物理学中的旋转和变换经济学中的线性规划十一、矩阵分解11.1 矩阵分解的概念矩阵分解的意义和目的矩阵分解的类型11.2 LU分解LU分解的定义和算法LU分解的应用和优点11.3 QR分解QR分解的定义和算法QR分解的应用和优点十二、稀疏矩阵12.1 稀疏矩阵的定义和性质稀疏矩阵的概念稀疏矩阵的存储和运算12.2 稀疏矩阵的应用稀疏矩阵在科学计算中的应用稀疏矩阵在数据挖掘中的应用12.3 稀疏矩阵的优化算法稀疏矩阵的压缩技术稀疏矩阵的快速运算算法十三、线性代数在图像处理中的应用13.1 图像处理中的线性代数概念图像的矩阵表示图像变换和滤波13.2 图像增强和复原图像增强的线性方法图像复原的线性模型13.3 图像压缩和特征提取图像压缩的线性算法图像特征提取的线性方法十四、线性代数在信号处理中的应用14.1 信号处理中的线性代数概念信号的矩阵表示和运算信号处理的基本算法14.2 信号滤波和降噪信号滤波的线性方法信号降噪的线性模型14.3 信号的时频分析信号的傅里叶变换信号的小波变换十五、线性代数的现代观点15.1 向量空间和线性变换的公理化向量空间和线性变换的公理体系向量空间和线性变换的分类15.2 内积空间和谱理论内积空间的概念和性质谱理论的基本原理15.3 线性代数在数学物理中的作用线性代数在微分方程中的应用线性代数在量子力学中的应用重点和难点解析本文档详细地介绍了线性代数的主要知识点，旨在帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基础理论知识和应用能力。
线性代数电子教案(全套)
编制 主讲
林淑容
四川农业大学生命科学与理学院
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第0章 前 言 第一章 行 列 式 第二章 矩 阵
第三章 n维向量及其线性相关性
第四章 线性方程组 第五章 二 次 型
四川农业大学生命科学与理学院
第0章 前 言
☞本课程的性质、作用和任务 ☞学习线性代数的具体要求、重点和难点 ☞线性代数的学习方法
4、线性方程组
(1)切实理解消去法和矩阵的初等变换的关系，熟悉高斯消 去法； (2)理解和掌握矩阵的秩，会用初等变换及行列式来求秩； (3)牢固掌握线性方程组有解的判别定理； (4)正确理解和掌握齐次及非齐次线性方程组解的结构；
重点是矩阵的初等变换、线性方程组的解法 及有解判定法。
四川农业大学生命科学与理学院
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本课程的性质、作用和任务
一、关于《线性代数》 线性代数基本上是讨论矩阵与和矩阵结合
的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学 科。它的主要理论成熟于十九世纪，而其第一 块基石，二、三元线性方程组的解法，则早在 两千年前，即见于我国古代数学名著《九章算 术》，这使我们引以自豪。
学习线性代数的具体要求、重点和难点
4、对称矩阵与二次型
(1)掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵之间的一一对应关系； (2)掌握二次型经非退化线性变换后仍为二次型； (3)理解二次型的标准形及掌握化二次型为标准形的方法； (4)理解实数域上二次型的标准形（规范形）唯一性及意义； (5)掌握正定二次型的概念，并掌握其判别法； (6)深刻理解矩阵的相似、特征值、特征向量的概念，并掌握求矩 阵特征多项式、特征值、特征向量的理论步骤和方法以及可对角 化的条件。
线性代数教案
线性代数教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 了解线性代数的基本概念和相关术语；2. 理解线性方程组和矩阵的概念、性质和运算规则；3. 掌握矩阵的基本运算，包括矩阵的加法、数乘和矩阵乘法；4. 能够求解线性方程组，并应用到实际问题中。
二、教学重点与难点1. 教学重点：线性方程组和矩阵的概念及其运算规则；2. 教学难点：矩阵乘法的理解和应用。
三、教学过程1. 导入（5分钟）引入线性代数的概念，向学生介绍线性方程组和矩阵的相关背景知识，并激发学生的学习兴趣。
2. 理论讲解（20分钟）2.1 线性方程组的定义和解法- 介绍线性方程组的概念以及线性方程组的解的定义；- 分析线性方程组解的情况：无解、唯一解和无穷解；- 通过实例讲解线性方程组解的求解方法。
2.2 矩阵的定义和性质- 介绍矩阵的基本概念和符号表示方法；- 讲解矩阵的加法、数乘以及矩阵乘法的规则；- 引导学生理解矩阵乘法的几何意义。
3. 实例分析与练习（25分钟）3.1 线性方程组的求解实例- 给出一些线性方程组的实际问题，引导学生运用所学知识解决；- 指导学生使用矩阵运算进行线性方程组的求解。
3.2 矩阵运算实例- 给出一些矩阵的实际运用问题，让学生通过实例进行练习；- 帮助学生熟练掌握矩阵的加法、数乘和矩阵乘法。
4. 拓展延伸（15分钟）通过引导学生思考，结合线性代数在实际问题中的应用，进一步拓展学生的知识面。
5. 归纳总结（10分钟）对本节课所学内容进行总结，强化学生对线性代数的理解和掌握。
四、教学评价1. 在教学过程中，观察学生的学习状态，及时给予指导和帮助；2. 布置相关习题，检验学生对所学知识的掌握情况；3. 根据学生的表现进行评价，及时给予反馈和指导。
五、教学资源准备1. 教材和课件；2. 相关实例分析的教学素材；3. 学生练习题、作业等。
总结：通过本节课的教学，学生能够理解线性代数的基本概念和相关术语，掌握线性方程组和矩阵的运算规则，并能够应用所学知识解决实际问题。
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版第一章绪论1.1 线性代数的起源和发展介绍线性代数的起源和发展历程，理解线性代数在数学和其他领域的重要性。
1.2 向量空间和线性映射定义向量空间和线性映射，理解它们的基本性质和概念。
1.3 矩阵和行列式介绍矩阵和行列式的概念，理解它们在线性代数中的重要性。
1.4 线性方程组理解线性方程组的定义和性质，学习解线性方程组的方法。
第二章矩阵和行列式2.1 矩阵的概念和运算介绍矩阵的概念和基本运算，如加法、减法、乘法和转置。
2.2 行列式的定义和性质定义行列式并学习其基本性质，如行列式的值与矩阵的行（列）向量之间的关系。
2.3 行列式的计算学习计算行列式的不同方法，如按行（列）展开、代数余子式和行列式的逆。
2.4 矩阵的逆定义矩阵的逆并学习其性质，如矩阵的逆与矩阵的行列式之间的关系。
第三章线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法解线性方程组的步骤和应用。
3.2 克莱姆法则理解克莱姆法则的原理，学习如何使用克莱姆法则解线性方程组。
3.3 线性方程组的解的性质学习线性方程组的解的性质，如唯一解、无解和有无限多解。
3.4 线性方程组的应用了解线性方程组在实际问题中的应用，如线性规划、电路分析和物理学中的问题。
第四章向量空间和线性映射4.1 向量空间的概念和性质定义向量空间并学习其基本性质，如向量加法和标量乘法的封闭性。
4.2 子空间和线性相关性理解子空间的概念并学习如何判断向量组线性相关性。
4.3 线性映射的概念和性质定义线性映射并学习其基本性质，如线性映射的矩阵表示和图像。
4.4 特征值和特征向量定义特征值和特征向量，学习如何求解线性映射的特征值和特征向量。
第五章特征值和特征向量5.1 特征值和特征向量的概念定义特征值和特征向量，理解它们在线性代数中的重要性。
5.2 特征值和特征向量的计算学习如何计算线性映射的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式。
5.3 特征空间和不变子空间理解特征空间和不变子空间的概念，学习它们的性质和应用。
线性代数教案模板范文
一、课程名称：线性代数二、授课班级：XX班三、授课时间：XX课时四、教学目标：1. 让学生掌握线性代数的基本概念、性质和运算方法。
2. 培养学生运用线性代数知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
五、教学重点与难点：1. 教学重点：线性方程组的解法、矩阵的运算、行列式、特征值与特征向量、二次型等。
2. 教学难点：线性方程组的解法、矩阵的秩、特征值与特征向量的求解、二次型的标准形等。
六、教学过程：1. 导入新课（1）回顾上一节课所学内容，引导学生回顾线性方程组的解法。
（2）提出本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲授（1）线性方程组的解法1）介绍高斯消元法、矩阵的初等变换、矩阵的秩等概念。
2）讲解高斯消元法的具体步骤和计算方法。
3）通过例题讲解如何运用高斯消元法求解线性方程组。
（2）矩阵的运算1）介绍矩阵的乘法、加法、数乘等运算。
2）讲解矩阵运算的法则和性质。
3）通过例题讲解如何进行矩阵运算。
（3）行列式1）介绍行列式的概念和性质。
2）讲解行列式的计算方法。
3）通过例题讲解如何计算行列式。
（4）特征值与特征向量1）介绍特征值和特征向量的概念。
2）讲解特征值的计算方法。
3）通过例题讲解如何求解特征值和特征向量。
（5）二次型1）介绍二次型的概念和性质。
2）讲解二次型的标准形和正定二次型。
3）通过例题讲解如何求解二次型。
3. 课堂练习（1）布置与新课内容相关的练习题，让学生巩固所学知识。
（2）教师巡视指导，解答学生疑问。
4. 总结与作业（1）对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点。
（2）布置课后作业，巩固所学知识。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的学习态度、参与度等。
2. 作业完成情况：检查学生的课后作业完成情况，了解学生对知识点的掌握程度。
3. 考试成绩：通过期中、期末考试，评估学生对线性代数知识的掌握程度。
八、教学反思：1. 总结本节课的教学效果，分析学生在学习过程中存在的问题。
线性代数数学教案模板高中
---一、课题名称：线性代数（具体章节或内容，如：行列式的基本性质）二、教学目标：1. 知识与技能：- 掌握行列式的定义和基本性质。
- 理解行列式在解线性方程组中的应用。
- 学会计算二阶和三阶行列式。
2. 过程与方法：- 通过实例分析，培养学生观察、分析和解决问题的能力。
- 通过小组讨论和合作学习，提高学生的逻辑思维和表达能力。
3. 情感态度与价值观：- 培养学生对数学的兴趣和学习的自信心。
- 激发学生对数学抽象问题的探究欲望。
三、教学重难点：1. 教学重点：- 行列式的定义和基本性质。
- 行列式在解线性方程组中的应用。
2. 教学难点：- 行列式的计算技巧。
- 理解行列式与线性方程组解的关系。
四、教学方法：1. 讲授法2. 讨论法3. 案例分析法4. 练习法五、教学过程：1. 导入新课：- 复习线性方程组的相关知识。
- 提出问题：如何解决含有多个未知数的线性方程组？- 引入行列式的概念，并简要介绍其作用。
2. 新课讲授：- 定义行列式：以具体的例子讲解行列式的定义，强调行列式的构成要素。
- 基本性质：讲解行列式的性质，如行列式的转置、行列式的展开等。
- 计算方法：介绍计算二阶和三阶行列式的方法，如拉普拉斯展开法。
3. 实例分析：- 通过具体的实例，展示行列式在解线性方程组中的应用。
- 引导学生分析行列式的值与线性方程组的解的关系。
4. 小组讨论：- 将学生分成小组，讨论行列式的计算技巧。
- 鼓励学生提出自己的观点，并进行分享。
5. 练习巩固：- 分配练习题，让学生独立完成。
- 教师巡视指导，解答学生的问题。
6. 课堂小结：- 回顾本节课所学内容，强调行列式的定义、性质和计算方法。
- 总结行列式在解线性方程组中的应用。
7. 课后作业：- 布置相关的练习题，巩固所学知识。
- 提醒学生注意练习中的难点和易错点。
六、教学反思：- 教师应关注学生的课堂参与度，鼓励学生积极提问和发言。
- 根据学生的反馈，调整教学方法和进度。
《线性代数》课程授课教案
《线性代数》课程授课教案课程编号：A11013课程名称：线性代数/Linear Algebra课程总学时/学分：40/2.5 （其中理论36学时，实验 4 学时，课程设计0 周）一、课程地位线性代数课程是高等学校工科各专业的一门重要的公共基础课。
由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组，求矩阵的特征值与特征向量等已成为工程技术人员经常遇到的课题。
因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科，工科院校的学生必须掌握其基本理论知识，并能熟练地应用其方法。
线性代数是以讨论有限维空间线性理论为主的课程，具有较强的抽象性与逻辑性。
通过本课程的学习，要使学生获得应用科学中常用的行列式计算方法，矩阵方法，线性方程组，二次型等理论及其基本知识，并具有熟练的行列式，矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为后续课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
二、教材及主要参考资料本课程使用教材：同济大学数学教研室主编的《线性代数》（第五版）教学参考书：1、《线性代数辅导》胡金德等编清华大学出版社出版2、《线性代数辅导》石福庆等编铁道出版社出版3、《线性代数解题方法与技巧》毛纲源编湖南大学出版社出版4、《线性代数解题分析》胡海清编湖南科技出版社出版5、《线性代数教学内容、方法与练习》吴声钟编电子工业出版社出版6、《线性代数复习指导》陈文灯等编世界图书出版公司北京公司出版7、《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，第三版，高等教育出版社8、《线性代数》，王萼芳编著，北京，清华大学出版社。
9、《线性代数及其应用》，同济大学应用数学系编，北京，高等教育出版社。
10、《线性代数及其应用》，谢国瑞编，北京，高等教育出版社。
11、《线性代数简明教程》，俞南雁编，机械工业出版社。
12、《线性代数与解析几何》，俞正光，李永乐，詹汉生编，北京，清华大学出版社。
线性代数教案_第一章_行列式
授课章节行列式§1.1 n阶行列式目的要求理解二阶与三阶行列式,了解全排列及其逆序数。
重点二阶与三阶行列式计算，行列式的性质，克拉默法则难点n阶行列式的计算，克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，是线性代数中的一个基本概念，它在线性代数、其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．§1 n阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的问题，行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．下面考察二元一次方程组（1.1）当时，由消元法知此方程组有唯一解，即（1.2）可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数以及常数项表示出来，这就是一般二元线性方程组的解公式。
但这个公式很不好记忆，应用时十分不方便。
由此可想而知，多元线性方程组的解公式肯定更为复杂。
因此，我们引进新的符号来表示上述解公式，这就是行列式的起源。
1、二阶行列式：由4个数及双竖线组成的符号称为二阶行列式。
注：(1)构成：二阶行列式含有两行，两列。
横排的数构成行，纵排的数构成列。
行列式中的数（）称为行列式的元素。
线性代数教案
线性代数教学教案),2,,;1,2,,m j n = 排成的m 12n n mn a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为位于矩阵()ij a 的元素，其中i 称为元素ij a 的行标，j 称为元素常用英文大写字母,,A B 或字母,,,αβγ表示矩阵，，()ij b =B ，),n a .2n a ⎪⎪⎪⎭.12122212n n n n nn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭. 11212212000n n nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭与上三角矩阵12220n n nn a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭. 2000n λλ⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭，n 阶对角矩阵也常记为12diag(,,,)Λ=n λλλ.00000a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭，简记为阶单位矩阵10001001⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E . )⨯ij m n a ，若当>i j 时，恒有行数增大而增多，则称该矩阵为上梯形矩阵；若当<i 的个数随行数增大而减少，则称该矩阵为下梯形矩阵A ,2,,)n ，则称为)，0=iia ，而关于主对角线对称的元素互为相反数用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，每个小矩阵称为授课序号02,2,,;1,2,,m j n =，则称矩阵．负矩阵：对于矩阵()ij m n a ⨯=A ，称矩阵．矩阵的加（减）法：设()ij m a ⨯=A 121222222122n n n m m m mn mn a a b a b a b ++⎪+=⎪⎪+++⎭A B ， 是任意三个m n ⨯矩阵，则1222n n n nm mn na x a x a x a x ++++经过线性计算得到了m 个数y 线性变换的系数ij a 构成矩阵．线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系：给定了线性变换)2,j is sj a b ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11i j is sj a b a b =+,,;1,2,,)m j n =第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数,两个矩阵的乘法才有意义，即应有m s s n A B C ⨯⨯=的元素ij c 是把矩阵A 中的第行元素与矩阵B j 列元素对应相乘后再相加得到的kAA A ,特别地，当为非零方阵时，规定11a x a +++1a A ++次多项式.12122212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭,将其对应的行与列互换位置11222212m m nnmn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭,称为矩阵A 的转置矩阵,记作TA . 2．矩阵的转置满足的运算规律：设以下运算都有意义(1)()T TAA =； (2)(A +四．方阵的行列式．定义：用n 阶方阵12m m A A A A =⋅.特别地,为非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵.中的各个元素的代数余子式1,2,ij A i,j n ⋅⋅⋅（）,=按下列方式排列成1222212n n nnn A A A ⎪⎪⎪⋅⋅⋅⎭，称*A例1．设145201A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，307112B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求23A B -.例2.设12n a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,()12,,,n B b b b =,求AB 与BA .例3.计算矩阵乘积AB 与BA ,其中2222A ⎛⎫=⎪--⎝⎭,11B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.例4.设1111A ⎛⎫=⎪--⎝⎭,2121B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,2313C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,1121D -⎛⎫= ⎪⎝⎭,计算AB ,BA ,AC ,AD .例5.设2()31=-+f x x x , 201110011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,求()f A .例6.已知1112322133312A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求nA . 例7.路线选择问题如图2.2所示,为A ,B ,C 三个城市间的交通线路情况(每两个城市可来回走动).小悦从其中一个城市出发直达另一个城市,她可以有几种选择?如果她想从某一个城市出发,先经过一个城市,再到达另外一个城市,她又可以有几种选择?图2.2例8.矩阵在图形学上应用平面图形是由一条或若干条封闭起来的曲线围成的区域构成，例如字母L 是由,,,,,a b c d e f 六条线段围成，如图2.3. 将六个点的坐标使用矩阵的方式记录如下：BCA044110001166A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中第i 个列向量就是第i 个点的坐标.数乘矩阵kA 对应的图形就是把图2.3放大k 倍.如果我们想得到字母L 的斜体，可以通过矩阵的乘法来实现. 例如，令矩阵10.2501P ⎛⎫=⎪⎝⎭，则有10.2504411001001166PA ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭04 4.25 1.25 2.5 1.5001166⎛⎫= ⎪⎝⎭矩阵PA 所对应的字体变为斜体，如图2.4所示.图2.3 图2.4 若记120pp P p ⎛⎫=⎪⎝⎭，则p 的取值可以用来调整字母的大小，而12p 的取值用来控制字母的倾斜度. 例9.设矩阵A 与B 为同阶对称矩阵，证明：AB 为对称矩阵的充要条件为=AB BA . 例10．设A ,B 和C 为4阶方阵,2A =, 3B =-,3C =,求2AB ,T AB 和3T AB C -.例11.设n 阶方阵*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，试证：**AA =A A A E =例12.设A 为3阶方阵，||3=A ，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行和第二行得矩阵B ，求||*BA .授课序号03授课序号04,,n A 均为同阶可逆矩阵，则,,n A 可逆，且可逆，矩阵=BA CA ,则有(或BA=E 1B -. ．初等矩阵的逆矩阵仍为同类型的初等矩阵，且有1(,)-=Ei j]1-⎡⎤→⎣⎦行变换A E E A ，1-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦列变换E A .，其中矩阵A 可逆. ，其中矩阵B 可逆. ，其中矩阵A 、B 可逆. 000⎥≠⎥⎥⎥⎦，n n a a ，求(0)-≠ad bc ，求A 的逆矩阵2230--=A A ，求(A授课序号05112211(0)000r n r n rr rrrn a a a a a a a a a ⎤⎥⎥⎥⎥≠⎥⎥⎥⎥⎥⎦2124⎤⎥⎥⎥⎦的秩.⎤，试求()r A .授课序号0612122212⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦t t s s st A A A A A ，12122212⎤⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦t t s s st B B B B B B ,;1,2,,)=s j t 的行数和列数也相同，则111112121121212222221122±±±⎡⎤⎢⎥±±±⎢⎥±=⎢⎥⎢⎥±±±⎢⎥⎣⎦t t t t s s s s st st A B A B A B A BA B A B A B A B A B A B .分块矩阵的数乘运算1212⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦t t s s st A A A A A ，λ是数，则111212122212⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎥⎥⎦t t s s st A A A A A A A A A A λλλλλλλλλ.分块矩阵的乘法()⨯=ij m s a 、()⨯=ij s n B b ，且对的列分块方法与对B 的行分块方法相同，即111212⎡⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦t t s s st A A A A A A ，121212⎤⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦r r t t tr B B B B B B 2,,it A 的列数分别等于矩阵B 的第j 列的各子块12,,,j j tj B B B 的行数，则111212122212⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦r r s s sr C C C C C C AB C C C ,++it tj B A B (1,2,,;1,2,,)==i s j r .1212122212⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦t t s s st A A A A A A A ，则112111222212⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦TTT s TT T s T T TT ttst A A A A A A A A A A .⎥⎥⎥⎥⎦r A 1,2,,)r 都是方阵，则称是分块对角矩阵，也称为准对角矩阵分块对角矩阵的运算性质：设都是分块对角矩阵，即⎥⎥⎥⎥⎦r A ，1⎡⎢⎥⎥⎥⎥⎦r B B 1,2,,)r 是同阶的子块，则有：11r A B OA O AB ±⎤⎥⎥⎥±； 1r A A λ⎤⎥⎥⎥⎥⎦； r r O A B ⎥⎥⎥⎦m r O A ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦，其中T r A ⎥⎥⎥⎥⎦；r A ；1,2,,)=r ，则1-⎥⎥⎥⎥⎦r A ；2()()+++r r A r A 是分块矩阵，即⎡⎢⎢=⎢⎢⎢⎣r OA A O 1-⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎦r O A O . 0322010411,2,,，n 求12100000000--⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n na a .。
线性代数教案正式(供参考)
第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式 243122421----=D .(-14)例3. 求解方程094321112=x x （32==x x 或）例4. 解线性方程组 .55730422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-z y x z y x z y x第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第六节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ija的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaD11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaD212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiii=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=nD解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r1+=n D n .从而解得 1+=n D n .例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=n nn n nnn x x x x x x x x x D()1i j n i j x x ≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证 用归纳法因为 =-==1221211x x x x D ()21i j i j x x ≥>≥-∏ 所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n 时成立，要证对n 时也成立.为此，设法把nD 降阶；从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有()()()()()()213112213311222221331111110000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x ---------=---（按第一列展开，并提出因子1x x i -）行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。
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1、理解矩阵的定义，知道零矩阵、单位阵、对角阵、行阶梯形阵、行最简阶梯阵、对称矩阵等特殊矩阵，知道两矩阵相等的概念；
2、掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其它运算规律；
3、知道矩阵的分块方法和在矩阵运算中的作用。
《线性代数》教案
1、理解齐次线性方程组的基础解系，线性方程组解的结构，并能熟练的求出它们的通解；
2、熟练掌握用初等行变换求线性方程组通解的方法；
《线性代数》教案
1、知道向量的内积与正交，了解正交矩阵的概念及性质。
2、理解方阵的特征值和特征向量的概念，掌握其求法。
1、了解相似矩阵的概念及其性质，知道矩阵对角化的充分必要条件。
会求实对称矩阵的相似对角矩阵；
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1、掌握二次型及其矩阵的表示，了解二次型秩的概念；
2、会用正交变换和配方法把二次型化为标准形的方法；
3、知道惯性定理，掌握正定二次型的判定。