中考数学一轮综合题及答案
2011中考数学一轮复习要点精练--综合题
Ⅰ、综合问题精讲:
代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型,近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现,其解题关键点是借助几何直观解题,运用方程、函数的思想解题,灵活运用数形结合,由形导数,以数促形,综合运用代数几何知识解题. Ⅱ、典型例题剖析
【例1】(温州,12分)如图,已知四边形ABCD 内接于⊙O,A 是?BDC
的中点,AE⊥AC 于A ,与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ,且??BF
AD =,EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2=1
2 BC·CE;
⑶如果AB =2,EM =3,求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O,∴∠CDA=∠ABE,
∵??BF
AD =,∴∠DCA=∠BAE, ∴△CAD∽△AEB
⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图)
∵A 是?BDC
中点,∴HC=HB =12
BC , ∵∠CAE=900,∴AC 2
=CH·CE=12
BC·CE
⑶∵A 是?BDC
中点,AB =2,∴AC=AB =2, ∵EM 是⊙O 的切线,∴EB·EC=EM 2
① ∵AC 2
=12 BC·CE,BC·CE=8 ②
①+②得:EC(EB +BC)=17,∴EC 2
=17 ∵EC 2
=AC 2
+AE 2
,∴AE=17-22=13 ∵△CAD∽△ABE,∴∠CAD=∠AEC, ∴cot∠CAD=cot∠AEC=AE AC =13
2
点拨:此题的关键是树立转化思想,将未知的转化为已知的.此题表现的非常突出.如,将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键.
【例2】(自贡)如图 2-5-2所示,已知直线y=2x+2分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ,∠BAC=90○
。
过C 作CD ⊥x 轴,D 为垂足. (1)求点 A 、B 的坐标和AD 的长; (2)求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。 解:(1)在y=2x+2中 分别令x=0,y=0. 得 A (l ,0),B (0,2). 易得△ACD ≌△BAO ,所以 AD=OB=2.
(2)因为A(1,0),B (0,2),且由(1),得C (3,l ). 设过过B 、A 、C 三点的抛物线为2y ax bx c =++
所以56
0172 69312
a a
b
c c b a b c c ?
=?++=??
??==-?
???
++=?=???
,解得 所以2517
266
y x x =
-+ 点拨:此题的关键是证明△ACD ≌△BAO .
【例3】(重庆,10分)如图,在平面直角坐标系内,已知点A (0,6)、点B (8,0),动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动,同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒. (1) 求直线AB 的解析式;(2) 当t 为何值时,△APQ 与△AOB 相似? (3) 当t 为何值时,△APQ 的面积为524
个平方单位?
解:(1)设直线AB 的解析式为y =k x +b 由题意,得b=680
k b ??
+=? 解得346
k b ?=-??
?=? 所以,直线AB 的解析式为y =-
4
3
x +6. (2)由AO =6, BO =8 得AB =10 所以AP =t ,AQ =10-2t
1° 当∠APQ=∠AOB 时,△APQ∽△AOB.
所以 6
t =10210t
- 解得 t =1130(秒)
2° 当∠AQP=∠AOB 时,△AQP∽△AOB. 所以
10
t =6210t - 解得
t =13
50(秒)
(3)过点Q 作QE 垂直AO 于点E . 在Rt△AOB 中,Sin∠BAO=AB
BO =5
4
在Rt△AEQ 中,QE =AQ·Sin∠BAO=(10-2t )·5
4=8 -5
8t 所以,S △APQ =2
1AP·QE=
21t ·(8-5
8t )
=-2
54t +4t =5
24 解得t =2(秒)或t =3(秒).
(注:过点P 作PE 垂直AB 于点E 也可,并相应给分)
点拨:此题的关键是随着动点P 的运动,△APQ 的形状也在发生着变化,所以应分情况:①∠APQ =∠AOB =90○
②∠APQ =∠ABO .这样,就得到了两个时间限制.同时第(3)问也可以过P 作 PE ⊥AB .
【例4】(南充,10分)如图2-5-7,矩形ABCD 中,AB =8,BC =6,对角线AC 上有一个动点P (不包括点A 和点C ).设AP =x ,四边形PBCD 的面积为y . (1)写出y 与x 的函数关系,并确定自变量x 的范围. (2)有人提出一个判断:“关于动点P ,⊿PBC 面积与⊿PAD 面积之和为常数”.请你说明此判断是否正确,并说明理由. 解:(1)过动点P 作PE ⊥BC 于点E .
在Rt⊿ABC 中,AC =10, PC =AC -AP =10-x . ∵ PE ⊥BC ,AB ⊥BC ,∴⊿PEC ∽⊿ABC .
故 AC
PC AB PE =,即.548,10108x PE x PE -=-=
∴⊿PBC 面积=.512
2421x BC PE -=? 又⊿PCD 面积=⊿PBC 面积=.5
1224x -
即 y x 524
48-=,x 的取值范围是0<x <10. (2)这个判断是正确的. 理由: 由(1)可得,⊿PAD 面积=.5
12x
⊿PBC 面积与⊿PAD 面积之和=24.
点拨:由矩形的两边长6,8.可得它的对角线是10,这样PC =10-x ,而面积y 是一个不规则的四边形,所以可以把它看成规则的两个三角形:△PBC 、△PCD .这样问题就非常容易解决了. Ⅲ、综合巩固练习 (100分 90分钟)
1、如图2-5-8所示,在直角坐标系中,△ABC 各顶点坐标分别为A (0, 3 ),B (-1,0)、C (0,1)中,若△DEF 各顶点坐标分别为D ( 3 ,0)、E (0,1)、F (0,-1),则下列判断正确的是( )
A .△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转90○
得到; B .△DEF 由△ABC 绕O 点逆时针旋转90○得到; C .△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转60○得到; D .△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转120○得到
2.如图2-5-9,已知直线 y=2x +1与x 轴交于A 点,与y 轴交于B 点,直线y=2x —1与x 轴交于C 点,与y 轴交于D 点,试判断四边形ABCD 的形状.
3.如图2-5-10所示,在矩形ABCD 中,BD=20,AD >AB ,设∠ABD=α,已知sin α是方程
25z 2
-35z+ 12=0的一个实根.点E 、F 分别是BC 、DC 上的点,EC+CF=8,设BE=x ,△AEF 面积等于y.
⑴ 求出y 与x 之间的函数关系式;
⑵ 当E 、F 两点在什么位置时y 有最小值?并求出这个最小值.
4.(10分)如图2-5-11所示,直线y=-43 x+ 4与x 轴、y 轴分别交于点M 、N .
(1)求M 、N 两点的坐标;
(2)如果点P 在坐标轴上,以点P 为圆心,125 为半径的圆与直线y=-4
3 x+ 4相切,求
点P 的坐标.
5.(10分)如图2-5-12所示,已知等边三角形ABC 中,AB=2,点P 是AB 边上的任意一点(点P 可以与点A 重合,但不与点B 重合),过点P 作PE ⊥BC .垂足为E ;过点E 作EF ⊥AC ,垂足为F ;过点F 作FQ ⊥AB ,垂足为Q .设BP=x ,AQ=y . ⑴ 写出y 与x 之间的函数关系式;
⑵ 当BP 的长等于多少时,点P 与点Q 重合;
⑶ 当线段 PE 、FQ 相交时,写出线段PE 、EF 、FQ 所围成三角形的周长的取值范围(不必写出解题过程)
6.(12分)如图2-5-13所示,已知A由两点坐标分另为(28,0)和(0,28),动点P 从A点开始在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动,动直线 EF从 x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动(即EF∥x轴)并且分别交y轴,线段AB交于E、F 点.连接FP,设动点P与动直线EF同时出发,运动时间为t秒.
⑴当t=1秒时,求梯形OPFE的面积,t为何值时,梯形OPFE的面积最大,最大面积是多少?
⑵当梯形OPFE的面积等于△APF的面积时,求线段 PF的长.
⑶设t的值分别取t1,t2时(t1≠t2),所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2,试判断这两个三角形是否相似,请证明你的判断.
7.(12分)如图2-5-14所示,在直角坐标系中,矩形ABCD的顶点,A的坐标为(1,0),
对角线的交点P的坐标为(5
2
,1)
⑴写出B、C、D三点的坐标;
⑵若在AB上有一点 E作,’入过 E点的直线‘将矩形ABCD的面积分为相等的两部分,求
直线l的解析式;
⑶若过C点的直线l将矩形ABCD的面积分为4:3两部分,并与y轴交于点M,求过点C、
D、M三点的抛物线的解析式.
8.(10分)已知矩形ABCD在平面直角坐标系中,顶点A、B、D的坐标分别为A(0,0),B (m,0),D(0,4)其中m≠0.
⑴写出顶点C的坐标和矩形ABCD的中心P点的坐标(用含m的代数式表示)
⑵若一次函数y=kx-1的图象l把矩形ABCD分成面积相等的两部分,求此一次函数的解析
式(用含m的代数式表示)
⑶在⑵的前提下,l又与半径为1的⊙M相切,且点 M(0,1),求此矩形ABCD的中心P
点的坐标.
9.(10分)如图2-5-15所示,等边三角形ABC的边长为6,点D、E分别在边AB,AC上,且AD=AE=2,若点F从点B开始以每秒二个单位长度的速度沿射线BC方向运动,设点F运动的时间为t秒,当t>0时,直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G,GE的延长线与BC的延长线相交于点H,AB与GH相交于点O.
⑴设△EGA的面积为S,写出S与 t的函数解析式;
⑵当t为何值时,AB⊥GH;
⑶请你证明△GFH的面积为定值.
10. (10分)如图2-5-16,在矩形ABCD中,AB=10。cm,BC=8cm.点P从A出发,沿A→B→C→D
路线运动,到D停止;点Q从D出发,沿D→C→B→A路线运动,到A停止,若点P、点Q同时出发,点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,a s时点P、点Q同时改变速度,点P的速度变为bcm/s,点Q的速度变为d cm/s,图 2-5-17是点 P出发x秒后△APD的面积S1(cm2)与x(s)的函数关系图象;图2-5-18是点Q出发xs后面AQD 的面积S2(cm2)与x(s)的函数关系图象.
⑴ 参照图2-5-17,求a、b及图中c的值;
⑵ 求d的值;
⑶ 设点P离开点A的路程为y1(cm),点Q到点A还需走的路程为y2(cm),请分别写出动点 P、
Q改变速度后,y1、y2与出发后的运动时间x(s)的函数解析式,并求出P、Q相遇时x 的值.
⑷ 当点Q出发_______s时,点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm.